第1章 二次函数 易错必考63题（13个考点）解析版

第1章二次函数易错必考63题（13个考点）专练

易错必考题一、根据二次函数的定义求参数

1.（2023•全国•九年级专题练习）若函数y=（/+加X/HT是二次函数，那么相的值是（）

A.2B.-1或3C.3D.-1±72

【答案】C

【分析】根据二次函数的定义：y=a^+bx+c{a^Q）,进行计算即可.

【详解】解：由题意得：m2-2m-1=2,解得：〃z=—1或〃?=3；

又m2+mW0,解得：机H—1且机H0,

m=3.

故选C.

【点睛】本题考查二次函数的定义.熟练掌握二次函数的定义是解题的关键.注意二次项系数不为零.

2.（2023秋・全国•九年级专题练习）点尸9）在函数y=4/-3的图象上，则代数式（2a+3）（2a-3）的值等

于.

【答案】3

【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可得出4/=12,将其代入（2a+3）（24-3）=4〃—9中即可求出

结论.

【详解】解：,点P（a,9）在函数y=4f一3的图象上，

.•.9=4/-3,

.-.4a2=12,

贝I」代数式（2。+3）（2。-3）=4片一9=12—9=3,

故答案为：3.

【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题

的关键.

3.（2022秋・浙江湖州•九年级统考期中）定义：如果函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为函数

的不动点.例如，点（1,1）是函数y=-2x+3的不动点.已知二次函数y=x2+2（6+2）x+〃（b是实数）.

（1）若点（T,T）是该二次函数的一个不动点，求匕的值；

（2）若该二次函数始终存在不动点，求6的取值范围.

【答案】⑴1+君或1-6

3

【分析】（1）根据“不动点”定义，建立方程求解即可；

（2）根据不动点的定义求出函数，再根据判别式计算即可.

【详解】（1）解：依题意把点（T-1）代入解析式y=/+2（>+2）x+b2,

得一1=1-20+2）+火化简得：b2-2b-2=0,解得：4=1+6也=1—百；

（2）解：设点（口）是函数、=炉+2仅+2卜+廿的一个不动点，

则有/=/+2（匕+2"+》2,化简得，t2+（2b+3）t+b2=0,

关于f的方程有实数解，

03

A=（2Z?+3y-4fo2>0,解得：

【点睛】本题考查了二次函数与新定义“不动点”应用，涉及解一元二次方程、一元二次方程根的情况与判别

式等知识，解题的关键是理解并利用新定义解决问题.

易错必考题二、二次函数与一次函数、反比例函数图象的综合判断

4.（2023春・浙江杭州•八年级校考阶段练习）二次函数yuaY+"+c的图象如图所示，则一次函数

a+b+c

y=奴+/一4〃。与反比例函数y=在同一坐标系内的图象大致为（）

X

【分析】由抛物线的图象可知，横坐标为1的点，即（1，a+》+c）在第四象限可得a+6+c<0,从而得到反

比例函数了=""的图象分布在二、四象限，由抛物线的开口方向和与X的交点个数得到

X

a<0,b2-4ac>0,从而得到一次函数y=or+户-4ac的图象经过一、二、三象限，即可得到答案.

【详解】解：由抛物线的图象可知，横坐标为1的点，即（1，匕+C）在第四象限，

:.a+b+c<0,

n+h+c

，反比例函数y=的图象分布在二、四象限，

X

抛物线的开口向上，

..a>0,

「抛物线与X轴有两个交点，

A=b—-4ac>0,

，一次函数y=ar+〃-4ac的图象经过一、二、三象限，

故选：C.

【点睛】本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握一次函数、反

比例函数、二次函数的图象与系数的关系，采用数形结合的思想解题，是解此题的关键.

5.（2023秋•全国•九年级专题练习）在同一平面直角坐标系中，一次函数丫=+1与二次函数>=/+%的

【答案】A

【分析】由一次函数的图象经过的象限可确定人的正负，进而验证二次函数图象与y轴交点的位置，结合二

次函数图象的开口方向进行判断，即可求解.

【详解】解：A、由丫=-履+1图象得：-左＞0,.•*＜(),由y=Y+左得：1＞0,.,.抛物线的开口向上,

交于y轴负半轴，符合题意，故此项正确；

B、由y=/+%得：1＞0,••・抛物线的开口向上，故此项错误；

C、由'=-履+1图象得：—左＜0,y=，+A的图象应交于y轴正半轴，故此项错误；

D、由丫=-履+1得：图象交于y轴的(0,1),故此项错误；

故选：A.

【点睛】本题考查了二次函数的图象、一次函数图象以及一次函数图象与系数的关系，根据二次函数的图

象找出每个选项中上的正负是解题的关键.

6.(2023春•山东德州•八年级统考期末)二次函数＞=以2+公+。的图象如图所示，则一次函数了=依+6和

反比例函数＞=£在同一平面直角坐标系中的图象可能是()

【分析】根据二次函数〉=62+法+。的图象开口向上，得。＞0,与y轴交于正半轴，得c＞0,根据二次

函数的对称轴可得b<0,从而得到一次函数y="+6经过一、三、四象限，反比例函数y=9经过一、三

象限，即可得到答案.

【详解】解：二次函数丁=。/+法+。的图象开口向上，与y轴交于负半轴，

a>0,c>0,

b

又观察二次函数的图象，二次函数的对称轴为》=-丁>。，

2a

：.b<0,

，一次函数》=公+匕经过一、三、四象限，反比例函数y=£经过一、三象限，只有选项D图象符合，

x

故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数的图象、一次函数的图象、反比例函数的图象，根据二次函数的图象得到。>0,

c>0,b<0,是解题的关键.

7.（2023秋•山西运城・九年级统考期末）抛物线y=o?+法+。与直线y=。陵+。同一坐标系的大致可能是（）

【答案】D

【分析】根据各个选项中的图象，可以判断出一次函数和二次函数中。、氏c的正负情况，即可判断哪个

选项是正确的；

【详解】A、一次函数y="x+c中。分<0,。<0,二次函数y=+打+<：中a>0,b>0,c<0,即ab>0,c<。,

故选项A不符合题意；

B、一次函数y=abx+c中ab>0,c<0,二次函数y=ax?+fcv+c中a<0,b<0,c>0,gpab>0,c>0,

故选项B不符合题意；

C、一次函数y=afcv+c中。6>0,c<0,二次函数y=ax2+bx+c中a>0,b<0,c<0,即aZ?<0,c<。，

故选项C不符合题意；

D、一次函数y=abx+c中aZ?<O,c>0,二次函数y=ax?+/w+c中a<。,匕>0,c>0,即。匕<0,c>0故

选项D符合题意；

故选D

【点睛】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确一次函数和二次函数的性质,

用数形结合的思想解答.

易错必考题三、二次函数的图象与性质

8.（2023秋・全国•九年级专题练习）如图，抛物线、=办?+。经过正方形Q4BC的三个顶点A,B,C,点B

C.-3D.-4

【答案】B

【分析】连接AC,交y轴于点。，根据正方形的性质可知AC=OS=2AD=28,然后可得点

进而代入求解即可.

【详解】解：连接AC,交y轴于点。，如图所示:

AAC^OB=2AD=2OD=c,AC±OB,

解得：ac=-2,

故选B.

【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及正方形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及正方形

的性质是解题的关键.

9.（2023•江苏泰州•统考二模）已知抛物线>=-尤2-4〃a+加2-1,A（-2m-4,yi）,3（m+3,%）为该抛物线

上的两点，若M<%，则机的取值范围（）

717—171

A.m<——B.m>—C.m<——或根>一D.——<m<—

333333

【答案】D

【分析】先把丁=一12_4巾+机2-1化成丁=一（％+2m）2+5根2_],把A,5两点的坐标代入

=-4mx+m2-1,根据M<%，即可求出加的取值范围.

【详解】***y=—x2—4mx+m2—1=—（x+2m）2+5m2—1,

当点A（-2m-4,y1）,5（根+3,%）在抛物线,=一九2-45+疗一1上，

22222

/.%=（—2m—4+2m）+5m—l=­17+5m,y2=—（3m+3）+5m—1,

%<%，

・・・-17+5m2<-（3+3m）2+5m2-l,

71

解得：一§<加<§.

故答案为：D.

【点睛】本题考查二次函数图像上点的坐标特征，解题的关键是掌握函数的图象和性质.

10.（2023秋・全国•九年级专题练习）已知二次函数y=-2）2一。（aW。），当-1<%<4时,y的最小值为T,

则。的值为（）

11414

A.彳或4B.4或一彳C.一；或4D.一彳或彳

22323

【答案】B

【分析】根据表达式求出对称轴，对。的正负进行分类讨论，求出每种情况的最小值即可.

【详解】解：y=〃（x—2）2—。的对称轴为直线％=2,

顶点坐标为（2,-。），

当a>0时，在一1<x44,

的最小值为T,

••一a=-4,

a=4；

时，在一14兀＜4,

当尸-1时函数有最小值，

：.a[-l-2^-a=-4,

解得a=j

2

综上所述：。的值为4或

故选：B.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，对。的分类讨论是本题的解题关键.

11.（2023•河南・河南省淮阳中学校联考一模）在钝角三角形ABC中（如图1）,AB=AC,点尸为边A3上

一动点，连接PC,在直线CP的上方构造等腰直角三角形CPQ,使CP=P。，连接BQ,设BP的长为X,

台尸。的面积为》若y关于x的函数图象如图2所示，则ABC的面积为（）

A.20B.10C.8A/5D.4下

【答案】D

【分析】由图2可得，当尤=2君，y=26，点P运动到点A的位置，过点。、C分别作54的垂线，垂足

为D、E,由勾股定理先求出4D的长，根据全等三角形的判定和性质得到CE="）,进而求出面积.

【详解】解：由图2可得，当尤=2指，y=2^5,点尸运动到点A的位置，

过点。、C分别作54的垂线，垂足为。、E,如图：

VAB=AC=PQ=2y[5,SBPQ=；BP.DQ=2亚，三角形CPQ是等腰直角三角形,

APQ=PC,即AC=AQ=27?,

=翁2,

・•・AD=^AQ2-QD2=5/20-4=4,

,.・^QPC=90°,

ZCAE=ZAQD,

ACE-UXAAS）,

・・・CE=AD=4,

：.SABC=|AB«£'C=1X275X4=4V5.

故选：D.

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，能够作辅助线构造全等三角形是解题的关键.

12.（2023•福建福州•福建省福州延安中学校考模拟预测）如图，在正方形。45。中，点4（0,2）,点。（2,0）,

则二次函数＞=（彳-m）2-m与正方形。40c有交点时，机的最大值是.

A—

O-Cx

【答案

【分析】根据抛物线顶点坐标可确定其顶点在直线y=-x上移动，然后再确定当抛物线左侧经过点8时，

取得最大值，以此代入坐标求解即可.

【详解】解：由题意，该抛物线的顶点坐标为（根,-加）,

•••抛物线的顶点在直线y=-x上移动,

•.,四边形0RC为正方形，点A（0,2）,点C（2,0）,

•••点3的坐标为（2,2）,

如图所示，当抛物线左侧经过点B时，加取得最大值,

将（2,2）代入y=（无一〃?）~一得：（2-mf-m-2,

解得：加="姮或m=三叵（不合题意，舍去），

22

故答案为：2±姮.

2

【点睛】本题考查二次函数图象与性质，掌握抛物线顶点特征及运动轨迹，确定取得最值时的特殊位置是

解题关键.

13.（2023秋・全国•九年级专题练习）在平面直角坐标系中，点A（〃?，x）、3（m+1,%）在抛物线>=（尸1）2-2

上.当H<%时，抛物线上A、5两点之间（含A、5两点）的图像的最高点的纵坐标为3,则m的值为.

【答案】75

【分析】根据函数解析式得出抛物线的对称轴以及顶点坐标，然后分情况结合抛物线的增减性进行求解即

可.

【详解】解：由函数解析式可知抛物线的对称轴为x=l,顶点坐标为（1，-2）,

,当天1Vxm+1<1时，不符合题意；

当/<1</+I时，抛物线上A、8两点之间（含A、8两点）的图像的最高点的纵坐标不可能为3,不符

合题意；

当1<无”+1时，，随x增大而增大，

...当x=〃z+l时，函数值y=3,

即3=（〃叶1-I）2-2,

解得m=±A/5,

*.*m>1,

m=非，

故答案为：5

【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点式以及增减性是解本题的关键.

14.（2023・四川成都•校考三模）在平面直角坐标系xOy中，对封闭图形M和不重合的两点尸，。给出如下

定义：点。关于点尸的中心对称点为。'，若点。'在图形M内（包含边界），则称图形M为点。经点P投射

的“靶区”.如图,抛物线y=尔-4依+6与x轴的交点A,8位于原点两侧（点A在点8的左侧），且03=3Q4,

则抛物线的函数表达式为，记x轴上方的抛物线与x轴所围成的封闭图形为G,点E（0,〃。为》轴

上一动点，若直线y=X+3上存在点歹，使得图形G为点/经点E投射的“靶区”，则根的取值范围

是________

0<m<y/15且加w3.

【分析】由。3=3。4,以及抛物线的对称轴，可得出点A的坐标，进而求出函数表达式；求出直线y=x+3

关于y轴的对称直线，再由对称直线与封闭图象的交点，可求出机的取值范围.

【详解】解：由题知，

抛物线的对称轴为x=2,

令A(m,0),又A,8两点关于x=2对称，

所以2-帆=修-2,则修=4-帆.

所以OA=—m,OB=4-m.

又OB=3OA,

所以4-〃2=3x(-〃7),得〃z=-2.

故A(-2,0).

将A点坐标代入抛物线解析式得，4.+附+6=0,则。=-；.

所以抛物线的函数表达式为y=+2x+6.

直线y=x+3关于y轴的对称直线为y=-x+3,

记直线y=-X+3与封闭区域G的交点为M，N,

y=—尤-+2x+6x=3+V15x=3-屏

则'2,解得，或，

)=-屏y=V15

y=-x+3

所以加的取值范围是0VmWJT?且加片3.

故答案为：y^--x2+2x+6,0<m<V15

【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，利用直线y=尤+3关于y轴的对称直线是解题的关键.

15.(2023春•吉林长春•九年级统考开学考试)在平面直角坐标系中，已知4-1,3),8(3,3).抛物线

y=~x2+2ax+2(a为常数)与y轴相交于点P.

(1)点尸的坐标是一

(2)若抛物线>=-尤2+26+2(a为常数)经过点8.

①求。的值.

②当时，求y的最大值和最小值.

(3)若抛物线y=-x2+2ax+2与线段A8恰有一个交点，直接写出a的取值范围.

【答案】(1)(0,2)

⑵①a=gS②当x=T时，y有最小值，最小值为-弟QO；当尤=s?时，y有最大值，最大值为4孩3

J。Dy

(3)aW-l或a=l或a>，

【分析】(1)令x=0,代入解析式，即可求得尸点的坐标;

(2)①将点2(3,3)代入，解析式>=-必+2办+2,即可得出。的值;

②先求得抛物线的对称轴，为x=g，根据二次函数的性质，得出当x=T时，＞有最小值，当X=g时，y

有最大值，进而，即可求解.

(3)分抛物线经过点A,2以及顶点在上三种情况讨论，即可求解.

【详解】(1)解：•..抛物线了=-彳2+26+2(°为常数)与y轴相交于点P.

...当x=0时，y=2

尸(0,2)

故答案为：(0,2).

(2)①抛物线经过点8(3,3),

3=-9+6a+2,

解得a=g;

②一抛物线y=-炉+2依+2开口向下，它的对称轴为直线x=«，

▽一〃一5

又•a一个,

・••当x=-4时，y有最小值，最小值为y=-(-4)2+2x§x(-4)+2=-g；

当尤=|■时，y有最大值，最大值为y=-(：＞+2xgxg+2=?.

(3)当y=f2+2ax+2与A5恰有一个交点时，

①当顶点坐标在A3上，

4x(一1)x2WjX.+a-

4x(-1)-4

则a=±1

②当抛物线经过点A时，3=-(-l)2+2ax(-l)+2

解得：a=-1

当抛物线经过点8时，3=-3?+6a+2

解得：

则当y=-x2+2ax+2与A3恰有一个交点时，"＜一1或a=l或〃〉g.

【点睛】本题考查了二次函数综合问题，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

16.(2023春•福建福州•八年级校考期末)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，根据图象解答下列问题:

(1)直接写出不等式OX。+>元+<?<0的解集；

(2)求二次函数解析式，直接写出当-1VXW2时，y的最小值；

(3)若方程62+云+°=左有两个不相等的正实数根，直接写出左的取值范围.

【答案】⑴—l<x<3

(2)J=X2-2X-3,当-1VXV2时，，的最小值为T

⑶T（左<一3

【分析】(1)根据函数图象直接可以得到不等式依2+&r+c<0的解集；

(2)利用待定系数法求出二次函数的解析式为产1-2万-3,再根据二次函数的性质可得出当-14x42时，

y的最小值；

(3)根据题意可知>=依2+厩+。与>=上的函数图象有两个交点，且两个交点的横坐标大于0,再结合图

象即可得到答案.

【详解】(1)解：由图象可得：

当-l<x<3时，不等式加+6x+c<o；

(2)解：由图象可得，,="2+法+0的图象经过点(-1,0),(3,0),(0,-3),

a-b+c=0

-9a+3b+c=0,

a—\

解得：<b=—2,

c=-3

二二次函数解析式为y=x2-2x-3,

tz=1>0,

，当x=-/；=l时，y取最小值，最小值为y=F-2x1-3=-4,

2x1

.•・当—14x42时，y的最小值为T；

(3)解：：方程G?+6X+C=%有两个不相等的正实数根，

.,.了=内2+a+。与>=上的函数图象有两个交点，且两个交点的横坐标都大于0,

由图象可知，左的取值范围为T<%<-3.

【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式、用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的最值，解题

的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质，利用数形结合的思想解决问题.

易错必考题四、二次函数图象的平移问题

17.(2023春・浙江金华•九年级校考期中)如图，一条抛物线与x轴相交于N点(点M在点N的左侧)，

其顶点尸在线段上移动，点48的坐标分别为(-2,3),(L3),点N的横坐标的最大值为4,则点M的

横坐标的最小值为()

A.-1B.-3C.-5D.-7

【答案】C

【分析】其顶点P在线段A3上移动，点A,B的坐标分别为(-2,3),(1,3),分别求出对称轴过点A和8时

的情况，即可判断出M点横坐标的最小值.

【详解】解：根据题意知，

二点N的横坐标的最大值为4,此时点尸和点B重合，即抛物线的对称轴为：x=l,

N点坐标为(4,0),则M点坐标为(-2,0),

点尸和点A重合，点M的横坐标最小，此时抛物线的对称轴为：%=-2,

点坐标为（1,0）,则M点的坐标为（-5,0）,

•••点M的横坐标的最小值为-5,

故选：C.

【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象与性质，解答本题的关键是理解二次函数在平行

于x轴的直线上移动时，两交点之间的距离不变.

18.（2023•山东济南•统考一模）已知二次函数的表达式为y=2丈+3,将其图象向右平移左（％>0）个单位，

得到二次函数％=32+心+«的图象，使得当-!<x<3时，％随x增大而增大；当4<x<5时，％随x增

大而减小.则实数4的取值范围是（）

A.l<k<3B.2<k<3C.3<k<4D.4<?k<5

【答案】D

【分析】先求出平移后的函数解析式，然后结合二次函数的增减性与对称轴的关系可求.

【详解•把了=-/-2彳+3=-（*+1）2+4向右平移左仅>0）个单位，得到二次函数%=小2+加+«的图象,

/.必=-（x+1-左y+4

•••新图象的对称轴为直线x=k—1,

•.,当-l<x<3时，％随x增大而增大；当4<x<5时，》随x增大而减小，且抛物线开口向下，

角军得44A45,

故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数性质的应用，考查了分析问题，解决问题的能力，属于中档题.

19.（2023春・安徽•九年级专题练习）已知抛物线y=依2-4依+（:（。大0）.

（1）二次函数图象的对称轴是直线广；

（2）当c=2时将点A（T,-2）向右平移9个单位得到点2,直接写出线段A3与抛物线有两个交点时。的取

值范围__________.

、4

【答案】2“>1或a<-1

【分析】（1）利用对称轴公式求得即可;

（2）当c=2时，求出抛物线顶点坐标为（2,2-4a）,由平移可得3（5,-2）,当x=5时，求出，=5。+2,根

据抛物线与线段AB有两个交点，分情况列不等式组求解即可.

【详解】解：（1）：抛物线丫=6）%2-4"+。（《工0）,

对称轴是直线x=-==2,

故答案为：2；

（2）当c=2时，y=ax2-4ax+2=a（x-2^2+2~4a,

抛物线的顶点坐标为（2,2-4a）,

V点A（-4,-2）向右平移9个单位得到点B,

5（5,-2）,

当x=5时，y=a（5-2）2+2-4a=5a+2,

:抛物线丁=办2-46+2与线段AB有两个交点，

2—4a<—2

.•.当。>0时,

5a+2>—2

解得：a>l；

2—4〃>—2

当a<0时,

5〃+2<—2

,4

解得：a<：

4

综上所述，。的取值范围为。>1或.

4

故答案为：或a<-y.

【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，平移变换的性质等重要知识；熟练掌握二次函数

的图象和性质是解题关键.

20.（2023春•江苏苏州•九年级星海实验中学校考阶段练习）如图，抛物线y=-2f+4x与无轴的另一个交

点为A,现将抛物线同右平移3个位长度，所得抛物线与无轴交于点C,D,与原抛物线交于点P,则

S&PCD=_________

【分析】先求出A的坐标，设P关于x=l的对称点为。，且设P的横坐标为七，。的横坐标为根据题

意可知玉+%=2,%,-x2=3,从而求出玉与血的值，从而求得.PCD的8边上的高，然后根据三角形面

积公式求解.

【详解】解：抛物线的对称轴为：x=l,

令\=0代入y=-2x2+4x,

.*.0=—2x?+4x,

二.x=0或x=2,

A(2,0)

:.OA=2,

设尸关于x=l的对称点为。，且设尸的横坐标为玉，。的横坐标为巧，

,Xl+X2.1

"2~,

■■■抛物线向右平移3个单位长度，

，PQ=3,

石一/=3,

//+%2=2

j玉-x2=3'

[x,=2.5

解得

[x2=-0.5

把％=2.5代入y=-2x2+4x

/.y=2-4.5vO,

在中，8边上的高为：4.5—2=2.5,

OA=CD=2f

S"CD=万*2x2.5=2.5,

【点睛】本题考查抛物线与X轴的交点，解题的关键是求出尸的坐标，然后根据三角形面积公式即可求出

尸8的面积，本题属于中等题型.

21.(2023秋•九年级课时练习)把二次函数y=a(x-/z)2+4的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4

个单位长度，得到二次函数y=的图象.

(1)试确定h,(的值;

(2)指出二次函数y=a(x-")2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.

【答案】(l)a=g;h=2；k=Y

(2)开口向上，对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,-4)

1

【分析】(1)由平移的规律可得函数平移后的解析式为y=/i+2/0+左+4,从而即可得到〃=

-/z+2=0,左+4=0,进行计算即可；

(2)根据二次函数的性质即可得到答案.

【详解】(1)解：把二次函数y=〃(x-田2+左的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度,

得到y=a(<x-h+2y+k+4,

「二次函数y=〃(％-/z+2)2+%+4与y=<%2是同一函数，

a=—,—/z+2=0,%+4=0,

2

解得：a=—,〃=2,k=—4；

2

(2)解：•.,二次函数y=a(x-7z)2+左的解析式为y=；(x-2)2-4,

..・函数图象开口向上，对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,4).

【点睛】本题主要考查了二次函数的平移、二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的平移规律：左加

右减、上加下减是解题的关键.

22.(2023春•新疆乌鲁木齐•九年级统考阶段练习)如图，已知二次函数y=-炉+a+。(b,c为常数)的

图象经过点4(3,1),点C(0,4),顶点为点过点A作轴，交y轴于点。，交该二次函数图象于点

B,连接8C.

(1)求该二次函数的解析式及点M的坐标；

(2)若将该二次函数图象向下平移根(m>0)个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在的内部

(不包括一A5C的边界)，求相的取值范围.

【答案】(1)二次函数解析式为y=-f+2]+4,点M的坐标为(1,5)

(2)2<m<4

【分析】(1)把点A、C的坐标代入函数解析式，用待定系数法求出抛物线解析式，将解析式化成顶点式,

可得点M的坐标；

(2)点M是沿着对称轴向下平移的，可先求出直线AC的解析式，再求出平移后的二次函数图象顶点落在

AC上和落在A3上时机的值，进而可得答案.

—9+3Z?+c=1

【详解】(1)解：把点A(3,l),点C(0,4)代入二次函数丁=-尤2+法+,,得

c=4

b=2

解得

c=4

，二次函数解析式为y=*+2x+4,

y=-尤2+2尤+4=—(无一1J+5,

.••点M的坐标为(1,5)；

(2)设直线AC解析式为，=云+》,

3k+b=\

把点4(3,1),点C(0,4)代入得：j

伏=-1

解得八，，

[b=4

：.直线AC的解析式为y=-x+4,

••,点M的坐标为(1,5),抛物线对称轴为x=l,

当x=l时，y=r+4=3,

二当平移后的二次函数图象顶点落在AC上时，m=5-3=2,

又•.•点4(3,1),AB〃x轴，

当平移后的二次函数图象顶点落在A3上时，m=5-1=4,

.•.当平移后得到的二次函数图象的顶点落在的内部(不包括，ABC的边界)时，根的取值范围为

2<m<4.

【点睛】本题考查了待定系数法的应用，二次函数顶点坐标的求法，二次函数的平移，一次函数的图象和

性质等知识，熟练掌握待定系数法，求出一次函数与二次函数的解析式是解题的关键.

23.(2023•全国•九年级专题练习)如图所示，已知抛物线y=Y+6x+c交无轴于A、B两点，交y轴于点C,

其中点A的坐标为(-1,0),对称轴为直线尤=1.

(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；

(2)当直线y=x+〃z经过点C时，结合图象直接写出不等式x+^v/+Zw+c的解集；

⑶已知点。£(4,-5),连接DE,若抛物线>=/+法+。向下平移衣上>0)个单位长度时，与线段

DE只有一个公共点，请直接写出上的取值范围.

【答案】(1)，=炉-2元-3,顶点坐标(1,4)；

⑵x>3或尤<0；

(3)左=1或3<左410.

4

【分析】(1)由待定系数法即可求解；

(2)观察函数图象即可求解；

1is

(3)①抛物线向下平移1个单位时，抛物线和。E有一个交点，即％=1；②当x=]时，j=-—,当x=4

时，，=3,当抛物线向下平移g个单位时，抛物线和DE恰好有2个交点，当抛物线向下平移10个单位时，

4

抛物线和DE恰好有1个交点，之后再没有交点，即可得解.

【详解】(1):抛物线过点A(T,O),且对称轴为直线x=l,

0=(-1)2+Z7X(-1)+C

••<b

—=1

I2

邛一

[c=-3

/.y=(x+l)(x-3)=x2—2x—3；

(2)由(1)知y=%2—2%—3,令％=0得，

y=02-2x0-3=-3

y=-3

・・・C(0,-3)

令y=。得

AX2-2X-3=0

••玉=-1,x?—3

・・・3(3,0)

・・・当直线过点。时，直线的表达式为：y=%-3,该直线恰好过点》

观察函数图象知，不等式％+加+法+。的解集为：X>3或％v。；

（3）①由抛物线的表达式知，其顶点坐标为：（1,-4）,

则抛物线向下平移1个单位时，抛物线和。E有一个交点，即％=1；

②当x=g时，y=f—2x—3=—',当x=4时，y=x2—2x—3=5,

当抛物线向下平移5-（-5）=10个单位时，抛物线和/定恰好有1个交点，之后再没有交点，

故*<yo,

4

综上，左=1或2〈左wio.

4

【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、图形的平移等，其中（3）,要注意分类求

解，避免遗漏.

易错必考题五、根据二次函数的图象判断式子符号

24.（2023春・湖北咸宁•九年级统考开学考试）已知二次函数y=a^+bx+c（a*0）图象的对称轴为直线x=-l,

部分图象如图所示，下列结论中：①abc>0；②^-4ac>0；③4o+c>0；④若f为任意实数，则有

°一次4m2+6；⑤当图象经过点2>寸，方程办2+6x+c_2=0的两根为毛，%2（%,<X2）,则芭+2%=—|,

其中正确的结论是（）

A.②③⑤B.①③④⑤C.②③④⑤D.①③④

【答案】C

【分析】利用抛物线开口向上得〃>0,利用抛物线的对称轴得到b=2“>0,利用抛物线与y轴的交点位置

可得c<0,则可判断①；根据判别式可判断②；利用x=l时得至Ua+Z?+c>0结合a>0和b=>0即可判

断③；禾U用二次函数当》=一1时有最小值可得a-6+cWo产+6r+c,进而可判断④；利用二次函数

丫="2+法+。与直线>=2的交点可得占=-|,代入即可判断⑤.

【详解】解：「抛物线的开口向上，

〃>0,

抛物线的对称轴为：x=-^b=-l,

2a

..b=2a>0,

・抛物线与y轴的交点在无轴的下方,

c<0,

abc<0,故①错误；

抛物线与x轴有两个交点，

\=b2-4ac>0,故②正确；

%=1时，y>°,

.•.〃+Z?+c>0,且/?=2a,

..3a+c>0,

又a>0,

.,.4a+c>0,故③正确；

.x=-l时，y有最小值，

:.a—b+c<at2+bt+c（/为任意实数），a—bt<at2+b9故④正确；

・「图象经过点g,2）时，方程0?+法+0—2=0的两根为为，<x2）,

・•・二次函数y=—+/?x+c与直线y=2的一个交点为：（［2）,

，抛物线的对称轴为：x=-l,

，二次函数，=加+法+C与直线y=2的另一个交点为：（-1,2）,

51

艮Hn」M=——,修=一,

22

/.%,+2X2=——+2x—,故⑤正确，

，正确的结论是②③④⑤，

故选C.

【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象与系数间的关系及对称轴和

判别式是解题的关键.

25.（2023秋•全国•九年级专题练习）二次函数>=依2+法+。的图象如图所示，下列说法正确的是（）

A.a<0,b<0B.b2—4ac<0

C.4a+b>0D.0cx<5时，不等式加+6匹+。>。一定成立

【答案】D

【分析】根据抛物线开口方向和抛物线的对称轴位置对A进行判断；根据抛物线与x轴的交点个数对B进

行判断；根据抛物线对称轴对C进行判断；根据抛物线与x轴的交点的坐标对D进行判断.

【详解】解：抛物线开口向下，

a<0,

・抛物线的对称轴在y轴右侧，

--->0,

2a

b>0,所以A不符合题意;

・抛物线与x轴有2个交点，

;.A=b2-4ac>0,所以B不符合题意；

由图可知：抛物线的对称轴是直线x=2,

.2=2,

2a

.,.4a+b=0,所以C不符合题意；

由对称可知：抛物线与X轴的交点为：（-1,0）,（5,0）,又由图象可知：当0<x<5时，抛物线位于X轴的上

方,

，当0<x<5时，不等式依2+6x+c>o一定成立，所以D符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=无+。（。*0）,二次项系数。决定

抛物线的开口方向和大小，当。>0时，抛物线向上开口；当.<0时，抛物线向下开口；一次项系数6和二

次项系数。共同决定对称轴的位置：当。与同号时（即而>0）,对称轴在y轴左侧；当。与6异号时（即

必<0）,对称轴在y轴右侧.（简称:左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0,c）.抛

物线与x轴交点个数由△决定：八=。2一4m>0时，抛物线与x轴有2个交点；A=/-4ac=（）时，抛物线与

无轴有1个交点；4=加-4℃<0时，抛物线与x轴没有交点.

26.（2023秋•全国•九年级专题练习）如图，抛物线丫="2+桁+。与工轴相交于点4-2,0）,3（6,0）,与y

轴相交于点C,小红同学得出了以下结论：①"-de〉。；②4。+少=0；③当y<。时，-2<x<6；④

a+b+c>0.其中正确的个数为（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【分析】根据二次函数与x轴交点个数可判断①，根据二次函数的对称轴可判断②，直接观察图像可判断③,

根据x=l时，y的值的正负可判断④.

【详解】：抛物线与x轴有两个交点，

b2—4ac>0，

；•①正确；

•••抛物线y=加+bx+c与x轴相交于点4-2,0）,3（6,0）,

抛物线的对称轴为x=-二=攵乎，

2a2

.2=2

2a

—b=4a,

.,.4a+b=0,

•••②正确；

观察图像可知当，<。时，-2<x<6,

.•.③正确；

由y=ax2+bx+c得，x=l时，y=a+b+c,

由图知，尤=1时，y<o,

a+b+c<0,

④错误.

综上，正确的有3个，

故选：B.

【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与系数之间的关系，二次函数图像的性质等知识.掌握数形结合

思想，以及二次函数图像与系数的关系是解题的关键.

27.（2023•山东•九年级专题练习）如图，二次函数>=办2+法+°（。彳0）的图象与无轴的正半轴交于点A,

对称轴为直线x=l.下面结论：

①abc<0；

②2a+6=0；

（§）3ct+c>0；

④方程依2+bx+c=O（aw0）必有一个根大于-1且小于0.

其中正确的是（只填序号）

【答案】①②④

【分析】根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决.

【详解】解：由图象可得，

a<0,b>0,c>0,

则必c<0,故①正确；

•」=i

2a'

/.b=一2〃，

.•・2，+b=0,故②正确；

V函数图象与x轴的正半轴交点在点(2,0)和(3,0)之间，对称轴是直线%=1,

函数图象与龙轴的另一个交点在点(0,0)和点(-1,0)之间，故④正确；

・••当冗=-1时，y=a-b-\-c<Q,

/.y=a+2a+c<0,

.•・3a+cv0,故③错误；

故答案为：①②④.

【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与工轴的交点，解答

本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答.

28.(2023秋•全国•九年级专题练习)如图，二次函数y=ax2+6x+c的图象过点A(3,0),对称轴为直线x=l.

给出以下结论：

①abc<0；

③若N(〃2+2,%)为函数图象上的两点，则%>必；

④若关于尤的一元二次方程/+云+。=2(。>0)有整数根，则对于。的每一个值，对应的P值有3个.

其中正确的有.(写出所有正确结论的序号)

【答案】①②③

【分析】由抛物线的开口方向判断。与。的关系，由抛物线与>轴的交点判断。与0的关系，然后根据对称

轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.

【详解】抛物线开口向下，

a<0；

抛物线的对称轴为直线x=—=b=1>0,

2〃

:.b>0；

抛物线与y轴的交点在x轴上方，

.\c>0,

/.abc<0,

故①正确；

,当X=1时，函数有最大值，

a+b+c>ax2+bx+c9

即a^ax2+(x-l)&

故②正确；

抛物线的对称轴是%=1,则河(〃2+1,%)，N(〃2+2,%)在对称轴右侧，n2+1<n2+2,

，%>为，

故③正确；

；抛物线的对称轴是元=1,与元轴的一个交点是(3,0),

「•抛物线与x轴的另个交点是(-1,0),

把(3,0)代入y=以2+"+。得，0=9〃+3Z?+c,

抛物线的对称轴为直线X=-=b=1,

2a

:.b=-2a,

.,.9〃―6。+。=0,

解得，c=-3a.

1.y=ax2-lax-3a=a(x-l)2-4a(a<0),

二顶点坐标为(1,Ta),

由图象得当0<y4-4a时，-l<x<3,其中尤为整数时，x=Q,1,2,

又：x=0与x=2关于直线x=l轴对称

当x=l时，直线>=〃恰好过抛物线顶点.

所以P值可以有2个.

故④不正确；

故答案为：①②③.

【点睛】本题考查的是抛物线与X轴的交