湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024-2025学年高二上学期起点考试数学试卷

2024年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校起点考试高二数学试卷命题学校：黄冈中学命题教师：董明秀审题学校：黄梅一中审题教师：石亚林考试时间：2024年9月2日下午15:00-17:00试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题除出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱与球的表面积之比为（）A.1:1 B.3:2 C. D.2.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，A表示事件“第一次抛掷，骰子正面向上的点数是3”，B表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是4”，C表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是7”，则（）A.A与B互斥 B.B与C互对立 C.A与B相互独立 D.A与C相互独立3.下列说法中正确的是（）A.若两个平面都与第三个平面垂直，则这两个平面平行B.已知a，b，c为三条直线，若a，b异面，b，c异面，则a，c异面C.若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面4.已知是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，以为基底，则可以表示为（）A.B.C.D.5.已知向量，不共线，满足，则在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.6.已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75.现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90.在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（）A. B.C. D.7.在平面四边形中，为正三角形，，，如图1，将四边形沿AC折起，得到如图2所示的四面体，若四面体外接球的球心为O，当四面体的体积最大时，点O到平面ABD的距离为（）A. B.C. D.8.如图，边长为2的正方形ABCD中，P，Q分别为边BC，CD上的点，，则的最大值为（）A.1 B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.衡阳市第八中学为了解学生数学史知识的积累情况，随机抽取150名同学参加数学史知识测试，测试题共5道，每答对一题得20分，答错得0分.得分不少于60分记为及格，不少于80分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则（）A该次数学史知识测试及格率超过90%B.该次数学史知识测试得满分的同学有15名C.该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数D.若八中共有3000名学生，则数学史知识测试成绩能得优秀的同学大约有1800名10.已知是坐标原点，平面向量，，，且是单位向量，，，则下列结论正确的是（）A.B.若A，B，C三点共线，则C.若向量与垂直，则最小值为1D.向量与的夹角正切值的最大值为11.如图，正方体中，顶点在平面内，其余顶点在的同侧，的交点为，顶点到的距离分别为，则（）A.平面 B.到平面的距离为1C.平面平面 D.正方体的棱长为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，且，则___________．13.设钝角三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则________.14.甲、乙、丙、丁四支足球队进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，甲队输一场且积分超过其余每支球队积分的概率为______．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知复数满足，．（1）求；（2）设复数，，在复平面内对应的点分别为，，，求．16.如图，在三棱柱中，，，，点在底面ABC的射影为BC的中点O，M为的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角平面角的正弦值．17.在锐角中，其内角的对边分别为，已知．（1）求值；（2）若，，求△ABC的面积．18.辽宁省数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组：，并绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）若只有的人能进决赛，入围分数应设为多少分（保留两位小数）；（2）采用分层随机抽样的方法从成绩为的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取2名学生进行问卷调查，求至少有1名学生成绩不低于90的概率；（3）进入决赛的同学需要再经过考试才能参加冬令营活动.考试分为两轮，第一轮为笔试，需要考2门学科，每科笔试成绩从高到低依次有五个等级.若两科笔试成绩均为，则直接参加；若一科笔试成绩为，另一科笔试成绩不低于，则要参加第二轮面试，面试通过也将参加，否则均不能参加.现有甲、乙二人报名参加，二人互不影响.甲在每科笔试中取得的概率分别为；乙在每科笔试中取得的概率分别；甲、乙在面试中通过的概率分别为.求甲、乙能同时参加冬令营的概率.19.类比思想在数学中极为重要，例如类比于二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理，如图1，由射线PA，PB，PC构成的三面角P-ABC，记，，，二面角A-PC-B的大小