广东省广州市2025届高三二模数学试卷（解析版）

2025届广州市普通高中毕业班综合测试（二）

数学

本试卷共5页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔在答

题卡的相应位置填涂考生号.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂

黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的

相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液.不

按以上要求作答无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.设集合，={0」23},3=k|2<7},则AcB的元素个数为（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【解析】

【分析】由题意可知x<log27<3,可求交集，进而可得结论.

【详解】由2工<7，可得x<log27<log28=3,

所以AB={0,l,2,3}{x|x<log27}={0,1,2}.

故AcB的元素个数为3.

故选：B.

2.已知复数z满足|z-2j=1,则目的最小值为

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】

【详解】分析：设z=x+”（x,ye&,根据|z—20=1,可得（工、）的轨迹方程，代入|z|=J7T，即

可得出.

详解:设z=x+y，(x,yeR),|z-2z|=1,

A|x+(y-2)z|=L；.J尤2+-2)2=],

22

x=l-(y-2)(ye[l,3]),

则|z|=Jd+y2=Ji—(y—2)2+y2=网—3>=1.

当y=l时取等号.

故选：B.

点睛：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式、一次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属

于中档题.

3.声强级L,(单位：dB)由公式(=101g[历号]给出，其中/为声强(单位：W/m2).轻柔音乐的

声强一般在10-8〜IO^W/m?之间，则轻柔音乐的声强级范围是()

A.0〜20dBB.20-40dB

C.40-60dBD.60-80dB

【答案】C

【解析】

【分析】依题意可得10-8</<10十，即可求出的范围，从而得解.

10

【详解】依题意可得10-8所以所以4<lgg<6,

1010

所以40<101g/y<60,即轻柔音乐的声强级范围是40〜60dB.

故选：C

4.+—2x)4的展开式中产的系数为()

A.24B.-24C.-36D.-40

【答案】D

【解析】

【分析】求出展开式(1-2x)4的通项，即可求出f的系数.

【详解】因为展开式(1—2x)4的通项为I；.1=C“—2x)"=Cf(—2)*/,

所以/的系数为C；(—2y+C：(—2)3=—40.

故答案为：-40.

5.己知，e〔0,1J,tan2e=cos6,

贝han6=()

Jil+sin26

1

A.-BC.2D.3

3-I

【答案】A

【解析】

【分析】根据角的范围利用二倍角公式将表达式化简计算可得2tan，=l-tan，，即求出结果.

JI

【详解】由，w可得sin。＞0,cos。＞0,

乙J

222

所以Jl+sin2。=A/SID^+cos^+2sincos0=^(sin^+cos^)=sin8+cos0,

-口心cc2tan。「”-2tan。cos。1

又易知tan26=-----z—,因此可得-----z—二----------------=------------

1-tan201-tan20sin0+cos0tan0+1

曰2tan。_1

即可付(1-tan6)(1+tan。)tanO+1'

所以2tane=l—tan，，解得tan。二」.

3

故选：A

ex,%<0,

6.已知函数/'(x)=a若函数g(x)=〃x)—a恰有2个零点，则实数。的取值范围是

x—,x>0,

、x

()

A.(-<x),0)B.(0,1]C.(0,4]D,(4,+co)

【答案】B

【解析】

【分析】当龙>0时，对函数y=x-@求导，对参数。的取值进行分类讨论，大致画出分段函数的图象，再

x

由数形结合即可得出实数。的取值范围.

【详解】易知当了<0时，函数y=e”单调递增，且丁=^€(0』]；

当尤>0时，函数y=x-2,易知>'=1+==，,

XXX

显然当时，y'>0恒成立，即y=x—9在（0,+“）上单调递增;

当xfo时，y­°；当x—+8时，

此时函数/（%）的图象大致如下图所示：

若函数g（x）=/（x）—。恰有2个零点，即函数/（光）的图象与y=a有两个交点,

由上图可知ae（O,l］；

当a<0时，根据对勾函数性质可知y=x--=x+—>2，工，

XX

当且仅当X=J工时，等号成立；

此时其图象大致如下图：

显然函数/（九）的图象与y=a没有交点，不合题意；

综上可知，实数a的取值范围是（05.

故选：B

22

7.己知椭圆C:1+==1（。〉6〉0）的左，右焦点分别为耳,工，过歹2的直线与C相交于A3两点,

且忸制=a,则C的离心率为（

【答案】D

【解析】

【分析】设H闾=加，利用椭圆的定义可得加=g

a,在/XAK鸟，A3片区中，由余弦定理可得

,二2（2c）2+f1J

可求离心率

--2x2cx—a

2

【详解】由题意作出图形如图所示：

设人玛=加，又43+9=2a,所以|AFj|=2a-|A7^=勿_相,

又56+%=2〃，班=〃，所以忸闾=〃,所以AB二-a+m,

又因为|A£|=AB],所以〃+根=2〃一根，解得冽=；〃，

13

所以|AFj=2a——a=—a,

1122

（2，『+5）■(10)

在△4耳心中,由余弦定理可得cosZAF2F1=------必一4

1

2x2cx--a

2

在ABFK中，由余弦定理可得cosZBF,E=（2。）/

，

2x2cxa

因为cosNA入片+cos=0,

ABF2FX

所以…上《+士

2x2cx〃A。1

整理得12c2—4/=0,所以二=1,解得e=£=走.

。23a3

故选：D.

3

8.已知函数/(x)=sinx+5sin2x+2(x-l)在［―2兀,2可上的所有极值点从小到大依次记为

n

xl,x2,---,xn,则Z/(xJ=()

;=1

A.-32B.-16C.-8D.-4

【答案】B

【解析】

【分析】由题可得了(%)极值点满足COSX=g或COSX=-g,由此画出>=8»%图象，可得极值点个数,

8

828

进而可得£sin毛=;Zsinlxi=%，=°，据此可得答案.

z=l2i=lz=l

【详解】/'(X)=COSX+3COS2X+2=COSX+3(2COS2X-1)+2=6COS2x+cosx-1=0

=>(3cosx—l)(2cosx+l)=0,贝!|cosx=g或cos》=-；.

如图，画出〉=cosx图象，

结合图象可知在天两侧附近/'(%)正负相反，可得极值点有8个.

则石，x8；x4,x5；x2,x7；x3,&,互为相反数，因sinx+sin(-x)=0,

8388

则ZsinXj=；Zsin2匕=0,又注意到Z%=°，

i=l2i=ii=i

n8388

则Z/(%)=ZsinX,+sin2x,+23x,T6=—16.

i=li=l2i=li=l

故选：B

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.一组成对样本数据（不%）,（9，%），（%»）（“21。,""*）的散点位于一条直线附近，它的样本相关

n

£（—）（f）1“1〃

系数］="；=I「（其中亍=一2%•，歹=—2%）,由最小二乘法求得经验回归方程

应xf也yf"wnI

vz=lVi=l

y=bx+a（其中行=2^^------------）,则（）

i=\

A.若厂>0,则b>o

B.若Z/=y—2（i=l,2,,”），则成对数据（无“zj的样本相关系数（等于r

C.若z,=2y（z=1,2,,〃），则成对数据（Xj,zj样本相关系数々大于「

D.若z,.=2y（i=1,2,〃），则成对数据（七,zj的经验回归方程2=2%+2。

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据相关系数的意义判断ABC,利用线性回归方程的求法判断D.

【详解】当厂>0时，变量正相关，所以6>0,故A正确；

因为马=K-2（i=1,2,,〃），所以成对数据（七,z）对应点相当于把成对数据（七,y）对应的点向下平移2

个单位，不改变变量的相关性，故B正确；

因为4=2%«=1,2,,力），则成对数据（可,zj对应点相当于把成对数据（七,弘）对应的点横坐标不变，纵

坐标变为原来的2倍，故变量间的相关性不变，故C错误；

£（工「可0-歹）

当马=2%。=1,2,〃），由石=上匕------------可知，新的回归直线方程中斜率变为2九

£（X，F

Z=1

a'=2y-2bx=2^y-bx^=2a,则成对数据的经验回归方程2=2%+26，故D正确.

故选：ABD

10.瑞士著名数学家欧拉在1765年提出：三角形的外心，重心，垂心位于同一直线上，这条直线被后人称

为三角形的“欧拉线”.若VA3C的三个顶点坐标分别为4（3,4）,B（-l,2）,C（l,0）,其“欧拉线”为/,圆

M-.（x-a）2+y2=l,则（）

A.过A作圆〃的切线，切点为P,则|AP|的最小值为4

B.若直线/被圆M截得的弦长为2,则a=-1

C.若圆M上有且只有两个点到/的距离都为1,则—1—2&<a<—1+20

D.存在a,使圆M上有三个点到I的距离都为1

【答案】BC

【解析】

【分析】A项，利用勾股定理写出|AP|的表达式，即可求出|AP|的最小值；B项，求出直线/的解析式，得

出圆的位置，即可得出结论；C项，根据圆河上有且只有两个点到/的距离，得出圆心M（a,o）到直线/的

距离小于直径，结合距离公式即可得出结论；D项，由几何知识即可得出结论.

【详解】由题意，

VABC的三个顶点坐标分别为4（3,4）,B（-l,2）,C（l,0）,

在圆M:（x-a）2+y2=l中，M（a,O）,半径尺=9=1

\AM\=J（3-a）2+（4-0）2=1（3-4+16，

A项，

过A作圆M的切线，切点为尸，如图所示，

在RtAAPM中，由勾股定理得，AP=yjAM--PM2

A|AP\=y/AM--PM2=J/3-4+16J-I2=31+15

...当a=3时，MH取最小值，石，故A错误;

B项，

f3-1+14+2+0)

重心坐标G[3，-3-J即G（l,2）,

4—215

AB所在直线4：y_4=八（x—3）,即y=_x+_

5一（一"22

线段A3的中点。（1,3）,

，AB的垂直平分线为：y=-2x+5,

同理可得，AC的垂直平分线为：y=-^x+3,

rc<14

y=-2x+5x=-

<1

I2

外心E

由几何知识得，垂心与外心重合，

Z_

.•./过G（l,2）和Z:j-2=^—2（x—1）,即y=x+l,

—1

3

直线/被圆河截得的弦长为2,恰好为圆的直径，

C项，圆M上有且只有两个点到/的距离都为1,

圆心加（。,0）到直线/:y=x+l即x-y+l=0的距离小于直径.

141-0+111

•<2解得：-20-1＜。＜2&-1，故C正确；

y/12+(-1)'

D项，由几何知识得，

圆上不可能有三个点到直线的距离均为半径1,故D错误；

故选：BC.

11.已知AB是球。的球面上两点，C为该球面上的动点，球。的半径为4,OAOB=Q＞二面角

O—AB—C的大小为120，贝I（）

A.VABC钝角三角形

B.直线OC与平面ABC所成角为定值

C.三棱锥O-ABC的体积的最大值为80

128

D.三棱锥O-ABC的外接球的表面积为亍兀

【答案】ABD

【解析】

7T

【分析】根据题意可得固定平面。45,求出各线段长度，结合圆内接四边形可求得NACB〉一，即A正

2

确，利用线面角定义作出其平面角可得B正确，由三棱锥锥体体积公式计算可得可判断C错误，求得三棱

锥O-ABC的外接球的球心位置和半径即可求得D正确.

【详解】如下图所示：

易知|0川=|。4=|。。|=4,由OA.03=0可得03；

固定平面。45,由二面角O—AB—C的大小为120可知C为一个与平面Q45夹角为60°的平面与。的

交点（在AB的右侧），

如图中过平面ABC的虚线形成的劣弧ACB所示：

取AB的中点为M，作OPL平面ABC,则有NOMP=60，

又易知QM=2也,|加|=也,|0。|=",.。|=而,

如下图所示:

C在劣弧AB上运动,

7T

对于A,易知NAC8=TI—NADB=7i—NAPM>—,因此可得VABC是钝角三角形，即A正确；

2

对于B,设直线OC与平面ABC所成的角为。，

则西=b>=五=可'为定值’即B正确；

对于C,作CHJ_AB,

易知三棱锥O-43。的体积的最大值为

VO-ABC=15ABC-\OP\=^j-x^\AB\-\CH\=^-x4j2\C'M\=^^\C'M\=^^^yflO-s/2^,即C错

误；

对于D,设三棱锥O—A3c的外接球的球心为Q,如下图：

由于P是VA3C的外心，则。。/平面ABC,因此O,P,Q三点共线,

设|0。卜

在中由勾股定理可得卜―布了+（可『,8

V5PQ厂，解得厂=7展；

因此三棱锥O—ABC的外接球的表面积为471r2=4兀x—=—兀，即D正确.

63

故选：ABD

【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据题目条件固定平面。再根据二面角大小求得线段长度得出

。点轨迹，再结合线面角、外接球等进行计算即可.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若函数/(x)=logjx—时(a>0,且"1)是偶函数，且/(一2)=2,则。=.

【答案】V2

【解析】

【分析】利用偶函数的定义可求得机=0,进而可得2=log/-2|,计算可求得。的值.

【详解】因为“X)是偶函数,则/(—x)=/(x)，可得logj—XI=logjx—M,

所以f_同=卜一叫,所以r-M=x-m^—x—m+x—m=0>

则2x=0(舍去)或加=0,所以/(x)=logjx|,

又/(—2)=2,所以2=logj—2],所以〃=2,又a>0,解得。=也.

故答案为：72.

13.一个袋子里有大小和质地相同的4个球，标号为1,2,3,4,从中有放回地随机取球，每次取1个

球，共取4次，把每次取出的球的标号排成一列数，则这列数中恰有3个不同整数的概率为.

9

【答案】记

【解析】

【分析】求得总的取法数，进而求得符合条件的取法数，利用古典概型概率公式可求解.

【详解】每次均有4种不同的取法，故总的取法数有44=256种，

这列数中恰有3个不同整数，则必有一个数取了2次，

A4

故这列数中恰有3个不同整数的取法数有C：C；><黄=144种，

故这列数中恰有3个不同整数的概率为14:4与=9三.

25616

9

故答案为：—.

16

14.在平面四边形ABCD中，AC=AT)=4,NC4Z)=60°,NA3C=90°,若A血的面积是△BCD

的面积的2倍，则6D的长度为.

【答案】2"

【解析】

【分析】如图建立直角坐标系，设AC,BD交点为E,由.：A3。的面积是△BCD的面积的2倍可得E坐

标，然后由8,E,。三点共线结合AC=4可得8点坐标，即可得答案.

【详解】如图，以。点为原点，取AC中点为F,以。F所在直线为x轴，

以过。点，垂直于。尸直线为y轴，建立直角坐标系.

又AC=AD=4,ZCAD=60°.

则。（0,0）,A（2班2）,B（x,y）,C（2君,2）.

S-AHBD.

过C,A两点作OB垂线，垂足为G,H,则不配=1------------=--=2.

SBCD-CGBDCG

2

A/7_____1_

又注意到一AHECGE,则一=2.设则CE=—C4,

EC3

则"_2君,％—2）=；（0,—4）nE[2』,|）

2f-l

注意到8,E,。三点共线，则£）£7/£）§,则gx=2j3ynx=3j3y.

又AC=NBC2+BA1=4n2（x-2可+"2）+（y+2『=16

=^X2-4A/3X+/+8=0^7/-9y+2=0^（y-l）（7y-2）=0

则y=l或y=T，又由图可得x>26ny=l,x=3^3,则3（36,1）.

则。3=J27+1=2«.

故答案为：2近

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.设S"为数列｛4｝的前〃项和，且凡是S”和8的等差中项.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)令2=log2q,数列的前〃项和为北，证明：—<7；,<-.

-〔。也+J123

【答案】(1)an=2*

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)解法1：由题意可求得S”=2。“一8,当”=1时，求得q=8,当“22时，S〃T=2a,i—8,

可得a”=2%”],可求通项公式；解法2：由题意可得S“=24-8,先求得前几项，猜想通项公式，再利用

数学归纳法证明即可；

11111

(2)由题意可得[「=------可求得<=------------,可证结论.

6e+i〃+2〃+33n+3

【小问1详解】

解法1：因为。〃是S“和8的等差中项，

CIQ

所以。〃二:一，即S〃=2a〃一8•①

当〃=1时，S]=2%—8,得q=8.

当〃22时，Sn_｛=2an_x-8,②

a-

①一②得Sn—Sn_x=2an—2a〃_],得。〃=2an_i，即=2.

an-\

所以数列｛4｝是以首项为8,公比为2的等比数列.

所以a“=8x2"T=2"+2.

解法2：因为。〃是S〃和8的等差中项，

CIQ

所以4二七一，即S〃=2%—8.

当〃=1时，S]=2〃]—8,得a1=8.

当〃=2时，S2-2a2-8,得。2=16.

当〃=3时，S3=2a3-8,得〃3=32.

n+2

猜想：an=2.

(下面用数学归纳法证明)

1当”=1时，可知猜想成立,

2假设〃=左时，猜想成立，即％=2-2,

依题意，得见=以F，得S*=2%—8=2"3—8,

又以+1=毁〃，得&M=2%+「8,

则ak+\=S*+i—=2a*+i—8—2*3+8,

得以+1=23=2("i)+2.

即当”=左+1时，猜想也成立.

由1,2可知猜想成立，即a“=2"2.

【小问2详解】

n+2

因为勿=log2tz„=log22=n+2,

]_]__J_____1_

得bh+i(〃+2)(〃+3)n+2〃+3'

丁111(11)(11)(11)11

所以小欣+敲++港丁匕一旬+匕一肃=§-Q-

由于〃21,得0<」一〈工，

n+34

1111

得zn——<--------<-,

123n+33

所以《〈7；<上

123

16.如图，直四棱柱A3CD-4gGA的底面A3CD是菱形，NBAD为锐角,瓦/分别为棱A。，8

的中点，点M在棱G2上，且GM=3〃。1，44=A3=4,点p在直线石M上.

(1)证明：3///平面AB/；

(2)若直四棱柱ABC。-4gG2的体积为32当直线EP与平面A3F所成角的正弦值最大时，

求儿。的长.

【答案】(1)证明见解析

⑵也

7

【解析】

【分析】(1)取G4的中点N,连接A、N,NF,进而可证四边形AMVA是平行四边形，可得

AF//A.N,由已知可证EM〃4N,可得应W〃AP，可证结论；

TT

(2)解法1：由已知可求得NBA。=耳，分别以直线DC,为％z轴，以△A8D的边上的高线

为x轴，建立空间直角坐标系。-孙z,设MP=XME，求得平面4片P的一个法向量，利用向量法可求

71

得线面角的正弦的最大值，进而求得的长.解法2：由已知可求得/氏4。=§,连接AC,3D,设

ACr>BD=O,连接AG，4。，设AGc5]D]=a，以。为原点，分别以直线。民。。,。。1为羽"z

轴，建立空间直角坐标系。-孙Z,设MP=XME，求得平面A男厂的一个法向量，利用向量法可求得线

7T

面角的正弦的最大值，进而求得儿。的长.解法3：由已知可求得=由(1)知励/〃平面

AB1歹且点尸在直线石版上，sin^=—,过N作NPLEM,交上M的延长线于点尸，连接EP,结

PF

合余弦定理求解即可.

【小问1详解】

取GA的中点N,连接AN,NF,

因为P为。的中点，所以NR〃CC「且NE=CG.

又AA]〃CG，且44,=。。一则NF〃AA，且=

所以四边形AHVA是平行四边形.

所以AE〃AN.

因为GM=3MD\,则以为N2的中点.

又E为4A的中点，则

所以项/〃A7L

因为Mu平面AgEEAf<z平面AB/,

所以石M//平面ABZ.

【小问2详解】

解法1：由于直四棱柱ABC。-AgG。的体积为326，

得A4,ABADsinZBAD=32也，

得sinZR4D=3,

2

7T

由于“位）为锐角，则NBAD=—.

3

分别以直线为y,z轴，以血的边上的高线为x轴，建立空间直角坐标系。-孙z.

则网6-1,4),加(0』,4),歹(0,2,0)，4(2"2,4)川2£一2,0卜

ME=(Q,—2,0),设MP=AME=(V32,-22,0),P(A/32,1-22,4),FP=(732,-22-1,4),

AB1=(0,4,4),AF=(-273,4,0),

设平面ABF的法向量为〃=（九,y,z）,直线FP与平面ABZ所成角为

n-AF=0,-2®x+4y=0,,取道2,z=-抬

由<,即《

n,AB]=0,4y+4z=0,7

则平面AB.F的一个法向量为n=（2,A-A/3）.

5A/3

则sinO=|cosFP,n|=

如-十川+(24+1)2+1627722+42+17-

当；1=一2时，sin。取得最大值.

7

此时MP|=|2|-|ME|=|-T7

所以MP的长为2互.

7

解法2：由于直四棱柱ABCD-AgG。的体积为32有，

得AVAB-ADsinN&LD=32jL得sinNBAD=4，

7T

由于NR4。为锐角，则NBAD=—.

3

连接AC,3D,设ACc5D=O,连接4。1，耳。，设AGc用2=q,

以。为原点，分别以直线O3,OC,OO］为羽y,z轴，建立空间直角坐标系。-乎.

/

则A（0,—26,0）,4（2,0,4）,4―1,6,0）,回—1,—6,4）,MV冽

AF=卜1,36,0）,AB[=（2,26;0,MF=—,,—4

''4Cl'

设M尸二%EM，即MP=-—,一-一,0,

I22J

则PF=MF-MP=[,石-36九「4

22

设平面AB.F的法向量为n=(x,y,z),直线抄与平面ABXF所成角为。,

n-AF=0—x+3y/3y=0

由＜即《

2X+2A/3）；+4Z=0

n-ABX—0

令y=l,则％=3』,z=—26，

则平面AB/的一个法向量为〃=（36,1,-2小卜

PFn=如要C+县警+8石=10技

为同:^（373）2+12+（-2^）2=屈=2回，

5G屈

sin。=cos,PF,n

则2A/722-42+17.

当；1=2时，sin。取得最大值.

7

此时|叫=冈.归/=^3=2^，

所以的长为2互.

7

解法3：由于直四棱柱A3CD-4用。1口的体积为32石，

得A4,•AB•ADsinN&LD=326，

得sinZR4D=3，

2

7T

由于/R4。为锐角，则NBAD=—.

3

由（1）知EN1平面AB/且点尸在直线上M上,

则点P到平面ABXF的距离为定值d.

设直线FP与平面ABF所成角为。，

则sin8=W.

PF

当尸E最小时，sin。取得最大值.

如图，过N作NP上EM,交上M的延长线于点P,连接EP,

由于八丁，石N,NFNP二N,则石平面

又EPu平面则EP，£M.

则MP为所求.

在△EM。中，EM=JED；+MD；-2ED『MDX'cosg

22+l2-2x2xlx

EM?+MD；-ED；_2小

cos/EMD］二

2EM-MD1—7

在RtAACWP中，MP=MNCGS/NMP=MNcosZEMD}=

17.已知函数/(x)=e2'g(无)=(aeR,且awO).

(1)若a>0,直线/：y=2x+〃z与曲线y=/(x)和曲线y=g(x)都相切，求a的值；

(2)若〃x)»g(x),求a的取值范围.

【答案】(1)8(2)(0,4e]

【解析】

【分析】(1)解法1：设直线/：》=2尤+〃7与曲线丁=/(%)=62工的切点坐标为(X0，%),利用导数的意可

求得为,进而求得切线方程，联立切线与g(x)=疝，利用A=0可求解；解法2：设直线/:y=2尤+机

与曲线V=/(*)=e2*的切点坐标为(%,%)，利用导数的意可求得与，进而求得切线方程，设直线/与

曲线丁=8(九)=疯的切点坐标为(多，/)，利用导数的几何意义可求解；

(2)解法1：当a<0时，计算可得不符合题意，当a>0时，由题意可得Gvj,

'x

2x

ei

令/z(x)=—尸(％>0),利用导数可求得/i(x)的最小值，可求解.解法2：由题意可得2x2—(ln〃+hu),

y/x2

令g(x)=4x—lnx(x>0),利用导数求得g(x)的最小值即可.

【小问1详解】

解法1：设直线，：y=2x+〃z与曲线y=/(x)=e2x的切点坐标为(%,%)，

由于/'(x)=2e2，，则/'(%)=2e?与=2,

解得%=0,%=e2%0=1,

则切点坐标为（0,1）.

直线/：y—l=2x,gpy=2x+l.

y=2x+1

由<।—得4x+（4—a）x+l=0,

y=<ax

由△=（4—a/—16=0,解得a=8或a=0（舍去），

当a=8时，得冗=,，符合题意，

2

所以a=8.

解法2:设直线/：y=2X+机与曲线y=/（x）=e2*的切点坐标为（/，%），

由于/'（x）=2e",则/'（5）=2e2%=2,

解得4=。,%=e2x°=1,

则切点坐标为（0,1）.

直线/：y—1=2%,即y=2x+l.

当a>0时，函数g(x)=J晟的定义域为[0,+8),

设直线/与曲线丁=8(九)=疝的切点坐标为(玉，坊),

由於)=奈得g'a)=京=2,

得〃=16%.

得/:y-sjax^=2（x—xJ,即y=2x-2x1,

则-2%i+-1.

解得%=g,a=8.

【小问2详解】

解法1：①当avO时，则函数g(x)=J区的定义域为(YO,0].

所以a<0不符合题意.

②当a>0时，则函数g(x)=J晟的定义域为［0,+8).

显然/(o"g(o).

2x

当x>0时，由/(x"g(x),得eZ-JiG，即布〈丁

2x2x1~~_2xI

令〃(x)=*(x>0),则.—.士/腐—工—⑷-]).

&⑴-x-2x6-2x6

当0<x<:时，"(%)<0,/z(x)在［o,；］上单调递减,

当X〉：时，〃(X)>O,/i(x)在(；,+oo］上单调递增.

则当*时,妆司取得最小值，其值为丸

则yja<2在，即a<4e.

综上所述，〃的取值范围为(。,4旬.

解法2：当x>0时，由得即2尤2g(lna+lux),

得Ina<4x—lux.

g(x)=4x-lnx(x>0),则/(犬)=4一1二生一

当0<x<:时，8'(刈<0心(外在［0,：］上单调递减,

当X〉：时，g'(x)>O,g(x)在上单调递增.

则当x=；时，g(x)取得最小值，其值为g\］=lTn；=ln4e.

则Ina<ln4e，即a<4e.

综上所述，a的取值范围为(0,4e].

22

18.己知双曲线C：=-2=l(a〉0]〉0)的右焦点网2,0)到C的一条渐近线的距离为6.

ab

(1)求。的方程；

3

(2)设点P在C的右支上，过点尸作圆。：必+/=—的两条切线，一条与。的左支交于点M，另一条

2

与C的右支交于点N(异于点P).

(i)证明：OMLOP-,

(ii)当,PAW的面积最小时，求直线尸M和直线PN的方程.

2

【答案】(1)V—2L=i

3

（2）（i）证明见解析；（ii）y=±、5,x=—

-22

【解析】

/=1

【分析】(1)由点到直线距离公式结合题意可得，据此可得答案;

b?2=3

1,可得2/=3（左2+1）,

(2)(i)设切线PAf的方程为丫=履+〃?，由圆心。到切线尸Af的距离d=

再将切线方程与双曲线方程联立，由韦达定理结合2m2=3(左2+1)可得。POM+=0,据此

可完成证明;

(ii)方法1,注意到5=逅俨〃|，由(i)可得1PM=61+16/,据此可得答案；

21111])[_(3-k2)2

3

方法2,设切线尸M与圆。的切点为=则可得S=——据此可得答案；

sm28

方法3,由题可得S=2SPOM=QMQH,又设切线尸M与圆0切点、为D,/PMO=e,由

112

结合sin2，+cos2（9=l可得------+-----7=-,由基本不等式可得

Q“上高下州=石?\OM\~\OP\-3

\OM\\OP\>3,据此可得答案.

【小问1详解】

解：由于双曲线C的右焦点为E（2,o）,所以/+/=4.

b

双曲线C的渐近线方程为y=±-%,即为乐土今=0,

a

由于点尸（2,0）到C的一条渐近线的距离为6,则/产,=布.

yjb+a

—J2

解得《2一’所以C的方程为好-乙=1

[b2=3.3

【小问2详解】

（i）证明：显然圆0的切线的斜率存在，

设切线尸M的方程为丫="+〃?，

由于切线尸M不平行C的渐近线，则女

由圆心。到切线PM的距离d=*L=,得2m2=3仲+1）.

VFTTV21＞

y=kx+m,

由＜消去）得（3—/）光2_2协1%—HZ?—3=0

2

X

3

由题意知△＞（）.设尸（％,乂）,M（无2，%），

2kmm2+3

则%+九

2=------，%I%=7

3—4271-3—42

2

而X%=（村+机）（包+7"）=公司羽+防，（%+x2）+m

公®2）l2

+32k2m2_3m-3k~

3-k2-+3—k?+m—3—42

2m2-（3F+3）

则

为/+%%=----丁不-=--0--

则OPOM=%9+X%=0,

所以。即QWLO尸.

（ii）解法1：由（i）同理可得ON,OP,所以M,O,N三点共线.

则PAW的面积S=2S4p°M.

V6

设切线尸M与圆。的切点为0,则|。必=

2，

S=2SPOM=\OD\\PM\=^-\PM\.

2km

由（i）得PM1+42

3-k2

又2疗=3（左2+1）,

6（1+左2）仔+9）

1+3

Kij|PAf|=6