二次根式化简求值的五大重难点题型（原卷版）-2024-2025学年八年级数学下册

重难点02二次根式化简求值的五大重难点题型

m知识梳理

♦一、二次根式的性质与化简

1、二次根式的基本性质：

①直20；心0（双重非负性）.

②（K）2=。（020）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）.

（a（a>0）

③丘=同=0五=0）（算术平方根的意义）

、一a（a〈0）

2、二次根式的化简：

①利用二次根式的基本性质进行化简；

②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简.

Vab=yTa'yTb（a'O,6?0）—7==R（a20,b>0）

7b\b

3、化简二次根式的步骤：

①把被开方数分解因式；

②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；

③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2.

【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法

1.常见题型：与分式的化简求值相结合；运用乘法公式等；

2.解题方法：

（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简.

（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果.

（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式.

♦二、二次根式的化简求值

二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值.二次根式运算的最后，注意结果要化到最

简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰.

m题型解读

国典题精练

【题型1利用二次根式的非负性化简求值】

1.（2024秋•西山区校级期末）若2＜。＜3,则J（21a）2—J（3—a）2=（）

A.5-2aB.\-laC.2。-1D.2a-5

2.（2024秋•二道区校级期末）已知实数a在数轴上的对应点位置如图，则化简“2—以+

|1-回的结果为（）

।।।।,

-1012

A.1B.-1C.2a-3D.3-2a

3.（2024秋•城关区校级期中）实数a,b,c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简

+|a+c)2得()

—b-----------—s—►

A.-2a-b-2cB.-2a-bC.bD.-2a+b

4.(2024秋•鼓楼区校级期末)实数a在数轴上的位置如图所示，则化简工

J(a—11)2结果为()

--------•-------------•----•------•-----------A

05a10

A.7B.-7C.2a-15D.无法确定

5.(2024秋•成华区期末)已知l<x<2,则式子J(x—l)2+归-2|化简的结果为.

6.若0<x<l,化简J(x―,)2+4-](尤+1)2_4=

7.(2024秋•丰城市校级期中)已知-3<x<2,化简|x-2]—J(x—3/+,4*2—20二+25.

8.(2024秋•雁塔区校级期中)疝=|a|是二次根式的一条重要性质，请利用该性质解答下

列问题.

(1)化简：J(-4)2=，V(3-TT)2=.

(2)已知实数a,6在数轴上的对应点如图所示，化简值_|l-a|+J(i—6)2.

a01b

【题型2利用先化简再直接代入求值】

I.（2024秋•通许县期中）已知％=立+1,则代数式/-2x+l的值为（）

A.2B.4C.3+2V2D.6+4近

2.（2024•河北模拟）设M=（居一拒.病,其中°=-3,b=-2,则M的值为（）

A.2B.-2C.1D.-1

a—ba—4\ab+4b,1

3.（2024秋•澧县期末）先化简，后求值：+一~—'其中6=2.

4.（2024春•宁明县期中）先化简，再求值：（3x+l）（3x-1）+（x-3）2-3x（x-2）,其

中x=V2.

5.（2024春•藁城区校级月考）先化简，再求值：2-7（a-2）2+（a+l）（a-l）,其中a=&.

6.（2024春•朝阳区校级期中）先化简，再求值：色-白再+（五-诉）函+物，其中:

a=3,b=2.

7.先化简，再求值：，25盯+%器一4y5一^^及其中x=g，＞=4.

1a2—2a+l1—2a+a2

8.已知a=,求代数式。的值.

2-V3a2—aa—1

9.(2024秋•原阳县月考)化简求值：

1]1ba2—ab

已知a=[-9b=B、A，求(/7——27~7)+~2Q~1,I2Bu值•

V3—1V3+1a—ba2—b2a2-2ab-\-bz

【题型3利用先化简整体代入求值】

1.（2024秋•玉环市期末）已知a+6=4,ab=2,则J|+的值为（）

A.2V2B.2C.V2D.1

2.（2024秋•市中区校级期中）已知x+y=-9,xy=9,则%王值是（

A.6B.-6C.3D.-3

1,___1,___

3.（2024春•西安区校级期末）已知x,y为实数，孙=3,那么一遥句+三而后的值为（）

xy

A.V3B.±V3C.2V3D.±2V3

11

4.（2024春•陇西县校级月考）已知x=2+Vi，y=2—通,求一-三的值.

'xy

x+Jxyxfxy—y1

5.（2024秋•浦东新区校级月考）化简并求值：‘京j+言^,其中刀=不后，y=

1

2+V3-

V7-V5V7+V5

6.（2024秋•雨花区期末）已知x=2-，y—_2■,求下列各式的值.

11

(1)-x+y

Xy

⑵D

【题型4利用乘法公式进行计算】

1.（2024秋•澧县期末）已知x=V?+遮，y=V7-V5）则代数式/-2xy+y2的值为（

2.（2024•昌黎县一模）已知x=耳二,＞=耳乂，贝＞J/+盯+产的值为（）

A.2B.4C.5D.7

.__V^+VF

3.（2024秋•隆昌市校级月考）已知a>6>0,a+b=6^b，贝1「万的值为（）

7a—7b

lV21

A.V2B.2C.—D.-

4.（2024•安徽模拟）若*-3R>+Z>2=O,且心Q。，则匕的值为（）

A.考B，4C.—gD.V2

5.（2024春•老河口市期中）已知（1=百+&，b=V3-V2＞求*-2"+房的值.

6.（2024春•长兴县月考）己知：。=返+1,b=Gl,分别求下列代数式的值:

C1）a2-b2；

（2）a--3ab+b2.

7.（2024春•绥江县月考）已知x=l+&,y=\-五,求下列代数式的值:

（1）（x-y）2+4中；

（2）x2-廿.

8.（2023秋•林B州期末）设a=-1+返，b=-1-V5.

b

（1）求a+b,一的值；

a

（2）求乂+26+1,修一加乂的值.

【题型5利用二次根式的整数部分和小数部分求值】

1.若加为五的小数部分，则血2+租+企的值为（）

A.1B.2C.3D.4

1

2.（2024春•丹江口市期中）已知Q是返的小数部分，则遮（人+*万）的值为（）

A.5B.6C.7D.5+V5

3.（2025・泗洪县一模）已知加是退的小数部分，则卜+a-2的值为一

4.已知Q,6为实数，m,〃分别表示5-V7的整数部分和小数部分，且a冽+加=0,求代数

a3

式五+7的值•

11

5.（2024秋•西湖区校级期末）已知久=工^，丫=不后;

（1）求x2-孙+廿的值；

（2）若x的小数部分为a,y的小数部分为6,求（a+6）2+J（a—b）2的值.

6.(2024秋•洛阳期末)我们知道后是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此眠的小

数部分我们不可能全部写出来，而2〈心＜3,所以遥的整数部分是2,将近减去其整数

部分2,所得的差遮-2就是退的小数部分.根据以上信息回答下列问题：

(1)后的整数部分是，小数部分是;

(2)如果3+V7的小数部分为0,5-西的整数部分为6,求a+同的值.

7.(2024春•越秀区校级期中)数学张老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：V2

~1.414…，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1,那么有谁能说出

它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用

五-1来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法.现请你根据小明

的说法解答：

(1)当的小数部分是多少，请表示出来；

(2)“为百的小数部分，b为正的整数部分，求a+6-百的值；

(3)己知8+q=久+y,其中x是一个正整数，0＜了＜1,求2久+(y-V§)2023的值.

田限时测评

1.（2024春•赵县期中）若a〈b（a,6为非零实数），化简^的结果为（）

A.—aV—abB.a\—abC.aVabD.7—ab

2.（2024春•漳平市期中）已知两个实数在数轴上位置如图所示,则化简|y-x|+V（x-y）2

的结果是（）

--111---->

x--------y---o

A.2xB.2yC.2x-2yD.2y-2x

化简J（a—）2-»）

3.（2024秋•徐汇区校级期中）当0<°<1时，

22

A.aB.-aC.a——D.一一a

aa

4.（2024秋•陵川县期中）已知3cx<5,化简J（x—57+|尤—3］的正确结果为（）

A.2B.-2C.2x~SD.8-2x

5.（2024春•西华县月考）已知m=百+1,几=百一1,则加2+2""?+〃2的值为（）

A.2V3B.12C.10D.6

11

6.（2023春•武昌区校级期中）已知标+赤=3,且°〈加<1,则后一万的值是（

A.-V5B.±V5C.V5D.-V7

7.（2024•山海关区一模）已知乂=返+2,y=V5-2,则代数式+俨的值为.

8.（2024秋•北京校级期末）若6-后的整数部分为x,小数部分为y,则（2x+g）y的

值是.

9.已知同=4,（VK）2=3,S.\a+b\^-a-b,则a-6的值为