几何模型求最值（将军饮马模型建桥选址模型胡不归模型）解析版

重难点03几何模型求最值（将军饮马模型、建桥选址模

型、胡不归模型）

题型解篌।模型构建.।真题强化制练।模拟通关试练

模型01将军饮马模型

模型02建桥选址模型

模型03胡不归模型

该题型主要以选择、填空形式出现，综合性大题中的其中一问，难度系数较大，在各类考试中都以中

高档题为主。本题考查的是轴对称-最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质、含30。角的直角

三角形的性质、垂线段最短，解这类问题的关键是将所给问题抽象或转化为数学模型，把两条线段的和转

化为一条线段，属于中考选择或填空题中的压轴题。

o模翅的建

模型01将军饮马模型

♦TS0疝iif...............................

将军饮马模型在考试中主要考查转化与化归等的数学思想，该题型综合考查学生的理解和数形结合能

力具有一定的难度，也是学生感觉有难度的题型。在解决几何最值问题主要依据是：①将军饮马作对

称点；②两点之间，线段最短；③垂线段最短，涉及的基本知识点还有：利用轴对称变换化归到“三

角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等；希望通过本专题的讲解让大家对这类

问题有比较清晰的认识。

答।题।技।巧

i.观察所求为横向还是纵向的线段长度（定长），将线段按照长度方向平移

2.同侧做对称点变异侧，异侧直接连线；

3.结合两点之间，线段最短；垂线段最短；三角形两边之和大于第三边等常考知识点;

4.利用数学的转化思想，将复杂模型变成基本模型；

［题型守停I

,龚俐1.（2024•黑龙江）如图，在矩形ABCD中，AB=10,BC=6,点/是A3边的中点，点N是A。

边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转90。，点N旋转到点N',则△MBN'周长的最小值为（）

B.5+56C.10+5&D,18

【答案】B

【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，确定点N'的轨迹是解题的关键.由旋转的性质

结合AAS证明四△GW,推出MG=AM=5,得到点N'在平行于A3,且与的距离为5的直线

上运动，作点M关于直线口的对称点AT,连接以3交直线功于点N',此时周长取得最小值，

由勾股定理可求解.

【详解】解：过点N'作E尸〃交AD、BC于E、F,过点M作MG,£F垂足为G,

ANED

M-；-•M

3c

/Fp

・.・矩形A5CD,

・•.AB//CD,

.-.AB\\EF\\CD,

・•・四边形AMGE和BMGF都是矩形，

：.ZA=ZMGNr=90o,

由旋转的性质得"VW=90。，MN=MNr,

/.ZAMN=90°-ZNMG=ZGMNr,

：.MG=AM=5,

・••点V在平行于A3,且与A5的距离为5的直线上运动,

作点M关于直线EP的对称点M',连接M3交直线EP于点N',此时△MBN'周长取得最小值，最小值为

BM+BM',

BM=-AB=5,MM'=5+5=10,

2

•••BM+BM'=5+A/52+102=5+5折

故选：B.

,支式

1.如图，已知NAOB=50。，点尸为—AOB内部一点，点M为射线。4、点N为射线02上的两个动点，当

△PMN的周长最小时，则NMPN=.

【答案】80。/80度

【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用；作点P关于。4,

的对称点与P2.连接。耳OP2.则当N是片鸟与。4,08的交点时，APMN的周长最短，根据

对称的性质结合等腰三角形的性质即可求解.

【详解】解：作P关于。4,02的对称点6P2.连接。4OP2.则当M,N是月舄与。4,02的交点时，

△RVW的周长最短，连接耳尸、P』,

-：P、[关于Q4对称，

NROP=2.ZMOP,OF[=OP,PXM=PM,ZOF[M=ZOPM,

同理，ZP2OP=2ZNOP,OP=OP2,ZOP2N=ZOPN,

ZPtOP2=ZI\OP+ZP,OP=2(NM0P+NN0P)=2ZA0B=100°,=O尸，

•••△4。心是等腰三角形.

ZOP2N=ZOI^M=40°,

ZMPN=ZMPO+ZNPO=ZOP2N+ZOPtM=80°

故答案为：80°.

2.如图，在DABCL(中，AB=4,AD=5,NABC=30。，点〃为直线BC上一动点，则M4+MD的最小

值为.

【答案】V41

［分析】如图，作A关于直线BC的对称点A,连接AD交2C于AT,则AH=AH,AHA.BC,AM'=AM',

当M,AT重合时，双4+MD最小，最小值为4少，再进一步结合勾股定理求解即可.

【详解】解：如图，作A关于直线BC的对称点A,连接AD交BC于ML则AH=AH,AH1BC,

AM'=AM',

二当M,AT重合时，MA+A4Z）最小，最小值为A。，

A'

.AB=4,ZABC=30°,在DABCZ）中，

.-.AH=-AB=2,AD//BC,

2

A4，=2AH=4,AA!LAD,

-AD=5,

AD=J42+5?=A/41，

故答案为：国

3.如图，在平面直角坐标系中，已知A（3,o）,5（0,2）,过点5作y轴的垂线/,P为直线/上一动点,

连接尸O,PA,则P0+B4的最小值为.

【答案】5

【分析】本题考查轴对称一最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质.先取点A关于直线/的对称点A,

连40交直线/于点C,连AC,得到AC=AC,A'A^l,再由轴对称图形的性质和两点之间线段最短，得

到当0,P,A'三点共线时，P0+P4的最小值为川O,再利用勾股定理求AO即可.

【详解】解:取点A关于直线/的对称点A,连AO交直线/于点C,连AC,

则可知4C=AC,A'ALl,

PO+PA=PO+PA>AO,

即当0,P,A三点共线时，PO+E4的最小值为AO,

・•,直线/垂直于y轴，

.•.A/_Lx轴，

■••A(3,0),3(0,2),

AO=3,AA!=4,

.•.在Rt&4'A0中，

AO=VOA2+A4,2=A/32+42=5，

故答案为：5

4.如图，在菱形ABC。中，ABC=60°,AB=2,E是3c边上一个动点，连接AE,AE的垂直平分线

交AE于点M,交BD于点、N.连接EN,CN.

BEC

(1)求证：EN=CN；

(2)求2EN+3N的最小值.

【答案】(1)见详解

(2)273

【分析】(1)根据菱形的性质证明AABN空ACBN,再结合MN是AE的垂直平分线，即可证明硒=C7V；

(2)过点N作NFA8c于点R连接N£AF,ZDBC=30°,则NF=』BN,故

2

2EN+BN=2^EN+^BN^=2{AN+NF)>2AF,此时AF」5C,在Rt&4B尸中，进行解直角三角形即可.

【详解】(1)证明：连接⑷V,

•・•四边形ABC。是菱形，

/.ZABD=ZCBD=-ZABC=30°,BA=BC,

2

••BN=BN,

：.^ABN^ACBN,

:.AN=CN,

・••MTV是AE的垂直平分线，

:.AN=NE,

：.EN=CN；

(2)解：过点N作版八5。于点R连接NfAb,

AD

BEFC

•••ND5C=30。，

；.NF=LBN,

2

•；AN=EN,

2EN+BN=1{EN+^BN\=2{AN+NF)>2AF,

当点A、N、/三点共线时，取得最小值，如图:

.•.在RGABE中，AF=AB-sinABC=2x立=6,

一2

2EN+BN的最小值为2指.

模型02建桥选址模型

浮而向万...................................................

建桥选址模型该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型主要考查

轴对称------最短路径问题、勾股定理、三角形及平行四边形的判定与性质，要利用“两点之间线段最

短”等，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而

转化成两点之间线段最短的问题.目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化.

答|题|技|巧

(1)两个点都在直线外侧：

辅助线：连接交直线相、”于点P、Q,则B4+PQ+QB的最小值为AA

(2)一个点在内侧，一个点在外侧：

辅助线：过点8作关于定直线w的对称点夕，连接/夕交直线〃八〃于点P、Q,则B4+PQ+0B的最小值

为AB'.

A

Am

m

（3）如图3,两个点都在内侧：

辅助线：过点A、3作关于定直线机、〃的对称点，、夕，连接Z'小交直线机、〃于点P、

Q,则PA+PQ+QA的最小值为A'B：

|题型学.

1.（2023•南京）如图，矩形A5CD中，AB=4,BC=2,G是AD的中点，线段跖在边A3上

左右滑动；若£F=1,则GE+CF的最小值为

【答案】3夜

【分析】如图，作G关于AB的对称点G',在CD上截取CH=1,然后连接HG'交AB于E,在EB上截取

EF=1,此时GE+CF的值最小，可得四边形EFCH是平行四边形，从而得到G'H=EG'+EH=EG+CF,再由勾股

定理求出HG'的长，即可求解.

【详解】解：如图，作G关于AB的对称点G',在CD上截取CH=1,然后连接HG'交AB于E,在EB上

截取EF=1,此时GE+CF的值最小，

，G'E=GE,AG=AG，,二•四边形ABCD是矩形，AB〃CD,AD=BC=2CH〃EF,

VCH=EF=1,，四边形EFCH是平行四边形，.\EH=CF,：.G'H=EG'+EH=EG+CF,

VAB=4,BC=AD=2,G为边AD的中点,.*.AG=AG，=1.,.DG,=AD+AG'=2+1=3,DH=4T=3,

•*.HG=\lDH2+DG,2=A/32+32=3A/2，即GE+CF的最小值为372.故答案为：372

＞支K

1.已知，在河的两岸有A,B两个村庄，河宽为4千米，A、B两村庄的直线距离AB=10千米，A、B

两村庄到河岸的距离分别为1千米、3千米，计划在河上修建一座桥MN垂直于两岸，M点为靠近A村

庄的河岸上一点，则AM+BN的最小值为（）

A.25B.1+375C.3+737D.底

【答案】A

【分析】作BB'垂直于河岸，使BB'等于河宽，连接AB',与靠近A的河岸相交于M,作MN垂直于另

一条河岸，则MN〃BB'且MN=BB',于是MNBB'为平行四边形，故MB'=BN；根据“两点之间线段

最短"，AB'最短，即AM+BN最短，此时AM+BN=AB'.

【详解】解：如图，作BB'垂直于河岸，使BB'等于河宽，连接AB',与靠近A的河岸相交于M,作

MN垂直于另一条河岸，则MN〃BB'且MN=BB'，于是MNBB'为平行四边形，故MB'=BN.

根据“两点之间线段最短”，AB/最短，即AM+BN最短.

•.•AB=10千米，BC=l+3+4=8千米，.•.在RTZxABC中，AC=A/AB2-BC2=6,

在RTAAB'C中，B'C=l+3=4千米，，AB'=JAC?+B'C：2=2•千米;故选A.

2.如图，菱形ABCD的边长为2百，/ABC=60°,点E、F在对角线BD上运动，且EF=2,连接AE、

AF,则4AEF周长的最小值是（）

D

【答案】D

【分析】作AH〃BD,使得AH=EF=2,连接CH交BD于F,则AE+AF的值最小，进而得出4AEF周长的

最小值即可.

【详解】解：如图作AH〃BD,使得AH=EF=2,连接CH交BD于F,则AE+AF的值最小，即aAEF的周

长最小.

H

VAH=EF,AH〃EF,二四边形EFHA是平行四边形，；.EA=FH,VFA=FC,二AE+AF=FH+CF=CH,

:菱形ABCD的边长为2石，NABC=60°,；.AC=AB=26,

.四边形ABCD是菱形，，AC，BD,VAH//DB,AACXAH,.*.ZCAH=90o,

在RtACAH中，CH=,3+毋=止呵+2?=4...AE+AF的最小值4,

...△AEF的周长的最小值=4+2=6,故选:D.

【点睛】本题考查菱形的性质与动点问题最小值，构造辅助线转化相关的线段是解题关键.

3.如图，在回ABCD中，AB=4,AD=9,M、N分别是AD、BC边上的动点，且/ABC=NMNB=60。,

则BM+MN+ND的最小值是.

【答案】V129+4.

【分析】由NMNB=60。可知MN为定长，在AD、BC间滑动，故由造桥选址模型进行平移，转化为两点

间距离加上定长，再利用特殊角构造直角三角形，使用勾股定理求出两点间距离.

【详解】解：作ME〃AB交BC于点E,在AD取DF=MN,连接EF,延长AB至点B,，使BB'=ME,连

接B'F,作B'111人口于点口，如下图：

•••AB〃ME,

ZMEN=ZABC=ZMNB=60°,

•••△MEN为等边三角形，

ME=EN=MN,

vI2ABCD,

AD||BC,

••・四边形ABEM为平行四边形，

同理得四边形BB'EM与四边形ENDF为平行四边形，

ME=EN=MN=AB=4,B'E=BM,EF=ND,

BM+MN+ND=B'E+EN+ND=B'E+EF+42B,F+4,

Rt△B'HA中，HA=：B'A=4,B'H=YIB'A2-AH2=V82-42=473,

Rt△B'HF中，B'F=VB'H2+HF2=JB'H2+(AH+AD-FD)2=VB'H2+AD2=

J(4⑹之+92=7129,

BM+MN+ND>V129+4,

即BM+MN+ND的最小值是71西+4.

故答案为：V129+4.

4.如图，在矩形A3CD中，45=4,BC=7,E为CD的中点，若P、。为边上的两个动点,

且尸Q=2,若想使得四边形APQE的周长最小，则的长度应为.

【分析】四边形APQE的周长中AE和PQ是定值，要是四边形APQE的周长最小，只要AP+QE最小即可；

在AD上截取线段AF=DE=2,作F点关于BC的对称点G,连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ

的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点，根据题意可得笑■=煞

GHEH

即可求出CQ=*,则BP=CB-PQ-CQ即可求解。

3

【详解】

解：如图，在AD上截取线段AF=DE=2,作F点关于BC的对称点G,连接EG与BC交于一点即为Q点，

过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点.

YE为CD的中点,.*.CE=2

.,.GH=DF=5,EH=2+4=6,ZH=90°,

VBC//GH

.".△QCE^AGHE,

•CQEC

••一，

56

5

ACQ=-,

3

510

ABP=CB-PQ-CQ=7-2--=—.

33

故答案为—.

5.如图，已知钻为°。的直径，BC,8是0。的切线，切点分别为点5,。，点E为AS上的一个

动点，连结CE,DE.若AB=2后,BC=2,则CE+DE的最小值是.

3

【分析】过点。作于点/，延长DF交。。于点G,连接CG交AB于点E,利用将军饮马模

型可得此时叩凹GC最小，连接如皿DB,利用相似三角形的性质可得震/

设隹＞=限，则或＞=2左，利用勾股定理求得42=型，再利用AADFSAABD,求出AF的长，进而求

9

出所的长；过点C作CH_LAB于点〃，则四边形CHFB为矩形，CH=BF=^~,FH=BC=2,则

9

GH=FH+FG=—+2=—,再利用勾股定理即可求得结论.

99

【详解】解：过点。作于点P,延长DF交。。于点G,连接CG交回于点E,如图,

:.DF=FG.

.•.点。与点G关于AB对称.

:.DE=EG,此时田+EC最小.

:.ED+EC=EG+EC=GC.

连接OZ),AD,DB,

•.•AB为。。的直径，AB=245,

：.OA=DO=OB=；AB=5

■：BC,CD是。。的切线，

：.BC=CD=2,ODYCD,OBYBC,NCDB=ZA.

OA=OD,

:.ZA=ZADO.

・：DC=CB,

:.ZCDB=ZCBD.

ZCDB=ZA=ZADO=ZCBD.

:.\OAD^\CDB.

.AD_OA45

设=&,则应＞=2左,

・・・AB为OO的直径，

.\ZADB=90°.

.\AD2-^-BD2=AB2.

.•.(限产+(2Z)2=(262.

“2.卫

9

•/ZADB=90°,DFLAB,

^ADFS^ABD,

AD_AF

花—茄,

AD2=ABAF.

:.AF=—45.

9

：.OF=AF-OA=—.

9

:.BF=OB-OF=^~.

9

--.-ZADB=90°,DF±AB,

../\ADF^ADBF.

.DFBF

…AF-DF'

.nF2,FR/710后8M

99

:.DF普

9

：GF=DF言

过点。作3,46于点H,

则四边形CHEB为矩形,

Q/c

；,CH=BF=—,FH=BC=2.

9

:.GH=FH+FG=—+2=—

99

在RtACHG中，

CG2=CH2+HG2,

故答案为：H.

模型03胡不归模型

斫而1而而.....................

胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中

常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方

便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。

答।题।技।巧

1.构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型；

2.借助三角函数，构造锐角a,将另一个系数也化为1；

3.利用“垂线段最短”原理构造最短距离；

4.数形结合解题

［题型守停I

1.（2023•安徽）如图，VA3C为等边三角形，BD平分NABC,AB=2,点E为8。上动点，连

接AE,则的最小值为（

2

A

B

A.1B.72C.6D.2

【答案】C

【分析】过A作AFLCB于尸，过点尸作PEL3C于E,故PE=，2P,i^AP+-BP=AP+PE>AF,求

22

出AF即可.

【详解】解：过A作AFJ_CB于尸，过点尸作PEL5c于E,

ZDBC=30°,

：.PE=-BP,

2

11

/.AP+-BP=AP+PE>AFf即AP+,5尸的最小值为"的长,

•.AB=2,

.-.BF=FC=-BC=-AB=1,

22

-AF=\IAB2-BF2=73-

.•.AP+；3尸的最〃、值为始.

故选：C.

,支式

1.如图，菱形ABCO的边长为5,对角线03的长为4石，尸为08上一动点，则AP+券。尸的最小值为（）

A.4B.5C.26D.3q

【答案】A

【分析】根据题意，由四边形ABCO是菱形结合其性质，将好。尸进行转化，再由“垂线段最短”的思想进

5

行求解即可得解.

【详解】连接AC交02于点过/点作AffilOC于点X,过点A作AG垂直0c于点G,交。2于点尸

•••四边形ABCO是菱形

11

.-.AM10B,OA=AB=BC=OC=5,OM=MB=-OB,AM=MC=-AC

22

OB=4#

••AM=MC=VAS2-MB2=V25-20=V5，OM=2y/5

-MHLOC,AMLOB

•，•S/\OMC=-OMMC=-OCMH

22

•••2^xy/5=5MH

,,MH=2

•；sinNMOH=吧=与=旦

OM2君5

■-AP+—OP=AP+PG

5

.•.当A、P、G三点共线且AGLOC时有AP+@OP的最小值AG,如下图所示

5

•・•菱形ABCO的面积S二工ORAC=OCAG

2

-OB-AC-X475X2>/5

AAG=Z-----------=Z------------------=4

OC5

.1.AP+—OP的最小值为4,

5

故选：A.

2.如图，。。是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4.过点3作BE，AC于点E,点尸为线段的上一

动点（点尸不与3,E重合），则+尸的最小值为.

【分析】过点尸作连接CO并延长交AB于点R连接AO,根据等边三角形的性质和圆内接三

角形的性质得到。4=QB=4,CFLAB,然后利用含30。角直角三角形的性质得到OE=goA=2,进而求

出座=30+EO=6,然后利用CP+工BP=CP+尸。WCF代入求解即可.

2

【详解】如图所示，过点P作尸D_LAB,连接C。并延长交A3于点E连接AO

••・VABC是等边三角形，BELAC

NABE=ZCBE=-ZABC=30°

2

,・•。。是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4

,，OA=OB=4,CF1AB,

ZOBA=ZOAB=30°

・•.ZOAE=ZOAB=-ABAC=30°

2

-BELAC

：.OE=-OA=2

2

:.BE—BO-\-EO=6

-PD±AB,ZABE=30°

.-.PD=-PB

2

.-.CP+-BP=CP+PD<CF

2

.■.CP+^BP的最小值为CF的长度

•••VABC是等边三角形，BEVAC,CF1AB

:.CF=BE=6

.•.CP+JgP的最小值为6.

故答案为：6.

3.如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,ZABC=30°,AC=4,按下列步骤作图：①在AC和A8上分别

截取AD、AE,使=②分别以点。和点E为圆心，以大于1方石的长为半径作弧，两弧在254C

内交于点③作射线AM交BC于点尸.若点尸是线段AF上的一个动点，连接CP,贝iJCP+；AP的最小

值是.

A

【答案】273

【分析】过点P作尸。工钻于点。，过点C作于点”，先利用角平分线和三角形的内角和定理求

出NR4尸=30。，然后利用含30。的直角三角的性质得出尸Q=g”，则CP+gAP=CP+PQ2CH,当C、

P、。三点共线，且与48垂直时，CP+：AP最小，CP+ga尸最小值为C”,利用含30。的直角三角的性质

和勾股定理求出AB,BC,最后利用等面积法求解即可.

【详解】解：过点尸作尸Q2A3于点。，过点C作于点X,

A

由题意知：AF平分N3AC,

•.ZACB=90°,ZABC=30°,

.-.ZBAC=6O°,

ZBAF=-ABAC=30°,

2

,-.PQ=^AP,

：.CP+^AP=CP+PQ>CH,

.•.当C、P、。三点共线，且与AB垂直时，CP+JAP最小,仃+工/12最小值为。”,

2

■.■ZACB=90°,ZABC=30°,AC=4,

AB=2AC=8,

BC^y/AB2-AC2=4A/§，

-SAAr„fC=2-ACBC=2-ABCH,

.Q=任匹=3=25

AB8

即CP+^AP最小值为2右.

故答案为：2^3.

4.如图，抛物线y=/—x+c与无轴交于点A（-1,0）和点5：,与y轴交于点c.

A1/

(D求抛物线的解析式；

⑵当0<x<2时，求y=/-x+c的函数值的取值范围;

(3)将抛物线的顶点向下平移1个单位长度得到点M,点P为抛物线的对称轴上一动点，求尸A+F尸用的

最小值.

【答案】(1力=/7-2

9

(2)--<)；<0

(3)尸A+gpM的最小值为：竽

【分析】(1)直接利用待定系数法求解二次函数的解析式即可；

-11

(2)求解y=/-x-2的对称轴为直线x=W0<x<2,再利用二次函数的性质可得答案；

2x12

(3)求解C(0,-2),3(2,0),可得AB=3,求解直线AC为>=一2无一2,及一3；证明M在直线AC

上，如图，过户作PG1_AC于G,连接MB,过P作于"，可得AC=6sinZACO=-\==,

A/55

证明NAMP=NACO,可得PG=@~PM,nTWPA+—PM=PA+PG=PA+PH<AH,再进一步求解即

55

可.

【详解】(1)解：••・抛物线y=Y-x+c与x轴交于点A(—l,0),

1+1+c=0,

解得：。=一2,

・•・抛物线的解析式为：y=x2-x-2；

-11

(2)角轧・・,)=——%—2的对称轴为直线兀=一亍7=3，Tfu0<x<2,

ZX1Z

11Q

.•・函数最小值为…=丁丁2=一“

当工=0时，y=-2,

当x=2时，y=4_2_2=0,

9

函数值的范围为：-；Vy<0；

4

(3)解：-y=x2-x-2,

当％=0时，y=-2,

/.C(0-2),

当y=Y-x-2=0时，

解得：玉=—1,x2=2,

.•.3(2,0),

/.AB=3,

设直线AC为y=^-2,

—k—2=0,

k——2，

二直线AC为y=-2x-2,

3j_9

•・抛物线的顶点向下平移I个单位长度得到点M,而顶点为2，-4

在直线AC上,

如图，过尸作PG_LAC于G,连接MB,过户作尸“于H,

vA（-l,0）,C（0,-2）,

AC=^/5fsinZ.ACO=—^==——，

755

,对称轴与y轴平行,

■.ZAMP=ZACO,

・••sinZAMP=—=—

PM5f

・•.PG=—PM,

5

由抛物线的对称性可得：PG=PH,ZMAB=ZMBA,

PA+叵PM=PA+PG=PA+PH4AH,

5

当A,尸,8三点共线时取等号,

：.smZMAB=—=-^==^-=sinZABH=—

AC^55AB

.AH_2也

35

・”华

即PA+必尸M的最小值为：递

55

@人世通炼

1.（2023•四川）如图,0为矩形ABCD对角线AC,BD的交点,AB=8,M,N是直线BC上的动点,且MN=2,

则0M+0N的最小值是.

【答案】2折

【分析】根据题意，过。作0H〃BC,且令0H=2,连接NH,作。点关于BC的对称点K,连接OK,KH,

则0M+0N=NH+0N=NH+NKOHK,当H、N、K三点共线的时候，0M+0N有最小值，最小值为HK的长.根

据矩形性质及图形的对称性，易知/KOH=90。，在Rf△KOH中,运用勾股定理求得HK的长即可.

【详解】解：过。作0H〃BC,且令0H=2,连接NH,作0点关于BC的对称点K,连接OK,KH,

二四边形0MNH是平行四边形，

.*.0M=NH,

.\0M+0N=NH+ON.

V0点关于BC的对称点是点K,

；.ON=NK,

.\OM+ON=NH+ON=NH+NK,

NH+NK>HK,

...当H、N、K三点共线的时候，OM+ON有最小值，最小值为HK的长.

V0H/7BC,0点关于BC的对称点是点K,

NKOH=90。.

为矩形ABCD对角线AC,BD的交点，0点关于BC的对称点是点K,

.\0K=AB=8.

V0H=2,NKOH=9Q°,

22

•*-HK=y/OH+OK=2A/17，

.•.0M+0N的最小值是

2.（2024.安徽）如图，正方形内接于。0,线段加在对角线3。上运动，若。。的周长为2万,

MN=l,则ANN周长的最小值是.

【答案】有+1/1+6

【分析】过点C作。r〃3D,令CA=MN=1；可推出四边形MC4W为平行四边形，有AN=CM；根

据（^^=4加+跖7+4"=4讨+4"+1244，+1可知当44」以，时，周长有最小值.

【详解】解：过点C作。V〃即，令CK=MN=1

V0O的周长为2万，；.。。的半径为1；.BD=AC=2

：ar〃皮）且C4,=MN=1四边形MCAN为平行四边形

:.A!N=CM由正方形的对称性可得：CM=AM：.AN=AM

...GAMNUAM+MN+ANMAN+AN+INAV+I故：当出TJLar时，周长有最小值

此时：A4，=JAC2+C4,2=6周长的最小值是行+1故答案为:有+1

3.（2023・浙江）如图，平行四边形MCL（中，ZDAB=45°,AB=8,BC=2,尸为边Q）上的一动点,

PB+—PD

则2的最小值等于（）

DP

A.4&B.36c.20D.2后

【答案】A

【详解】解：延长的>,过点2作交。于点P,

•••四边形A8CD为平行四边形，...AB〃CD,...ZDEP=NZMB=45。,

DE=—PD

■.BEVAD,,-.DE=PE,则DE2+PE2=2DE2=PD1,贝I]2

BE=—ABPB+-PD=PB+PE

同理可得：22

PB/PD

••・当点E、P、B在同一条直线上时，2的值最小,

PB+—PD=PB+PE=BE^—AB=Ay[l

,：AB=8,22

故选：A.

E

/◊、、

4.（2023・四川）如图，在金。中，^BAC=90°,ZB=60°,AB=4若。是BC边上的动点，则2">+DC

的最小值是（）

【答案】D

【详解】解：过点C作射线CE,使/3CE=30。，再过动点。作。尸，以，垂足为点尸，连接A。，如图所

示：

F

E

DF=-DC2AD+DC^2(AD+-DC)”.八八口、

在R△A。尸C中，ZDCF=30°,2,...2=2(A£>+OF),

・•・当A,D,尸在同一直线上，即AF'CE时，AD+DR的值最小，最小值等于垂线段"的长，

此时，/8=44/汨=60°,.9池。是等边三角形，...40=或>=钙=4,

rip—X.r)c=?

J

在R.ABC中，ZA=90°,Z5=60°,AB=4i...JBC=8,.-,DC=4,...2,

...”=4£)+£)/=4+2=6,...2(^£)+£>f)=24尸=12,...2(/10+。。的最小值为12,

故选：D.

5.(2023•湖南)某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：

直线/同旁有两个定点A、B,在直线/上存在点尸，使得PA+PB的值最小.解法：如图1,作A点关于直

线/的对称点A,连接AB,则A'B与直线/的交点即为P,且尸A+PB的最小值为AB.

请利用上述模型解决下列问题：

(1)几何应用：如图2,遍。中，ZC=90°,AC=BC=2,E是A3的中点，尸是8c边上的一动点，则2+PE

的最小值为;

⑵几何拓展：如图3,AABC中，AC=2,ZA=30°,若在A3、AC上各取一点〃、N使CM+MN的值

最小，画出图形，求最小值并简要说明理由.

【答案】(1)而

(2)有，图和理由见解析

【详解】(1)解：如图2所示，作点A关于BC的对称点A,连接A%交BC于尸，此时PA+PE的值最小.连

接班'，

图2

BA，BA2222

由勾股定理得，==4BC+AC=V2+2=25/2(

是AB的中点，

BE='BA=e

2,

...NC=90。，AC=BC=2f

・ZABC=ZABC=45°

,・,ZABA=90°，

,=4E=JA'B?+BE?=J(2⑸,+(⑸2=加

.•.PA+PE的最小值"9)').

故答案为：而；

(2)解：如图3,作点C关于直线AB的对称点C',作C'N_LAC于N,交A8于连接AC',

贝为=C4=2,ZC'AB=ZCAB=30°,

.-.ZC'AC=60°

••.△C'AC为等边三角形，

,.,ZAC'N=30°，

AN=-C'A=1

2,

...CM+MN的最小值为CN=42?-12=,^3.

6.(2023・陕西)在学习对称的知识点时，我们认识了如下图所示的“将军饮马''模型求最短距离.

问题提出：

(1)如图1所示，己知A,B是直线/同旁的两个定点.在直线/上确定一点尸，并连接AP与3尸，使PA+PB

的值最小.

*B

4,

图1

问题探究：

(2)如图2所示，正方形钻CD的边长为2,E为A8的中点，P是AC上一动点.连接EP和成，则依+PE

的最小值是;

D

图2

问题解决：

（3）某地有一如图3所示的三角形空地408,已知408=45。，尸是AAOB内一点，连接尸。后测得「。=1。

米，现当地政府欲在三角形空地A08中修一个三角形花坛尸。“，点。，氏分别是边上的任意一点

（不与各边顶点重合），求APQR周长的最小值.

图3

【答案】（1）见解析

⑵6

（3）1072

【详解】⑴解：如图所示，当P点在如图所示的位置时，出+总的值最小;

（2）解：如下图所示

四边形ABCD是正方形,

•••AC垂直平分3。，

：.PB=PD,

由题意易得：PB+PE=PD+PENDE,

当P、E共线时，在VADE中，根据勾股定理得，DE=y/2、f=有.

(3)解：如下图所示，分别作点尸关于8，的对称点/，N,连接。暇，ON,MN,MN交OA,OB

于点cR,连接尸凡PQ,此时APQR周长的最小值等于肱v.

由轴对称性质可得，OM=ON=OP=10,AMOA=ZPOAaZNOB=/POB,

...ZMON=2ZAOB=2x45°=90°,

在RtZXMON中，MN=yJOM2+ON2=V102+102=：l0y/2

即△尸然周长的最小值等于10后.

⑥模拣至用

1.如图，在△ABC中，NA2C=60°,BC=6,CO是△ABC的一条高线.若E,尸分别是C。和BC上的

动点，则8E+EF的最小值是()

【解析】作8关于C。的对称点8,，过"作"于b交CD于E,则夕尸的长度即为BE+E尸的

最小值，根据直角三角形的性质得到BD=知,根据已知条件得到BB'=BC,推出△CDBg/XBB'F,

于是得到8'F=CD*BC=3痘.

【详解】解：作3关于CD的对称点夕，过"作2'FLBC于F交CD于E,

则B'F的长度即为BE+EF的最小值，

VZABC=60°,CD±AB,

：.ZBCD=30°,

：.BD=-CD,

2

i

'：BD=-BB',

2

：.BB'=BC,

在△COB与△8'尸8中，

ZCDB=乙B'FB

乙B'BF=乙CBD，

CD=BB'

：./\CDB^/\BB'F,

：.B'F=CD*BC=3®

故选：C.

2.如图，在RtZXABC中，ZC=90°,/A4c的平分线交BC于点Q,CD=2,BD=3,。为A8上一动点,

则DQ的最小值为（）

A.1B.2C.2.5D.V5

【解析】作。于H，根据角平分线的性质得到。8=DC=2,然后根据垂线段最短求解.

【详解】解：作于如图，

平分NBAC,DHLAB,DCLAC,

:.DH=DC=2,

•.•。为AB上一动点，

：.DQ的最小值为DH的长，即DQ的最小值为2.

故选：B.

B

H

3.如图，/AO8=30°,点尸是/AO8内的定点且0P=3,若点M、N分别是射线04、。3上异于点。的

动点，则△2阿周长的最小值是（

24

A.3B.C.一D.6

33

【解析】作点P关于0B的对称点P,点P关于0A的对称点P",连接PP”与OA,0B分别交于点M与

N,则PP'的长即为△PMV周长的最小值;连接。P,0P",利用已知条件可以证明NP0P"=60°即

可求出P'P"；

【详解】解：作点P关于OB的对称点P',