江西省某中学2024-2025学年高一（下）期中数学试卷（含解析）

江西省宜春中学2024-2025学年高一(下)期中数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知点一§是角a终边上的一点，则s讥a=()

4334

A--5B_5C-4D~3

2.函数y=J1-tan(x一，)的定义域为()

A.(kn,kn+^,kEZB.(kn,kn+^\,kEZ

C.(kn—i，kn+—kEZD.(k/r——,/CTT］,keZ

3.为了推动国家乡村振兴战略，某地积极响应，不断自主创新，培育了某种树苗，其成活率为0.8,现采用

随机模拟的方法估计该树苗种植3棵恰好3棵都成活的概率.先由计算机产生1到5之间取整数值的随机数，

指定1至4的数字代表成活，5代表不成活，再以每3个随机数为一组代表3次种植的结果.经计算机随机模拟

产生如下20组随机数：321、453、142、234、511、454、352、115、243、535、422、134、315、

521、451、144、332、254、212、523,据此估计，该树苗种植3棵恰好3棵都成活的概率为()

A.0.4B.0.45C.0.5D.0.55

4.在△4BC中，角4,B,C的对边分别为a,b,c,若炉=ac,且2sinB=sinA+s讥C,贝!］△ABC的形状

是()

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.腰与底不相等的等腰三角形D.等边三角形

5.如图，在平行四边形4BCD中，M是2B的中点，DM与47交于点N,设方=落AD=b，则丽=()

D.某-软

-7q

6.函数y=cos2%+4s讥%在区间［仇工兀］上的值域是［一彳,4］,则。的取值范围是()

o4

A」-尊］B」一笫夕C.生争DI.为

11

7.已知函数f（%）=5（s讥%+cos%）-E|s讥％-cos%],则其最大值与最小值之差为（）

A.一苧+1B.<2-1C.苧+1D.<2+1

8.已知3>0,函数/（x）=sin（5—勺在区总上单调递增，且对任意;ce仁勺，都有/Q）20,则3的取

oo5y4

值范围为（）

A.展4,2]B.[2,6]C.[3|,2]D.[3|,6]

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.近日，数字化构建社区服务新模式成为一种时尚.某社区为优化数字化社区服务，问卷调查调研数字化社

区服务的满意度，满意度采用计分制，统计满意度绘制成如下频率分布直方图，图中b=3a,则下列结论

正确的是（）

A.a=0.01B.满意度计分的众数为75分

C.满意度计分的75%分位数是85分D.满意度计分的平均分是76

10.已知向量2=（LC）,b=（cos0,sm0）（O<0<TT）,则下列命题正确的是（）

A.若N1b,则tern。=一苧

B.若3在a上的投影向量为-JR,则向量R与3的夹角为期

C.若b与a共线，则b为弓,苧）或（-等,-苧）

D.存在凡使得3|=\a\+\b\

11.如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心。

距离水面的高度为1.5米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：米

）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，贝以与时

间t（单位：秒）之间的关系为d=Asin（（i）t+（p~）+KQl>0,（t）>0,-^<cp<

今，则下列说法正确的是（）

A.A=3

71

BTD/=-%

C.盛水筒出水后至少经过与秒就可到达最低点

D.盛水筒P在转动一圈的过程中，P在水中的时间为夺秒

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知向量为=(3t+l,2),b=若自与另所成的角为钝角，则实数t的取值范围：.

13.已知sin(5-x)=3且0<x<<则cosg+x)的值是.

(2x,x>0

14.函数/(%)=^2cos(2x--)―兀<X<O'若方程f(无)=a恰有三个不同的解，记为x2,x3,则/+

%2+%3的取值范围是-

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知同=1,\b\=2,d与加勺夹角是60。，计算：

(1)计算2不，|2+山；

(2)求N+3和2的夹角的余弦值.

16.(本小题15分)

△的内角B,C的对边分别为a,b,c,已知acosf+ccosA=——

2cosB

(1)求角B的大小；

(2)若△ABC的面积为苧/=3,求△ABC的周长.

17.(本小题15分)

已知函数f(%)=2y/~3sinx—2cosx.

(1)求函数/(%)在区间［0,兀］上的值域；

(2)设a€(0,%/(a)=1,求s讥a的值.

18.(本小题17分)

已知函数/㈤=cos(2ax+@)(|9］转)的周期为兀，偿,0)为它的一个对称中心.

(1)求函数/(%)的解析式及其单调增区间；

(2)若关于X的方程［f(%)］2+m-/(%)-2m=0在［一今瑞］上有实数根，求实数m的取值范围.

19.(本小题17分)

定义域为R的函数h(x)满足：对任意X6R,都有仅x+2兀)=拉0)+%(2兀)，则称h(x)具有性质P.

(1)分别判断以下两个函数是否具有性质P：m(x)=2%-1和九(%)=1-cosx；

(2)函数fO)=sin(3久+")(|<3<|,|如<5),判断是否存在实数3,(p,使/(久)具有性质P?若存在,

求出3,0的值；若不存在，请说明理由；

(3)在(2)结论下，若方程f(x+9+翳)=a(a为常数)在区间［工,誓］上恰有三个实数根%「%2,孙(久1<

%2<%3)，求sin(久3-%2—2%1)的值•

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：已知点P(|,—令，可得r=J(|)2+(-|)2=1

_4

贝!]sina=T=一1.

故选：A.

根据三角函数的定义来求解s讥a的值.

本题主要考查三角函数的定义，属于基础题.

2.【答案】C

【解析】【分析】

根据二次根式的性质以及正切函数的性质求出函数的定义域即可.

本题考查了求函数的定义域问题，考查三角函数的性质，是一道基础题.

【解答】

解：由题意得：tan(x—7)>0,

4

故tan。一<1,

故Ml-^<%-7<fcTT+7，

Z44

解得：xe(fczr—p/CTT+^],kG.z,

故选：C.

3.【答案】B

【解析】解：20组随机数中代表该树苗种植3棵恰好3棵都成活的数据有：321、142、234、243、422、

134、144、332、212,共9组，

所以所求概率为P=4=0.45.

故选：B.

找出20组随机数中代表该树苗种植3棵恰好3棵都成活的数据，结合古典概型的概率公式可得结果.

本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题.

4.【答案】D

【解析】解：因为2s讥8=siziA+s讥C,角4,B,C的对边分别为a,b,c,

由正弦定理得2b=a+c,

所以/=(等＞=四，化简得a=c,

则b=a,即a=b=c,

故4ABC的形状是等边三角形.

故选：D.

由正弦定理化角为边，然后求出a,b,c的关系可判断.

本题主要考查三角形的形状判断，属于基础题.

5.【答案】A

【解析】解：由题意可知，AM=^AB,

AC=AB+AD,设前=4元，

.•.丽=4(2俞+同)，

又点、D,N,M三点共线，所以丽=〃宿+(1-〃)历，

(24=〃

U=1-/1,

1片

AN=1ZC,

：.~BN=AN-AB=|ZC-AB=|AD-|AB=-|a+|b,

故选：A.

由向量的定义，加法法则，平面向量基本定理即可解出.

本题考查了向量的基本知识，相关的运算，学生的运算能力，属于基础题.

6.【答案】D

【解析】解：y=cos2%+4sinx=—sin2%+

4sinx+1,

^sinx=t,

可得y=-/+4t+l,t6[-1,1],

由题意函数值域是

4

由二次函数在[一1,1]的函数图象可知，te

71

即％e[a力兀]时，sinxe[―-,1],

如图：

可得86

故选：D.

函数中含有正弦和余弦两个元，则必然消元,再利用函数的图象解题即可得解.

本题考查了三角函数的化简和三角函数的性质，考查了函数思想和数形结合思想的应用，属于中档题.

7.【答案】C

【解析】解：函数/'(久)=2(5,71久+。05无)-3年讥％-£：05刘，因为sinx—cosx=V^sin(x-3),

当2k兀<x—7<2k兀+TT(/C£Z)时，即当2k兀+<x<2kll+半(keZ)时，

444

sinx—cosx=V2sin(x—g)之0,BPsinx>cosx,

4

止匕时，/(%)=|(sinx+cosx)—|Qsinx—cosx)=cosxG[—1,苧]；

当2/CTT—TT<%—7<2kn(kGZ)时，即当2/CTT—乎<%<2kn+g(kEZ)时,

444

sinx—cosx=，"2sin(%—2)<0,则sin%<cosx,

4

止匕时，/(%)=I(sinx+cos%)+1(sinx—cosx)=sinxE[—1,苧)，

所以，函数/(x)的值域为[—1,争，即/'(x)m讥=—1，f(X)max=华,

因此，函数/(乃最大值与最小值之差为苧-(-1)=1+芋.

故选：C.

化简函数/(%)的解析式，利用正弦函数、余弦函数的基本性质可求出的最大值和最小值，即可得解.

本题考查的知识点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档

题.

8.【答案】C

【解析】解：由3>0可得等〈等一，，

6366636

因为函数f(x)=sin@xY)在生§上单调递增，

依题意一亨+2时〈等一?〈等一g〈9+2k7r,keZ,

z66362

解得一2+12/c<6J<2+6/c,kGZ(*).

又47=工23-白则0<3<6,

20)36

故由(*)得，k=0时，即0<toW2①.

[TC7T”曰(J)TCT[TC_GJTTTT

由疝，得勺一片<3X一不<彳一个

因对任意勺，都有/(%)N0,则2/OT〈等一：〈竿一:<兀+2/OT#ez,

949646

解得5+18k<<1)<—+8k.,kG.Z,

因为。<3W6,故k=0时，即5(2).

综合①②，可得3的取值范围为[|,2].

故选：C.

由已知结合正弦函数的单调性先求出3的范围，然后结合恒成立与最值关系的转化即可求解.

本题主要考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题.

9【答案】ABC

【解析】解：根据题意可得10a+0.15+0.35+10b+10a=1,且b=3a,

解得a=0.01,b=0.03,所以4选项正确；

由图可知众数约为四罗=75,所以B选项正确；

因为前三组的频率之和为0.1+0.15+0.35=0.6<0.75,前四组的频率之和为0.6+0.3=0.9>0.75,

所以75%分位数在(80,90)内，且为80+吟沙=85,所以C选项正确；

因为满意度计分的平均分为京=55x0.1+65x0.15+75x0.35+85x0.3+95x0,1=76.5,

所以。选项错误.

故选：ABC.

根据频率分布直方图的性质，众数，中位数，平均数的计算，即可求解.

本题考查频率分布直方图的应用，属中档题.

10.【答案】AB

【解析】解：对于4若N1则有cos。+V~^s讥0=0,即tcm。=一苧，A正确；

对于8,m=2,|山=1,3在五上的投影向量为—扣=|B|cos@力=B磬

所以cos位,3)=

V(a,b)6[0,71],

•••位国=号,B正确；

对于C,若3与4共线，设另=(4,，百4),所以有A/N+3V=1,解得4=±3，

因为b=(cosd,sindYO<9<n'),sind>0,

1

A-

2-

所以3=G,号)，C不正确；

对于。，若3|=|初+|石|成立，贝嗫与3反向，所以21=3,b=(A,<32)(A<0),V22+3A2=1,

1

2-

则sin。=<0,与sin。20矛盾，故。不正确.

故选：AB.

根据313得到cos。+V_3sin0=0,即可得到tan。=—?，即可判断4选项；

根据投影向量得到-驾2优即可得到位石〉=亭，即可判断B选项；

4Z3

根据B与d共线和正|=1得到VN+342=1,解得4=±；,根据0g。〈兀可得/1=2，即可得到3的坐标,

即可判断C选项；

假设一石|=|初+|3|成立，可得到2=与s讥820矛盾，即可判断。选项.

本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题.

11.【答案】ABD

【解析】解；由题意得，d的最大值为3+1.5=4.5,最小值为-3+1.5=-1.5,

所以4=3,K=1.5,选项A正确.

设函数的最小正周期为T,由筒车按逆时针方向每分钟转1,5圈可得丁=黑=40,所以3=焉,

所以d=3sin(—t+0)+1.5,

1

由£=0时，d=3sin(p+1.5=0,得sin(p=2-

因为—5<g<5，所以9=—z，选项5正确.

ZZo

由B知，d=3sin(—t——)+1.5,

zuo

令d=-1.5,得t—1)+1.5=-1.5,所以sin(3t—g)=-1,

ZUoZUo

所以a1—W=当+2kn,kEZ,解得t+40k,kEZ,

zu6z3

令k=0,得£=竽，所以盛水筒出水后至少经过半秒可到达最低点，选项。错误.

由d40,得3s讥t—，)+1.540,得sin(3t-，)工一；，

zuozu6z

所以?+2人兀<a/:Y<¥+2k7r,kCZ,

o20o6

解得学+40fc<t<40+40k,keZ,

所以盛水筒P在转动一圈的过程中，P在水中的时间为40-与=与秒，选项。正确.

故选：ABD.

根据d的最大值为4.5,最小值为-1.5可求得2,K的值，可得选项A正确；根据t=0时d=0可得选项2正

确;令d=-1.5求出t的值可得选项C错误；由d<0求出t的范围可得选项。正确.

本题考查了三角函数模型应用问题，是中档题.

12.【答案】(—8,—i)u(—l,—

【解析】解：根据题意，向量方=(3t+l,2),b=(l,t),

若4与3所成的角为钝角，则五•E<0且a、B不共线，

m[士+1)+2t<0々刀一r4曰1口Y

则有ICr1"/'解可倚tV-1且tW—If

(OLI--LJL乙。

即t的取值范围为(—8,—1)u(—1,—^).

故答案为：(-8,—l)U(—1,—().

根据题意，由数量积的计算公式可得解可得答案.

[(DCIXJL-r~4

本题考查向量数量积的计算，注意向量的夹角公式，属于基础题.

13.【答案】—学

【解析】解：因为sin6-x)=%且。＜%＜热

所以：等<>+£<♦；

336

22

cosg+x)=-J1—sin(y+x)=­Jl-sin[7r-^-x)]=-J1—sin2G—%)

2/2

故答案为：~~Y~

根据角的范围结合同角三角函数基本关系式即可求解结论.

本题考查的知识点是同角三角函数基本关系式，难度不大，属于基础题.

14.【答案】［-丹,1—当

【解析】【分析】

本题考查了函数的零点与方程根的关系，涉及了分段函数图象的应用、余弦函数性质的应用.

先作出函数f(x)的图象，然后将方程/'(久)=a恰有三个不同的解转化为y=a与函数y=/'(x)有三个不同的

交点，从而得到a的取值范围，再利用余弦函数的对称性以及指数的取值范围，即可得到答案.

【解答】

解：函数/⑴=加*),-兀＜x＜°的图象如图所示，

因为方程fO)=a恰有三个不同的解%i，x2,x3,

则y=a与函数y=/(x)有三个不同的交点,

故1Wa<2,

利用余弦函数的对称性可得/+x2=2x(―9=—学

又2的e［1,2),

所以0W久3<1-

故工1+%2+%3的取值范围是［—号,1—：).

故答案为：［一手1—第.

15.【答案】解：(1)由题可得日不=|百1=05600=1x2x2=1，

\a+b\2=a2+2a-b+b2=1+2x1+4=7,所以|五+3|=

(2)(3+b)•a=a2+a-K=1+1=2,

设立+3和江的夹角为8,

伍+丽

所以cos。=

\a+b\-\a\~77x1~~

【解析】(1)利用数量积的定义可求出。丸先求出|五+1『,即可得出1+瓦;

(2)先求出0+3)•落根据向量夹角关系即可求出.

本题考查了平面向量数量积和两个向量的夹角运算，属于基础题.

16.【答案】全

8.

【解析】解：(1)因为acosC+ccosA=/彳，

乙costs

所以siTL4cosc+sinCcosA=:'叱,

所以sin(4+C)=彘3，在△ABC中，sin(X+C)=sinB,

因为8€(0,兀)，所以sinB>0,

1

所以cosB=

(2)因为S=CLCSITIB=etc,,b=3

所以QC=y,

由余弦定理得拉=a2+c2-2accosB=(a+c)2—2ac—2accosB,

所以9=(a+c)2—3x竽，所以a+c=5,

所以△ZBC的周长为a+c+b=5+3=8.

(1)根据正弦定理即可求解；

(2)利用三角形面积公式得到公=学，结合余弦定理求得a+c=5,进而得到三角形的周长.

本题考查正弦定理，余弦定理及辅助角公式的应用，三角形面积公式的应用，属于中档题.

17.【答案】[—2,4]；气里.

【解析】解：/(%)=2^J~3sinx—2cosx=4(半sinx—geos%)=4(sinxcos^—cosxsin=4s讥(％一)

(1)当％€[0,兀]时,可得:—%

所以一：<sin(x-<1,

LO

所以一2</(%)=4s讥(％-^)<4,

即/(%)在区间[0,扪上的值域为[-2,4].

(2)vaE(05)，/(a)=4s讥(Q-^)=1,即sin(a—g)=J，

Zoo4

•••cos(a--)=—

nnnn717r

••・sina=sin[((z——)+]=sin(a——)cos—+cos(a——)sin—

1/3,1V35/3+AH5

=^XT+2X-=~~-

(1)由两角差正弦公式逆用化简/(%),根据正弦型函数的图象与性质求值域即可；

(2)化简可得sin(a—9的值，由同角三角函数的基本关系得cos(a—利用a=(a—9+，即可求解.

本题主要考查了两角和差的正弦公式，正弦型函数的图象与性质，角的变换，同角三角函数的基本关系,

属于中档题.

18.【答案】f(%)=cos(2x—^)；单调增区间：[-1+kn,居+kn](kGZ).

m6[0,1].

【解析】解：(1)因为函数的最小正周期为兀，

所以7===兀，解得3=1,

因为偿,0)为它的一个对称中心，

所以2xg/r+g=g+kji(kGZ),

oL

7'TT

所以0=---+/C7T(fc6Z),

又i9i工今所以0=T，

Zo

所以/(%)=cos(2x

令一7T+2kn<2%—7<2kn—+k?i<x<^-+kn,kEZ,

6121Z

所以单调增区间：[—1+Mr,雪+Mr](k€Z)；

(2)由一言<%<能得g<2%—牌手

故一!<cos(2x-^)<1,

L6

因此函数y=/(%)的值域为[一3，1].

设t=/(%)=3(2%一如贝此€[—51],

要使关于％的方程[/(%)]2+mf(x)-2m=0在[一自招]上有实数根,

即/+mt-2m=0在te[一表1]有实数根，

即M=£在1G[-1,1]有实数根，

令n=2—te口,|],

22r

则m=匚="L=n+i_4在ne[1,勺有实数根，

即直线y=ni与y=n+^-4在nG有交点，如图所示：

由图像可知me[0,1].

(1)根据周期和对称点，得出3