高等几何试题及参考答案

高等几何试题及参考答案

单项选择题（每题2分，共10题）1.射影平面上，无穷远点的齐次坐标形式是（）A.(x,y,0)B.(x,y,1)C.(0,0,1)D.(1,0,0)2.仿射变换保持（）不变A.角度B.距离C.单比D.交比3.直线$x_1+x_2+x_3=0$上的无穷远点坐标是（）A.(1,-1,0)B.(1,1,0)C.(0,1,0)D.(1,0,0)4.点列之间的射影对应是由（）对对应点唯一确定A.2B.3C.4D.55.二次曲线$x_1^2+x_2^2-x_3^2=0$是（）A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆6.若点$A,B,C$的单比$(ABC)=2$，则$(ACB)=$（）A.2B.$\frac{1}{2}$C.-1D.-27.射影对应把平行直线变成（）A.平行直线B.相交直线C.共点直线D.以上都不对8.仿射变换下，三角形面积的比是（）A.常数B.0C.1D.不确定9.两个射影线束成透视对应的充要条件是（）A.对应直线交点共线B.对应直线平行C.对应直线垂直D.以上都不对10.点$P(1,2,1)$在直线$x_1-x_2+x_3=0$上的投影点坐标是（）A.(1,1,0)B.(2,3,1)C.(1,2,0)D.(0,1,0)多项选择题（每题2分，共10题）1.以下属于射影不变性的有（）A.点线结合性B.交比C.单比D.二次曲线的类型2.仿射变换可以由（）确定A.不共线的三对对应点B.两对对应点C.一对对应点和一个方向D.两条对应直线3.二次曲线的射影分类包括（）A.椭圆型B.双曲型C.抛物型D.退化型4.射影平面上的基本元素有（）A.点B.直线C.线束D.点列5.以下关于交比的性质正确的是（）A.交比在射影对应下不变B.四个不同点的交比与点的顺序无关C.若交比为1，则四点调和共轭D.交比可以取任意实数6.仿射变换保持不变的量有（）A.平行性B.共线性C.三角形面积比D.距离比7.对于两个点列的射影对应，正确的是（）A.是一一对应B.保持交比不变C.一定是透视对应D.由三对对应点唯一确定8.下列哪些是高等几何研究的内容（）A.射影几何B.仿射几何C.欧氏几何D.拓扑几何9.直线$x_1+x_2=0$上的点的齐次坐标可以表示为（）A.(t,-t,s)B.(1,-1,0)C.(0,0,1)D.(t,t,0)10.关于二次曲线的极点与极线，正确的是（）A.极点与极线是相互对应的B.极点在二次曲线上时，极线是切线C.过极点的直线与二次曲线的交点处的切线交点在极线上D.极点与极线的关系与射影变换无关判断题（每题2分，共10题）1.射影平面上，任意两条直线都相交。（）2.仿射变换是射影变换的特例。（）3.点列与线束之间不存在射影对应。（）4.二次曲线的类型在仿射变换下不变。（）5.交比为-1的四点称为调和共轭点列。（）6.射影对应保持共线点变为共线点。（）7.仿射变换下，正方形可以变成平行四边形。（）8.无穷远点的齐次坐标最后一个分量为1。（）9.两个射影线束，如果对应直线的交点共线，则它们成透视对应。（）10.二次曲线的切线一定与二次曲线有且只有一个交点。（）简答题（每题5分，共4题）1.简述射影几何的基本不变性和不变量。答：基本不变性：点线结合性。不变量：交比。射影几何主要研究图形在射影变换下这些不变的性质和量。2.仿射变换与射影变换有什么关系？答：仿射变换是射影变换的特殊情形。射影变换是更为一般的变换，仿射变换保持无穷远直线不变，而射影变换可将无穷远直线变为普通直线等，仿射变换的性质包含在射影变换性质之中。3.说明二次曲线的极点与极线的概念。答：对于给定二次曲线，若点$P$与二次曲线有特定位置关系，存在一条直线与之对应，这条直线就是点$P$的极线，点$P$称为该直线的极点。极点与极线相互对应，有特定的几何关联。4.简述点列之间射影对应的定义。答：两个点列之间的射影对应是一种一一对应关系，它保持点列中四点的交比不变。由两个点列间三对对应点可唯一确定这种射影对应。讨论题（每题5分，共4题）1.讨论射影几何在实际生活中的应用实例及意义。答：实例如透视绘画，画家利用射影几何原理构建画面的立体感和空间感。意义在于提供独特的几何视角，帮助理解图形在不同投影下的变化，在建筑设计、图形处理等领域有重要应用，提升对空间和图形的认知与处理能力。2.谈谈仿射变换在计算机图形学中的作用。答：在计算机图形学中，仿射变换用于图形的平移、旋转、缩放和错切等操作。可方便地对图形进行变形处理，改变其形状和位置，是图形变换和动画制作等方面的基础，能实现多样化的图形效果展示。3.分析二次曲线射影分类的依据及作用。答：依据是二次曲线方程的系数特征，通过射影变换将其化为标准型进行分类。作用是清晰区分不同类型二次曲线，研究其在射影变换下的共性与特性，为进一步研究几何性质、解决相关几何问题提供基础。4.探讨高等几何与初等几何的联系与区别。答：联系：初等几何是高等几何在特定条件下的特例，高等几何的研究成果可深化对初等几何的理解。区别：研究方法上，高等几何用射影、仿射变换等更抽象方法，初等几何侧重度量性质研究；研究范围上，高等几何更广泛，涵盖无穷远元素等，初等几何局限于有限范围。答案单项选择题1.A2.C3.A4.B5.A6.B7.C8.A9.A10.B多项选择题1.