2025版高考数学一轮复习第7章立体几何第6讲空间向量及运算讲义理含解析

PAGEPAGE11第6讲空间向量及运算[考纲解读]1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置，了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义．2.能应用空间两点间的距离公式，驾驭空间向量的正交分解及其坐标表示．3.驾驭空间向量的线性运算及其坐标表示，驾驭空间向量的数量积及其坐标表示，并能运用向量的数量积推断向量的共线与垂直．(重点、难点)[考向预料]从近三年高考状况来看，本讲始终是空间立体几何的基础，一般不单独命题．预料2024年会与多面体相结合进行考查，题型为解答题，解题时利用空间向量法解决问题，试题难度不会太大，属中档题型.1．空间两点间的距离公式、中点公式(1)距离公式①设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB|＝eq\o(□,\s\up3(01))eq\r(x1－x22＋y1－y22＋z1－z22).②设点P(x，y，z)，则与坐标原点O之间的距离为|OP|＝eq\o(□,\s\up3(02))eq\r(x2＋y2＋z2).(2)中点公式设点P(x，y，z)为P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)的中点，则eq\o(□,\s\up3(03))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1＋x2,2)，,y＝\f(y1＋y2,2)，,z＝\f(z1＋z2,2))).2．空间向量的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．3．空间向量的坐标运算a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)(a，b均为非零向量)：1．概念辨析(1)两向量夹角的范围与两异面直线所成的角的范围相同．()(2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)．()(3)若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量．()(4)对空间随意一点O与不共线的三点A，B，C，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面．()答案(1)×(2)×(3)×(4)×2．小题热身(1)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，则下列向量中与eq\o(BM,\s\up6(→))相等的向量是()A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c B．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cC．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c D．eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c答案A解析由题意，依据向量运算的几何运算法则，eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(BB1,\s\up6(→))＋eq\o(B1M,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝c＋eq\f(1,2)(b－a)＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.故选A.(2)若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是()A．a，a＋b，a－b B．b，a＋b，a－bC．c，a＋b，a－b D．a＋b，a－b，a＋2b答案C解析A，B，D中三组向量都是共面对量，不能构成基底，c，a＋b，a－b不共面可以构成基底．(3)已知向量a＝(2，－3,5)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，λ，\f(15,2)))，且a∥b，则λ等于________．答案－eq\f(9,2)解析因为a∥b，所以eq\f(3,2)＝eq\f(λ,－3)＝eq\f(\f(15,2),5)，所以λ＝－eq\f(9,2).(4)已知a＝(1,2，－2)，b＝(0,2,4)，则a，b夹角的余弦值为________．答案－eq\f(2\r(5),15)解析cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝－eq\f(2\r(5),15).题型eq\a\vs4\al(一)空间向量的线性运算如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)eq\o(AP,\s\up6(→))；(2)eq\o(A1N,\s\up6(→))；(3)eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(NC1,\s\up6(→)).解(1)∵P是C1D1的中点，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(D1P,\s\up6(→))＝a＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)b.(2)∵N是BC的中点，∴eq\o(A1N,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)c.(3)∵M是AA1的中点，∴eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1())a＋c＋eq\f(1,2)beq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1())＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c，又eq\o(NC1,\s\up6(→))＝eq\o(NC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)c＋a.∴eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(NC1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(1,2)b＋c))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)c))＝eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(3,2)c.条件探究在举例说明条件下，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(EC,\s\up6(→))，eq\o(A1F,\s\up6(→))＝2eq\o(FD,\s\up6(→))，试用a，b，c表示eq\o(EF,\s\up6(→)).解如图，连接AF，则eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→)).由已知四边形ABCD是平行四边形，故eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝b＋c，eq\o(A1D,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝－a＋c.又eq\o(EA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)(b＋c)，由已知eq\o(A1F,\s\up6(→))＝2eq\o(FD,\s\up6(→))，所以eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(FD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(A1D,\s\up6(→))＝c－eq\f(1,3)(c－a)＝eq\f(1,3)(a＋2c)，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)(b＋c)＋eq\f(1,3)(a＋2c)＝eq\f(1,3)(a－b＋c)．用已知向量表示某一向量的留意事项(1)用已知向量来表示某一向量，肯定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解和运用向量加法、减法与数乘运算的几何意义．向量加法的多边形法则对空间向量仍旧成立．(3)在立体几何中要敏捷应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍旧成立．提示：敏捷运用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知基向量表示出来．1．如图所示，在四面体OABC中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则eq\o(OE,\s\up6(→))＝________(用a，b，c表示)．答案eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c解析因为D为BC的中点，所以eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(b＋c)，又因为E为AD的中点，所以eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b＋c))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c.2．如图所示，已知P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，点M在线段PC上，点N在线段PD上，且PM＝2MC，PN＝ND，若eq\o(MN,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＋zeq\o(AP,\s\up6(→))，则x＋y＋z＝________.答案－eq\f(2,3)解析eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(PN,\s\up6(→))－eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(PD,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→)))－eq\f(2,3)(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\f(2,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AP,\s\up6(→))，所以x＋y＋z＝－eq\f(2,3)－eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＝－eq\f(2,3).题型eq\a\vs4\al(二)共线向量与共面对量定理的应用1．(2024·郑州调研)已知a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ等于________．答案－9解析由题意知c＝xa＋yb，即(7,6，λ)＝x(2,1，－3)＋y(－1,2,3)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＝7，,x＋2y＝6，,－3x＋3y＝λ，))解得λ＝－9.2．(2024·唐山质检)如图所示，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满意eq\o(AM,\s\up6(→))＝keq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝keq\o(BC,\s\up6(→))(0≤k≤1)．(1)向量eq\o(MN,\s\up6(→))是否与向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))共面？(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？解(1)∵eq\o(AM,\s\up6(→))＝keq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝keq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝keq\o(C1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋keq\o(BC,\s\up6(→))＝k(eq\o(C1A,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝k(eq\o(C1A,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→)))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝keq\o(B1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－keq\o(AB1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－k(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝(1－k)eq\o(AB,\s\up6(→))－keq\o(AA1,\s\up6(→))，∴由共面对量定理知向量eq\o(MN,\s\up6(→))与向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))共面．(2)当k＝0时，点M，A重合，点N，B重合，MN在平面ABB1A1内，故直线MN与平面ABB1A1不平行．当0<k≤1时，MN不在平面ABB1A1内，又由(1)知eq\o(MN,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))共面，故MN∥平面ABB1A1.证明三点共线和空间四点共面的方法提示：三点共线通常转化为向量共线，四点共面通常转化为向量共面，线面平行可转化为向量共线、共面来证明，共面对量定理事实上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件．1．O为空间中随意一点，A，B，C三点不共线，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OB,\s\up6(→))＋teq\o(OC,\s\up6(→))，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝________.答案eq\f(1,8)解析∵P，A，B，C四点共面，∴eq\f(3,4)＋eq\f(1,8)＋t＝1，∴t＝eq\f(1,8).2．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满意eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))．(1)推断eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))三个向量是否共面；(2)推断点M是否在平面ABC内．解(1)由已知eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝3eq\o(OM,\s\up6(→))，∴eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝(eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＋(eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))，即eq\o(MA,\s\up6(→))＝eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝－eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→))，∴eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面．(2)由(1)知，eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面且MA，MB，MC过同一点M，∴M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内．题型eq\a\vs4\al(三)空间向量的数量积及应用角度1空间向量数量积的运算1．(2024·西安质检)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))的值为()A．a2 B．eq\f(1,2)a2C．eq\f(1,4)a2 D．eq\f(\r(3),4)a2答案C解析如图，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三个向量两两的夹角为60°.eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)c，∴eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)·eq\f(1,2)c＝eq\f(1,4)(a·c＋b·c)＝eq\f(1,4)(a2cos60°＋a2cos60°)＝eq\f(1,4)a2.故选C.角度2空间向量数量积的应用2．如图所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC1的长；(2)求证：AC1⊥BD.解(1)记eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，∴a·b＝b·c＝c·a＝eq\f(1,2).|eq\o(AC1,\s\up6(→))|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,2)＋\f(1,2)))＝6，∴|eq\o(AC1,\s\up6(→))|＝eq\r(6)，即AC1的长为eq\r(6).(2)证明：∵eq\o(AC1,\s\up6(→))＝a＋b＋c，eq\o(BD,\s\up6(→))＝b－a，∴eq\o(AC1,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝(a＋b＋c)·(b－a)＝a·b＋|b|2＋b·c－|a|2－a·b－a·c＝b·c－a·c＝|b||c|cos60°－|a||c|cos60°＝0.∴eq\o(AC1,\s\up6(→))⊥eq\o(BD,\s\up6(→))，∴AC1⊥BD.空间向量数量积的三个应用1．(2024·南充三模)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，下列命题：①(eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→)))2＝3eq\o(A1B1,\s\up6(→))2；②eq\o(A1C,\s\up6(→))·(eq\o(A1B1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→)))＝0；③向量eq\o(AD1,\s\up