数学建模案例分析-最优化方法建模6动态规划模型举例

数学建模数学建模§6动态规划模型举例以上讨论的优化问题属于静态的，即不必考虑时间的变化，建立的模型——线性规划、非线性规划、整数规划等，都属于静态规划。多阶段决策属于动态优化问题，即在每个阶段（通常以时间或空间为标志）根据过程的演变情况确定一个决策，使全过程的某个指标达到最优。例如：（1）化工生产过程中包含一系列的过程设备，如反应器、蒸馏塔、吸收器等，前一设备的输出为后一设备的输入。因此，应该如何控制生产过程中各个设备的输入和输出，使总产量最大。（2）发射一枚导弹去击中运动的目标，由于目标的行动是不断改变的，因此应当如何根据目标运动的情况，不断地决定导弹飞行的方向和速度，使之最快地命中目标。（3）汽车刚买来时故障少、耗油低，出车时间长，处理价值和经济效益高。随着使用时间的增加则变得故障多，油耗高，维修费用增加，经济效益差。使用时间俞长，处理价值也俞低。另外，每次更新都要付出更新费用。因此，应当如何决定它每年的使用时间，使总的效益最佳。动态规划模型是解决这类问题的有力工具，下面介绍相关的基本概念及其数学描述。（1）阶段整个问题的解决可分为若干个相互联系的阶段依次进行。通常按时间或空间划分阶段，描述阶段的变量称为阶段变量，记为。（2）状态状态表示每个阶段开始时所处的自然状况或客观条件，它描述了研究过程的状况。各阶段的状态通常用状态变量描述。常用表示第阶段的状态变量。个阶段的决策过程有个状态。用动态规划方法解决多阶段决策问题时，要求整个过程具有无后效性。即：如果某阶段的状态给定，则此阶段以后过程的发展不受以前状态的影响，未来状态只依赖于当前状态。（3）决策某一阶段的状态确定后，可以作出各种选择从而演变到下一阶段某一状态，这种选择手段称为决策。描述决策的变量称为决策变量。决策变量限制的取值范围称为允许决策集合。用表示第阶段处于状态时的决策变量，它是的函数，用表示的允许决策集合。（4）策略一个由每个阶段的决策按顺序排列组成的集合称为策略。由第阶段的状态开始到终止状态的后部子过程的策略记为。在实际问题中，可供选择的策略有一定范围，称为允许策略集合。其中达到最优效果的策略称为最优策略。（5）状态转移方程如果第个阶段状态变量为，作出的决策为，那么第阶段的状态变量也被完全确定。用状态转移方程表示这种演变规律，写作，（6）最优值函数指标函数是系统执行某一策略所产生结果的数量表示，是用来衡量策略优劣的数量指标，它定义在全过程和所有后部子过程上。指标函数的最优值称为最优值函数。下面的方程在动态规划逆序求解中起着本质的作用。称此为动态规划逆序求解的基本方程（贝尔曼方程）。可以把建立动态规划模型归纳成以下几个步骤：（1）将问题恰当地划分为若干个阶段；（2）正确选择状态变量，使它既能描述过程的演变，又满足无后效性；（3）规定决策变量，确定每个阶段的允许决策集合；（4）写出状态转移方程；（5）确定各阶段各种决策的阶段指标，列出计算各阶段最优后部策略指标的基本方程。下面结合具体例子阐述建立动态规划模型的思路。例13生产计划问题。公司要对某产品制定周的生产计划，产品每周的需求量、生产和贮存费用、生产能力的限制、初始库存量等都是已知的，试在满足需求的条件下，确定每周的生产量，使周的总费用最少。决策变量是第周的生产量，记作。已知下列数据及函数关系：第周的需求量：第周产量为时的生产费为；第周初贮存量为时这一周的贮存费为；第周的生产能力限制为；初始（）及终结（）时贮存量均为零。按照最短路问题的思路，设从第周初贮存量为到（周末）过程结束的最小费用函数为，则下列逆向递推公式成立。(1)而与满足(2)这里贮存量是状态变量，（2）式给出了相邻阶段的状态在决策变量作用下的转移规律，称为状态转移规律。在用（1）式计算时，的取值范围——允许状态集合由（2）式及允许决策集合决定。在实际问题中，为简单起见，生产费用常取，；，，其中是单位产品生产费，而是生产准备费。贮存费用常取，是单位产品（一梯服务的层段，使送完全部乘客的时间最短。按照由下而上安排电梯服务层次的序号划分阶段。第部电梯（即第阶段）开始服务的层次为状态，它服务的层数为决策，满足（1）当，时，已知第部电梯服务的时间为。因为对于第两部电梯而言，总的服务时间为，所以最优值函数（即从第部到第部电梯总的最短服务时间）满足（2）（3）这里我们假定每部电梯至少服务1层，且从第2层起开始服务。应用动态规划方法求解多阶段决策问题分为两个步骤。第一是应用动态规划基本方程，逆序地求出条件最优目标函数值集合和条件最优决策集合。第二是顺序地求出最优决策序列。下面以一个例子加以说明。例17机器负荷分配问题。某种机器可以在高低两种不同的负荷下进行生产。在高负荷下生产时，每台机器生产产品的年产量为7吨，年折损率（即若年初完好的机器有台，则年终完好的机器数为台），在低负荷下生产时，每台机器生产产品的年产量为5吨，年折损率。若开始时完好的机器数有台，要求制定一个三年计划，在每年开始时，决定如何重新分配在两种不同的负荷下生产的完好机器数，使在三年内产品的总产量达到最大。设第年初完好的机器数为，分配给高负荷下生产的机器数为，即在低负荷下生产的机器数为-。这里、可取非负实数，如表示第年度一台机器正常工作时间只占。于是第年初完好的机器数第年度的产量设三年总产量为，则问题即求解下面的线性规划问题：现用动态规划来解。本题要求的是已知第一年度初拥有的完好机器数台，用最优方案到第三年度末这段期间的产品产量，将它记为。为此先求：已知第年度初拥有的完好机器数，用最优方案到第三年末这段期间的产品产量，将它记为，列出动态规划的基本方程求解过程如下：（1）即，得最优解，从而。（2）即，得最优解，从而。