江苏省徐州市2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题（含详解）

江苏省徐州市2024−2025学年高二下学期期中考试数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．函数在[0，π]上的平均变化率为A．1 B．2 C．π D．2．已知函数上一点，则在点P处切线的斜率为（

）A． B． C．1 D．3．已知是一个随机试验中的两个事件，且，则（

）A． B． C． D．4．已知随机变量X的概率分布如表所示，且，则（

）X123PnmA． B． C． D．5．甲、乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为，乙命中目标的概率为，已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率为（

）A． B． C． D．6．已知是定义在上的奇函数，若对于任意的，都有成立，且，则不等式解集为（

）A． B．C． D．7．某校有5名学生打算前往观看电影《哪吒2》，《战狼》，《流浪地球2》，每场电影至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看电影《哪吒2》的方案种数有（

）A．30 B．45 C．60 D．758．以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心，其内容如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则内至少存在一个点，使得，其中称为函数在闭区间上的“中值点”．请问函数在区间上的“中值点”的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3二、多选题（本大题共3小题）9．下列函数的导数运算正确的是（

）A． B．C． D．10．已知，其中，则（

）A． B．C． D．11．数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布，那么当n比较大时，X近似服从正态分布，其密度函数为，任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布当时，对任意实数x，记，则（

）A．当时，B．C．随机变量，当，都减小时，概率增大D．随机变量，当增大，减小时，概率保持不变三、填空题（本大题共3小题）12．已知随机变量，若，，则.13．在如图所示的圆环形花园种花，将圆环平均分成A，B，C，D四个区域，现有牡丹、芍药、月季、玫瑰、蝴蝶兰五种花可供选择，要求每个区域只种一种花且相邻区域的花不同，则不同的种植方法有种．14．若恒成立，则实数．四、解答题（本大题共5小题）15．已知的展开式中共有11项．（1）求展开式中含的项的系数；结果用数字作答（2）求二项式系数最大的项．16．结合排列组合，解决下列问题结果用数字作答（1）将4封不同的信放到3个不同的信箱中，有多少种放法？（2）将4封不同的信放到3个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，有多少种放法？（3）将4封标有序号A，B，C，D的信放到四个标有A，B，C，D的信箱中，恰有一组序号相同，则有多少种放法？17．已知函数（1）若，求函数的单调区间和极值；（2）若存在，使得成立，求a的取值范围．18．11分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每赢一球得1分，先得11分且至少2分领先者胜，该局比赛结束；当某局比分打成10：10后，每一球交换发球权，领先2分者胜，该局比赛结束．现有甲、乙两人进行一场五局三胜且每局制的乒乓球比赛，比赛开始前通过抛掷一枚质地均匀的硬币来确定谁先发球．假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时乙得分的概率为，各球的比赛结果相互独立，且各局的比赛结果也相互独立．已知第一局目前比分为10：10，且接下来轮到甲发球．（1）求再打两个球甲新增的得分X的分布列和均值；（2）求第一局比赛甲获胜的概率；（3）现用估计每局比赛甲获胜的概率，求该场比赛甲获胜的概率．19．若定义在上的函数和分别存在导函数和，且对任意实数，都存在常数，使成立，则称函数是函数的“控制函数”，称为控制系数．（1）求证：函数是函数的“控制函数”；（2）若函数是函数的“控制函数”，求控制系数的取值范围；（3）若函数，函数为偶函数，函数是函数的“控制函数”，求证：“”的充要条件是“存在常数，使得恒成立”．

参考答案1．【答案】C【详解】根据平均变化率的公式，计算出平均变化率.【详解】平均变化率为.故选C2．【答案】B【详解】由，可得，故在点P处切线的斜率为故选B3．【答案】D【详解】因为，由对立事件概率计算公式可得：，则，故选D.4．【答案】B【详解】由分布列的性质可得，，所以，又因为，所以，即；联立方程，解得，所以故选B5．【答案】C【详解】设事件“甲命中目标”，“至少命中一次”，则，，则已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率为故选C6．【答案】D【详解】设函数，则，因为是上的奇函数，所，所以是上的偶函数，，因为当时，，所以，即在上单调递减，因此在上单调递增，所以，，当，原不等式可化为，即，解得，当，原不等式可化为，即，解得，综上所述，.故选D7．【答案】C【详解】依题意，将5名学生分为1，2，2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人，共有种方法；由于甲同学不去观看电影《哪吒2》，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选，所以由种方法；按照分步乘法原理，共有种方法．故选C8．【答案】C【详解】因为，，所以，，，若，由，解得故选C9．【答案】AD【详解】易知，可得A正确；又，即B错误；易知，C错误；显然，D正确．故选AD10．【答案】ACD【详解】对于A，，其中，，解得，A正确；对于B，项的系数为，B错误；对于C，令，得，令，得，因此，C正确；对于D，令，得，由选项C得，D正确.故选ACD11．【答案】BD【详解】对于A：当时，，故A错误；对于B：根据正态曲线的对称性可得：，即，故B正确；对于CD：根据正态分布的准则，在正态分布中代表标准差，代表均值，即为图象的对称轴，根据原则可知X数值分布在的概率是常数，故由可知，D正确，C错误．故选BD.12．【答案】/【详解】因为随机变量，所以，，联立解得13．【答案】84【详解】解：现有牡丹、芍药、月季、玫瑰、蝴蝶兰五种花可供选择，要求每个区域只种一种花且相邻区域的花不同，则四个区域最少两种花，最多4种花．所以分三类：若A和C相同，B和D相同时，有种方法；若种三种花，分A和C相同与不同两种情况，此时有种；若种四种花，则有种，则不同的种植方法有种．14．【答案】/【详解】因为恒成立，即恒成立，即恒成立，设，则恒成立，又，则在上单调递增，可得恒成立，即恒成立，令，则，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即恒成立（当且仅当时取等号），所以，解得15．【答案】（1）960；（2）【详解】（1）由题意可知，解得，展开式的通项为，令，解得，故展开式中含的项的系数为；（2）由可得二项式系数最大的项为第六项，即.16．【答案】（1）81；（2）36；（3）【详解】（1）将4封不同的信放到3个不同的信箱中，有种放法；（2）将4封不同的信放到3个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，则将4封信分成1，1，2三组，有组，再分给三个信箱，有种放法；（3）将4封标有序号A，B，C，D的信放到四个标有A，B，C，D的信箱中，先确定一组序号相同有种情况，其余的全部不同均有2种情况，则共有种情况．17．【答案】（1）增区间为和，减区间为，极大值，极小值；（2）【详解】（1）若，则，则，令，可得或；令，可得，所以该函数增区间为和，减区间为，当时取得极大值，当时取得极小值；（2）因为存在，有成立，所以存在，有成立，即存在，因为，所以存在，，设，其中，则，因为，所以，当时，，因此在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，即，故a的取值范围为18．【答案】（1）分布列见解析；均值为（2）；（3）【详解】（1）依题意知，X的所有可能取值为0，1，2；，，，所以X的分布列为：X012PX的均值为；（2）设第一局比赛甲获胜为事件B，平局后每次再打两个球后甲新增的得分为Z，则，，；由知，，，，由全概率公式得，，解得，即第一局比赛甲获胜的概率；（3）由（2）知，所以估计甲每局获胜的概率均为，根据五局三胜制的规则，设甲获胜时的比赛总局数为Y，因为每局的比赛结果相互独立，所以Y的所有可能取值为3，4，5，所以，，；所以该场比赛甲获胜的概率为19．【答案】（1）证明见解析（2）（3）证明见解析【详解】（1）因为，，所以，，则，故，即恒成立，故函数是函数的“控制函数”.（2）因为，，则，，因为函数是函数的“控制函数”，所以，对任意的，，则，令，则，且，故当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，所以