江西省某中学2024-2025学年高二年级下册3月月考数学试题【含答案】

江西省南昌中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学

试题

一、单选题（本大题共8小题）

1.已知数列口｝的通项公式为%="2—2"—l（nwN+）,则%的值为（）

A.1B.2C.0D.3

2.2000是等差数列4,6,8,…的（）

A.第998项B.第999项C.第1001项D.第1000项

3.已知｛。“｝为等比数列，％=4,则。9的值为（

A.-9B.9或—9C.8D.9

4.已知数列｛a｝的通项a,=2〃+l,由4=q+的+所确定的数列区｝的前〃

n

项之和是（）

1

A.77（7?+2）B.2775+4）

C.；〃（〃+5）1

D.277（刀+7）

5.已知数列｛%｝中,q=3,4=5且对于大于2的正整数,总有a,=a,i-a*2,则

出025的值为（）

A.-3B.-5C.5D.2

29

22土2中最

6.设等差数列｛用｝的前〃项和为S,,若S9>0,S10<0,则一，

%a9

大的是（）

2252629

A.—B.—C.—D.

%

a54

7.设S,是等差数列｛%｝的前〃项和,己知Se=36,S"=324,S吁6=144（w>6）,则〃

等于（）

A.15B.16C.17D.18

8.“贪食蛇”的游戏中，设定贪吃蛇从原点出发，沿着如图所示的逆时针方向螺

旋式前进，不停的吞食沿途的每一个格点（不包括原点），己知贪吃蛇的初始长为

0,并且每吞食一个格点，长度就增加1个单位，如它头部到达点£（2,2）,其长度

）

A.30B.306C.360D.350

二、多选题(本大题共3小题)

9.已知数列｛%｝是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是(

10.下列叙述正确的是(

A.若等差数列｛%｝的公差4>0,则数列佃,｝为递增数列

B.若等比数列也｝的公比4>1,则数列也｝为递增数列

C.若户=收，贝Ija、b、c成等比数列

D.若Szi是等比数列｛g｝的前筋-1项和，则S2“T=。无解

11.已知数列｛%｝满足q=设其前〃项和为S",则

()

A.a3=6B.S6=55

g[(-iyiog2«,.]=-ioD.一+——+——++——<2

三、填空题(本大题共3小题)

12.设数列｛aj,｛bj都是等差数列，若ai+bi=7,a3+b3=21,则as+bs

13.用数学归纳法证明”己知〃为正奇数，求证：x"+y"能被*+丫整除”时，第二

步假设当“=k(keN*)时命题为真后，需证〃=时命题也为真.

14.已知各项为正数的等比数列｛%｝满足%=4+2%，若存在两项4,应使得

Ja~a~=2-j2ax,则—的最小值为.

mn

四、解答题(本大题共5小题)

15.已知数列｛〃”｝的通项公式为4=p"+q(p,qeR),且q=4,%=[

(1)求｛《｝的通项公式；

(2)判断数列｛%｝的增减性，并说明理由.

16.在数列｛。"｝中，%=1，。“+1=.

(1)求生,“3的值；

⑵求数列｛%｝的通项公式.

17.若数列｛%｝的首项4=1,且满足。用=2%+1,

(1)证明数列｛%+1｝为等比数歹U；

⑵设"=log二+1),求数列抄“.%｝的前”项和•

、，

552a

18.数列｛%｝中,ax=\,a2=~,anjS=-an+1~-„-

(1)求生的值；

(2)令么=an+l-an,求数列也｝的通项公式；

(3)求数列｛wj的前〃项和

19.在数列｛叫中，记△%=--%,若｛4“｝为等差数列，则称｛4｝为二阶等差数

列.

(1)若4,=2/_”+3,判断｛%｝是否为二阶等差数列？并说明理由；

(2)已知二阶等差数列｛%｝满足4=1,%=2,%=4.

①求数列｛%｝的通项公式；

7〃+2,、3

②若a=2用储_[)，记也｝的前〃项和为S,，证明：

参考答案

1.【答案】B

【详解】因为%=1—2"—l(“wN+),所以％=32-2X3-1=2.

故选B.

2.【答案】B

【详解】数列4,6,8,…的通项公式为。〃=2〃+2,.贝!]2刀+2=2000.解得〃=

999.

故选B.

3.【答案】D

【详解】｛q,｝为等比数列，所以=4x〃9=36,

所以q=9.

故选D.

4.【答案】C

【详解】ai+a2H----Ha„—"(2/?+4)—n2+2n.

b„—n+2,

所以数列｛4｝是等差数列，

n1

二•A的前〃项和S〃=—(3+〃+2)=一〃(〃+5).

22

故选C.

【思路导引】先求出d=〃+2,再利用等差数列的前〃项和公式求数列｛5｝的前〃项之和.

5.【答案】D

【详解】因为4=3,出=5且对于大于2的正整数，总有4.2，

所以%=%―%=2,%=/—%=-3,a5=a4-a3=-5f

a6=a5-a4=-2,a7=a6-a5=3,a8=-a6=5,

所以数列｛〃〃｝是以6为周期的周期数列，

所以。2025=4x337+3=%>=?.

故选D

6.【答案】B

9

【详解】丁S9=5(4+%)=9%〉。，二・生〉。.

又九二5(。1+%0)=5(〃5+〃6)<。，

/+〃6<0，

/.«6<0,且闻>。5.

・•・数列｛〃〃｝的前5项均为正数且数列是单调递减的，从第6项开始均为负数，

则当时，数列[二]是递增的正数项数列，其最大项为£；

当〃>6时，各项均为负数.

5

・••数列中土2最大.

%

故选B.

7.【答案】D

a=

【详解】由题意可得q+。〃一1+“n-2+n-3+%-4+%-5^n~6-180,①

又因为$6=〃]+出+生+“4+”5+“6=36,②

①+②可得6&+4)=216,所以，q+%=36,

由$幽上殳)=18〃=324,解得“=18.

"2

故选D.

【思路导引】利用等差数列的基本性质求出4+%的值，再利用等差数列的求和公式可求

得〃的值.

8.【答案】B

【详解】设它的头部到达点门(〃,〃)时，其长度增加/”，

贝IJ由题意可知4=2,4=4+6x1+2x2=12,

当2时，1n=ln_i+6x(n-l)+2xn=/n_1+8n-6,

即*=8〃-6,

—

所以，9—k=8x9—6=66,—l-j=8x8—6=58,,Z2—10,

66

累力口得4)-4=66+58+…+10=(+；°)x8=304,

所以g=304+4=306,即它的头部到达点《(9,9)时，其长度增加306,

故选B.

【思路导引】设它的头部到达点匕(〃,〃)时，其长度增加乙，根据图形分析可得

ln=/„_1+6X(7?-1)+2X/I,利用累加法求出19即可.

9.【答案】AB

【详解】由题意知也“｝为等比数列，设其公比为g(qwO)；

对于A,工=」=■!.fl]”,.•.数列[-4是以，为首项，，为公比的等比数列，

an6尸4(“J[an]%q

故A正确；

对于B,4±1%1=&也=才，；.数列｛a,4+J是以“电为首项，才为公比的等比数歹h

anan+lan

故B正确;

对于c,当%=1时，lg(^)=o,数列但(硝｝不是等比数列，故c错误；

对于D,当4=-1时，an+an+l=O,数列｛。“+。用｝不是等比数列，故D错误.

故选AB.

10.【答案】AD

【详解】对于A：因为“向-为=〃>0,可知数列｛%｝为递增数列，故A正确；

对于B：例如q=T,q=2>0,则％=-2,即%<%,可知数列｛。,,｝不为递增数列,

故B错误；

对于C：例如a=b=c=0,满足"=收，但a、b、c不成等比数列，故C错误；

对于D：设等比数列匕｝的公比为4,且。产0,

若4=1,则S?1=(277-1)01*0;

若qwl，则邑“]=4(j)^0.

i-q

综上所述：$2,1=。无解，故D正确；

故选AD.

11.【答案】AD

【详解】因为4=1,an+l-an=n+l(neN,),

>rz,(、(、(、n(n+l)

当〃22时，=%+(%-q)+(%-出)+—+(4-〃〃一1)=1+2+3+…+〃=-,

“1=1也满足〃〃=I2，故对任意的，%=I2，

,3x4_

对于A选项，/==6,A正确;

对于B选项，$6=q+4+/+%+%+R=1+3+6+10+15+21=56,B错误；

an(n+l)2n

对于c选项，因为工二'」•/4、/

an+l2++〃+2

1023

aaaaa+

所以，E[(T)'log2。』=-l°g2i+log22-l°g23+log2^-l°g25+10g2G022Tog?«1023

i=l

[11%]%1%022]2[4]1022

=-1唯1+1鸣7+1唯＞.+1唯二=1。叼+1。%++log2—)

1022、12

-S29

1024J°1024=log22-C错误;

122__2_

对于D选项,-=

nn+1

所以，

正确.

故选AD.

12.【答案】35

【详解】因为｛aj,｛bj都是等差数歹!],所以｛%+〃｝也成等差数列，根据等差数列

的性质，ai+bi=7,83+63=21,as+bs成等差数列，因而35+65=2x21—7=35.

13.【答案】k+2

【详解】Q〃为正奇数，第二步假设第左项成立，

第三步证明相邻正奇数第％+2项成立.

14.【答案】=

6

【详解】设等比数列的公比为4,由%=4+2%,

可得到44=4+2”，

q

2

由于。“>。，所以4=1+—，解得。=2或q=-l.

q

因为各项全为正，所以4=2.

由于存在两项am,an使得y]am-an=20q,

所以，4=8。；，

M=8a；qm+n-2=8,q-1+n-2=8,可得%+〃=5.

14

当根=1,〃=4时，一+―二2；

mn

1411

当根=2/=3时，-+-=-；

mn6

147

当机=3,〃=2时，—+—；

mn3

、”,…1417

当机=4,〃=1时，——F—=一；

mn4

综上可得上1+?4的最小值为节11.

mno

15.【答案】⑴a.=g)-l；

(2)单调递减，理由见解析.

[1

ai=p+q=-

解得＜P=E,所以%=p1-1；

【详解】(1)由题意得：Q

23q=-1')

〃2=P+g=----

所以%+i<%，即｛〃/是递减数列.

16.【答案】(1)%=W,aT,—~',

⑵

【详解】(1)因为％=1，%+1=三7

3%+1

~411

所以％=z-77=7/=7——=~.

3〃1+143%+17

%

(2)因为%+i

3%+1

13。“+11。

所以---=------=—+3

4+1册an

所以数列［'I是以工=1为首项，3为公差的等差数列,

所以一=1+3(〃-1)=3n—2,

所以％T

17.【答案】(1)证明见详解;

【详解】(1)由〃〃+1=2凡+1,可得4+1+1=2(4+1),

4=1,则q+l=2,对任意的〃£N"4+1〉0,则④^二2,

故数列｛4+1｝为等比数列，且该数列的首项为4+1=2,公比为2；

(2)根据(1)可得

所以---京=一,则(4、=----yr,

log22n+nn+1

设数列也以+J的前〃项和为s“，

所以=1--+---++--一—=1---=

〃223nn+1n+1n+1

19

18.【答案】⑴。3=1；

2

(2)b=

n3

3〃(〃+1)

⑶，=+(6n+18)x-18.

21

2

【详解】⑴由

3

可得…=黑-2%="219

33231939

22

（2）由题意可知，对任意的〃wN"%+2-。〃+1-，即%=§勾，

2

且4=%—q=]wO,所以勿w。，

7

所以数列抄/是等比数列，且该数列的首项和公比均为

一?2n-i2

所以d=一x

〃33

（3）由（2）可知/「为=d=|义（|[’]|.

222n-1

当〃>2时，4〃—%+(%—q)+(%—%)++(q1)=1+耳+++

%=1也满足Q〃=3—3x故对任意的〃£N*，

所以，nan=3n-3nxl—I,

设数列"的前〃项和为

则—4+2通+3“用+

上述两个等式作差可得U+[g：+[lj+

2

所以，7；=6-（2H+6）X

3

2

3-3xlx|+22

所以，s=6-3x2x++3n-3nx

n33

=(3+6+

JO*-18+(6〃+18)x[g).

因止匕，S"=3〃(；+1)+(6"+18)噌：一18.

19.【答案】(1)是，理由见详解；

(2)①；②证明见详解.

【详解】(1)因为=2〃2f+3,所以

△a.—4+]-ci"=2(〃+1)-(〃+1)+3-(2〃~-〃+3)=4〃+1,

令■c、、=4w+l,贝I]cll+l-cn=4(n+l)+l-(4n+l)=4,

所以｛5｝,即｛A%｝为等差数列，

所以｛风｝为二阶等差数列.

(2)①因为｛%｝为二阶等差数列，且%=1,%=2,%=4,所以Aq=。2-弓=1，

△4=%-%=2,所以｛A%｝的公差为=1,

所以\an=阴+(〃-l)xl=l+〃-1=〃，即an+l-an=n,

所以4=1,

a?~2,

〃4一〃3二3,

%一4-1=〃-1(“22),

将以上(〃-1)个式子左、右