四川省南充市西充中学2024−2025学年高二下学期期中考试 数学试题（含解析）

四川省南充市西充中学2024−2025学年高二下学期期中考试数学试题一、单选题1．已知函数，则（

）A．0 B．-1 C．1 D．-22．书架的第1层放有3本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法种数为（

）A．3 B．8 C．12 D．183．数列满足，则（

）A．1 B．2 C．4 D．84．已知数列满足，则（

）A． B．C． D．5．要让如图所示的电路在只合上两个开关的情况下正常工作，不同方法种数为（

）A．10 B．8 C．6 D．56．记等差数列的前项和为，若，则（

）A．13 B．45 C．104 D．1307．已知数列的项满足，而，则＝（

）A． B． C． D．8．若函数在上单调递增，则的最大值为（）A．4 B．8 C．12 D．16二、多选题9．下列函数求导运算正确的是（

）A． B．C． D．10．定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（

）A．函数在上单调递减 B．函数在上单调递减C．函数在处取得极小值 D．函数在处取得极大值11．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，…，设各层球数构成一个数列，且，数列的前项和为，则正确的选项是（

）．A．B．C．D．三、填空题12．已知等比数列的前2项和为2，，则公比q的值为．13．函数的极值点为.14．若对任意的正实数，当时，恒成立，则m的取值范围．四、解答题15．已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）求函数在区间上的最大值与最小值．16．已知数列的前n项和为．且满足．（1）求，值；（2）证明数列为等比数列并求其通项公式．17．已知公差不为零的等差数列的前n项和为，，，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）令，求的前n项和．18．已知函数.（1）当时，求过原点的切线方程；（2）讨论的单调性.19．已知函数(1)求的极值；(2)证明：．

参考答案1．【答案】A【详解】函数，求导得，所以.故选A2．【答案】B【详解】书架的第1层放有3本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法种数为.故选B.3．【答案】C【详解】因为：，所以，故选C.4．【答案】D【详解】∵，∴，即，∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴，故，∴.故选D.5．【答案】C【详解】依题意，在左边并联的两个开关中任取1个合上，再在右边并联的三个开关中任取1个合上，电路正常工作，所以不同方法种数为.故选C6．【答案】C【详解】因为等差数列的前项和为，且，则.故选C.7．【答案】B【分析】由，可得，然后利用累乘法可求得结果【详解】由，得，所以，，，……，，，（），所以，所以，因为，所以，因为满足上式，所以.故选B.8．【答案】D【详解】因为，所以，由于在上单调递增，所以在上恒成立，在上恒成立，在上单调递增，所以在上的最小值为，所以，故的最大值为，故选D9．【答案】ABC【详解】对于A，，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误．故选ABC．10．【答案】AD【详解】由函数的导函数的图象可知，当时，，所以在上单调递增，故B错误；当时，，所以在上单调递减，故A正确；所以函数在处取得极大值，不是极小值点，故C错误，D正确.故选AD.11．【答案】AC【详解】由题意可知：，于是有，，即，由累加法可知，显然可得：，A选项正确，，B选项不正确；，由错位相减可得，C选项正确；令，∵，即，∴，即，D选项错误.故选AC.12．【答案】【详解】依题意，，由，得，所以13．【答案】【详解】确定定义域：由于包含函数定义域为，求导得：在内,单调递减；在内,单调递增.是函数的极小值点，没有其它极值点.14．【答案】【详解】当时，，故，而为正实数，则，令，于是，依题意，函数在上单调递减，即，，因此，，而函数是上的增函数，则，解得，所以m的取值范围是.15．【答案】（1）单调递增区间是：和，单调减区间是：；（2）最小值为，最大值为.【详解】（1）由，可得：，，由，可得：或；由，可得：；所以函数的单调递增区间是：和，单调减区间是：；（2）由（1）知：函数在区间上的单调性为：单调递减，单调递增，所以最小值为，又，所以最大值为.所以函数在区间上的最小值为，最大值为.16．【答案】（1），；（2）证明见解析，.【详解】（1）数列的前n项和为，由得，解得，，解得，所以，.（2）当时，，则当时，，两式相减得，整理得，而，所以数列是首项为1，公比为的等比数列，通项公式.17．【答案】（1）（2）【详解】（1）依题意，设等差数列的公差为，，由，得，由成等比数列，得，即，则，整理得，而，解得，所以数列的通项公式.（2）由（1）得，则，因此，两式相减得，则，所以的前n项和.18．【答案】（1）（2）答案见解析【详解】（1）由题意知，的定义域为，则，当时，，设切点为，则切线方程为，即，又因为切线过，代入切线方程得，即，解得，所以切线方程为.（2），当时，恒成立，在上单调递增，当时，令，得，所以，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增；综上所述，①当时，在上单调递增；②当时，在上单调递减，在上单调递增.19．【答案】(1)极大值为，极小值为(2)证明见解析【详解】（1），令，解得，当或时，；当时，