广东省东莞市某中学2024-2025学年高三年级下册适应性考试数学试题（含答案解析）

广东省东莞市光明中学2024-2025学年高三下学期适应性考试

数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合4={邓<*<“},8={-2,0,1,2},若人口8=0，则实数。的取值范围是（）

A.a<\B.a<2C.a<\D.a<2

2.已知z=高，则|z_l|=（）

A.日B.1C.&D.2

3.已知公差不为零的等差数列{%}的前〃项和为S“，且&=5（生+出+殁），则人（）

A.8B.10C.13D.15

4.已知点0（0,0）,向量函=（-1,2）,向量无=（2,4）,且羽=2而，则础=（）

A.-B.MC.-D.晅

233

5.函数〃x）=sinx+sin2x在区间（0,3兀）上的零点个数为（）

A.4B.5C.6D.7

6.在平面直角坐标系x0y中，满足不等式组］：2：；21；；：；的点（乂，）表示的区域面积为

（）

71

A.――1B.兀C.7i-lD.71-2

2

7.锐角VABC的内角所对的边分别为〃也c,角A的平分线交8C于点O,若

〃+2acos5=2c,且〃=近，8=3.则下列结论中错误的是（）

,71B.4。=述

A.A=—c.s△…孚D.c=l

35

8.若对于任意正数天儿不等式Ml+lnx”xlny-世恒成立，则实数〃的取值范围是（)

1]_J,+oo

B.，一C.D.

ee

二、多选题

9.已知随机事件A,8发生的概率分别为尸(A)=g,尸(8)=：.事件A,2的对立事件分别

为X，耳,则下列结论正确的是()

A.叩)=|

B.若A与B互斥，贝UP(AuB)=|

C.若尸(AB)=尸(A)尸(3),则A,B相互独立

D.P(A|B)+P(A|B)=P(B)

io.在正方体ABCD-ABIGD中，。为四边形ABiGA的中心，平面ABon平面cor>=/,

则下列结论正确的是()

A.直线A。与BC1异面B.AOLBD

C.平面ABO_L平面CODD./〃平面ABG2

11.已知定义域为R的函数“X)满足"x—y)-/(x+y)=/(x-l)/(yT，且40)=2,

g(x)为"%)的导函数,则()

A.“X)为偶函数B.g(x)为周期函数

2025

C.优)=。D.g(2026)=0

k=0

三、填空题

12.若二项式(2x+@y的展开式中1的系数是84,则实数。=.

%X

13.已知随机变量x,y均服从0-1分布，若尸(x=i)=尸(y=i)=g,且尸(xy=o)=i,则

P(X=Y)=.

14.设圆o：f+产=5与抛物线C:y2=2pM>>0)交于点A(x0,2),为圆。的直径，过

点8的直线与抛物线C交于不同于点A的两个点。，E,则直线与AE的斜率之积

为.

试卷第2页，共4页

四、解答题

15.记锐角VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos(3—A)=cosA+cosC.

(1)求8的大小；

⑵若sinA,sinB,sinC成等差数列，且VABC的外接圆半径为1,求VABC的面积.

16.已知函数〃尤)=：依2+(a-l)x-lnx.

⑴讨论的单调性；

(2)当a>0时,求函数/(X)在［1,2］的最小值g(a).

17.在如图所示的圆柱中，AB,C。分别是下底面圆O,上底面圆。।的直径，AD,BC是圆

柱的母线，E为圆。上一点，尸为。E上一点，且OP〃平面8CE

(1)求证：DP=PE；

(2)若AB=8C=2,二面角O-CE—8的正弦值为孚，求三棱锥C-P3E的体积.

V-21

18.已知曲线C:y=£，。为直线丁=-不上的动点，过。作C的两条切线，切点分别为A,8.

22

(1)证明：直线48过定点：

(2)若以为圆心的圆与直线48相切，且切点为线段A8的中点，求该圆的方程.

19.甲乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲乙各猜一个成语，已知甲、乙第一

轮猜对的概率都为［甲如果第左(keN*)轮猜对，则他第七+1轮也猜对的概率为g,如果第

2

左轮猜错，则他第k+1轮也猜错的概率为乙如果第左轮猜对，则他第k+1轮也猜对的概

率为:，如果第上轮猜错，则他第k+1轮也猜错的概率为;.在每轮活动中，甲乙猜对与否

互不影响.

(1)若前两轮活动中第二轮甲乙都猜对成语，求两人第一轮也都猜对成语的概率；

(2)若一条信息有"5>l,«eN*)种可能的情形且各种情形互斥，每种情形发生的概率分别为

鸟，L,P”,则称“=-£(平og2编为该条信息的信息燧(单位为比特)，用于量度

1=1

该条信息的复杂程度.试求甲乙两人在第二轮活动中猜对成语的个数X的信息燧H；

(3)如果“星队”在每一轮中活动至少有一人猜对成语，游戏就可以一直进行下去，直到他们都

猜错为止.设停止游戏时“星队”进行了y轮游戏，求证：E(y)<4.

试卷第4页，共4页

《广东省东莞市光明中学2024-2025学年高三下学期适应性考试数学试题》参考答案

题号12345678910

答案DCCDBDDCABCABD

题号11

答案ABD

1.D

【分析】根据集合A是否为空集进行分类讨论，由此求得。的取值范围.

【详解】当时，A=0,满足从口8=0,

当a>l时，AX0,由=

可知1<aW2,

综上所述，a<2.

故选：D

2.C

【分析】先利用复数的除法化简，再利用复数的模公式求解.

2-iJ)。一方)

【详解】解:因为z=

l+2i(l+2i)(l-2i)

所以z—l=—1—i,

所以=+(-1)2=0,

故选：c

3.C

【分析】利用等差数列求和公式以及等差数列的性质可求得上的值.

【详解】因为公差不为零的等差数列｛%｝的前〃项和为3，且几=5(/+%+%),

因为S15=-=15〃8—5(〃3+/+Q左),

整理可得。3+以=2%=%+%3，故氏=%3，所以，左=13.

故选：C.

4.D

【分析】设方=(x,y),表示出市5、丽的坐标，从而得到方程组，解得求出赤，再

由模长公式求解即可.

答案第1页，共14页

【详解】设丽=(x,y),因为向量丽=(-1,2),砺=(2,4),

贝屈=而_砺=(x,y)_(-l,2)=(x+l,y_2),

丽=砺一丽=(2,4)—(x,y)=(2-x,4-y),

X=1

解得10,

y=­

3

5.B

【分析】利用二倍角公式可得sinx=。或l+2cosx=0,故可求零点个数.

【详解】令〃尤)=。，贝Usinx+2sinxcosx=0,

故sinx=0或l+2cosx=0,而》€(0,3兀)，

所以工=兀或x=2兀或x=夸或苫=手或工=券，

故共有5个零点，

故选：B.

6.D

【分析】根据圆与圆的位置关系来求得正确答案.

x2+y2-2x<l(-^-1)-+y2<2

【详解】依题意,

x2+y2+2x<\(x+1)2+y2<2

所以不等式组表示的区域是圆G:(xT)?+y2=2与圆C?:(x+iy+y2=2公共的内部区域,

画出图象如下图所示，^(1,0),^(1,0),两圆半径都是&,

设两个圆相交于两点，则4(0,1),*0,-1),

由于『2，

|AC+|AC2|=|CG「AC21AClt

所以AC?是圆C1的切线，AG是圆G的切线,

同理8C?是圆C1的切线，BG是圆G的切线，BC21BC,

答案第2页，共14页

|Aq|=|AC2|=|Bq|=|BQ|=^,所以四边形ACtBC2是正方形,

所以区域面积为；xnx(0)-ix72x72X2=TI-2.

故选：D

7.D

【分析】利用余弦定理，三角形面积公式，逐项分析即可.

【详解】因为6+2ocosB=2c,且。=近，b=3,

2C-3

所以3+2，7COS8=2C,即COSB=："^,

/+。2—/_7+。2-9

由余弦定理,cosB=

2ac2币c

由2；金=；正2，整理得，一3c+2=0,解得。=1或。=2,

当。=1时，cos5=,<0,此时B为钝角，与VABC为锐角三角形矛盾，舍去,

故c=2,即D错误;

由〃=,b=3,c=2,和余弦定理，可得cosA="+'——9+4-7_1

2bc2x3x2-2

因为A为三角形的内角，所以4=g,故A正确；

此时，S=—bcsinA=—x3x2xsin—=，故C正确;

aABC2232

因为A0为角A的平分线，设AD=%,

由S4e=S+S,nr^-&csin-=-cxsin-+-Z?xsin-,

ABhBADhCAD2jZo2o

即得上巨=J_x+3x,解得x=5叵，即AD=5叵，故B正确.

22455

故选：D.

8.C

【分析】对不等式分离参数得到在?吟一不令「。构造函数g⑺=哼1〃«0,+孙

答案第3页，共14页

则。NgOmax，通过导数研究g«)单调性求出最大值即可.

【详解】由不等式1(1+1!1^"X111'一冲恒成立，且%>0,y>0,

JQ尤XVX

分离参数得ay〉x(lny_lM)_x,所以QN](lny_lnx)_1,gp«>—ln^--,

设"十，得〃之^2^，«0,+力)，设g⑺Jn；T,，«0,+孙则〃Ng«)max.

g@="学,由g'⑺=0得"e2,当re(0,e2)时，g'W>0,g⑺单调递增；当口④,一)

时，g'«)<0,gQ)单调递减；

2-11

所以g«)max=g(e?)=^-=F.

ee

所以a2r.

e~

故选：C.

9.ABC

【分析】由对立事件概率的公式求得尸(4),判断A选项；由互斥事件的概率公式求得

P(AUB),判断B选项；由独立事件的公式求得尸(钙)，判断C选项；由条件概率即可判

断D选项.

【详解】对于A,因为P®=l-P(A)=j所以A正确；

对于B,因为A与2互斥，所以P(AuB)=尸(A)+P(2)=:所以B正确；

对于C,因为尸(AB)=P(A)尸(可，根据事件独立性的定义可知A,B相互独立，所以C正

确;

_-P（AB}P（AB）P（AB）+P（AB）=^=11

对于D,由「（A|B）+P（A|B）=\\/=———T-,所以D

P⑻P⑻P⑻

错误.

故选：ABC.

10.ABD

【分析】根据题意作图，由线线平行得到两直线共面，从而找到交线，由线线平行证明线面

平行判断D选项；利用假设法和点线面的关系证明A选项；证明线面垂直，从而得到线线

垂直，判断B选项；由锐二面角的定义得到两平面夹角，设正方体棱长，求出二面角即可

判断C选项.

答案第4页，共14页

【详解】根据题意作图，取A〃，CM中点H,/,连接印，连接AC交B£＞与点。I，连接。a,

如下:

行一一一。「、、弓

，/为A2C片中点，H/〃A/〃AB且Oem，.•.印U平面ABO,

同理可得：mu平面DCO,即m为直线/,/不在平面ABG2内，

1//AB,ABu平面ABC]，，；./〃平面ABC^,D选项正确；

,/Iu平面AlBlClDl,：.平面4耳CDCl平面ABO=I,

又：Ge平面AB£Z)i，

假设若直线AO与直线BG共面，则Ge/,显然假设不成立，

即直线4。与BG异面，A选项正确；

在正方形A3CD中AC13D,在正方体中。。J•平面ABC。，Mu平面ABC。，

OOX1BD,又acnoq=a，ACu平面AOC,。。＜=平面AOC,

，BD工平面AOC,又AOu平面AOC,ABD1OA,B选项正确；

•/HI/Z^B,,Z.HI±平面BCCE,CIu平面BCCQi,BIu平面BCCtBt,

HILCI,HILBI,由：C/u平面。OC,B/u平面AOB,

即ABIC为平面ABO与平面COD的锐二面角，设正方体边长为2,

则3/=C7=小C；+CC；=712+22=75,

R[2./02_c.c_Ao

cosABIC=------------=——=_「广=一片0,即ABICw90°,即平面ABO，平面

2BIIC2XA/5X755

COD不成立，C选项错误.

故选：ABD.

11.ABD

答案第5页，共14页

【分析】通过对给定的函数关系式进行赋值等操作来分析函数f(x)的性质，并结合导数来

判断各个选项的正确性，从而确定正确答案.

【详解】令x=y=O,代入/炽一田一/口+/=/口一口/⑶一口可得：

/(O)-/(O)=f(-l)/(-l),即o=(f(_i))2,所以f(_i)=o,

令y=l,则/'(x-l)-/。+1)=/(X-l)f(O)=2/(x-l),BP/(x+1)=-/(%-1),

令x=0得/⑴=_〃T)=0,

以x+1替换尤，贝iJ/(x+2)=-/(x),/(3)=/(1+2)=-/(1)=0

以x+2替换x,则/(x+4)=-/。+2)"(无)，所以函数/(©是周期为4的周期函数.

令X=o,m/(-y)-f(y)=/(-i)/(y-1)=o,gpf(-y)=f(y),

所以/(X)是偶函数，A选项正确.

因为是周期为4的周期函数，对〃x+l)=-/(x-l)两边求导得：

f'(x+1)=-f\x-1),即g(x+1)=-g(x—1).

x+1替换X,则g(x+2)=-g(x).

以x+2替换x,则g(尤+4)=-g(尤+2)=g(x),

所以g(X)是周期为4的周期函数，B选项正确.

由/(x)的周期为4,且"0)=2,/(1)=0,/(2)=-2,/(3)=0.

2025

£f(k)=506x(/(0)+/(I)+/(2)+/(3))+/(0)+/(I)

k=0

=506x(2+0-2+0)+2+0=2,C选项错误.

因为g(x)的周期为4,2026+4=506…-2,所以g(2026)=g(2).

又/(x+2)=-/(x),两边求导得f'(x+2)=-T(x),即g(x+2)=-g(x),

所以g(2)=-g(0).

而/(x--/(x+y)=/(x-l)/(y-1),令尤=y=l,

可得/(O)-/⑵=/(。)/(0),即2-"2)=4,/(2)=-2.

对/(x+2)=_〃x)两边求导得g(x+2)=-g(x),令尤=0,得g(2)=-g(0).

对/U-y)—/(%+y)=/(x-l)/(y—1)两边对y求导，

得-/'(x-y)-r(x+y)=_f(y-l)/(x-l),

即-g(x-y)-g(x+y)=/(x-l)g(y-l)

令工=y=0,

答案第6页，共14页

可得-2g(0)=g(-l)/(-l)=0,所以g(0)=0,贝i]g(2026)=0,D选项正确.

故选：ABD

【点睛】方法点睛：

对于抽象函数性质的研究，赋值法是一种重要手段，通过合理选取赋值，能够挖掘出函数的

奇偶性、周期性等关键性质.

函数与其导函数之间存在紧密联系，对函数等式两边求导，能从函数的性质推导出导函数的

性质，反之亦然.

12.1

rr：

【详解】试题分析：由二项式定理可得：rM=C-l2.vH-|=C2'-ax-因为3

的系数是84,所以尸=5即酸泸，*=翻gpc,x22xa5=84tz5=84,所以&=1.

考点：二项式定理.

13.-

3

【分析】根据两点分布的概率特征，结合互斥事件特征和对立事件概率性质计算即可.

【详解】解：因为随机变量x,y均服从0-1分布，且p(x=i)=尸(y=i)=g,

所以p(x=i,y=o)+尸(x=i,y=i)=；,

p(x=o,r=i)+p(x=i,y=i)=1.

因为尸(xy=o)=i,所以p(x=i,y=o)+p(x=o,y=i)+p(x=o,y=o)=i,

且p(x=i,y=i)=o.

因为p(x=i,y=i)=o,所以尸(x=i,y=o)=p(x=o,y=i)=g,

因此尸(x=o,y=o)=i_p(x=i,y=o)_p(x=o,y=i)=i_g_g=g,

所以尸(x=y)=尸(x=o,y=o)+p(x=i,y=i)=；+o=g.

故答案为：

14.2

【分析】由题意得出A。，2),B(-L-2),设D&,%),E5,%)，由8,D,E三点共线

答案第7页，共14页

可得了2%+%+2%=占%+%+2玉，结合犬=4%，y-=4x2,化简得+2（%+%）=4，

代入左仞•心E即可求.

【详解】将A（%2）代入圆的方程Y+y2=5中，

得其+4=5,故％=±1,

又因为A（%,2）为圆O:f+y2=5与抛物线C:;/=2pxO>0）的交点，

所以4（1,2）,代入y'Zpx得。=2,即抛物线Uy?=4x,

则3(-1，一2),

设£>(%,yj,El9,%)，

y+2必+2

则由3,D,E三点共线可得—=2117,

玉+1x2+1

整理得+/+2X2=占％+%+2%，

又因为y；=4X],y；=4尤2，

所以％£+4%+2y；=y；必+4y2+2MZ,

整理得-M)[%%+2®+%)-4]=0,

由题意Mw%，

所以％%+25+%)=4,

k,k=％一2%一2『一2%一2_44「_______16_______

ADAE

所以%-lx2-l)£_]*_]M+2%+2%%+2(X+%)+4

44

故答案为：2.

答案第8页，共14页

15.（l）5=f

（2）空.

4

【分析】（1）由cosC=-cos（A+3）,结合两角和差得余弦公式化简即可求解；

TT

（2）结合等比中项及正弦定理可得3再由余弦定理及正弦定理即可求解；

【详解】（1）因为cosC=-cos（A+5）,

所以cos（3-A）=cosA+cosC=cosA-cos（A+B）,

cos（B-A）+cos（A+5）=2cosAcosB=cosA

1TT

又因为VABC为锐角三角形，故COSAHO,所以COS2=5，即8=

（2）因为sinA,siaB,sinC成等差数列，故2sinB=sinA+sinC,由正弦定理得2b=a+c,

而B

结合余弦定理cos2="'将2b=a+c代入，解得"c,

lac2

因此VABC为正三角形，而VABC外接圆的半径为1,利用正弦定理可得

a=b=c=2RsinA=石.

故VABC的面积为S=昱义（厨=空

44

16.⑴答案见解析;

4〃一2—ln2,0<—

2

⑵g(a)=，l--+ln«,-<«<1

2a2

3

—a—1,〃21

2

【分析】（1）对函数求导，讨论aWO、a＞0研究导数的区间符号，即可得对应单调性;

（2）应用导数研究函数的单调性，讨论。与区间［L2］的位置关系求函数最小值.

【详解】（1）由题意知/⑺的定义域为（0,+e）,（（切=办+”］」=0+1）（。1）,

XX

①若4W0,尸（x）＜o恒成立，所以“X）在（0,+e）上单调递减.

②若。＞0,由尸（x）=0,得尤=!，

答案第9页，共14页

所以当时，/f(x)<0；当时，/(%)>0；

所以/(x)在(。，：］上单调递减，在［：，+e［上单调递增.

综上：当aWO时，/⑺在(0,+e)上单调递减；

当"0时，在上单调递减，在，,+J上单调递增.

(2)由(1)知，在(。,£|单调递减，在(：,+口单调递增.

①当:W2,即时，/(x)在［1,2］单调递减，

当尤=2时，〃x)有最小值〃2)=4a-2-ln2；

②当1<卜2,即g<a<l时，/(£)在(1,，)上单调递减，在［［2］上单调递增.

当X」时，/(x)有最小值，4=儿卜］+(a-l)--In—=1--+lna；

a\a)2\aJaa2a

③当:VI,即时，〃X)在［1,2］上单调递增，

1Q

当x=l时，〃x)有最小值/⑴=3。+"1=5”1；

4〃一2一1口2,0<。<：

1I।I।

综上:g(a)hI------FIna,—＜。＜I.

2a2

3

—a-I,ci21

2

17.(1)证明见解析

⑵;

【分析】(1)先通过面面平行的判断证明平面。尸。"1平面3CE,再由面面平行的性质证明

O.PWCE,即。丁是中位线，由此得到P是OE的中点;

(2)设NOBE=a,通过勾股定理计算将P到CE的距离和P到平面BCE的距离用«表示,

根据二面角的正弦值列方程求出sin«,再代入体积公式计算即可.

【详解】(1)如图，连接。E，op,

答案第10页，共14页

因为BC为母线，

所以OOi〃BC,

又BCu平面3CE,

所以OG\〃平面BCE.

因为O尸〃平面BCE,

所以平面。POJI平面BCE.

又因为平面DCE0平面0Pq=OF,平面DCEQ平面BCE=CE,

所以0FIICE,

因为。1是CD的中点,

所以P是DE的中点,

即DP=PE.

(2)如下图，作EFLOB,EHLCD,OGLBE.

设P到CE的距离为人则。到CB的距离为2爪

设NOJBE=(Z,则有OG=O8-sina=sin6Z,BE=2BG=2OBcosa=2cosa,

EF-BE-sin<z=2cosasina,

答案第11页，共14页

CE=\IBE2+BC2=J4cos2a+4，EH=dEF?+FH。=A/4COS2asin2(z+4，

因为S

g、i7CDEHacos'。sin2a+4

所以八—TT：——=---/=一.

2CEJ4cos2a+4

因为OP〃平面3。石，

所以。到平面BCE的距离即是0到平面BCE的距离，即OG=sina.

sina岳

sin<D~CE-B>=—=

所以h,4cos2asin2a+4

J4cos2a+4

解得sina=.

2

V

所以％TBE=LCBE=0CBE=-SOBE-BC=-OG-BE-BC=-x—xy[2x2^~.

jooZ3

18.(1)见详解；⑵f+(y-$2=4或f+(y-1)2=2.

【分析】(1)可设A(x”%),B(x2,y2),。亿-：)然后求出A,B两点处的切线方程，比如AE>：

%+；=玉(网-。，又因为89也有类似的形式，从而求出带参数直线A8方程，最后求出它

所过的定点.

(2)由⑴得带参数的直线A8方程和抛物线方程联立，再通过Af为线段AB的中点,

成，项得出f的值，从而求出M坐标和|加|的值，最后求出圆的方程.

【详解】⑴证明：设。匕-；)，4尤2)则/=]；.

又因为y=所以y'=x.则切线DA的斜率为毛，故%+；=占(无jT),整理得

2比1-2y+1=0.设B(X2，%)，同理得2rxi-2%+1=0.A(%,%),B®,y2)都满足直线方程

2rx-2y+l=0.于是直线2比-2y+l=0过点A,B,而两个不同的点确定一条直线，所以直线

A8方程为2江一2y+l=0.即2比+(-2y+l)=0,当2x=0,-2y+1=。时等式恒成立.所以直

线A3恒过定点(0,；).

⑵由⑴得直线方程为2rx-2y+l=0,和抛物线方程联立得：

2tx-2y+l=0

<12化简得工2—2比一1=0.于是％+W=2%,必+%=，(玉+々)+1=2/+1设M为

答案第12页，共14页

线段48的中点，则

由于成_L屈，而两1=(f,/-2),。与向量(1J)平行，所以/+“-2)=0,

解得1=0或1=±1.