高考数学复习讲义：平面向量

考点29平面向量

知识梳理

i.向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量疝的大小叫做向量的长度(或模)，记作通|.

(2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的.

(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量.

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.平行向量又称为共线向量，任一组平行向量都可以移到同一

直线上.规定：0与任一向量平行.

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.

(6)相反向量：与向量a长度相等且方向相反的向量叫做”的相反向量.规定零向量的相反向量仍是零向量.

2.向量的加法

(1)定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.

(2)法则：三角形法则；平行四边形法则.

a

三角形法则平行四边形法则

(3)运算律：a+，=~+a；(a+，)+c=a+(8+c).

3.向量的减法

(1)定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法.

(2)法则：三角形法则.

(3)运算律：a—&=a+(—Z>)

4.向量的数乘

(1)实数4与向量a的积是一个向量，记作为，它的长度与方向规定如下：

①Ra|=R||a；②当力>0时，痴与a的方向相同；当衣：0时，相与a的方向相反；当力=0时，Aa=0.

⑵运算律：设丸、〃GR,则:①=②(A+fi)a=Aa+jua；(§)A(a+b)=Aa+Ab.

5.向量共线的判定定理

。是一个非零向量，若存在一个实数九使得8=相，则向量b与非零向量a共线.

注意：两向量相加、相减结果仍是一个向量；数乘一个向量，所得结果也是一个向量.

向量加法的三角形法则的要点是“首尾相连，指向终点”，即第二个向量的起点和第一个向量的终点重合，和向量由第

一个向量的起点指向第二个向量的终点；向量减法的三角形法则要点是“起点重合，指向被减”，即作向量减法时，将

两个向量的起点重合，然后连接两向量的终点，差向量由减向量的终点指向被减向量的终点.

平行四边形法则的要点是“起点重合”，即两向量的起点相同.

6.平面向量基本定理

如果ei，C2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量〃，存在唯一一对实数为、丸2，使

+22«2.

我们把不共线的向量C1,改叫作表示这一平面内所有向量的一组基底.

一个平面向量Q能用一组基底Cl，C2表示，即。=九d+22。2.则称它为向量的分解。当d，02互相垂直时，就称为向量

的正交分解。

7.平面向量的坐标运算

22

(1)设A(xi,%),B(X2,yi),则赢=。2—xi,yi),|AB|=*\/(X2—xi)+Cy2—^i).

(2)设Q=(XI,yD，b=(X2,刈)，则a+力=(制+入2,yi+>2),Q—8=(打—松，川一工)，

(3)若Q=(X,y),贝!J%Q=(&,Ay)；\a\=y^+y^.

8.向量平行的坐标表示

设。=(»，yi),b=(X2,)2),其中bWO.a〃万OQ=肪o阳>2一项力=0.

9.向量相等

设Q=(%I，%)，b=(xi,yi),若a=b,则修=必为="，即坐标对应相等.

精讲精练

题型一概念的辨析

【例1】(2024•全国高三专题练习)下列关于向量的叙述不正确的是()

A.向量通的相反向量是丽

B.模为1的向量是单位向量，其方向是任意的

C.若4B,C,〃四点在同一条直线上，且加=",则荏=CZ5

D.若向量0与B满足关系a+b=0，则a与坂共线

【答案】C

【解析】A选项中，向量AA的相反向量是明，故正确；

B选项中，模为1的向量是单位向量，其方向是任意的，故正确；

C选项中，若4B,C,〃四点在同一条直线上，且AB=CD,则通与国方向可能相同或相反，故不正确，;

D选项中，若向量Z与否满足关系a+B=O,；.a=-B,则£与B共线，正确.故选：C.

【方法总结】

(1)向量定义的关键是方向和长度.

(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制.

(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等.

(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度.

(5)零向量的关键是长度是0,规定零向量与任何向量共线

【举一反三】

1.（2024•全国高三专题练习（文））给出下列命题：

①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量.

②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.

③若2a=O（，为实数），则，必为零.

④2，“为实数，若=则共线.

其中错误的命题的个数为

A.1B.2

C.3D.4

【答案】C

【解析】①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点.

②正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小.

③错误，当q=0时，不论，为何值，Xct=0-

④错误，当儿=〃=0时，Aa=jub=Q,此时，£与坂可以是任意向量.故选C.

2.（2024•全国高三专题练习）给出下列命题：

①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量.

②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.

③；I"=0（4为实数），则2必为零.

④尢〃为实数，若4不=〃5,则£与石共线.

其中正确的命题的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】因为两个向量终点相同，起点若不在一条直线上，则也不共线，命题错误；由于两个向量不能比较大小，但

它们的模能比较大小，因此命题是正确的；若；=为实数），则4也可以零，因此命题也是错误的；若尢〃为0,

尽管有；1乙=〃5,则〃与5也不一定共线，即命题也是错误的，应选答案A.

3.（2024•全国高三专题练习）下列命题中正确的是（）

A.若|司二厨，则"5B.若则同平|

C.若|同=区|,则£与否可能共线D.若同*同，则方一定不与万共线

【答案】C

【解析】因为向量既有大小又有方向，所以只有方向相同、大小（长度）相等的两个向量才相等，因此A错误；

两个向量不相等，但它们的模可以相等，故B错误；无论两个向量的模是否相等，这两个向量都可能共线，故C正确,

D错误.故选：C

题型二线性运算

【例2-1](2024•山西高三期中)如图,△ABC中，£是46的中点，点尸满足后'=2黄〔则石/=()

[f]f[f]f

C.——AB+-ACD.-AB+-AC

6323

【答案】A

-

【解析】EfF=EfB+BfF=-1AB-+2-B—C^-1AB-+2-\AAC>-ABk——1A7B+-2AfC,故选：A

2323vJ63

【例2-2](2024•武威第六中学高三月考)在△A》。中，。为AABC的重心，=2AB+//AC,则几一2〃

4

【答案】一一

3

【解析】如图所示，因为。为AABC的重心，则点。为AC的中点,

根据向量的线性运算和三角形重心的性质，

可得：

__k2__.2__.__.91__►?__►1

BO=-BD=-(AD-AB)=-(-AC-AB)=——AB+-AC,

333233

__k,21

又因为=XAB+〃AC,所以X=—,

33

214

所以X—2〃=——2x—=——.

333

4

故答案为：-

3

A

B

【举一反三】

1.（2024•河南高三月考）如图，在梯形A5c。中，ABI/DC,AB=2CD,石为线段AD的中点，且B/二,AB,

4

则彷=（）

1—.—.1—.—.

A.-DC+BCB.-DC-BC

22

C.DC+-BCD.DC--BC

22

【答案】D

【解析】由题意，根据向量的运算法则，可得而一族=（通-g而=:通-；（通+元+闻）

=-AB--BC=-x2DC--BC=DC--BC,故选：D.

22222

2.（2024•广东深圳市•明德学校高三月考）在△A6C中，点尸为AC中点，点。在上，且丽=3配，则加=

()

1—,1--1--1-.

A.-AB+-ACB.——AB——AC

4444

1--1--1--1-.

C.-AB——ACD.——AB+-AC

4444

【答案】B

【解析】•••点尸为AC中点，.•.4?=!前,

2

VW=3DC-：.AD-AB=3(AC-AD),

—■1—■3—■

：.AD=~AB+~AC,

44

.•.丽=衣—砺=!衣—工砺—」/=—工通—工前，故选：B.

24444

3.(2024•全国高三专题练习)设D,E,尸分别为AABC的三边BC,C4,A3的中点，则丽+宓=()

1—>1—>_k

A.ADB.—ADC.—BCD.BC

【答案】A

【解析】EB+FC=-^(BA+BC)-^(CA+CB)=^(AB+AC)=AD,故选：A

E

BD

4.（2024•咸阳市高新一中高三月考）在△ABC中，A。为边上的中线，£为A。的中点，S.EB=AAB+^iAC,

则4=,〃=

3£

【答案匕

4

【解析】如下图所示:

Q£＞为的中点，则加=4后+加=砺+；方心=通

•.•E为A。的中点，所以，AE=^AD=^（AB+AC）,

因此，EB=AB-AE=AB-^(AB+AC^=^AB-^AC,即；1=：,〃=

31

故答案为：“W

题型三共线定理

12

【例3】如图，在△/回中，AN=^AC,尸是脚上的一点，若静=凝+=而则实数7的值为

【答案】五

2665

【解析】注意到4P,6三点共线，因止匕相=加6+正4仁加6十五力”从而加+y=1,所以0=五.

【举一反三】

1.（2024•湖北高三学业考试）已知办是不共线的两个向量，若丽=Z+2B，OB=2a+3b＞OC=b＞则（）

A.O,A，3三点共线B.O,A，。三点共线

C.O,B,c三点共线D.A，B,。三点共线

【答案】D

【解析1由AB=OB—OA=2a+3b—(a+2b)=a+b,AC=OC—OA=/?—(<?+2b)=—a—b,

故须=一蔗，所以A，B,。三点共线.故选：D.

2.（2024•河南高三月考）已知△ABC中,点M为线段AC上靠近。的三等分点，点N是线段的中点，点尸是

直线AN与8M的交点，则而=（）

3___3___.2.2-.

A.-AB+-ACB.-AB+-AC

5555

1uun1uuu2__k3___.

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

3355

【答案】B

设击=加而+丁蔗=/而,

因为点N是线段5C的中点，所以旃=工4巨+!而

22

所以AP=xAB+yAC=t,所以x=；,y=；,即尤=丁①

因为点M为线段AC上靠近C的三等分点，所以*=?而

2

所以衣=工径+曳:W,因为用P,M三点共线，所以％+至=1②

22

2

由①②可解得x=y=M故选：B

3.（2024•全国高三专题练习）已知4B、尸是直线/上三个相异的点，平面内的点若正实数x、p满足

ULUULIUUU11

4OP=2xOA+yOB，则一+一的最小值为______.

xy

【答案】』+变

42

UUUULIULUXU廉VUUtt

【解析】：/、B、尸是直线上三个相异的点，4OP=2xOA+yOB，即。「二万加+京。^,

匚y111(1—_x~3y/2

24xy(xy人24j44x2y4\4%2y42

当且仅当:=:,即x=4—2近，y=40—4时取等号，故答案为：之+正.

4x2y-42

题型四向量坐标的加减法

【例1】(2024•全国高三专题练习)已知点A。,3),5(4,-1),则与A§同方向的单位向量为()

34433443

A.-9-----------B.-9------------C.D.

55555；5

【答案】A

老」(3_4)-"

(，(

【解析】48=(4-1,—1-3)=(3,-4),所以与通同方向的单位向量为6AB\5555，故选A.

【举一反三】

___1___

1.(2024•全国高三专题练习)已知"(3,—2),M—5,-1),且MP=—MN,则尸点的坐标为()

2

A.(-8,1)B.

C.6D.(8,-1)

【答案】B

【解析】设P(x,力，则称=(x—3,y+2),而:而=；(―8,l)=j—4,；

乙乙1乙

x-3-—4x——1(3、

所以c1,解得I3,即P—1，一。

1+2=5”5I2故选B.

2.(2024•四川资阳市•高三)已知4(1,2),5(3,4),C(-2,2),D(-3,5),则向量通.①=().

A.-4B.-2C.4D.6

【答案】C

【解析】丽=(2,2),①=(一1,3),所有荏•①=2x(—l)+2x3=4.故选：C

题型五向量坐标的垂直平行运算

【例2】(1)(2024•河津中学高三月考)向量％=(3,1),3=(2,3),"=(左,2),若(£—历〃2,则A的值是()

A.1B.-1C.4D.-2

(2)(2024•海口市•海南中学高三月考)3.设向量£=(1,1),B=(—1,3),"=(2,1),且(£—")，"，则2=()

A.3B.2C.-2D.-3

【答案】⑴B⑵A

【解析】(1)因为。=(3,1),升=(2,3),c=(左,2)所以。—6=(l,-2),c=(左,2),

因为(£—母〃入所以1x2—(―2)x左=0,所以左=—1故选：B

⑵因为Z=(l,l),b=(-1,3),所以£一彳3=(1+/1,1—32),

当(Z—花)，2时，则有2(1+4)+。—3X)=0,解得2=3.故选：A.

【举一反三】

1.(2024•贵州安顺市•高三)已知向量2=(1,2),3=(0,-2)下=(一1,4),若(21坂)//2,则实数X的值为()

11

A.——B.一3C.-D.3

33

【答案】B

【解析】22=(2,4),22—5=(2,6),(1^-b^Hc,则有24+6=0,解得：4=—3.故选：B

2.(2024•宁县第二中学)已知平面向量a=(1,"2),B=(0,2),若B_L(3a-?病),则实数机=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】B

【解析】因为B_L(3aB),所以B)=0,即=〃犷，X«=(1,m),b=(0,2),故3x27〃=4/〃，

解得机=0.故选：B.

3.(2024•永安市第三中学高三期中)已知向量M=(l,2),5=(1,1),若乙=]+垢，且B1A，则实数左=()

【答案】D

【解析】因为向量4=(1,2),^=(1,1),则防=(1+匕2+左)，

__3

又5_1_工,所以BY=I+左+2+左=0,解得左=一万.故选：D.

4.(2024•西藏拉萨市)设x,yeR,向量Z=(x/)，B=(l,y),"=(2,—4),且B/五，则%+丁=.

【答案】0

【解析】因为向量a=(x,l)，b=(1,y),c=(2,-4),且b//~c>所以。々=2%-4=0,得x=2,

1x(—4)=2y,解得y=—2,所以》+y=2—2=0.故答案为：0

题型六模长

【例3】⑴(2024•全国高三专题练习)已知4(0,—1),8(0,3),则朋=()

A.2B.710C.4D.2V10

(2)(2024.舒兰市实验中学校高三学业考试)若忖=1,根=2,£石=0,则|2Z—q=()

A.0B.20C.4D.8

【答案】(1)C(2)B

【解析】(1)由题得彳豆=(0,4)所以|通|=，0+(3+1)2=4.故选C

(2)因为一=4『一4£出+片=4一0+4=8.所以|2£—0=2忘.故选：B.

【举一反三】

1.(2024•西藏拉萨市•拉萨那曲第二高级中学)已知向量；=(2,3),B=(3,2),则归―石卜()

A.72B.2C.572D.50

【答案】A

【解析】由题意得£一石=(一1,1),所以|£_q=/(_1)2+12=近,故选：A

2.(2024•黑龙江大庆市•大庆中学)已知向量£=(—1,1),b=(l,m),若£j_B，则忖=()

A.1B.0C.73D.2

【答案】B

【解析】已知向量2=(—1,1),b=(l,m),且£，凡则£不=一1+m=0,解得加=1，因此，+，仔+俨="

故选：B.

2JTTT

3.(2024•静宁县第一中学高三)已知平面向量二均为单位向量，若向量二的夹角为二，则2根+3〃=()

ilbILHLfbQ

A.25B.7C.5D.不

【答案】D

QJT

【解析】因为平面向量.，一为单位向量，且向量向量.，；的夹角为二，

〃CILHb!L&

1—>—>i—

所以|2阳+3为『二4玩之+12m-n+9n2=4+9+12x1x1x(--)=7,故2m+3n=.故选：D

4.(2024•西藏拉萨市•拉萨那曲第二高级中学)设£3为单位向量，且|G+B|=1,则忻-4=.

【答案】币

【解析】•.工行为单位向量,

・，・|a+B|2=(a+B)2=1+2〃.行+片=1+2〃石+1=1,•,•(2-b=——.

；.12a—q=J(2Z—]y=74a-4a-b+b=j4-4x+1=J7.故答案为：S.

题型七数量积及投影

irri⑸

【例3】(1)(2024•南京航空航天大学附属高级中学高三期中)已知平面向量a=(1,0),b=，则£与£+石

I22J

的夹角为.

(2)(2024•莆田第十五中学高三)已知Z=，忖=1,忖+2囚=2,则B在£方向上的投影等于______.

(22J

R]

【答案】⑴—(2)——

34

1r(iG)rr11rrr

【解析】⑴Qa=(l,O),b=——