函授高数考试题及答案

函授高数考试题及答案

单项选择题（每题2分，共10题）1.函数\(y=x^2\)的导数是（）A.\(2x\)B.\(x^3\)C.\(2\)D.\(0\)2.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)的值为（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(\infty\)D.不存在3.曲线\(y=e^x\)在点\((0,1)\)处的切线斜率是（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(e\)D.\(\frac{1}{e}\)4.不定积分\(\intxdx\)等于（）A.\(\frac{1}{2}x^2+C\)B.\(x^2+C\)C.\(\frac{1}{3}x^3+C\)D.\(2x+C\)5.函数\(y=\lnx\)的定义域是（）A.\((-\infty,+\infty)\)B.\((0,+\infty)\)C.\((-\infty,0)\)D.\([0,+\infty)\)6.已知\(f(x)=x^3\)，则\(f^\prime(2)\)等于（）A.\(4\)B.\(8\)C.\(12\)D.\(16\)7.若\(y=\cos2x\)，则\(y^\prime\)为（）A.\(-2\sin2x\)B.\(\sin2x\)C.\(-\sin2x\)D.\(2\sin2x\)8.定积分\(\int_{0}^{1}2xdx\)的值为（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(2\)D.\(4\)9.函数\(y=3x+1\)是（）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数10.当\(x\to\infty\)时，\(\frac{1}{x^2}\)是（）A.无穷大量B.无穷小量C.常量D.以上都不对多项选择题（每题2分，共10题）1.下列函数中，是基本初等函数的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=e^x\)D.\(y=\log_2x\)2.以下哪些是求导的基本公式（）A.\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)B.\((\sinx)^\prime=\cosx\)C.\((\lnx)^\prime=\frac{1}{x}\)D.\((e^x)^\prime=e^x\)3.下列极限存在的是（）A.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x}\)B.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)C.\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x}\)D.\(\lim\limits_{x\to\infty}x^2\)4.函数\(y=f(x)\)在点\(x_0\)处可导的充要条件是（）A.左导数存在B.右导数存在C.左导数等于右导数D.函数在\(x_0\)处连续5.下列哪些是不定积分的性质（）A.\(\intkf(x)dx=k\intf(x)dx\)（\(k\)为常数）B.\(\int[f(x)+g(x)]dx=\intf(x)dx+\intg(x)dx\)C.\((\intf(x)dx)^\prime=f(x)\)D.\(\intf^\prime(x)dx=f(x)+C\)6.以下属于偶函数的是（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=x^3\)D.\(y=e^{-x^2}\)7.定积分\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)与（）有关A.积分下限\(a\)B.积分上限\(b\)C.被积函数\(f(x)\)D.积分变量\(x\)的符号8.下列哪些函数在其定义域内连续（）A.多项式函数B.三角函数C.指数函数D.对数函数9.曲线\(y=f(x)\)的切线方程用到的要素有（）A.切点坐标B.函数在切点处的导数C.曲线的形状D.函数的定义域10.当\(x\to0\)时，与\(x\)等价的无穷小量有（）A.\(\sinx\)B.\(\tanx\)C.\(e^x-1\)D.\(\ln(1+x)\)判断题（每题2分，共10题）1.常数的导数为\(0\)。（）2.函数在某点连续则一定可导。（）3.\(\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx\)。（）4.奇函数的图像关于原点对称。（）5.极限\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}\)不存在。（）6.函数\(y=x^3\)的二阶导数是\(6x\)。（）7.不定积分\(\int\frac{1}{x}dx=\lnx+C\)。（）8.若\(f^\prime(x)=g^\prime(x)\)，则\(f(x)=g(x)\)。（）9.定积分的值一定是正数。（）10.函数\(y=\sqrt{x}\)在\(x=0\)处连续但不可导。（）简答题（每题5分，共4题）1.求函数\(y=x^3-2x+1\)的导数。答案：根据求导公式\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)，常数的导数为\(0\)，可得\(y^\prime=3x^2-2\)。2.计算定积分\(\int_{0}^{2}(x^2+1)dx\)。答案：先求原函数\(\int(x^2+1)dx=\frac{1}{3}x^3+x+C\)，再代入上下限\((\frac{1}{3}\times2^3+2)-(\frac{1}{3}\times0^3+0)=\frac{8}{3}+2=\frac{14}{3}\)。3.简述函数可导与连续的关系。答案：函数可导一定连续，但连续不一定可导。可导是连续的充分不必要条件，即若函数在某点可导，则在该点必连续；而函数在某点连续，不一定在该点可导。4.求\(\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}\)。答案：对分子因式分解\(x^2-1=(x+1)(x-1)\)，则原式\(=\lim\limits_{x\to1}\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}=\lim\limits_{x\to1}(x+1)=2\)。讨论题（每题5分，共4题）1.讨论函数\(y=\frac{1}{x}\)在定义域内的单调性。答案：\(y=\frac{1}{x}\)定义域为\((-\infty,0)\cup(0,+\infty)\)。对其求导得\(y^\prime=-\frac{1}{x^2}\lt0\)。所以在\((-\infty,0)\)和\((0,+\infty)\)上函数单调递减。2.举例说明利用导数求函数极值的步骤。答案：以\(y=x^2-4x+3\)为例。先求导\(y^\prime=2x-4\)，令\(y^\prime=0\)，得\(x=2\)。再判断\(x\lt2\)时\(y^\prime\lt0\)，\(x\gt2\)时\(y^\prime\gt0\)，所以\(x=2\)是极小值点，极小值为\(y(2)=-1\)。3.讨论定积分在实际生活中的应用。答案：定积分可用于计算平面图形面积，如计算曲线围成区域的面积；还能计算变速直线运动的路程，通过速度函数积分得到；也可用于计算变力做功等实际问题，将实际量转化为定积分求解。4.如何判断一个函数是否为周期函数？答案：若存在非零常数\(T\)，使得对于定义域内任意\(x\)，都有\(f(x+T)=f(x)\)，则\(f(x)\)是周期函数，\(T\)为周期。例如\(y=\sinx\)，\(\sin(x+2\pi)=\sinx\)，所以\(y=\sinx\)是周期为\(2\pi\)的周期函数。答案单项选择题1.A2.B3.B