2025版高考数学一轮复习课时规范练23解三角形理北师大版

PAGEPAGE1课时规范练23解三角形基础巩固组1.(2024山西吕梁一模,4)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=6,c=3,cosA=,则b= ()A.3 B.1C.1或3 D.无解2.在△ABC中,已知acosA=bcosB,则△ABC的形态是 ()A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形3.(2024湖南长郡中学四模,11)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,c=2,则角C=()A.5π6C.π4 D.4.在△ABC中,B=π4,BC边上的高等于BC,则cosA= (A.31010 B.C.-1010 D.-5.(2024湖南长郡中学五模,11)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosBb=-3cosCc,则角A.π6 B.C.π3 D.6.(2024河北衡水中学三模,14)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满意asinB=bcosA,则2sinB-cosC的最大值是.

7.(2024北京,文14)若△ABC的面积为34(a2+c2-b2),且∠C为钝角,则∠B=;的取值范围是8.如图所示,长为3.5m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在离堤足C处1.4m的地面上,另一端B在离堤足C处2.8m9.(2024河北唐山一模,16)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若S△ABC=c24,则ab10.在△ABC中,∠A=60°,c=a.(1)求sinC的值;(2)若a=7,求△ABC的面积.综合提升组11.(2024河北衡水中学考前仿真,11)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=5,△ABC的面积S△ABC=2534,且b2+c2-a2=accosC+c2cosA,则sinB+sinC=(A.3 B.932 C.312.(2024河北衡水中学月考,12)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且(a2+b2-c2)·(acosB+bcosA)=abc,若a+b=2,则c的取值范围为()A.(0,2) B.[1,2)C.1213.(2024河北衡水中学九模,14)如图,为了测量河对岸A、B两点之间的距离,视察者找到一个点C,从点C可以视察到点A、B;找到一个点D,从点D可以视察到点A、C;找到一个点E,从点E可以视察到点B、C;并测量得到一些数据:CD=2,CE=23,∠D=45°,∠ACD=105°,∠ACB=48.19°,∠BCE=75°,∠E=60°,则A、B两点之间的距离为.其中cos48.19°取近似值

14.(2024湖南长郡中学三模,17)在△ABC中,∠B=π3,BC=(1)若AC=3,求AB的长;(2)若点D在边AB上,AD=DC,DE⊥AC,E为垂足,ED=62,求角A的值创新应用组15.(2024江苏,13)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为16.已知岛A南偏西38°方向,距岛A3nmile的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10nmile/h的速度向岛北偏西22°方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用0.5h能截住该走私船?参考数据:参考答案课时规范练23解三角形1.C由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,即b2-4b+3=0,解得b=1或b=3.故选C.2.D∵acosA=bcosB,∴sinAcosA=sinBcosB,∴sin2A=sin2B∴A=B,或2A+2B=即A+B=90°,∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.故选D.3.B∵sinB+sinA(sinC-cosC)=0,∴sin(A+C)+sinAsinC-sinAcosC=0⇒cosAsinC+sinAsinC=0⇒cosA+sinA=0⇒A=3π4由正弦定理得2sinC=2sin3π4⇒sinC=12,C∈4.C(方法一)设BC边上的高为AD,则BC=3AD.结合题意知BD=AD,DC=2AD,所以AC=AD2+DC2=5AD,AB==2AD2故选C.(方法二)如图,在△ABC中,AD为BC边上的高,由题意知∠BAD=π4设∠DAC=α,则∠BAC=α+π4∵BC=3AD,BD=AD.∴DC=2AD,AC=5AD.∴sinα=25=255,cosα=15=55.∴cos∠BAC=cosα+π4=cosαcosπ4-sinαsinπ4=22(cosα-5.A由题意结合正弦定理得cosBsinB所以tanC=-3tanB,因此B,C中有一钝角,角A必为锐角,∵tanA=-tan(B+C)=-tanB+tanC1∴tanB>0,tanA≤2tanB23tanB=33⇒0<A≤π6.1由asinB=bcosA,得sinAsinB=sinBcosA,tanA=1.所以在△ABC中,A=.2sinB-cosC=2sin3π4-C-cosC=sinC,C∈0,3π47.(2,+∞)由题意,得S△ABC=34(a2+c2-b2)=acsinB,即3(a2+c2-b2)2ac=sinB,∴3cosB=sinB,∴tanB=3.由正弦定理,得ca=sinCsinA=sin2π3-AsinA=sin2π3cosA-cos2π3sinAsinA=32tanA+128.2315在△ABC中,AB=3.5m,AC=1.4m,BC=2.由余弦定理,可得AB2=AC2+BC2-2·AC·BC·cos∠ACB,即3.52=1.42+2.82-2×1.4×2.8×cos(π-α),解得cosα=516,则sinα=231所以tanα=sinαcosα9.22∵S△ABC=c24=(a2+b2-2abcosC)=absin∴a2+b2=2ab(sinC+cosC).ab+ba=a2+b2ab=2(sinC+cosC)=22sinC10.解(1)在△ABC中,因为∠A=60°,c=a,所以由正弦定理得sinC=csinAa=37×(2)因为a=7,所以c=37×7=3由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得72=b2+32-2b×3×12,解得b=8或b=-5(舍)所以△ABC的面积S=12bcsinA=12×8×3×32=11.C(方法一)∵b2+c2-a2=accosC+c2cosA,∴cosA=accosC+∴cosA=sinAcosC+cosAsinC2sinB=sin(A+C)2sinB=1∵a2=b2+c2-2bccosA,∴b2+c2=a2+bc=50,则(b+c)2=100,b+c=10,∴b=c=5,∴△ABC为等边三角形,∴sinB+sinC=3.(方法二)∵b2+c2-a2=accosC+c2cosA,∴b2+c2-a2=ac·a2+b2=c(a2+∴cosA=b2+c2-aS△ABC=12bcsinA=2534,∵a2=b2+c2-2bccosA,∴b2+c2=a2+bc=50,则(b+c)2=100,b+c=10,∴b=c=5,∴△ABC为等边三角形,∴sinB+sinC=3.12.B由题意可得:a2+b2且cosC=a2+b2-c22据此可得:cosC=12即a2+b2-c22ab=1据此有:c2=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=4-3ab≥4-3a+b当且仅当a=b=1时等号成立;三角形满意两边之和大于第三边,则c<a+b=2,综上可得:c的取值范围为[1,2).13.10依题意知,在△ACD中,∠A=30°,由正弦定理得AC=CDsin45°sin30°在△BCE中,∠CBE=45°,由正弦定理得BC=CEsin60°sin45°在△ABC中,由余弦定理AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB=10,∴AB=14.解(1)设AB=x,则由余弦定理有AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB,即32=x2+22-2x·2cosπ3解得x=6+1,所以AB=6+1.(2)因为ED=62所以AD=DC=EDsinA=在△BCD中,由正弦定理可得:BCsin∠BDC=因为∠BDC=2∠A,所以2sin2A=所以cosA=22,所以A=π15.9由题意可知,S△ABC=S△ABD+S△BCD.由角平分线的性质和三角形面积公式得acsin120°=a×1×sin60°+c×1×sin60°,化简得ac=a+c,+=1.因此4a+c=(4a+c)1a+1c=5++4当且仅当c=2a=3时取等号,故4a+c16.解设缉私艇在C处截住走私船,D为岛A正南方向上的一点,缉私艇的速度为xnmile/h,则BC=0.5xnmil