2024年秋九年级数学上册第23章解直角三角形23.2解直角三角形及其应用第4课时坡角坡比问题同步练习新版沪科版

PAGEPAGE423.2第4课时坡角、坡比问题知|识|目|标通过对实际问题的分析，会运用解直角三角形的学问解决关于坡度、坡角的实际问题．目标会运用解直角三角形解决坡度问题例1［教材补充例题］［2024·合肥市瑶海区二模改编］位于合肥滨湖新区的渡江战役纪念馆，实物图如图23－2－11①，示意图如图②.某学校数学爱好小组通过测量得知，纪念馆外轮廓斜坡AB的坡度i＝1∶eq\r(3)，底基BC＝50m，∠ACB＝135°.依据下列步骤，求馆顶A离地面BC的距离，结论保留根号．图23－2－11(1)构造直角三角形：过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D；(干脆把图补充完整)(2)由∠ACB＝135°可推理出△ACD的形态是____________；(3)设AD＝xm，则CD＝________m，BD＝________m，依据坡度的定义可列方程为________________，解得x＝________．经检验，x是原方程的解，且符合题意，故馆顶A离地面BC的距离是________m.例2［教材补充例题］如图23－2－12，某拦河坝截面的原设计方案如下：AH∥BC，坡角∠ABC＝74°，坝顶到坝脚的距离AB＝6m．为了提高拦河坝的平安性，现将坡角改为55°，由此，点A需向右平移至点D，请你计算AD的长．(参考数据：sin74°≈0.961，cos74°≈0.276，tan74°≈3.487，sin55°≈0.819，cos55°≈0.574，tan55°≈1.428，结果精确到0.1m)图23－2－12【归纳总结】解本类型题的关键是化斜为直的思想的应用，即把非直角三角形转化为直角三角形．通过作协助线构造直角三角形，作协助线时要考虑如何充分运用已知条件．学问点一坡度(坡比)、坡角的概念(1)坡度：在筑坝、开渠、挖河和修路时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度，我们把坡面的垂直高度h与水平长度l的比叫做坡度(或坡比)，用字母表示为i＝eq\f(h,l)，如图23－2－13.图23－2－13(2)坡角：把坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α.坡度和坡角都是表示斜面的倾斜程度的量．学问点二解直角三角形——坡角、坡比问题开渠、挖河、修坝、楼梯改造等斜坡问题通常利用水平线、铅垂线和斜坡构造直角三角形解答．用解直角三角形的学问解决实际问题的基本方法是什么？

老师详解详析【目标突破】例1解：(1)如图所示：(2)等腰直角三角形(3)x(50＋x)eq\f(x,50＋x)＝eq\f(1,\r(3))25(eq\r(3)＋1)25(eq\r(3)＋1)例2[解析]将坝顶与坝脚的距离看成直角三角形的斜边，将坡角看成直角三角形的一个锐角，分别作AE，DF垂直于BC，构造直角三角形，求出BE，BF，进而得到AD的长．解：如图所示，过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F.在Rt△ABE中，sin∠ABE＝eq\f(AE,AB)，∴AE＝AB·sin∠ABE＝6sin74°≈5.77(m)．∵cos∠ABE＝eq\f(BE,AB)，∴BE＝AB·cos∠ABE＝6cos74°≈1.66(m)．∵AH∥BC，∴DF＝AE≈5.77m.在Rt△BDF中，tan∠DBF＝eq\f(DF,BF)，∴BF＝eq\f(DF,tan∠DBF)≈eq\f(5.77,tan55°)≈4.04(m)，∴AD＝EF＝BF－BE≈4.04－1.66≈2.4(m)．【总结反思】[反思]基本方法如下图：(1)把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，即借助数学基本概念(如俯角、仰角、坡角、坡度、方向角等)把实际问题中的位置关系转化为数学图形，把实际问题中的信息转化为数学问题中的已