高一暑假作业：三角函数二

高一暑假作业5：三角函数（2）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.（2024•河南省郑州市•月考试卷）圆心角是半，半径是2石的扇形的面积为（）

A.2〃B.4万C.5万D.10%

2.（2024•广西壮族自治区•月考试卷）嬴崔肃丽=（

)

A.1B.石C.-1D.-73

3.（2024•广东省中山市•月考试卷）已知cos（a-令=*，47r

贝l]sin(3-+a)=()

A.在

c屈D娓

3333

4.（2024•湖北省鄂州市•月考试卷）已知锐角a终边上一点A的坐标为（2sin3,-2cos3）,则角a的弧度数为

()

717t包-3

A.3-----B.-----3C.71—3D.

222

1+cos^0

5.(2024•湖南省•联考题)若tan。=—2,则=()

sin26

233_4

A.——B.——C.——D.

324

6.（2024•山东省•期末考试）已知sin夕一sin/=1一^~,

cosa-cosJ3,贝Ucos(2—/?)=()

2

A.一@B.--C.-

D.

2222

且a万€［乃,芳］,

7.(2024•北京市•月考试卷)若sin2a-,sin(/?-a)-则a+/3的

值是()

7»9万5万一7兀5万一9兀

A.——B.——C.—或D.—或——

444T44

8.（2024•山西省临汾市•月考试卷）如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半

圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC、直角边A3、AC,已知以直角边AC、AB为

直径的半圆的面积之比为记NABC=e,则sin2cos,的值为（）

4cos0+sin3

A.-1B.-2C.0D.1

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.（2024•辽宁省•模拟题）已知角。的顶点与原点。重合，始边与无轴的非负半轴重合，它的终边过点

345

P-二,—g）.若角分满足sin（<z+/）=E，则cos"的值为（）

5616949

A.------B.—C.-----D.—

65656565

JT

10.（2024•山东省青岛市・单元测试）己知。<0</?<•一，且tani,tan4是方程f-卮+2=。的两不

2

等实根，则下列结论正确的是（）

A.tana+tan/3=—kB.tan（（z+j3）--k

C.左>20D.k+tana..4

11.（2024•山东省青岛市•月考试卷）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭

赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央.出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几

何？”其意思为“今有水池1丈见方（即CD=10尺），芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1

尺.将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接（如图所示）.试问水深、芦苇长各是多少？"假设，=NE4C,

则下列结论正确的是（）

A.水深为12尺B.芦苇长为15尺

02「八C17

C.tan—=—D.tan0-\—=-----

23I4J7

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

35

12.AABC中，.已知sinB=—,cosA=—■,贝i]cosC=.

513

13.（2024•湖北省黄冈市•月考试卷）已知Zsing-?）=cosa,则tan«=,

14.若锐角C，力满足sin（a_?}in?J=cosacos4，则a+/的值为

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.（2024•山东省济宁市•月考试卷）（本小题13分）

已知tana=」，cos£=^^且0<a<工，—<(3<2TT.

3〃522

(1)求tan2a的值;

（2）求a+用的值.

16.（2024•浙江省•月考试卷）（本小题15分）

在①tancr=46,②7sin2a=8^/5cosa，③tan里=中任选一个条件,补充在下面问题中,并解决

22

问题.

JT13

已知,cos（cr-；0）=—.

（1）求sing+工）的值;

4

⑵求。

17.(2024•安徽省合肥市・单元测试)(本小题15分)

已知函数/。)=加［5+3(4>0,0>0)的最大值为2,函数〃元)图像的相邻两条对称轴之间的距离为

71

了

⑴求AM的值;

rr

⑵若/>9)=2,0<tz<—,求cos2a的值.

2

18.(2024•湖北省黄冈市•月考试卷)(本小题17分)

已知函数/(x)=2y/3cos2+x)-2sin(=+x)cosx-石.

⑴求/(x)的最小正周期和单调增区间；

(2)若尤0-=3尤oe与，%,求sin2x。的值.

I6J25L4」

19.(2024•湖南省长沙市•模拟题)(本小题17分)

已知函数/(x)=sinox(0>O)的部分图象如图所示，点P为函数y=f(x)图象上的最高点，点A为函数

y=f(x)图象与X轴的交点，点。为坐标原点，且OP・AP=1——.

⑴用g表示点尸和点A的坐标；

⑵求切的值；

JT-A1

⑶若AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且/（'-万）=/，B+b=2c，求sinC的值.

1.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查扇形的面积公式，属容易题.

利用扇形的面积公式即可求解.

【解答】

解:因为扇形的圆心角是彳，半径是2途

则扇形的面积为1X^X(2A/5)2=4^,

故选3.

2.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查三角函数的化简求值，属于基础题.

利用诱导公式和特殊角的三角函数值即可求解.

【解答】

sin(-150°)-sin150°-sin30°91

角牛：-------------------------=------------------------=-----------------------=--------=1

,tan135°+cos(-60°)-tan45°+cos600-tan45+cos60°

一2

故选A.

3.【答案】B

【解析】【分析】

本题主要考查了诱导公式的运用，属于基础题.

观察所给的角之间的关系直接利用诱导公式即可求解.

【解答】

(勿、,Tt<3

解：cosa----=cos(-------a)=——,

\6)63

［翊+.=smTi:+[—+a\=—+a\=.

I3J[3)\U)3

故选B.

4.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查任意角的三角函数的定义以及诱导公式，属于基础题.

先根据定义得口正切值，再根据诱导公式求解.

【解答】

cosin(----3)

-2cos3?式、

解：由题意，tana=c..=-------------=tan(3--),

(兀、

2sin3cos(--3)2

X0<3--<-,。为锐角，/.2=3—七.

222

故选A.

5.【答案】B

【解析】【分析】

本题主要考查二倍角公式及同角三角函数的基本关系，考查了计算能力，属于基础题.

利用二倍角公式及同角三角函数的关系式化简求值即可.

【解答】

解：•.•tan6=-2,

1+cos20_sin20+2cos20_tan20+2_4+2_3

sin202sincos6*2tan。-2x22

故选B.

6.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查逆用两角差的余弦公式和利用同角三角函数基本关系化简，属于较易题.

先求出sintz-sin，=l-4和cosa-cos分=g的平方和，再利用两角差的余弦公式和同角三角函数

的基本关系化简求出cos(c-4)的值.

【解答】

解：因为sina-sin4=1———,

22

所以(sina-sin咛=sin2—2sincsin/?+sin/7=-,

4

因为cosa—cosQ=g,

所以(cosa-cos尸产=cos2a-2cosacosB+cos2B=—,

4

所以(cos2a+sin2a)+(cos2p+sin20)-2(cosacos/+sinasin夕)

=：+([一百),

44

所以1+1-2(cosacos/?+sinasin(3)=2-，

所以2—2cos(a—2)=2—百，

故cos(a-0=

故选：D.

7.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查给值求角问题，要注意角度的取值范围.

利用复合角可得。+尸=2。+(2-。)，再利用两角和与差的正弦求值，最后得到的值

【解答】

解：sin2a=2sin6zcosa>0,

sin。,cos。符号相同，

冗冗兀兀

又。£—,71(XG—,—,2。£—,71,

_4J142J\_2_

由sin2a可得cos2a=一马看,

55

又芳],sin(万一。)=[^〉0,二•/一[£

.•.cos(y0-cr)=-^^,

')10

cos(a+分)=cos[2i+(£-a)]=cos2acos(月一a)—sinsin一1)

2非3A/10小晒也

_______y__________________y_______—______

5105102

I冗兀(Jr3兀57r

得a+/e——,2兀

_42j24

故选A.

8.【答案】A

【解析】【分析】

本题在实际问题背景下考查同角三角函数关系，属于中档题.

14r11

先根据面积比得到一=—,从而得到tan9=—,再根据同角三角函数关系求解，即可得到答案.

AB22

【解答】

解：以直角边AC,AB为直径的半圆的面积分别为:

1,AC、2"・(AC)2

_x%x()=------------，

228

1,AB、2万・(48)2

『X堂

由面积之比为:，得：等/=),即生=工

4(AB)Z4AB2

AC1

在Rt/kABC中，tan0—tanNABC------——

AB2

l,sin8—2cos6tan6-22

则------------

cos6+sine1+tan0]+1

2

故本题选A.

9.【答案】AB

【解析】【分析】

本题考查了任意角的三角函数的定义、同角三角函数的基本关系以及两角差的余弦公式，属于中档题.

先根据终边过点P(-1,-()求出sine以及cosa,再利用同角三角函数的基本关系和两角差的余弦公

式求解即可.

【解答】

解：由角。的终边过点P(—|,—令，

43

得sin——,cosa=——.

由sin（a+，）=A，得cos（c+尸）=土值.

又因为£=3+7?）—

若cos（a+1）=百，

贝Icosf3=cos（6r+p）cosa+sin（a+仍sina

若cos（。+p）——,

贝UcosB=cos（cr+0）cosa+sin（a+p）sina

10.【答案】BCD

【解析】【分析】

本题主要考查两角和与差的三角函数公式，考查韦达定理，属于中档题.

根据△=(一左J_4xlx2〉0,利用韦达定理可得tanc+tan/?=左，tanc•tan/?=2,

tan(o+4)=-左，可判断ABC；结合基本不等式与韦达定理可得出O正确.

【解答】

jr

解：因为0<&<力Vy

所以tana>0,tan/?>0,

因为方程必—丘+2=0有两不等实根，且两根为正，

故A=-4xlx2>0,tana+tanp=k>0,tana-tanJ3=2,

所以左>2行，故。正确，A不正确；

/八、tana+tanB,匕

故tan（。+/?）=■；------------n=~k，故5正确；

1—tana•tanp

2

k+tana=2tana+tan/3=2tanaH------..4,

tana

当且仅当tana=1时等号成立.

故左+tancr..4成立，£＞正确.

故选择BCD.

11.【答案】ACD

【解析】【分析】

本题主要考查的是两角和与差的三角函数公式，二倍角公式的有关知识，属于中档题.

由题意利用勾股定理求出3C的值，可得tang=——的值，再利用二倍角的正切公式求得tan—的值,

AB2

利用两角和的正切公式求得tan(e+?j的值.

【解答】

解:设3C=x,则AC=x+l,

-.AB=5,

22

故由勾股定理可得AB+BC=AC2，

即52+/=(x+l)2,解得x=12,

:.BC=12尺,故A正确；

.•.AC=12+1=13尺，故8错误；

解得：tan]=：或tan]=—5(舍去)，故C正确;

tan0+tan—

tan（8+一）=

1一tan夕tan—

—,故。正确.

1——xl/

5

故选ACD

12.【答案】—

65

【解析】【分析】

本题考查两角和与差的三角函数公式及同角三角函数基本关系式，属于基础题.

利用两角和与差的三角函数公式及同角三角函数基本关系式即可得解.

【解答】

35

解：・.,AABC中，sin5=—，cosA=—,A,Be(O,TT),

513

兀冗冗

sinA>0>且一vAv—,B<一,

323

sinA=A/1—cos2A=—,

13

/.cosB=\/l-sin2B=[,

/.cosC=cos[/r—(A+B)]=—cos(A+B)

=—cosAcosB+sinAsinB

5412316

二---x—|-----x—二—

13513565

故答案为—.

65

13.【答案】6+1

【解析】【分析】

本题考查两角差的正弦函数公式和同角的三角函数基本关系，关键是掌握公式的运用，属于基础题.

根据题意，先利用两角差的正弦函数公式展开，整理后再运用同角的三角函数基本关系化简即可.

【解答】

解：2sin(cif一5)=2(sinacos(-cosasing)=sin。一百cosa—cosa,

sin。=(1+若kosc,

sin"=6+1，gptan6Z=^+1.

coscr

3万

14.【答案】—

4

【解析】【分析】

本题主要考查两角和与差的正弦、余弦公式，考查了商的关系以及特殊角的三角函数，考查了运算求解

能力，属于中档题.

利用两角差的正弦公式展开原式，化简后逆用两角和的正弦、余弦公式可得-sin(a+0=cos(a+〃)，

则tan(a+⑶=-1,结合。，刀为锐角可得答案，

【解答】

解：sinljsinlP~~\=cosacosP

[3-cos/?)=cosacos/?，

o(sina-coscr)(sin尸-cos2cosacos/3

o(sinasinJ3-sinacos[3-cosasm[3+cosacos0)=2cosacos/?

o—sinacos(3-cosasmp=cosacos4一sinasinf3

o-sin(a+0=cos{a+p)

otan(6Z+/)=—1,

因为/是锐角，所以。va+4〈万,

所以。+方的值为3把77，

4

37r

故答案为：—.

4

15.【答案】解：(l)・.・tana=g,

c,2x—

八2tan。33

/.tan2a=-------------=-------^―

1-tana-J)24

(2)cosB-</<2万，

2百

sin/?5

tanp=二一2,

cos/775

5

tana+tan〃2

/.tan(cr+/?)=I-=-l,

1-tan-tanP]_J_x(_2)

-35)

0<df<—,—<<2^",

22

3%c5〃

2<a+0<2，

【解析】本题考查了同角三角函数的基本关系和二倍角公式，属于基础题.

⑴根据已知条件，利用二倍角的正切公式，即可求解.

(2)根据已知条件，求出tan(a+#),然后结合0＜。＜匹，边＜(3＜2兀,即可求出以+/的值.

22

7T

16.【答案】解：(1)0<<—,/.sin^z>0,coso>0,

sin2atan2a_4848

若选①tana-4G，则sin2a=

sin2a+cos2a1+tan2a48+149

则sine=迪，coscr=-

77

若选②7sin2a=8gcosa，则14sinacoscr=8J5cos2，

•「cosewO,sina=----，贝Ucos。=一.

R2tan—

若选③tan^二卫，则tana=----------二

221-tan2—

2

sin2atan2a4848

a-.........................=-------------=--------=—

sin2a+cos2a1+tan2a48+149

则sina=------,cos6Z=—.

77

综上sina—------,cosa=1.

77

.TCTC71

sin(ad——)=sinacos——Fcosasin—

444

母46J4指+及

丁〒+_14

jr

(2),/0</?<a<—,——<—[3<0,/.0<6/—/?<—

,6133n

COS(6Z-p),sin(a-')二

/.sin0=sin[cr-(a—/7)]

=sinacos(6Z—(3)—cosasin(cr—[J)

4A/31313A/349A/3A/3

=---------X---------------X----------=-------------=--------,

714714982

c冗

3

【解析】本题主要考查三角函数值的计算，结合两角和差的三角公式进行转化是解决本题的关键.

⑴根据三角函数同角关系求出sine,cosa,结合两角和差的正弦公式进行计算即可.

(2)求出角a-〃的范围，结合两角和差的三角公式进行转化求解即可.

17.【答案】解：⑴由题意，函数/(%)的最大值为2,可得A=2,

ITTTC

由函数个)图象的相邻两条对称轴之间的距禺为万，可得5=5

="'可得0=^=2；

TT

(2)由(1)知/(x)=2sin(2x+—),

6

又f(a)=2,

71

=2sin(2crH——)=2,

6

/.sin(2a+—)=1,

则cos(2a+—)=./1-sin2(2a+—)=0,

6V6

冗冗冗冗.冗.冗1

/.cos2a=cos[(2aH——)---]=cos(laH——)cos——\-sin(2aH——)sin—=—.

6666662

【解析】本题主要考查三角函数图象和性质，两角差的余弦公式，属于中档题.

⑴根据函数的最值可得A,根据相邻两条对称轴之间的距离可得最小正周期为万，即可求得。；

⑵由"0=2可得sin(2a+f)=l,求得cos(2a+f),再根据两角差余弦公式求出cos2c的值.

66

18.【答案】解：⑴/(x)=20cos[]+x]—2sin(»+x)・cosx—

=l^sir^x+2sinx•cosx-6=A/3(1-cos2x)+sin2x-若

=sin2x-cos2x=2sin2x--\

I3j

故周期为T=?=),

2

令--+2左7度必r—+2k兀,keZ,

232

一■—+——+Avr,左£Z,

1212

-rrSTT

所以的增区间为一二+左万,二+