几何大综合压轴突破-2024-2025学年人教版八年级数学下册

几何大综合压轴突破

压轴突破1勾股定理与几何大综合

类型一几何新定义，规则是前提

1.我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股

高三角形，两边交点为勾股顶点.

【特例感知】

(1)等腰直角三角形勾股高三角形(请填写“是”或者“不是”)；

(2)如图1,已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点,CD是AB边上的高.若BD=2,AD=L试求线段CD

的长度；

【深入探究】

(3)如图2,已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且CA>CB,CD是AB边上的高.试探究线段AD与

CB的数量关系，并给予证明；

【推广应用】

(4)如图3,等腰△ABC为勾股高三角形，其中AB=AC>BC,CD为AB边上的高，DE||BC与AC边交于点E.若C

E=a,求线段DE的长(用含a的式子表示).

2.(2020-2021东湖高新期中)如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”.

⑴性质探究:如图L已知四边形ABCD中，AC^BD,,垂足为O,求证：AB2+CD2=AD2+BC2;

(2)解决问题：已知AB=5&,BC=4但分别以AABC的边BC和AB为腰向外作等腰Rt△BCE和等腰Rt

AABD^ABD=乙CBE=90°).

①如图2,当乙ACB=90。时，求DE的长；

②如图3,当乙ACB丰90。。时,G,H分别是AD,AC的中点，连接GH.^(GH=2而则ShABC=_.

八年级数学下RJ

类型二找共（等）边，连环勾；构垂直，分步算

3.（2021—2022江汉区期中）如图1,在等腰△4BC中，AB=AC„D为边BC的中点点F在AC上，且.BF=

BC,点G在AD上，且FGSFB.

⑴求证：AG=FG-,

⑵若BC=8,AD=8同求AG的长；

⑶如图2,在⑵的条件下,E是AC边的中点，连接GE,直接写出GE的长.

类型三全等聚离散，勾股来计算

4.【问题背景】⑴如图1,已知AABC和ADCE都为等腰直角三角形,（CA=CB,CE=CD,求证：ACBD=hCAE

【尝试应用】（2）如图2，在A/ICB中,CA=CB/ACB=90。,点D是△4BC外一点，且AADC=45。,求证：

AD2+BD2=2AC2;

【拓展创新】（3）如图3,D是等边三角形ABC外一点，若.DC=10,DB=6^2,DA=2,直接写出“DB的度

数.

类型四活用特殊角

5.在等腰△ABC中,AB=",,D为BC上一点,E为AD上一点，连接BE,CE,Z.BAC=MED=24BED=2a

(1)如图1，若a=45。,求证：CE=2AE-,

(2攻口图2,若a=30。,AB=AC=5,

①求CE的长；

②直接写出BD的长.

图1图2备用图

压轴突破2动点与几何大综合

类型一以静制动，分类计算

6.在矩形ABCD中,AB=a,BC=3,动点P从B出发,以每秒1个单位长度的速度沿射线BC方向移动，作△PAB

关于直线PA的对称△PAB',设点P的运动时间为ts.

⑴若a=4;

①如图1,当点B落在AC上时，显然△PCB是直角三角形，求此时t的值；

②当点B，不落在AC上,且4PCB，是直角三角形时，请直接写出t的值；

(2)如图2,若直线PB与直线CD相交于点M,且当t<3时.APAM=45°;

①求a的值；

②当t>3时，ZPAM的度数是否发生变化，若不变，求出值，若变化，请说明理由.

类型二巧借图形性质列方程

7如图1,在四边形ABCD中，AD\\BC,zS=90°,AB=6cm,AD=10cm,BC=14cm,点P从点A出发以1cm

/s的速度在边AD上向点D运动，点Q从点C同时出发以2cm/s的速度在边CB上向点B运动.规定其中一个动

点到达端点时，另一动点也随之停止运动.设它们运动时间为ts.

(1)当四边形ABQP是矩形时，直接写出t的值；

⑵在点P,Q的运动过程中，当PQ=8时，直接写出t的值；

(3)如图2,若乙DPQ=2NC,求t的值.

8.如图，四边形ABCD中，AD\\BC,AB=90°,AB=8,BC=20,AD=18,Q为BC的中点，动点P在线段AD

边上以每秒2个单位长度的速度由点A向点D运动，设动点P的运动时间为t秒.

⑴当t为何值时，四边形PBQD是平行四边形，请说明理由；

⑵在AD边上是否存在一点R，使得以点B,Q,R,P为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出t的值；

若不存在，请说明理由；

(3)在线段PD上有一点M,且.PM=10,,当t为何值时，四边形BCMP的周长最小，直接写出此时t的值

和四边形BCMP的周长的最小值.

压轴突破3平行四边形中的几何大综合

类型一活用平行四边形的性质

9.如图，正方形ABCD的边长为m,正方形DEFG的边长为n(n＜陶以AD,DG为边作团2DGM,,以CD,DE

为边作忸CDEN,,P,Q分别是DM,CE的中点

(1)求证：△MDA=△ECD-,

(2)求AOPQ的面积(用含m,n的代数式表示)；

(3)直接写出PQ的长度的最大值(用含m,n的代数式表示).

BC

备用图

类型二构造平行四边形转化线段

10在团4BCD中,E是AB的中点,P是BC上一点，连接DE交AP于点M,N是AP上一点且AM=MN,连接

BN并延长交DC于点F.

⑴如图1,求证：四边形EBFD是平行四边形；

⑵如图2,连接MC交BF于点H过点A作4G||MC交DE于点G,求证：MC=2AG-

(3)如图3,当P为BC中点时,若BF=a,AP=①且^-AB2=a2+4b2,直接写出团2BCD的面积(用含a,b的

4

式子表不).

FC

-------

AEB

图1图2图3

类型三平移型轨迹

1L如图，在13aBe。中，ADAC=45°,18C于点E,(CGEIZB于点G,交AE于点F.

⑴求证：AAEB三XCEF;

(2)如图2°ABCD外部有一点H,连接AH,EH,且IEH\\AB,ZW=45。..求证：AG+<2AH=CG;

(3)如图3,在BC上有一点M,连接FM,将AFEM绕着点M顺时针旋转90。得△连接CF',DF',P为DF'

的中点，连接AP.若CD=3国,EF=3应，当CF最小时，直接写出此时线段AP的长.

压轴突破4矩形中的几何大综合

类型一矩形中的勾股、对称

12.如图，在矩形ABCD中,AB=3,AD=5.

⑴如图1,M,N分别为边BC,CD上的点,AM_LMN且AM=MN,求DN的长；

(2)如图2,/ABC的平分线交CD的延长线于点Q.BQ交AD于点P,O为PQ的中点，求/OAC的度数;

⑶如图3,E为边AB的中点,F,G,H分别是边BC,CD,AD上的动点，直接写出四边形EFGH周长的最小值.

图1图2图3

类型二矢耶与全等三角形

13.已知矩形ABCD的对角线交于点O,/.MON=a.

⑴如图1,AD=DC,a=90。,点M在边AD上点N在边CD上.求证：MO=0N;

⑵如图2,.^ACD=30°,a=60。,点M在线段AD的延长线上，点N在线段CD的延长线上.若OM=ON,求

OM=ON,器的值；

⑶如图3,AD=6,DC=8,a=45。,点M在线段AD的延长线上点N在线段CD的延长线上.若DM=DN

，直接写出线段ON的长度为.

类型三面积与面积法

14.⑴如图1,E,F,G分别是正方形ABCD的边CD,AD,BC上的点，且4E回FG,求证：AE=FG;

⑵如图2,在矩形ADNM中，AD=2AM=12点E在边DN±„DE=5,动点F,K分别在边AD,MN上,

且FKEIZE,求S&DEF+S&ENK+的值；

(3)如图3,在矩形ADNM中，AD=2AM=2,点E,F,G,K分别在边DN,AD,AM,MN上，GE团FK,连接GF,GK,

KE,EF,记四边开乡GFEK的面积为S,直接写出S的取值范围.

图1图3

压轴突破5菱形中的几何大综合

类型一活用菱形的性质

15.如图,P是菱形ABCD的边BC上的一动点，N4BC=60。线段PC的垂直平分线与对角线BD交于点E,连

接PE,CE,AP.

⑴如图1,若4BAP=16。，，直接写出NAPE的大小为_________L

⑵如图2,试探索线段AB,BP,BE满足怎样的数量关系，并说明理由；

(3)如图3,若AB=1,过点E作EFLAP于点F,点P从点B向点C运动至EF最小时停止，直接写出点P

的运动路径长为.

类型二菱形与夹半角

16.在菱形ABCD中，"BC=120°,AB=6,,E,F分别为AD,CD上的点.

⑴如图1,若乙EBF=60。,求证：AE=DF-,

(2)如图2,E为AD的中点，。F=1,,线段EG交BC于点G,FH交AB于点H,交EG于点O/EOF=60。,设

BH=x,CG=y.

①求y与x之间的函数关系式；

②若x+y=6,,直接写出HF的长.

17.在菱形ABCD中，/.DCB=120°„E为CD上一点.

⑴如图1,若乙DAE=30。,求证：BC=2CE;

(2)F为CB上一点，/.EAF=30°;

①如图2,连接EF,求证:EA平分乙DEF;

②如图3,若BF=2FC,BF=2FC,求笑的值.

图1图2图3

压轴突破6中点问题

类型一倍长与斜边中线

18.四边形ABCD是矩形,E是射线BC上的一点，连接AC,DE.

⑴如图1,点E在边BC的延长线上“BE=垢若乙4cB=40。,,求/£的度数；

(2)如图2,点E在边BC的延长线上,.BE=AC,,若M是DE的中点，连接AM,CM,求证：AM团MC;

⑶如图3,点E在边BC上，射线AE交射线DC于点F,4AED=2^AEB,AF=4«,AB=4,贝!]CE的长为

_.(直接写出结果)

类型二构造中位线

19如图，在EL4BCD中,AE平分ND48交CD于点E,连接BE,^AEB=90°.

(1)求证:E为CD的中点；

(2)F为AE的中点，连接CF交BE于点G,求EG:BG的值

20.在菱形ABCD中，4BAD=60°.

⑴如图1.E为线段AB的中点，连接DE,CE.若AB=4,,求线段EC的长；

⑵如图2,M为线段AC上一点(不与点A,C重合)，以AM为边向上构造等边三角形AMN,线段MN与A

D交于点G,连接NC,DM,Q为线段NC的中点，连接DQ,MQ,判断DM与DQ的数量关系，并证明你的结论；

⑶在⑵的条件下，若AC=百，请你直接写出DM+QV的最小值是一.

图2

压轴突破7正方形中的几何大综合

类型一正方形与旋转、三垂直模型

21.(2021—2022武珞路中学期中)如图,四边形ABCD是正方形，等腰RtACEF中，乙E90°,EC=EF.

⑴如图1,EF经过点A,请直接写出/FAD与NDCF之间的数量关系；

(2)如图2,EF经过点D,请写出AF与BE之间的数量关系，并说明理由；

(3)如图3,DF，EFj^B,E,F在同一条直线上，若AB=15,DF=3,请直接写出AE的长.

图1图2图3

22.如图,P是正方形ABCD的边CD右侧一点,(CP=CD,NPCD为锐角，连接PB,PD.

⑴如图1,若PD=PC,则NBPD的度数为；

⑵如图2,作CE平分乙PCD交PB于点E.

①求NBEC的度数；

②猜想PD,BE,CE之间有何数量关系?并证明你的结论；

(3)如图3,若PB=6,,则四边形PCBD的面积为平方单位.

类型二正方形与对角互补模型

23在正方形ABCD中，点E在对角线BD上连接CE,EF1CE交AB于点F.

⑴如图1,求证:CE=EF;

(2)如图2,EMXBD交AD于点M,连接BM.求证：BM=V2CE;

⑶如图3.延长CE交DA于点N若BE=7^2,AN=6,直接写出CE的长.

类型三正方形的折叠

24.如图，在边长为1的正方形ABCD中动点E,F分别在边AB,CD上，将正方形ABCD沿直线EF折叠，使

点B的对应点M始终落在边AD上(点M不与点A,D重合)，点C落在点N处,MN与CD交于点P.

(1)当AM=2时,AE的长是;

(2)随着点M在边AD上位置的变化，△PDM的周长是否发生变化?如变化，请说明理由；如不变，请求出

该定值；

(3)设四边形BEFC的面积为S,求S的最小值.

备用图

压轴突破8正方形中的最值、路径长

类型一斜边定，取中点，共线取最值

25.正方形ABCD中,E,F分别是AB,DC上的动点（与顶点不重合）,且满足AE=CF.

⑴如图1,连接EF与对角线BD交于点0,求证:OE=OF;

⑵如图2,连接DE,过点F作BC的平行线,分别交AC,AB于点M,G.过点M作HMJ_AC交AB的延长线于

点H,连接HC,BM,若HC〃DE判断DE与BM的数量关系,并加以证明；

⑶如图3,过点B作BKL直线EF,垂足为K,连接KC若正方形的边长为8,则线段KC的最大值为

图2

类型二平移、对称转化，共线取最值

26.已知正方形ABCD的对角线AC,BD交于点0,M是A0上一点.

⑴如图1,4Q团DM于点N,交BO于点Q.

①求证:（0M=0Q-,

②若DQ=DC,求证：QN+NM=曰MD;

⑵如图2,M是AO的中点，线段EF（点E在点F的左边）在直线BD上运动，连接AF,ME.若.AB=4,EF=

迎,直接写出AF+MEE的最小值为.

图1图2

类型三平移拼接求最值

27.在正方形ABCD中点E,F分别在边BC,DC上,且BE=DF.

⑴如图1,当^EAF=60。时，求证：△4EF为等边三角形；

(2)如图2,在⑴的条件下，点G在线段FC上，乙4GC=120。,EC=遍，求CG的长;

(3)如图3,BC=4,,G为FC的中点，直接写出^AF+BG的最小值.

图1图2图3

28.已知四边形ABCD是边长为2的正方形,E为线段BC上一动点，EFBAC,垂足为F.

⑴如图1,连接DE交AC于点M,若乙DEF=15。,求AM的长;

(2)如图2,点G在BC的延长线上，点E在BC上运动时，满足CG=BE.

①连接BF,DG,判断BF,DG的数量关系并说明理由；

②如图3,若Q为CG的中点，直接写出.DE+2DQ的最小值为.

图1图2图3

类型四“胡不归”型最值

29.在正方形ABCD中,E是边BC上的一动点(不含端点B,C).

⑴若AE^\EF,AE=EF,连接CF.

①如图1,求/ECF的度数：

②如图2,N为CF的中点，连接DN,DE,求证：DE=0DN;

(2)如图3,若.XD=1+V3,,直接写出\BE+DE的最小值为

类型五起点、终点定路径

30.在正方形ABCD中,E是边CD上任意一点，连接AE,过点B作8F回4E于点F,交AD于点H.

⑴如图1,过点D作DG团4E于点G.求证：BF-DG=FG;

⑵如图2,E为CD的中点，连接DF,试判断DF,FH,EF存在怎样的数量关系，并说明理由；

(3)如图3,AB=1,连接EH,P为EH的中点，在点E从点D运动到点C的过程中，点P随之运动，请直

接写出点P运动的路径长为

压轴突破1勾股定理与几何大综合

类型一几何新定义，规则是前提

1.解：⑴是；设等腰直角三角形的直角边长为a，则斜边长为标F涯=&a,

•••(V2a)2-a2=az,等腰直角三角形的一条直角边是另一条直角边上的高，

.••等腰直角三角形是勾股高三角形，故答案为是；

(2)由勾股定理，得CB2=CD2+BD2=CD2+4,CA2=CD2+AD2=CD2+1,

VAABC为勾股高三角形C为勾股顶点,CD是AB边上的高，:.CD?=BC2-AC2,

CD2={CD2+4)-{CD2+1),解得CD=V3;

(3)AD=CB;证明如下:「△ABC为勾股高三角形,C为勾股顶点且CA>CB,CD是AB边上的高，

CD2=CA2-CB2,CA2-CD2=CB2,

X-•••CA2-CD2=AD2,.-.CB2=AD2,AD=CB;

(4)过点A作AGLDE,垂足为G,

••.“勾股高三角形”△ABC为等腰三角形，且AB=AC>BC,

•••AC2-BC2=CD?,,由(3x得AD=BC,又：ED〃BC,

ZADE=ZB,ZAED=ZACB,AE=AD,

ZAGD=ZCDB=90°,

AAGD^ACDB(AAS),DG=BD.

AADE为等腰三角形,ED=2DG=2BD,又：AB=AC,AD=AE,BD=EC=a,ED=2a.

2.解:(l)：AC_LBD,；./AOB=90o,/COD=90。,在RtAAOB中，AB2=AO2+0B2^±RtACOD中,(CD2=

2222222同理。炉。。

DO+OC,AB+CD=AO+OB+DO+0c2,AD2+BC2=AQ2++DQ2+2...AB2+

(2)①连接DC,AE相交于点F.

VRtABCE和RtAABD是等腰三角形，

，BE=BC,AB=BD,ZCBE=ZABD=90°,

ZABE=ZDBC=90°+ZABC,

AABE^ADBC,/.ZCDB=ZBAE,

ZAFD=90°,.\AE±CD,

•••AB=5V2,BC=4®乙ACB=90°,AC=3夜,

由(1)中结论得AD2+EC2=AC2+DE2,

DE=V146;

②连接DC,AE相交于点F.

;点G,H分别是AD,AC的中点，GH=2屈,

，DC=2GH=4遥作CPLBD交DB的延长线于点P,

...Bp2+CP2=BC2=(4V2)=32,DP2+PC2=DC2=(4佝=96,

{DP2+PC2)-(BP?+CP2)=96-32=64

DP2-BP2=64,；.(BD+BPy-BP2=64,

•••(5V2+-BP2=64,BP=^y/2,

o

'：ZABD=90,ZP=90°,ANABD=/P,；.AB〃PC,则SKABC=S“BP=-BP=|X5A/2XV2=1.

类型二找共(等)边，连环勾；构垂直，分步算

3.解:(1)：BF=BC,；.ZC=ZBFC,

VAB=AC,D是BC的中点,AD_LBC,

.•.ZC+ZCAG=90°,

VBF±FG,.,.ZBFC+ZAFG=180o-90o=90°,

ZCAG=ZAFG,.\AG=GF;

(2)连接BG,设AG=x，由(1),得GF=AG=x,BD=CD=4,DG=AD-AG=8V3-x,

在RtABGF中，BG2=BF2+GF2,

BG2=BC2+GF2=82+x2,

2

在RtABDG中，BG2=BD2+DG2=42+(8A/3-x),

.­.82+%2=42+(8A/3—x)解得x=3-\/3,

•••AG=3A/3;

(3)GE=V7.

分别过点B,点G作AC的垂线，垂足分别为M,N,AC=<CD2+AD2=4后,由面积法，

得BCAD=ACBM,/.BM=16V139

CM=y/BC2-BM2=

13

16V13.„36V13

・•・CF=---,AF=-------,

1313

•••AG=GF,AN=FN=受运，

VE是AC的中点,ME=CE=2V13,

_2

在RtAGFN中,(GN2=GF2-FN2=(3百『_，在RtAGNE中，GN2=GE2-EN2=GE2-

_2__2__2

（警）（3V3）2—（誓）=G非_（警）解得GE=V7.

类型三全等聚离散，勾股来计算

4.解:⑴:△ABC和ADCE为等腰直角三角形.

ZACB=ZDCE=90°,

AZACB-ZACD=ZDCE-ZACD,SPZBCD=ZACE,

CB=CA,

在4CBD和4CAE中”{/.BCD=CBD£△CAE（SAS）;

CD=CE,

⑵过点C作CELCD,交DA的延长线于点E,

CA=CB,/ACB=90。,AACB是等腰直角三角形，

AB2=AC2+BC2=2AC2,

VZADC=45O,.\AECD是等腰直角三角形，由⑴彳靓CBD丝△CAE（SAS）,

.\ZCDB=ZCEA=45°,

•••4ADB=AADC+乙CDB=45°+45°=90°,

AD2+BD2=AB2,AD2+BD2=2AC2;

（3）75。.以BD为边向右侧作等边△BDM,连接AM,过点M作MN_LAD交AD的延长线于点N,

VAABC,ABDM都是等边三角形，

；.CB=AB,BD=BM=DM=6&

ZABC=ZDBM=ZBDM=60°,

ZABC+ZABD=ZDBM+ZABD,

SPZCBD=ZABM,

CB=AB,

在4CBD和4ABM中，{NCBD=乙4BM,

BD=BM,

：.ZXCBD丝△ABM（SAS）,DC=AM=10,

MN^\AD,：.AM2-AN2=DM2-DN2,

2

即102-（2+DN）2=（6V2）-DN2解得DN=6,

MN='DM?—DN2=J（6A/2）2—62=6,

.,.DN=MN,AADNM是等腰直角三角形，

ZMDN=45°,.\ZADB=180°-ZBDM-ZMDN=180°-60°-45°=75°.

类型四活用特殊角

5.解:⑴过点B作BHLAD交AD的延长线于点H,

■:ZCED=ZEAC+ZACE,ZBAC=ZEAC+ZBAE,

NBAH二NACE,

ZAEC=ZH=90°,AB=AC,

・・・AACE^ABAH(AAS),BH=AE,CE=AH,

ZBEH=45°,ZH=90°,ABH=EH,

Ii

•••AE=EH=-AH=-CE,.-.CE=2AE;

22

(2)①在AD上取点H,使BH=EH过点B作BF,AD交AD的延长线于点F,则/BHE=NAEC=120°,ZBA

H+ZCAE=ZCAE+ZACE=60°,

ZBAH=ZACE,X•；AC=AB,

AACE^ABAH(AAS),CE=AH,AE=BH,设BH=EH=AE=2x,AH=4x,

vZBWF=60",.-.HF=x,BF=y/3x,AF=AH+HF=:5x,^RtAABF中，由BF?+人尸2=入鸟？彳导(百万)之十

(5x)2=(仞2,解得%=3负值舍去)，

；.CE=AH=4x=2;

②g过点C作CGLAD于点G,由①，得BF=y,

1

•・•乙CEG=60°,・•・GE=-CE=1,

2

•••CG=VCE2-GE2=V3,CG=2BF,

..s&BDE_IDEBF_BDLc_亘

SACDE-DE-CGCD233

压轴突破2动点与几何大综合

类型一以静制动，分类计算

6.解:(1)①：四边形ABCD是矩开么

ZXBC=90°,.-.AC=<AB2+BC2=5,

由题意，得AB'=AB=4,PB'=PB=t,

PC=3-t,CB'=AC-AB'=1,

•••PC2=PB'2+CB'2,(3-t)2=t2+I,解得t=1;

②分以下三种情况：

(I)当B落在CD边上时,/.PCB'=90°,

乙D=90°,AB=AB'=4,AD=BC=3,

DB'=yjAB'2-AD2=V7,CB'=CD-DB'=4-y/7,

•••B'P2=PC2+B'C2,

...t2=(4—夕)2+(3—t)2,解得t=智叱；

(II)当B落在CD的延长线上时，上PCB'=90°,DB'=y/AB'2-AD2=由,

CB'=4+伉在RtAPCB中，

(4+V7)2+(t-3尸=已解得t=普痣

(III)当B落在AD的延长线上时，“P9=90。，

・.•LB=Z-B'=乙BPB'=90°,

AB二AB；J四边形AB'PB为正方形，

.*.BP=AB=4,.\t=4;

综上所述，满足条件的t的值为4或W"或若"；

(2)①当t<3时,：ZPAM=45°,

/-PAB'+£.MAB'=45",ZPXB+^DAM=45。由题意，彳导NPAB=ZPAB',.\ZMAB'=ZDAM，又：ZADM=

ZAB'M,AM=AM,

AAMD^AAMB'(AAS),

.•.AD=4B'=4B,,即四边开乡ABCD是正方彩；.AD=a=3;②当t>3时,/PAM的大小不发生变化，为45。.理由如

下:设/APB=x,；.ZPAB=90°-x,.\ZDAP=x,

"/AB'=AD,AM=AM,

/.RtAMDA^RtAMB'A(HL),

ZB'AM=ZDAM,VZPAB=ZPAB'=90°-x,

乙DAB'=/-PAB'-/.DAP=90°-2x,

ZDAM=ZB'AM=45°-x,

ZPAM=ZDAM+ZPAD=45°.

类型二巧借图形性质列方程

7解⑴最

由题意得AP=t,CQ=2t,AB=6cm,AD=10cm,BC=14cm,：四边形ABQP是矩形，

.♦.AP=BQ,.1=142,解得t=y,,故答案为*2)g或6;

①当PQ=CD,且PQ//CD时,四边形PQCD是平行四边形,.•.PD=CQ,；.10-t=2t,解得t=g;

②当PQ=CD,且PQ与CD不平行时，过点P作PE±BC于点E过点D作DFLBC于点F,

则ZPEQ=ZDFC=ZPEF=ZDFE=90°,

AD//BC,PE=DF,ZPDF=ZDFC=90°,

Z.RtAPQE^RtADCF(HL),四边形PDFE是矩形，

.,.EF=PD=10-t,

ZB=90°,.\ZA=180°-ZB=90°,

,四边形ABFD是矩形,，BF=AD=10cm,

；.QE=CF=BC—BF=4cm,由QE+CF+EF=CQ得4+4+(10-t)=2t,解得t=6,综上所述当PQ=CD时,t的值是弓或6,

故答案为三或6;

⑶作PG平分NDPQ,交BC于点G,则乙QPG=乙DPG=［乙DPQJ；乙DPQ=2ZC,

Zc=|ZDPQ,.*.ZDPG=ZC,

*.•ZDPG=ZQGP,.\ZQGP=ZC,ZQGP=ZQPG,

PG//CD,PQ=GQ,；PD//CG,四边形PDCG是平行四边形,，CG=PD=10-t,

PQ=GQ=2t-(l0-t)=3t-l0,

过点P作PELBC于点E,过点D作DF±BC于点F,则四边形PDFE是矩形，

ZPEQ=90°,CF=4,.\EF=PD=10-t,

.•.EQ=2t-4-(10-t)=3t-14,

四边形ABFD是矩形,PE=DF=AB=6,

又­.•PQ2=EQ2+PE2,

•••(3t-10)2=(3t-14)2+62解得t=p

，t的鹿y

8.解:⑴当t=4时,四边形PBQD是平行四边形，

理曲由题意得AP=2t,

VBC=20,AD=18,Q为BC的中点，

BQ=CQ=^BC=10,PD=18-2t,

：AD〃BC,点P在AD上,；.PD〃BQ,

.♦.当PD=BQ=10时,四边形PBQD是平行四边形.

182=10,解得t=4,

.••当t=4时,四边形PBQD是平行四边形；

⑵存在，t的值为3或8；理由如下：

•••PR〃BQ,.•.当PR=BQ时以点B,Q,R,P为顶点的四边形是平行四边形，

①当点R在点P右侧，且BP=PR=BQ=10时,四边形BQRP是菱形，

AD//BC,ZABC=90°,AB=8,

•••Z4=180°-^ABC=90°,

AP=<BP2-AB2=V102-82=6,此时AR=AP+PR=6+10=16,符合题意，由2t=6,解得t=3;

②当点R在点P左侧，且BR=PR=BQ=10时,四边形BQPR是菱形，

AR=7BR2—AB2=-102—82=6,此时AP=AR+PR=6+10=16,符合题意，由2t=16,解得t=8;综上所述,t的值

为3或8;

⑶延长BA到点E,使AE=AB=8,连接QE交AD于点F,连接PE,PQ,BF,

AD垂直平分BE,.*.PB=PE,FB=FE,

PQ+PE>EQ,PQ+PB>EQ,

.•・当点P与点F重合时,PQ+PB=PQ+PE=FQ+FE=EQ,止匕时PQ+PB的值最小,

；ZEBQ=90°,BQ=10,BE=AE+AB=8+8=16,

EQ=yjBQ2+BE2=V102+162=2AM

.♦.PQ+PB的最小值为2V89,

,/ZFBQ+ZFBE=90°,

ZFQB+ZFEB=90°,ZFBE=ZFEB,

AZFBQ=ZFQB,/.FB=FQ=FE=|EQ=V89

AF=WB?-AB2=J(V89)2-82=5,由2t=5,解得t=j,

VPM/7CQ,PM=CQ=10,

四边形PQCM是平行四边形，

CM=PQ,CM+PB+PM+BC=PQ+PB+10+20

=PQ+PB+30,PQ+PB的值最小时，

四边形BCMP的周长最小，其最小值为：2V89+30;

.•.当t=泄,四边形BCMP的周长最小，

其最小值为2V89+30.

压轴突破3平行四边形中的几何大综合

类型一活用平行四边形的性质

9.解:⑴二•四边形ABCD,四边形DEFG是正方形，

Z.AD=DC,DG=DE,ZADC=ZGDE=90°,

•••四边形ADGM是平行四边形,，AM=DG,AM〃DG,

ZMAD+ZADG=180°,AM=DE,

ZADG+ZCDE=180°,.\ZMAD=ZCDE,

AMDA^AECD(SAS);

⑵延长MD交CE于点J,

AMDAAECD,DM=CE,ZADM=ZDCE,

ZADM+ZCDJ=90°,.\ZDCE+ZCDJ=90°,

NDJC=90。,设PM=PD=CQ=QE=x,QJ=y,

DJ2=CD2-CJ2=DE2-EJ2,

m2—(%+y)2=n2—(%—y)2,xy=(m2—n2)

•••S&PQD=q>y(m2_n2)；

(3)y(m+n)连接NQ,MN,BM,BN,

,••四边形CDEN是平行四边形,CQ=EQ,

.•.点D,Q,N共线,DQ=QN,

1

•・•DP=PM,PQ=；MN,

•・・DE〃CN,・・・ZDCN+ZCDE=180°,

ZADC=ZGDE=90°,AZADG+ZCDE=180°,

:.NADG=NDCN,

•・•Z-BAM=360°-90°-AMAD=270°-(180°-ZADG)=90°+ZADG=90°+ZDCN

I.ZBAM=ZBCN,VCN=DE=DG=AM,AB=BC,

・・・ABAM^ABCN(SAS),

JBM=BN,ZABM=ZCBN,

••・乙MBN=^ABC=90°,・•.MN=&BN,

;BC=m,CN=DE=n,

BN<BC+CN=m+n,BN的最大值为m+n,

AMN的最大值为V2(m+n),

，PQ的最大值为f(m+n).

类型二构造平行四边形转化线段

10.解:⑴；四边形ABCD是平行四边形,AB〃CD,

AE=EB,AM=MN,EM//BN,

；.BE〃DF,DE〃BF,.,.四边形EBFD是平行四边形；

⑵过点F作FK/7MC交DE于点K,

；FK〃MH,FH〃MK,

.••四边形MHFK是平行四边形，

1

・•.MH=FK,・・・FD=BE=^AB,AB=CD,

1

・•・FD=-CD,CF=FD,

2，

ZCFH=ZFDK,ZFCH=ZDFK,

△CFH之△FDK(ASA),

.*.CH=FK,.\MC=2FK,

•・・AG〃MC,FK〃MC,

・•・AG//FK,・•・NAGD二ZFKE,

A180°-ZAGD=180°-ZFKE,

・•・ZAGE=ZFKD,

ZAEG=ZFDK,AE=BE=FD,

・・・△AEGgAFDK(AAS),Z.AG=FK,

AMC=2AG;

⑶延长AP交DC的延长线于点R,

ZPCR=ZPBA,CP=BP,ZCPR=ZBPA,

・•・ACPR^ABPA(ASA),

・・・RC=AB,RP=AP=b,「・AR=2AP=2b,过点R作RL〃BF交AB的延长线于点L,过点C作CQJ_AL于点Q,

VRF/7BL,

・••四边开?RFBL是平行四边形,・・.RL=BF=a,

1I

vCF=-CD=-AB

22f

13

/.BL=RF=RC+CF=AB+-AB=-AB,

22

35

・•.AL=AB+BL=AB+-AB=-AB,

22

~^AB2=a2+4b2,・••住=小+(2b)2,

・•.AL2=RL2+AR2,

/.AARL是直角三角形，且NARL=90。，

11

•••S^ARL=QRL,AR=-aX2&=ab,

1I55

S^ARL=~AL-CQ=-X-AB-CQ=-AB-

CQ,-.^AB-CQ=ab,

4

SABCD=4B,CQ=gab,

.”ABCD的面积为4b.

类型三平移型轨迹

11.解：(1广四边形ABCD是平行四边形，

J.AD//BC,：.ZDAC=ZACE=45°,

AE_LBC,ZEAC=ZACE=45°,AE=EC,

AE_LBC,CG_LAB,ZAEB=ZCEF=90°,

ZB+ZBAE=90°=ZB+ZECF,

ZBAE=ZECF,.\AAEB^ACEF(ASA);

⑵过点E作ERLAB于点R,过点A作AT^EH于点T,设EH与CG交于点Q,连接GE,

VEH/7AB,CG±AB,

；.CG_LEH,/AEH=/BAE,

ZARE=ZCQE=90°,△ABE也得/BAE=/ECF,

,/AE=CE,；.AARE^ACQE(AAS),

，ER=EQ,；.GE平分NBGC,

1

•••乙CGE=：乙BGC=45°,・•・乙H="GE,

・・•ZAEH=ZBAE,ZBAE=ZECF,

ZAEH=ZECF,VAE=CE,

・・・△AEHgAECG(AAS),CG=EH,

ZAGQ=ZGQT=ZATQ=90°,

・••四边形AGQT是矢那,・・・QT=AG,AT=GQ,

EQ+QT+HT=EH,TH=&AH,EQ=GQ=AT=亨AH,

・•・—AH+AG+—AH=CG,・•.AG+6AH=CG;

22’

⑶笫连接EE,AC过点D作DN±AC于点O交BC于点N,连接NF,

•.,将△FEM绕着点M顺时针旋转90。得4F'E'M,

EM=ME',ZEME'=90°,

:•乙MEE'=45。,...点E在/AEC的平分线上运动，

CD=3V10,FF=3夜，

AB=CD=3410,EF=BE=3A/2,

AAE=6V2=CE,.\AC=12,BC=9岳AD,

DN_LAC,/DAC=45。,，ZDAC=ZADO=45°,

A0=D0=9,.\C0=3,；.ZDNC=ZACB=45°,

CO=NO=3,.-.CN=3y/2=EN=F'E',

又：EF〃EN,...四边形EE'F'N是平行四边形，

.•.EEi〃F'NR；DN〃EE,.^F在DNH云动,

••・当点F与点O重合时，CF有最小值，

VP为DF的中点，PF=3)0=g：.AP=吟

压轴突破4矩形中的几何大综合

类型一矩形中的勾股、对称

12.解:(1；•四边形ABCD是矩形,Z.B=90°=乙C,

VAM±MN,.\ZAMN=90°,

/-AMB=90°-ANMC=/-MNC,

"：AM=MN,AABM^AMCN(AAS),

；.AB=CM=3,BM=CN,

BM=BC-CM=AD-CM=5-3=2,；.CN=2,

DN=CD-CN=AB-CN=3-2=1;

⑵过点O分别作OMLAD于点MQNLDQ于点N”连接OD,OC,由题意得/ABQ=/CBQ=/Q=45。，

.,.△ABP,ABCQ,APQD都是等腰直角三角形，

CQ=BC=5,DP=DQ=CQ-CD=2,

•••O为PQ的中点,••.DO，PQ,DO=PO=OQ,

PM=DM=OM=1,DN=QN=ON=1,

AM=AP+PM=4,CN=CD+DN=4,

AO=7AM2+0M2=V17,CO=>JCN2+ON2=V17MC=yJAB2+BC2=V34,

AO2+CO2=AC2,AAOC=90°,XVAO=CO,.\ZOAC=ZACO=45°;

⑶分别作点E关于AD,BC的对称点Ei,E2作E2