湖南省长沙市德成学校2023-2024学年高一上学期11月期中考试数学试题

长沙市德成学校2023学年度高一上学期数学期中试卷命题人：黄薇审题人：周金楼一、选择题：1.下列说法正确的有（）①；②；③；④；⑤．A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】B【解析】【分析】根据数集概念逐个判断即可.【详解】是有理数，故①正确；不是正整数，故②错误；不是自然数，故③错误；不是有理数，故④错误；不是整数，故⑤正确．故正确的有2个．故选：B．2.设集合，则下列结论正确的是（）A.且 B.且 C.且 D.且【答案】C【解析】【分析】求出集合再判断选项可得答案.【详解】集合，则且.故选：C.3.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】根据存在量词命题的否定得出结果.【详解】命题“，”的否定为，.故选：D.4.已知不等式的解集为空集，则a的取值范围是（）A. B.C.或 D.或【答案】A【解析】【分析】根据题意，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】由不等式的解集为空集，根据二次函数的性质，则满足，解得.即实数的取值范围是.故选：A.5.“且”是“”的（）条件A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据不等式的性质可得充分性，举反例可判断必要性.【详解】当且时，则，但是，得不到且，比如，故“且”是“”的充分不必要条件，故选：C6.若关于x的不等式x2＋ax－2＜0在区间[1,4]上有解，则实数a的取值范围为()A.(－∞，1) B.(－∞，1]C.(1，＋∞) D.[1，＋∞)【答案】A【解析】【详解】关于x的不等式x2+ax﹣2＜0在区间[1，4]上有解，等价于a＜，x∈[1，4]；设f（x）=﹣x，x∈[1，4]，则函数f（x）在x∈[1，4]单调递减，且当x=1时，函数f（x）取得最大值f（1）=1；所以实数a取值范围是（﹣∞，1）．故选A．7.已知，则的最小值是（）A.4 B.8 C.9 D.10【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值即得.【详解】由，得，因此，当且仅当，即时取等号，所以当时，取得最小值9.故选：C8.不等式的解集为，则函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，可得方程的两个根为和，且，结合二次方程根与系数的关系得到、、的关系，再结合二次函数的性质判断即可．【详解】因为的解集为，所以方程的两根分别为和1，且，则变形可得故函数的图象开口向下，且与x轴的交点坐标为和，故A选项的图象符合.故选：A二、选择题：9.下列各组函数不是同一函数的是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根据两函数的定义域和对应关系完全相同是同一个函数逐个分析判断即可.【详解】对于A，，，，所以与不是同一函数；对于B，，，，所以与不是同一函数；对于C，，，，，所以与是同一函数；对于D，，，，，所以与不是同一函数.故选：ABD.10.下列命题为真命题的是（）.A.若，则 B.若，则C.如果，那么 D.若，则【答案】BCD【解析】【分析】对于A，举反例证明其错误；对于B，证明即可；对于C，首先有，若要成立，只需即可，只需，这显然成立；对于D，首先有，若要，只需即可，只需，这显然成立.【详解】对于A，令，，则，故A错误.对于B，因为，所以，故B正确.对于C，由于，同乘以，得，又，所以，故C正确.对于D，若，则，所以，所以，故D正确.故选：BCD.11.下列命题中，真命题的是（）A.，都有 B.，使得C.任意非零实数，，都有 D.函数最小值为2【答案】AB【解析】【分析】由基本不等式，全称量词，存在量词命题逐项判断命题的真假即可.【详解】对于选项A，，都有，所以恒成立.故为真命题.对于选项B，当时，，故为真命题.对于选项C，当时，，故为假命题.对于选项D，，当且仅当，此时无解，故等号不成立，所以为假命题.故选：AB.12.已知函数在上的值域为，则实数的值可以是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】BCD【解析】【分析】配方后得到当时，取得最小值，结合，求出，得到答案.【详解】，当时，单调递减，当时，单调递增，故当时，取得最小值，又，故要想在上的值域为，则要，故实数的值可以是.故选：BCD三、填空题：13.已知集合的真子集有________个．【答案】7【解析】【分析】根据集合的定义，求出，由的集合有3个元素，利用真子集的定义，计算真子集个数可得答案.【详解】由已知得故真子集个数为：故答案为：714.集合，若，则__________【答案】【解析】【分析】分和，并结合集合元素的互异性求解即可.【详解】解：因为，所以，若，则可得或2，当时，，不满足互异性，舍去，当时，，满足题意;若，则，此时，不满足互异性，舍去；综上故答案为：15.已知函数的定义域为，则函数的定义域为______．【答案】【解析】【分析】令，解出即可.【详解】因为函数的定义域为，所以，解得，故函数的定义域为，故答案为：.16.某班有39名同学参加数学、物理、化学课外研究小组，每名同学至多参加两个小组.已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参见数学和化学小组有多少人__________.【答案】【解析】【分析】设参加数学、物理、化学小组的同学组成的集合分别为，、，根据容斥原理可求出结果.【详解】设参加数学、物理、化学小组的同学组成的集合分别为，、，同时参加数学和化学小组的人数为，因为每名同学至多参加两个小组，所以同时参加三个小组的同学的人数为，如图所示：由图可知：，解得，所以同时参加数学和化学小组有人.故答案为：.四、解答题：17.已知函数.（1）求函数的定义域；（2）求值；【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据分式及偶次根式成立的条件可得，，解不等式可求函数的定义域（2）直接把代入到函数解析式中可求【详解】解：（1）由题意可得，解不等式可得，且故函数的定义域为且（2）.18.解下列不等式：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）（2）或（3）【解析】分析】（1）因式分解可得结果；（2）配方法可得结果；（3）配方法可得结果.【小问1详解】由，得，得，所以不等式的解集为.【小问2详解】由得，得，得，得或，即或，所以原不等式的解集为或.【小问3详解】由得，所以.所以原不等式的解集为.19.设集合，，，求：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）（2）（3）或【解析】【分析】（1）根据并集定义可直接求得结果；（2）根据补集和并集定义可求得结果；（3）根据补集和并集定义可求得结果.【小问1详解】由并集定义知：.【小问2详解】，小问3详解】，或，或.20.已知集合，.（1）若，求实数的取值范围；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）解不等式化简集合A，利用并集的结果，结合集合的包含关系列式求解即得.（2）利用充分不必要条件的意义，结合集合的包含关系列式求解即得.【小问1详解】解不等式，得，即，由，得，因此，解得，所以实数的取值范围是.【小问2详解】由“”是“”的充分不必要条件，得集合真包含于集合，当时，，解得，当时，，无解，所以实数的取值范围是.21.已知函数.（1）若，求实数的值；（2）若，恒成立，求：实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接将代入解析式，解方程即可得到答案；（2）对进行分类讨论，若恒成立；若则可得抛物线开口向下，且与无交点；【小问1详解】因为，所以；【小问2详解】当时，恒成立，当，综上所述：时，恒成立.22.做一个体积为，