广东省深圳市2024-2025学年高一年级下册3月月考数学检测试题（附答案）

广东省深圳市2024-2025学年高一下学期3月月考数学检测试题

本试卷共4页，19小题，全卷满分150分.考试时间120分钟.

注意事项：

1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动用橡皮擦干净后.

再选涂其它答案，不能答在试题卷上.

3.考试结束，监考员将答题卡收回.

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1-i

z------

1.已知1+i,则z的实部是()

A.-iB.iC.0D.1

【正确答案】C

【分析】根据复数除法运算化简，由实部定义可得.

【详解】因为2=匕=/°了)、=—i,所以Z的实部是0.

1+i(l+i)(l-i)

故选：C.

2.复数(2-i)(l+3i)在复平面内对应的点所在的象限为()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【正确答案】A

【分析】利用复数的乘法求出积，再求出复数对应点的坐标即得.

【详解】复数(2—i)(l+3i)=5+5i,

所以复数(2—i)(l+3i)在复平面内对应的点(5,5)在第一象限.

故选：A

3.已知向量5=(1,—2),b=(-2,加)，alb则加二()

A.-1B.4C.1D.-4

【正确答案】A

【分析】根据向量垂直的坐标运算直接计算即可

【详解】因为向量1=(1,—2),b=(-2,m),alb

所以万.6=0,即1x(—2)+(—2)x加=0,解得加=—1,

故选：A

rI】'i1

4.若向量2,很满足同州=1,且鼠(”3)=5,则向量a与彼的夹角为()

7TTC2兀5万

A.一B.一C.--D.——

6336

【正确答案】B

【分析】由已知条件结合数量积公式化简即可求解.

【详解】因为向=川=1，a-(a-b^=^,即方2_展5=3，|a|2-|5|-|^|-cos(a,^=|,求得

cosg》)=J,所以向量G与否的夹角为三.

故选：B

5.如图，一艘船航行到点B处时，测得灯塔A在其北偏西60。的方向，随后该船以20海里/小时

的速度，往正北方向航行两小时后到达点C,测得灯塔A在其南偏西75°的方向，此时船与灯塔

A间的距离为()

北

A.20G海里B.40W海里C.20祈海里D.40新海里

【正确答案】C

【分析】根据给定条件，利用正弦定理解三角形即得.

【详解】依题意，在VZ8C中，ZABC=60°,ZACB=15°,则/=45。，而5C=40,

r+1P十一工巾/日,„BCsin60°40A/3/-

由正弦定理何AC—---------=--j=-=20V6，

sin45°V2

所以船与灯塔A间的距离为20几海里.

故选：C

6.在V48c中，若。5也8=百6(：052，且/+/=户+qc,那么V4SC一定是(

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等边三角形

【正确答案】D

【分析】利用正弦定理将边化角，即可求出A,再由余弦定理求出3,从而得解.

【详解】因为asinB=GbcosZ,由正弦定理可得sinNsinB=6sin3cosN,

又8e(0,7r),所以sinB>0,所以sin/=J^cos/，贝Utan/=K，

又Ze(0,7i),所以Z=g,

又4+°2=/+ac,由余弦定理cos8=日土土土=^=~,

2ac2ac2

又所以8=；,

TT

所以c=—,则V48C为等边三角形.

3

故选：D

7.已知2=(x,l),5=(2,—2),若向量扇B的夹角为钝角，则实数了的取值范围为(

A.(—oo,l)B.(—oo,l]C.(―8,—1)U(—1,1)D.

(-8,一1)“-1,1]

【正确答案】C

【分析】由题意可知：且向量或B方向不反向，结合向量的坐标运算求解.

【详解】由题意可知：<o且向量用行方向不反向，

2x—2<0

则《cc，解得X<1且xw-l,

—2xw2

所以实数X的取值范围为l)u(—1,1).

故选：C.

2兀

8.在V45c中，ZBAC=——，NB/C的角平分线AD交BC边于点D,△48。的面积是

3

△4DC的面积的2倍，则tan5=()

【正确答案】C

【分析】根据角平分线的性质，结合等面积法可得一=2,即可由正弦定理求解sinC=2sinB,

由三角恒等变换即可求解.

【详解】ZBAC=—,NA4c的角平分线AD交BC边于点D,故NB4D=NC4D,

3

AB

-AD-ABsin—

故c=23JB

S皿-AD-ACsm-AC

23

ABsinC(,:一“=2sin8,

由正弦定理可得---=-----=2,故sinC=2sin8,故sin-

ACsin5I

=且，

故——cos5——sin5=2sin5>故Ceos8=5sin5=>tan5

22一『

故选：C.

二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9.下列关于平面向量的说法正确的是()

A.已知加均为非零向量，若则存在唯一的实数2,使得a=Ab

B.在四边形48CD中，AB=a+2b-BC=-4a-b>CD=-5a-3b<则四边形48C。为平

行四边形；

C.若a.c=B,c且c/0'贝！=B

D.若点G为V48C的重心，则菖+而+元=6

【正确答案】AD

【分析】根据平面向量共线定理判断A；利用向量的运算得到2。=28。，即可判断B；根据数

量积的定义判断C；由向量的中点表示与三角形的重心性质即可判断D.

【详解】对于A,由向量平行的判定定理，可得A正确；

对于B,因为方=5+23,BC=-4a-b-丽=—55—3石,

所以力=益+/+丽=（万+切）+（—4万一$）+（—5万_/）=_必_崂.

所以ZO=28C.所以且卜。卜/q,

所以四边形48CD为梯形.故B错误；

对于C,由平面向量的数量积定义可得同cos扇3=p|cosB,1,不能得到2=5,故C错误;

对于D,若点G为AABC的重心，延长AG与BC交于M,则M为BC的中点，

如图所示：

所以前=2而=2x^x（砺+比）=赤+*,

所以宙+通+交=6，故D正确.

故选：AD.

10.在V45。中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,下列说法正确的是（）

A.若A>B,贝！IcosZ<cos3

B.若4=30°,b=5,a=2,则V48c有两解

C.若cosZcos8cosc〉0,则V45C为锐角三角形

D.若a-c•cos6=a-cosC,则V4SC为等腰三角形或直角三角形

【正确答案】ACD

【分析】由余弦函数的单调性即可判断A,由正弦定理即可判断B,由余弦值的性质即可判断C,由边

角互化即可判断D.

【详解】对于A,•.•兀>/>8>0,所以函数3;=©05》在（0,兀）上单调递减，所以COS/<COSB,

故A正确；

对于B,由正弦定理可得：二一=^—，：.-DbsmA,X，51,

sinZsin5sin8=------=—^=->\

a24

此时V4BC无解，故B错误；

对于C,,；cos/cos5cosC>0,48,C为三角形的内角，

cosA>0

：.<cosB>0,可知A,B,C均为锐角，故V48C为锐角三角形，故C正确；

cosC>0

对于D：a-c-cosB-a-cosC,所以由正弦定理可得sin/=sin/-cosC+sinC-cosB,

又sinA=sin（8+C）=sinB-cosC+sinC-cosB,

因此sinB-cosC+sinC-cosB=sinA-cosC+sinC-cos5nsin5•cosC=sinA-cosC,

/.Z）cosC=acosC,/.（Z）-a）cosC=0,b=a或cos。=0nC=90。，即三角形为等腰三角

形或直角三角形，故D正确.

故选：ACD.

11.已知复数ZpZ2,下列结论正确的有（）

A.若Z]-Z2>0,贝Z]>

B.若z；=z；,则团=区|

C.若复数满足"一型=3,则22在复平面内对应的点的轨迹为圆

D.若Z]=—4+3i是关于x的方程X2+/+4=0（0应€11）的一个根，则夕=8

【正确答案】BCD

【分析】由复数Z]=2+i,Z2=l+i,可判定A错误；根据复数的运算法则，可判定B正确；结

合复数的几何意义，可判定C正确；根据复数相等的条件，列出方程，求得夕的值，可判定D正

确.

【详解】对于A中，若复数Z1=2+i,Z2=l+i,满足z-z>0,但两个虚数不能比大小，所以

A项错误；

对于B中,若z；=z；,则z；—z；=O,BP(Z1+Z2)(Z1-Z2)=0,

可得4=劣2或Z]=-Z2，所以团=|二2I，所以B项正确；

对于C中，由于忖-Z21表示两个复数Z1/2在复平面上对应的两点之间的距离，

所以忤-2i|=3,表示复平面内到点(0,2)距离为3的点的集合，

所以Z2对应的点的轨迹为圆心在(0,2),半径为3的圆，所以C项正确；

对于D中，由一4+3i是关于尤的方程必+px+q=0(p,qeR)的根,

故(_4+3i)2+p(_4+3i)+q=0(p,qeR),即7—4p+q+(3p_24)i=0,

1-4p+q=0

可得《,所以。=8,所以D项正确.

3夕—24=0

故选：BCD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知复数2=----,则Z的共轨复数三=.

1

【正确答案】-l-2i

【分析】对z进行复数的除法运算整理为。+初的形式，则共轨复数为a-初.

【详解】因为2=-生=—以A=—l+2i,

ii2

所以彳=—1—2i.

故—1—2i

13.如图，在平行四边形/BCD中，点E在/。边上，点E在CD边上，且

AE==ED,DF=^FC,AF与BE相交于■点、G,若/则实数2=.

23

DFC

【分析】将运用五瓦花表示，然后利用E,G,8三点共线列方程求解即可.

11

【详解】由AE=-ED,DF=2FC得34E=AD,DF=——DC,

21+2

—•10—■

因为ZP=—ZG,

3

——•3——■3/—■——3——■32——■0——•32—•

则ZG=—•=—AD+DF=—x3AE+—x——DC=—AE+-------AB,

1010、>10101+21010^+2）

因为瓦G,8三点共线，

9321

所以历十项两'解得2=展

故答案为

14.克罗狄斯・托勒密（约90-168年）是希腊著名的数学家、天文学家和地理学家.托勒密定理是欧

几里得几何中的重要定理.定理内容如下：任意一凸四边形，两组对边乘积的和不小于两对角线的

乘积，当且仅当四点共圆时，等号成立.已知在凸四边形4BCD中，AB=2,BC=6,AD=2CD,

ZADC=~,则5。的最大值为

3------------------------

【正确答案】2a

【分析】记CD=加，利用余弦定理表示出ZC,然后根据题中结论可得.

【详解】记CD=m,则AD=2m,

在"CD中，由余弦定理得AC=^m2+4m2-2x2mxzMcosy=币m,

由题知，AC'BD<AB-CD+AD-BC,即布m•BD<2m+12m=14m，

14加i-

所以,当且仅当4瓦四点共圆时取等号,

77m

所以AD的最大值为2a.

故2a

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.已知复数句=a+2i/2=b+i（eR,i为虚数单位）.

⑴若b=2，z9是纯虚数，求忖-z2|的值；

（2）若句=卜2『，求实数的值.

【正确答案】（1）V2

(2)。=0,6=1

【分析】（1）根据题意，由6=2代入计算，结合Z/Z2是纯虚数即可求得。，再由复数的模长公

式，即可得到结果；

（2）根据题意，由复数相等的定义，列出方程，即可得到结果.

【小问1详解】

当3=2时，=tz+2i,z2=2+i,

所以Z]-Z2=（a+2i）（2+i）=（2a-2）+（4+a）i,

[2«-2=0

且4w是纯虚数，则“八，解得。=1,

、4+aw0

所以Z1=1+2z,贝！]Zi-Z2=（1—2）+（2—l）i=—l+i,

所以B-Z2I=J（-1）?+[2=.

【小问2详解】

若Z[=（Z2）2,则a+2i=伍+if=仅2—1）+2bi,

a=b2—1

所以《，解得Q=0,6=1.

2=2b

16.如图，在平行四边形48。。中，点£是40的中点，点歹，G分别是48,。。的四等分

点=CG=：CZ＞］设=a,AD=b-

GC

AF

(1)用方，b表示~FE，TG

(2)若向=2,W=J5,A=^,求而与前的夹角的余弦值.

【正确答案】(1)FE=--(7+—S,FG=—a+b

42

【分析】(1)利用向量的三角形法则即可求解

(2)根据向量夹角公式即可求解；

【小问1详解】

因为点E是2。的中点，点E,G分别是4B,。。的四等分点

所以⑸=——AB,AE=-AD,FB=-AB,W=——AB

4244

因为=ZD=6■

所以赤=成+冠=—!存+工赤=—工2+工刃

4242

FG=FS+5C+CU=-X8+2D——AB=-AB+AD=-a+b

【小问2详解】

因为向=2,归上血，4=5，

所以展B-二同W-cosA=2xV2x6=2，

令而与前的夹角为。

1

FEFG2

cos8二

WR-pT行

所以屋与所的夹角的余弦值为好.

5

17.V45c的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知3cosc(acos5+bcos/)=c.

(1)求cos。的值；

(2)若c=2虚，V4BC的面积为正，求V48C的周长.

【正确答案】(1)-

3

(2)4+20

【分析】(1)利用正弦定理、两角和的正弦公式、诱导公式化简已知条件，由此求得cosC的值;

(2)利用三角形的面积列方程，求得的值，结合余弦定理求得。+6的值，进而求得三角形

48。的周长.

【小问1详解】

因为3cosc(acos5+bcos/)=c，

由正弦定理可得：3cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,

且5也人058+51118(:(光2=5也(2+8)=5由。,可得3sinCcosC=sinC,

且Ce(O,7t),可知sinCwO,可得cosC=；.

【小问2详解】

由⑴可知：Ce(O,7t),cosC=1,则sinC=Jl—cos?C=，

33

因为VABC的面积为=^absinC=gabx2£=后，可得QZ?=3,

由余弦定理可得c?=a?+/-2abcosC=(a+-2ab-2abcosC,

7i

即8=(a+b)-6-2x3x-,可得a+b=4,

所以VZBC的周长为Q+6+C=4+2行.

18.如图，在平面四边形ABCD中，E为线段BC的中点，ZDAB=90°.

D\^c

(1)若2。=28=亚,/28£=150°,/。=30°，求AE；

(2)若2。=48=2,NC=45°,求AE的最大值.

【正确答案】（1）V3+1；

⑵V5+1.

【分析】（1）由已知可得45//CD,过3作交CD于尸，求出5C,再利用余弦定理

求解即得.

3兀

（2）连接AD,NDBC=8c（0,—）,利用正弦定理、余弦定理建立关系，再借助三角恒等变

4

换及正弦函数性质求出最大值.

【小问1详解】

在四边形/BCD中，由NZ8E=150°,NC=30°,得AB//CD,过8作8尸，N2交CD于尸，

由/。45=90。，得BF//4D,则四边形/郎7）是平行四边形，BF=AD=6,

而NCF5=90。，因此BC=2BE=2行，BE=；BC=0

在△48E中，由余弦定理得/£=，(亚『+(行『—2x拒'拒cosl50°=^4+2^3=枢+1.

【小问2详解】

连接3。，由ZD/B=90。，AD=AB=2,得BD=2垃,/ABD=三,

4

在△BCD中，由正弦定理9=_些_,=4sin(^+-),BE=2sin(0+-),

sinZCsinZBDC44

在A4BE中，由余弦定理得ZE?MZ4+BEZ—Z/B.BECOSNZBE

=4+4sin2(^+-)-2x2x2sin(0+-)cos(0+-)

444

jrjr

=4+2-2cos(28+5)-4sin(26+=6+2sin2。-4cos2。

3兀

=6+2sin(26—0),其中锐角。由tan。=2确定，显然—。＜2。——(p,

则当26—9=|■时，(/£2)侬*=6+26=(行+1)2,即/£max=V^+l，

所以AE的最大值为石+l.

19.对任意两个非零向量疝k定义新运算：浣㊉l=Msm〈m，〃〉

\n\

（1）若向量Z=（3,4）》=（2,0）,求Z㊉3的值；

（2）若非零向量点B满足内=2⑸，且Z㊉求刃㊉Z的取值范围；