过关检测2 三角函数与解三角形- 2025高考数学二轮复习

专题过关检测二三角函数与解三角形

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知角。的终边经过点P(VIa),若则。=()

A.V6C.-V6D.《

2.(2024.九省联考)已知。©中,兀),tan26=-4tan(%)，则肃篝*=()

133

A，7B.7C.lD4

442

3.在AABC中，内角A,3,C所对的边分别为a,0,c,且C=60°,a+26=8,sinA=6sin3,则

c=()

A.V35B.V31C.6D.5

5.已知sin^-a^—|+cosa,则sin(2a+当=(

o)

「4V3

"B考C-

6.某消毒装备的设计如图所示,PQ为路面9为消毒设备的高,3C为喷杆

ABC空，。处是喷洒消毒水的喷头，且喷射角NDCE苦.已知43=2,30=1,则消毒水喷洒

在路面上的宽度DE的最小值为(

A.5V2-5B.5V2

5V3

C-D.5V3

7.在AABC中,“tanAtan5>l”是“ZkABC为钝角三角形”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

8.函数y(x)=2sin(x+；)+cos2x的最大值为()

4

A.1+V2C.2V2D.3

二、选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.在中，角48,。所对的边分别为a力,c,且(a+b)：(a+c)：(b+c)=9.TO：11,则下列

结论正确的是()

A.sinA:sinB:sinC=4/5/6

B.A43C是钝角三角形

C.A43C的最大内角是最小内角的2倍

D.若c=6,则"BC的外接圆半径R为期

10.(2024.广西南宁模拟)已知函数1x)=gsin2(yx+cos2。式①>0)的零点依次构成一个公

差为方的等差数列,把函数人为的图象沿x轴向右平移三个单位长度得到函数g(x)的图象，

则()'

人8⑴在区间由方上单调递增

B.点G，0)是函数g(x)图象的一个对称中心

C.g(x)是奇函数

D.g(x)在区间吟,争上的值域为［0,2］

11.关于火x)=sinx-cos2x的说法正确的为()

A.VxSRj/(-x)^(x)=0

B3殍0,使得人x+7)=/(x)

C<x)在定义域内有偶数个零点

D.VxG

三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分.

12.已矢口cos(a+m)=-^，蚓」sin2a=.

13.(2023•新高考/,15)已知函数加)=cos。x-l(O>0)在区间［0,2汨上有且仅有3个零点，则

0的取值范围是.

14.如图，某湖有一半径为100m的半圆形岸边，现决定在圆心。处设立一个水文监测中

心(大小忽略不计)，在其正东方向相距200m的点A处安装一套监测设备.为了监测数据

更加准确，在半圆弧上的点B以及湖中的点C处，再分别安装一套监测设备，且满足

A3=AC,NA4c=90°.四边形。4cB及其内部区域为“直接监测覆盖区域”.设NAO3=6,

则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为n?.

四、解答题:本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)(2023•新高考/,17)已知在ZkABC中,A+3=3C,2sin(A-C)=sin8

(1)求sinA;

⑵设A3=5,求AB边上的高.

16.（15分）在平面直角坐标系xOy中，点E（2cosx,l）及罢卷sin2%扣@%，点D是线

段ER上靠近点F的三等分点，且H%）=荏-0D+3.

（1）求函数的最小值；

⑵在AABC中，角A,5,C所对的边分别是a,b,c^A）=6,b=l,^ABC的面积为半，求a的值.

4

17.（15分）随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼.通过“小步道”，走出“大

健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图,A-3-CA为某区的一条健康

步道5435AC为线段，就是以BC为直径的半圆5AB=2gkm4C=4km,ZBAC=7.

6

（1）求命的长度；

⑵为满足市民健康生活需要，提升城市品质，改善人居环境,现计划新建健康步道A-D-

C（B,D在AC两侧），其中AD,CD为线段.若2。。吟求新建的健康步道A-D-C的路程最

多可比原有健康步道A-3-C的路程增加多少千米？

18.(17分)(2024.江西九师联盟)如图，在"BC中,A5=3C=2,。为及钻。外一

点,AD=2CD=4,记/84。=0/30)=四

C.

(1)求2cosa-cosp的值；

(2)若AAB。的面积为SiqBCD的面积为S2,求用+S/的最大值.

19.(17分)(2024・河南周口模拟)已知。为坐标原点，对于函数y(x)=asinx+Z?cosx,称向量

南=3力)为函数八工)的相伴特征向量，同时称函数Hx)为向量面的相伴函数.

⑴设函数8。)=5皿y+46111(等》),试求gQ)的相伴特征向量方面；

(2)记向量加=(1,百)的相伴函数为4》),求当y(x)=q且x©(?W)时,sinx的值；

(3)已知点A(-2,3),5(2,6),^为函数/i(x)=/nsin(x[)的相伴特征向量，矶x)=/z6

oZ5

请问在y=e(x)的图象上是否存在一点P,使得91品?若存在，求出点P的坐标;若不存

在,请说明理由.

专题过关检测二三角函数与解三角形

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.C解析由题意，角。的终边经过点P(VXa),可得|。。|=岳万(。为坐标原点)，又由

。=弓根据三角函数的定义，可得cos(-"=-7=^=9,且a<0,解得<2=-V6.

3\3/V2+a22

2.A解析因为0^tan20=-4tan(0+-),

44

所以空嗅=当鬻所以一4(tan6+l)2=2tan0,

l-tan20l-tan0

所以(2tan8+l)(tan。+2)=0,所以tan0=-2或tan0=-j.

因为(乎,兀)，所以tan所以tan0=-^.

4Z

1

斯l+sin20_sin204-cos20+2sin0cos0_tan20+l+2tan0_4+I-I_1

2cos20+sin202cos20+2sin0cos02+2tan82+(-1)4,

故选A.

3.B解析因为sinA=6sin5所以〃=6b,又a+2b=8,所以a=6/=1,因为C=60°,所以

c2=a2+b2-2abcosC,即c2=62+l2-2x6xlc=y/31.

4.D解析由题中函数於)=①皿5+9)(4>0,口>0,|9|<；)的部分图象知4=2,1二等—

211c

『兀，

所以7=4兀=空，所以(《=；.

(JL)2

又/午)=2sinGx与+@)=2,可得(x*+9=2E+1,k£Z，解得9=2hi+》£Z.

：1例2・：9二(326

.：/x)=2sinQ%+^).

故尼)=2sin@x抖力2：吗=低】

5.D解析由sin(--a)=-+cosa可得sin-cosa-cos-sinot=-+cosa,

\6/3663

・1V3.1,

..-cosa--sin«=-+cosa.

223

遮.

・•・一sina,1+-cosa1--.

223

•:sin(a+%9

.：sin(2a+*)=sin[]+(2a+g)]=cos(2a+^=l-2sin2^a+：)=:

6.C解析在△CDE中,设定点C到底边DE的距离为力,则力=2+1fin偿q)=|,

又SLCDE=^DE-h=^CD-CEsinpKP5DE=J5CDCE,利用余弦定理得DE2=CD2+CE2-

20>。£85^=。。2+。£2_℃£三20)。£-。。。£=0).。£,当且仅当CD=CE时,等号成

立，故D/'CDCE,而5DE=gCZ>CE,所以。石2巳手。石,则三千，故的最小值为

5V3

3,

7.D解析因为tanAtan5>1,所以空”空巴>1,因为0<4<兀,0<5<兀,所以sinAsinB>0,cos

cosAcosB

Acos5>0,故48同为锐角,

因为sinAsinB>cosAcosB,

所以cosAcosB-sinAsinB<0,即cos(A+B)<0,

所以%4+3＜兀,因此0＜。＜会所以△A3C是锐角三角形，不是钝角三角形，所以充分性不满

足.反之，若AABC是钝角三角形，也推不出“tanAtan3＞l”,故必要性不成立,所以为既不充

分也不必要条件.

8.B解析因为«r)=2sin(%+：)+cos2%,

所以#x)=2sin(%+§+sin[2(汽+：)]=2sin(x+：)+2sin(%+：)cos(x+

令0=x+-,g(0)=2sin6+2sinOcos6=2sin8+sin2a

4

则g'(6)=2cos9+2cos23=2(2COS23-1)+2cos0=4cos20+2cos0-2,

令g'(e)=。,得coso=-i或cos。=，当-iWcos时,g＜e)wo；当^Wcosewi时,g(e)2o,所

以当ee[号+2Mi,q+2Mr](kez)时,g(e)单调递减;当吟+2痴[+2如(左GZ)

时,g(。)单调递增,所以当月+2EgZ)时,g(。)取得最大值，此时sin。岑

所以於)max=2x曰+2x弓x；孚

二、选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.ACD解析因为3+。)；(a+c)：(b+c)=9Z10；11,所以可设

〃+~=9%,a+c=10x/+c=llx(其中I＞0),解得。=4x,b=5x,c=6%,所以sinA/sinB/sin

C-a/b.c-4/5；6,所以A中结论正确；

由以上解答可知。边最大，所以三角形中角C最大，

222

a+b-c_(4X)2+(5X)2-(6X)2

又cosC==：＞0,所以C为锐角，所以B中结论错误;

2ab2x4xx5xO

由以上解答可知a边最小，所以三角形中角A最小,

222222

「4c+b-a(6X)+(5X)-(4X)3

XcosA=---------

2cU2x6xx5x4

所以cos2A=2cosM-l二巳,所以cos2A二cosC.

由三角形中角。最大且角。为锐角可得2A£(0呜

所以2A=C,所以C中结论正确；

由正弦定理，得2H二会(H为外接圆半径),

又sinC=Vl-cos2C=

8

所以2R=*，解得R=甲，所以D中结论正确.

8

10.AB解析因为y(^)=V3sin2cox+cos20工，所以/(%)=2(/sin2cox+jcos

IT

2cox)=2sin(20x+-).

因为函数人x)=Esin20x+cos2cox的零点依次构成一个公差为的等差数列，

所以：,§=5，所以0=1,所以段)=2sin(2x+》.

zZCi)Zo

因为把函数1x)的图象沿X轴向右平移与个单位长度，得到函数g(x)的图象，所以

g(x)=2sin[2(x-^)+^]=2sin(2x-^)=-2cos2x,所以g(x)为偶函数，故C错误；

362

对于A,当正《与时,2代碎㈤,因为产cosx在区间碎,兀]上单调递减，所以g(x)在区间

色勺上单调递增，故A正确；

4Z

B正确;

对于D,因为正邑等,所以2xG邑争，所以cos2xe口手，所以g(x)e>l,2],故D错误.

63332

故选AB.

1LBD解析对于A,当弓时X-?)X?)=sin(-?)cosT-sin?cosT=-Tx(4)-Tx(-

0='邦，故A错误.

对于B,因为兀r+27i)=sin(2兀+x)cos[2(%+2兀)]=sinxcos2%,所以三7=2兀/),使得於+7)力(%),

故B正确.

对于C,因为代元)=sin(-x)cos(-2x)=-sin%cos2x二次x),所以«x)为奇函数，

因为x-0在定义域内，所以式0)=0,故人元)有奇数个零点，故C错误.

对于D次兀-乃力元)二sin(兀-x)cos[2(兀-x)]-sinxcos2x=sinxcos2x-sinxcos2x=0,故D正确.

三、填空题:本题共3小题,每小题5分洪15分.

12.解析由cos(a+第二-当可得cos(a+：)=当所以j(cosa-sina)=当即cosa-sin

仪=竽，两边平方可得1-sin2aq故sin2a=-1.

13.[2,3)解析由题意可知，要使函数人1)=COSGX-1(Q>0)在区间[0,2兀)上有且仅有3个零

点,即函数y=cos①X(G>0)的图象在区间[0,2兀]上有且仅有3个最高点，设y=coscox(co>0)

的最小正扃期为T,画出函数支coss(①>0)的大致图象,如图.

y

要满足题意，需要2TW2JI<3T,即空<T=空W71,解得2W0<3.

3O)

14.(10000V5+25000)解析在4。43中，

VZAOB=0,OB=1OOm,04=200m,

.'.AB2=OB2+OA2-2OBOACOSZAOB,

即AB=lOOV5-4cos0,

112

•・S四边形OACB=S^oAB+SAABC=--OA-OBsin0+-AB,

22

于是SHWoACB=lOO(sin0-2cos0+j)=100[V5sin((9-^)+j](^中tan0=2),

所以当sin(仇夕)=1时,S四边形OACB取最大值10000(V5+|)=10OOOA/5+25000,即“直接监

测覆盖区域”面积的最大值为(10000V5+25000)m2.

四、解答题:本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.解⑴(方法一)由题意知A+5=3C,

VA+B+C=71,.t.C=*A+B=y.

由2sin(A-0=sinB,得2sin(A-^)=sin(^-A)=sin[7r-(A+^)]=：sin(A+^),

..2(sinAcos--cosAsin-)=smAcos-+cosAsin-.

Z2(sinA-cosA)=sinA+cosA.

•:sinA=3cosA.

由siEA+cos2A=1,得sin2A=5.

:NG(0,71),.：sinA=甯.

(方法二)：N+3=3C,A+3+C=7T,

/.C=-4,B=3C-A.

S*2sin(A-Q=sinB,

3IT

•：2sinAcosC-2cosAsinC=sin(--A),

・：.2sinAcosC-2cosAsinC=sin—3TCcosA-cos—3TtsinA.

44

代入数据，得V^sinA-V21cosA=—cosA+—sinA.

22

整理得/sinA二瞪cosA,•：tanA=3.

S<0<A<7i,ZsinA=^|^.

(2)过点C作AB的垂线，垂足为点。则为A5边上的高.

l3V10

5X

由正弦定理得黑=煞，故3C=ABsinA_^Q-=3V5.

sinCV2

T

•sinA=^，由(1)知AW(0,]),

AVio

cosA=——io.

sin5二sin(亨-A)s.m3—TCcosA%-cos3-TTs.inA.=V—2xV-1--0--,1--V-2-x-3-V-1--0-=——25/5.

442102105

.".CD=BCsmB=3V5x等=6.

综上5AB边上的高为6."

16.解⑴耐=(2cosx,l),标=(罢,，sin2x-1)^e[0,J.

:曳段"上靠近点R篇三*分点,2"

.".ED=2DF,

.".OD-0E=2(0F-0D),

.'.OD=：0E+|OF—^(2cos^1)+|^-sin2x-|)=(cosx,V3sin2x),

.".OE-0□=2cos2x+V3sin2x=V3sin2x+cos2x+1=2sin(2x+-)+1,

6

.\J(x)=OE-O£)+3=2sin(2x+-)+4.

由xd[0,]得2x+京有争，

.：当2x+--N即时於)取得最小值，且最小值为2sinX+4=3.

6626

(2)由⑴及人A)=6,得2sin(2A+m)+4=6,.：sin(2A+》=l,由4©(0,勺,得2A+乐邑

662666

.：2A+-=-,.：A=-.

626

由S^ABC=^bcsinA=|xl=今可得c=V3,

在△ABC中,由余弦定理得a2=Z?2+<?-2/?^08A=1+3-2x1xV3x・：Q=1.

17.解(l)^AABC中，由余弦定理，可得

BC=y/AC2+AB2-2ACABcos^BAC=J16+12-2x4x28xy=2,

所以施的长为jx7ix2=兀，即前的长度为兀km.

(2)记AD=a,CD=①则在△ACD中，由余弦定理可得a2+b~-2abcos^=16,tz2+Z?2-t?Z?=16,A

而(a+》)2=i6+3abW16+3(^1^)2,

所以"+0)2・16,所以a+0W8,当且仅当a=b=4时，等号成立.所以新建健康步道A-D-C

4

的最长路程为8km.

故新建的健康步道A-D-C的路程最多可比原有健康步道A-B-C的路程增加(8-兀-

2V3)km.

18.解⑴在△A3。中，由余弦定理，得BD2=AB2+AD2-2ABADcosct=20-16cosa,

在△BCD中，由余弦定理，得BD2=BC2+CD2-2BC-CDCOS夕=8-8COS夕，所以20-16cosct=8-

8cos及所以8(2cosa-cos夕)=12,所以2cosot-cos

⑵由题意知Si=^ABADsmZBAD=4sma,S2=^BC-CDsinZBCD=2sin1

所以贷+52=16sin2a+4sin2s=16(l-cos2a)+4(l-cos2^)=20-l6cos2Q-4cos2K

由(1)知2cosa-cosyS=-,

所以cos£=2cosa--,cos

所以贷+S：=20-16cos2a-4(2cosa-|)2=-32cos2«+24co