二次函数的综合应用-2025年中考数学一轮复习（含答案）

第16课时二次函数的综合应用

基础夯实

1.(2024.石家庄模拟)已知二次函数y=2(x/)(xd+3)的图象与其向上平移m个单位所得的图象都

与x轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则机的值为()

A.2B.3

C.4D.5

2.(2024.石家庄模拟)如图，点A,3的坐标分别为(1,4)和(4,4),抛物线y=a(x-m)2+n的顶点在线段A3

上运动，与x轴交于C,D两点(C在D的左侧).

(1>=-

(2)若点C的横坐标最小值为-3,则点D的横坐标最大值为.

3.(2024.通辽)如图,在平面直角坐标系中，直线y=-|x+3与x轴,y轴分别交于点C,。,抛物线尸»

2)2+k(k为常数)经过点。且交x轴于A,B两点.

(1)求抛物线表示的函数解析式.

(2)若点P为抛物线的顶点，连接ADQRCP,求四边形ACPD的面积.

4.(2024•邯郸邯山区二模)如图,RtZXABC中,/氏4。=90。4(1,2),点3(4,2),NA3C=30。,抛物线L:y=

-1-冉*/>0)的顶点为M与y轴的交点为N.

⑴抛物线有可能经过点A吗?请说明理由.

⑵设点N的纵坐标为期,直接写出处与t的函数关系式，并求处的最大值.

（3）在L的位置随t的值变化而变化的过程中，直接写出点〃在AABC内部所经过路线的长.

能力提升

1.（2024.衡水桃城区二模）如图是某山坡的截面示意图，坡顶距x轴（水平）5m,与y轴交于点P,

与坡A3交于点A,且AP=2,坡A3可以近似看作双曲线丁。的一部分.坡3。可以近似看作抛物线

L的一部分，且抛物线L与抛物线产#的形状相同,两坡的连接点B为抛物线L的顶点，且点B到

y轴的距离为5m.

⑴求k的值.

（2）求抛物线L的解析式及点D的坐标.

⑶若小明站在坡顶PA的点〃处，朝正前方抛出一个小球。（看成点），小球Q刚出手时位于点N处,

小球Q在运行过程中的横坐标X、纵坐标y与小球出手后的时间t满足的关系式为x=at+l,y=-

a是小球Q出手后水平向前的速度.

①若a=5,求y与x之间的函数关系式；

②要使小球最终落在坡BD上（包括B,D两点），直接写出a的取值范围.

y\N

27

O\~25Dx

2.(2023•常德)如图，二次函数的图象与x轴交于A(-l,0),5(5,0)两点，与y轴交于点C,顶点为D.0为

坐标原点,tanNAC。=|.

(1)求二次函数的解析式.

(2)求四边形ACDB的面积.

(3)尸是抛物线上的一点，且在第一象限内，若NAC0=NP3C,求点P的坐标.

【详解答案】

基础夯实

1.C解析:当y=0吐2(x-A)(x/+3)=0,

解得xi=k-3,X2=k.

，抛物线y=2(x/)(x/+3)与x轴的交点坐标为(上3,0),(%,0),如图,

这两个交点之间的距离为h(h3)=3,

..•二次函数y=2(xd)(无次+3)的图象与其向上平移m个单位所得的图象都与x轴有两个交点，这四个交点中每相

邻两点间的距离都相等，

，每相邻两点间的距离都为1,

平移后的抛物线与无轴的交点坐标为&2,0),(hl,0),

平移后的抛物线解析式为y=2[x-(h2)][x-(hl)],

即y=2x2-2(2k-3)x+2/c-6k+4,

:抛物线y=2(尤团(x/+3)向上平移m个单位所得的抛物线解析式为y=2x2-2(2k-3)x+2k2-6k+m,

.,.m=4.故选C.

2.(1)4(2)8解析:⑴、•点48的坐标分别为(1,4)和(4,4),

...线段AB所在的直线方程为产4,

..,抛物线y=a(x-m)2+n的顶点(,〃,")在线段AB上运动，

n-4.

(2)：抛物线y=a(x-m)2+n的顶点在线段AB上运动，

/.当抛物线顶点为A(l,4)时，点C的横坐标为最小值-3,

此时,对称轴为直线％=1,则D点横坐标为5,8=8,

当抛物线顶点为8(4,4)时,抛物线对称轴为直线x=4,

CD=8,

.•.C(0,0),Q(8,0),

此时D点横坐标最大，最大值为8.

3.解:⑴在y=-|尤+3中，令x=0,得产3,

:抛物线y=-；(x-2)2+左经过点0(0,3),

4

.•.3=—x(0-2)2+匕

解得k=4,

y=-：(尤-2)2+4=-#+x+3,

...抛物线表示的函数解析式为y=-¥+x+3.

⑵连接OP,如图.

在y=-|x+3中，令y=0,得x=2,

C(2,0),OC=2,

在y=二/+x+3中，令y=0,得0=--X2+X+3,

44

解得x=6或x=-2,

AA(-2,0),OA=2,

由y=4(x-2)2+4可得抛物线的顶点P的坐标为(2,4),

4

=S+S人+S=-x2x3+-x3x2+-x2x4=3+3+4=10.

四边形ACPD^AAODAP0D'AOC222

四边形ACPD的面积为10.

4.解:(1)抛物线不可能经过点4,理由：

将点4(1,2)代入抛物线的关系式并整理得上4什5=0,

VJ=16-20<0,

此方程无解，

故抛物线不可能经过点A.

⑵加=-21)2+1,且yN的最大值为点

⑶点M在AABC内部所经过路线的长为e-V2.

解析:由y==x-f)2+f,知顶点〃(口),则在L的位置随t的值变化而变化的过程中，点M都在直线产x上移动，设直

线y=x交AB于点R,交BC于点G,如图，则点R(2,2),

由点8(4,2)、/ABC=30。知，直线BC的关系式为j=-y(x-4)+2,

联立直线BC的关系式和尸，得>*-4)+2,

解得x=V5+i,

贝IjG(V3+1,V3+1),

由点R,G的坐标得RG=<6-V2,

点M在△ABC内部所经过路线的长为乃-V2.

能力提升

1.解:⑴由题意得42,5),

:双曲线yg经过点4(2,5),

.*2x5=10.

⑵设点B的纵坐标为"，则B(5,M).

:点8(5,w)在双曲线广子上，

8(5,2).

:抛物线L与抛物线y=%的形状相同，且顶点为2(5,2),

8

抛物线L的解析式为尸幻-5A+2,

8

令y=0,得0=1(X-5)2+2,

O

解得％1=932=1(舍去)，

・•・0(9,0).

(3)①当a=5时,x=5/+l,

整理得尸¥+5+品

.1.J与X之间的函数关系式为k¥+|x+黑

②唔/喑

解析:'・"=成+1,

・

••UX-1—,

a

将《代入产5#+也得三5(?y+最

把2(5,2)代入尸5(等2+学得2=-5(^)2+y,

解得的士亨.

・・,〃是小球。出手后水平向前的速度,

・

••a4=A/-1-0.

3

把0(9,0)代入产一5仁)2+学得o=_5仁?+学

解得斫土喑,

是小球Q出手后水平向前的速度,

・、八.8V130

・・4＞。,・.。=----,

，13，

.1.«的取值范围为空土三喑.

2.解:⑴：二次函数的图象与无轴交于A(-l,0),8(5,0)两点,

.,.设二次函数的解析式为y=a(x+l)(尤-5).

1

VAO=l,tanZACO^,

噎="・℃=5,即点C的坐标为(0,5).

将点C(0,5)代入解析式，得5=0(0+l)x(0-5),解得a=-i,

二次函数的解析式为y=-(x+l>(尤-5).

(2)'.'y=-(x+l)(x-5)=-(x-2)2+9,

顶点D的坐标为(2,9).

如图1,过点D作DNLAB于点NQMLOC于点M.

=：

S四边形ACD3=SZMOC+S矩形OMDN-SZ\CZ)M+SZ^)N61X1X5+2X9-(X2X(9-5)+1X(5-2)X9=30.

图1

(3)如图2,是抛物线上的一点，且在第一象限，当NAC0=NP3C时，连接P氏过点C作CELBC交BP于点瓦过

点E作EFLOC交0C的延长线于点F.

图2

:点B(5,0),C(0,5),OC=OB=5,：.