线性代数试题库及答案

线性代数试题库及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.设矩阵\(A\)为\(3\)阶方阵，\(\vertA\vert=2\)，则\(\vert2A\vert=(\)\)A.\(4\)B.\(8\)C.\(16\)D.\(32\)2.若\(A\)是\(n\)阶可逆矩阵，则下列说法错误的是（）A.\(A\)的秩为\(n\)B.\(A\)可经过初等行变换化为单位矩阵C.\(\vertA\vert\neq0\)D.\(A\)一定是对称矩阵3.向量组\(\alpha_1=(1,0,0)\)，\(\alpha_2=(0,1,0)\)，\(\alpha_3=(0,0,1)\)的秩为（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(0\)4.方程组\(Ax=0\)仅有零解的充要条件是（）A.\(A\)的行向量组线性无关B.\(A\)的列向量组线性无关C.\(A\)的行向量组线性相关D.\(A\)的列向量组线性相关5.设\(A\)、\(B\)均为\(n\)阶方阵，且\(AB=O\)，则（）A.\(A=O\)或\(B=O\)B.\(\vertA\vert=0\)或\(\vertB\vert=0\)C.\(A+B=O\)D.\(A\)与\(B\)都不可逆6.已知矩阵\(A\)的特征值为\(1\)，\(2\)，\(3\)，则\(\vertA\vert=(\)\)A.\(6\)B.\(5\)C.\(4\)D.\(3\)7.若矩阵\(A\)与\(B\)相似，则（）A.\(A=B\)B.\(\vertA\vert=\vertB\vert\)C.\(A\)与\(B\)有不同的特征值D.\(A\)与\(B\)秩不同8.二次型\(f(x_1,x_2)=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2\)的矩阵为（）A.\(\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\)9.\(n\)阶单位矩阵\(E\)的秩是（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(n-1\)D.\(n\)10.设\(A\)为\(n\)阶方阵，\(k\)为非零常数，则\(\vertkA\vert=(\)\)A.\(k\vertA\vert\)B.\(k^n\vertA\vert\)C.\(\vertA\vert\)D.\(k^{n-1}\vertA\vert\)二、多项选择题（每题2分，共10题）1.以下关于矩阵运算正确的有（）A.\((AB)^T=B^TA^T\)B.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)C.\(k(AB)=(kA)B=A(kB)\)D.\(A(BC)=(AB)C\)2.向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\)线性相关的充分必要条件是（）A.存在不全为零的数\(k_1,k_2,\cdots,k_m\)，使\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_m\alpha_m=0\)B.向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表示C.向量组的秩小于\(m\)D.向量组中任意一个向量都可由其余向量线性表示3.设\(A\)、\(B\)为\(n\)阶方阵，且\(AB=BA\)，则（）A.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)B.\((AB)^k=A^kB^k\)C.\(A\)与\(B\)有相同的特征值D.\(A\)与\(B\)可同时对角化4.下列哪些矩阵是可逆矩阵（）A.满秩矩阵B.行列式不为零的矩阵C.经过初等变换可化为单位矩阵的矩阵D.零矩阵5.关于矩阵的秩，下列说法正确的是（）A.矩阵\(A\)的秩等于它的行向量组的秩B.矩阵\(A\)的秩等于它的列向量组的秩C.若\(A\)是\(m\timesn\)矩阵，则\(r(A)\leq\min(m,n)\)D.对矩阵进行初等变换不改变矩阵的秩6.已知\(\lambda\)是矩阵\(A\)的特征值，\(\xi\)是对应的特征向量，则（）A.\(A\xi=\lambda\xi\)B.\((A-\lambdaE)\xi=0\)C.\(\vertA-\lambdaE\vert=0\)D.对于任意常数\(k\)，\(k\xi\)也是\(A\)对应于\(\lambda\)的特征向量7.实对称矩阵具有以下哪些性质（）A.特征值都是实数B.不同特征值对应的特征向量正交C.一定可以对角化D.相似于单位矩阵8.下列属于二次型的是（）A.\(f(x_1,x_2)=x_1^2+x_2^2\)B.\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1\)C.\(f(x_1)=x_1^2\)D.\(f(x_1,x_2)=x_1+x_2\)9.对于线性方程组\(Ax=b\)，下列说法正确的是（）A.若\(r(A)=r(A|b)\)，则方程组有解B.若\(r(A)=r(A|b)=n\)（\(n\)为未知数个数），则方程组有唯一解C.若\(r(A)\ltr(A|b)\)，则方程组无解D.若\(r(A)=r(A|b)\ltn\)，则方程组有无穷多解10.以下关于初等矩阵说法正确的是（）A.初等矩阵都是可逆矩阵B.对矩阵\(A\)左乘一个初等矩阵，相当于对\(A\)进行一次相应的初等行变换C.对矩阵\(A\)右乘一个初等矩阵，相当于对\(A\)进行一次相应的初等列变换D.初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵三、判断题（每题2分，共10题）1.若\(A\)、\(B\)为\(n\)阶方阵，则\(\vertA+B\vert=\vertA\vert+\vertB\vert\)。（）2.向量组中向量个数大于向量的维数时，向量组一定线性相关。（）3.若矩阵\(A\)的行列式\(\vertA\vert=0\)，则\(A\)的列向量组线性相关。（）4.相似矩阵有相同的特征多项式。（）5.二次型\(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=x^TAx\)（\(A\)为对称矩阵）正定的充要条件是\(A\)的所有特征值都大于零。（）6.零矩阵是可逆矩阵。（）7.若\(A\)是\(n\)阶方阵，\(k\)为常数，则\((kA)^T=kA^T\)。（）8.线性方程组\(Ax=0\)有非零解的充要条件是\(r(A)\ltn\)（\(n\)为未知数个数）。（）9.矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。（）10.实对称矩阵一定可以正交相似对角化。（）四、简答题（每题5分，共4题）1.简述矩阵可逆的充要条件。答案：\(n\)阶矩阵\(A\)可逆的充要条件有：\(\vertA\vert\neq0\)；\(r(A)=n\)；\(A\)可经过初等变换化为单位矩阵；\(A\)的列（行）向量组线性无关；\(Ax=0\)仅有零解等。2.如何判断向量组的线性相关性？答案：可通过定义，看是否存在不全为零的数使线性组合为零向量；也可求向量组的秩，若秩小于向量个数则线性相关；还可将向量组构成矩阵，根据矩阵的行列式是否为零判断，为零则线性相关。3.简述矩阵相似的定义及性质。答案：定义：设\(A\)、\(B\)为\(n\)阶方阵，若存在可逆矩阵\(P\)，使\(P^{-1}AP=B\)，则称\(A\)与\(B\)相似。性质：相似矩阵有相同的特征多项式、特征值、秩、行列式等。4.说明二次型正定的判定方法。答案：可通过定义，对任意非零向量\(x\)，\(x^TAx\gt0\)；也可看二次型矩阵\(A\)的特征值是否都大于零；还可利用顺序主子式全大于零来判定。五、讨论题（每题5分，共4题）1.讨论线性方程组解的情况与系数矩阵、增广矩阵秩的关系。答案：当\(r(A)=r(A|b)=n\)（\(n\)为未知数个数），方程组有唯一解；当\(r(A)=r(A|b)\ltn\)，有无穷多解；当\(r(A)\ltr(A|b)\)，方程组无解。秩的关系决定了解的存在性与唯一性。2.探讨相似矩阵在实际应用中的意义。答案：相似矩阵有相同特征值等性质。在实际中，如物理系统的振动分析、数据压缩等领域，通过相似变换可简化矩阵计算，将复杂矩阵转化为简单的相似对角矩阵，更方便分析系统特性和处理数据。3.阐述向量组的极大线性无关组的求法及意义。答案：求法：将向量组构成矩阵，通