江西省上饶市弋阳县三校2024-2025学年高二年级下册4月月考数学试卷（含详解）

高二数学试卷

一、单选题（每小题5分，计40分）

1.已知函数“X）在R上可导，若*2）=3,则处"2+3AX,/（2-AX）=（）

A.9B.12C.6D.3

2.已知抛物线/=—2px（p〉0）的焦点为月若抛物线上的点（-1,以）与点6间的距离为3,则

m=（）

A.2V2B.-4C.-272或2亚D.4或_4

3.已知数列｛6｝满足3%-2%=%,且％=0,a6=2023,则%=（）

2023「2023—2023-2023

AA.——B.--C.——D.——

31336365

22

4.已知双曲线。:3-与=1（°>0]>0）的左、右焦点分别为£，工，P为C的右支上一点，

ab

/尸片£=20。,/片/里=60。，则C的离心率为（）

sin4002sin40°cos4002cos40°

5.已知实数XJ满足（x-3）2+（y-4）2=3,则y-3x的最大值为（）

A.5-V30B.而+5C.-V30-5D.V3O-5

cc

6.设数歹!]｛七｝的前"项和为",滞-；=-1同=32,则下列说法正确的是（）

A.｛与｝是等比数列B.邑,\-53耳-56成等差数列，公差为-9

C.当且仅当〃=17时，S,取得最大值D.S/0时，〃的最大值为33

7.当"0时，设函数〃x）存在导数/'（X）,且满足〃x）+#设）=e工,若"1）=0,则〃-1）=

（）

A.--eB.--C.0D.e--

eee

8.已知数列｛叫的首项为1,且见+/a,=2"（〃eN*），a=2bg24+l）-l,设数列也｝中不在

数列｛%｝中的项按从小到大的顺序排列构成数列上｝,则数列仁｝的前100项和为（

）

A.11449B.11202C.11209D.11195

二、多选题（每小题6分，计18分）

9.某工厂生产的200个零件中，有198件合格品，2件不合格品，从这200个零件

中任意抽出3件，则抽出的3个零件中（）

A.至多有1件不合格品的抽法种数为C；C4

B.都是合格品的抽法种数为《。。

C.至少有1件不合格品的抽法种数为C；黑8+C打98

D.至少有1件不合格品的抽法种数为

10.已知在首项为1,公差为d的等差数列｛0“｝中，/、。2、是等比数列｛，｝的前三

项，数列｛%｝的前〃项和为则（）

A."=0或d=3B.S"="（27）J是等差数列D.2=4"T

11.甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都

等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，下列说法正确的是（）

A.2次传球后球在丙手上的概率是!

B.3次传球后球在乙手上的概率是:

C.3次传球后球在甲手上的概率是!

D.〃次传球后球在甲手上的概率是；1-

三、填空题（每小题5份，计15分）

12.已知（一+福）"的二项展开式中各项系数和为1024,则展开式中常数项的值为

17

13已知直线/分别与曲线/（x）=tax,g（x）=e*相切于点（%,产），则上--1r的值

X]1

为.

14.如图，经过边长为1的正方体的三个项点的平面截正方体得到一个正三角形，将

这个截面上方部分去掉，得到一个七面体，则这个七面体内部能容纳的最大的球半径

是.

四、解答题(共5小题，计77分)

15.中国在第75届联合国大会上承诺，努力争取2060年之前实现碳中和(简称“双

碳目标”).新能源电动汽车作为战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的

作用.赛力斯汽车有限公司为了调查客户对旗下AIT0问界M7的满意程度，对所有的

意向客户发起了满意度问卷调查，将打分在80分以上的客户称为“问界粉”.现将

参与调查的客户打分(满分100分)进行了统计，得到如下的频率分布直方图：

⑴估计本次调查客户打分的中位数(结果保留一位小数)；

⑵按是否为“问界粉”比例采用分层抽样的方法抽取10名客户前往重庆赛力斯两江

智慧工厂参观，在10名参观的客户中随机抽取2名客户赠送价值2万元的购车抵用

券.记获赠购车券的“问界粉”人数为匕求4的分布列和数学期望E管).

16.已知数列｛g｝满足%=3,。用=3%+3向.

(1)证明：数列松｝为等差数列，并求通项％;

⑵求数列｛与｝的前〃项和

17.如图平面4BC,BC1AC,E是线段5c上的动点，E是MC的中点，已知

AM=AC.

(1)证明：平面平面及5C；

(2)若/M=/C=2,BC=2拒,N在线段上.

(i)求点C到平面AEB的距离；

(ii)是否存在点N,使得平面N4C与平面Z助夹角的余弦值为J?若存在，求窗的值;若

7\Mn\

M

不存在，请说明理由.

18.如图，圆E的圆心为网-百，。），半径为4,尸（君,0）是圆E内一个定点，M是圆E上任

意一点.线段E彼的垂直平分线工和半径EN相交于点N,当点/在圆上运动时，记动点N

的轨迹为曲线c

（1）求曲线。的方程；

（2）设曲线C与x轴从左到右的交点为点8,点尸为曲线C上异于48的动点，设PB

交直线x=4于点T,连结ZT交曲线C于点。.直线4P、Z0的斜率分别为幻八kAQ.

（i）求证：后"饱。为定值；

（ii）证明直线尸。经过x轴上的定点，并求出该定点的坐标.

19.对于函数/（X）=X3+X2+X-1,我们无法直接求出它的零点，数学家牛顿用设切线的方法

解决了这个问题.设函数的零点为「，如果可以找到一步步逼近『的％,不，”,使

得当“f+co时，r,则可把X“看做函数〃x）=0的近似解，这个方法被称为“牛顿法”.具

体步骤为：选取合适的修,在横坐标为％的点作〃x）的切线，切线与无轴的交点的横坐标即

占，再用占代替修,重复上面的过程得到马,如此循环计算出当.我们知道在屈,/伉））

处的切线的斜率为/'（*,由此写出切线方程了-/伉）=（伉）—无。），因为广小）片0,所以

令>=。得切线与x轴交点的横坐标再=%-朱

同理得）—/（玉）=/'（石）（、—X1）,

X.X/（一）/（当-1）

以此类推，可以得到X”=X,T

2f（Xn-lY

(1)对于函数当毛=1时，求X1,马的值；

(2)已知函数g(x)的定义域R.

⑴对于函数g(x),若｛%｝为公差不为零的等差数列，求证：g(x)无零点;

(ii)当g(x)=(«x-a)"(a23)时,运用“牛顿法”证明：/->1

高二数学答案

题号12345678910

答案BCABDDDBCDAC

题号11

答案ACD

1.B【详解】由导数定义可知：

72）=Hm〃2+3心）-〃2…）」x如〃2+3Ax）-〃2-1）央,

\）-04Ax4­0Ax

故lim〃2+3M-42-'）=3x4=12.故选:B.

Ax

2.C解析：抛物线/=—2px（夕＞0）开口向左，依题意,抛物线上的点（-1,他）与点尸间的距离

为3,所以1+g=3=4，抛物线方程为/=—8%，令x=—1,得加2=&，解得加=±2&,故选：C.

3.【详解】由3%-2%=%可得:2（册-%）=%+「%,若/_%=（）,则

a—Q

。6=%=。4=。3=。2=。1=0，与题中条件矛盾，故4—0,所以e—-=2,也即数列

an-an-\

｛见+1-%｝是以=电为首项，以2为公比的等比数列，所以2+「a“=电。2”7,则有

“6—%=4—。5+〃5-+%-%+。3—。2+。2一%,

也即4=。2,24+。2,23+42,22+42,21+。2,2°=31a2，所以。2=,故选：A.

4.B【详解】

依题意得/尸耳片=180。-20。-60。=100。，则C的离心率为：=!|=忸版啊

sinZF1PFz_sin60°_sin60°

sinZPF^-sin/PFRsinl00°-sin20°sin(600+40°)-sin(60°-40°)

sin60°

.故选：B.

2cos60°sin40°2sin40

5.D【详解】设》-3x=/n,将其看作直线3x-y+加=0,由直线3x-y+加=0与圆

（x-3）2+（y-4）2=3有公共点，得圆心（3,4）到直线的距离小于或等于圆的半径行,

|3x3-4+m|

《出,解得-5-a4加4-5+而，所以机的最大值为a-5,

Tio

即V-3x的最大值为回一5.故选：D

6.D【详解】因为辿=-1a=32,所以数列是以-1为公差，32为首项的等差数

H+1n［n)

2

列，所以2=32-(〃-1)=33-"，所以S"=33”_〃2,所以当〃22时，=33(H-1)-(«-1),所

22

以氏=S„-Sn^=33n-n-[33(n-1)-(n-1)]=34-2«,

因为%=d=32,所以%=34-2力，对于A,因为%+「%=34-2(〃+1)-34+2〃=-2,

所以｛%｝是以-2为公差的等差数列，所以A错误，对于B,因为'USS”/,所以

S3=90,$6=162,Sg=216,所以$6-$3=162-90=72,邑-$6=216-162=54,

因为72-90=54-72=-18,所以邑凡T.Qo成等差数列，公差为-18,所以B错误，对于

C,S“=33”"2,对称轴为77=5=16.5,因为〃eN*,所以当"=16或〃=17时，E,取得最大

值，所以C错误，对于D,由S“=33〃-〃2N0,得0V"W33,且“eN*,所以〃的最大值为

33,所以D正确，故选：D

7.D【详解】由〃力+/(x)=e"即x/(x)+/(x)=e\即［丁］)『=心所以力(x)=e，+c,c是

常数，当x=l时，/⑴=e+c=O,所以c=-e,当x=-l时，-e,得/(-l)=e-：.故

选：D

8.【答案】B

【详解】数列｛叫的首项为1,且%-。.=2",

1

当〃22时，。〃=+(。2-。1)+(。3-出)---+(%-。〃一1)=2"1,

=1+21+^+...+2"-1==2"-1,而％=1满足上式，因此

\-2.

bn=210g2(%+1)-1=2〃-1,而狐。=199M7=127<199,1=255>199,

因此数列｛g｝的前100项和为数列｛"｝的前107项的和减去数列｛%｝的前7项的和，

所以数列,“｝的前100项和为107。+2：1°7-1)_(21+22+...+27-7)=1072-(=^-7)=11202.

故选：B

9.【答案】CD【详解】对于A：至多有1件不合格品分两种，一种是只有1件不合

格品，一种是没有不合格品，故抽法种数为C；C；9s+C：98,A错误；

对于B：都是合格品的抽法种数为C：98,B错误；

对于C：至少有1件不合格品分两种，一种是只有1件不合格品，一种是有2件不合

格品，故抽法种数为C；C；98+C；C；98,C正确；对于D：至少有1件不合格品的抽法种数

为匾-C：98,D正确.故选CD.

10.【答案】AC【详解】由题意则(1+d)2=1+5",整理得〃2一3d=0,可得"=0

或d=3,当"=0时，%=1,s„=n,则2=1,即［2］是等差数列，此时4=1；当d=3

时，a„=3n-2,5=若心，则&即［2］是等差数列，

此时4=1也=4也=16,易知公比为4,故勿=4"7；综上，A、C对，B、D错.

故选：AC

11.【答案】ACD【详解】第一次甲将球传出后，2次传球后的所有结果为：甲乙甲

,甲乙丙，甲丙甲，甲丙乙，共4个结果，它们等可能，2次传球后球在丙手中的事

件有：甲乙丙，1个结果，所以概率是:，故A正确；

第一次甲将球传出后，3次传球后的所有结果为：甲乙甲乙，甲乙甲丙，甲乙丙甲，

甲乙丙乙，甲丙甲乙，甲丙甲丙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，共8个结果，它们等可能，

3次传球后球在乙手中的事件有：甲乙甲乙，甲乙丙乙，甲丙甲乙，3个结果，所以

概率为］故B错误；

O

91

3次传球后球在甲手上的事件为：甲乙丙甲，甲丙乙甲，2个结果，所以概率为9=；

o4

,故C正确；〃次传球后球在甲手上的事件记为4,则有=+令

——1

Pn=尸(4),则尸(4+J4)=0,尸(4+J4)=于于是得

--1

^(4+1)=^(4W+i14)+m,)^(4+i14,)=A-o+-(i-A,)，

故。用=；(i-4),则=而第一次由甲传球后，球不可能在甲手中，即

A=0,则有R—=数列⑵-也是以一为首项，为公比的等比数列，所以

%-：=-3严，即1-(尸，故D正确.

故选ACD.

12.【答案】210

【详解】••,(/+5)”的二项展开式中各项系数和为1024,即(1+1)"=1024,

.•.«=10.设(X3+-4)10的二项展开式的通项为&，则,”。⑺=,

X

令30-5，=0,得”6,故展开式中常数项的值为C=C：0=?x：x：x：=210.

4x3x2xl

故答案为：210.

13.答案：1解析：由/⑴=lnx,g(x)=e",有/(x)=Lg<x)=e",

x

/,(X)在点(X[/nx])处的切线方程为J-Inxj=—(x-x；),

X1

X2

g(x)在点(工2户)处的切线方程为y-e"2=e(x-x2),

」X

­=e2

2

贝！J有<再，得In、[一1=Inef—1=-%2-1=e^(1-x2),

X2

In-1=e(1-x2)

所以e*X+12一_?_=i+?_，可得!一_?_i.

=1=ZVZ1="2~=I=

X11-X21-X21-X2x2-1X]%2—1

故答案为：L

14.【答案】匕回

3

【详解】如图，七面体为正方体”截去三棱锥瓦-24G的图形，

由正方体的结构特征可得这个七面体内部能容纳的球最大时，

该球与三个正方形面和等边三角形面相切，且球心在体对角线金。上，

如图，以点。为原点建立空间直角坐标系，则3(1,1,0),4(1,0,1)6(0』,1),

设球心O(a,a,a)[o<a4；j,故萩=(0,-1,1),属=历=(1-凡1-a,p),

设平面网G的法向量为万=(x/,z),则有一一,，可取万=(1,1,1),

n•BQ=-x+z=0

则球心。到平面网G的距离为吗d」i一因为球。与三个正方形面和

\n\拒V3

等边三角形面相切，所以力=。，解得。=三",

3-百

所以这个七面体内部能容纳的最大的球半径是

3

15.【详解】(1)由频率分布直方图可知：打分低于70分的客户所占比例为40%

,打分低于80分的客户的所占比例为70%,所以本次调查客户打分的中位数在［70

,80)内，由70+10x=2|九73.3,所以本次调查客户打分的中位数约为73.3

分；

(2)根据按比例的分层抽样：抽取的“问界粉”客户3人，“非问界粉”客户7人

,则占的所有可能取值分别为0,1,2,

其中：%=0)=$%=1)=方=<，雄=2)=乎=*,

joJojo

7713

所以数学期望£C)=0XR+1XA+2XR=；.

16.【详解】(1)因为％=3%+”所以翁宁+1,又为=3,所以去=1，所以数列{1}

是以为1首项，1为公差的等差数列，所以9l+(〃-l)xl="，所以a,=〃.3".

(2)由(1J可得。“=小3”，

所以S“=1X3+2X3?+3X33+……+小3",则3s“=1x3?+2x3^+3x3,+……+〃-3向，

两式相减得一2S“=3+3?+33+3"+……+3”一/3角,一小3向一"-3用，

1-32

所以¥=:+♦**•

17.【详解】(1)VAM=AC,E是MC的中点，,/ElMC,二3，平面A8C,BCu平面

ABC,XvBCLAC,^ACr>MA=A,/Cu平面皿C,M4u平面M4C,/.BC±

平面M4C,又/£u平面ZEE,:.BCLAE,又8CCWC=C,2Cu平面也C,MCu平面

MBC,二/E，平面"3C,又/Eu平面4E71.平面/E尸，平面"BC

（2）（i）以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系:

c（0,0,0）,4（2,0,0）,5（0,2A/3,0）,M（2,0,2）,£（1,0,1）,

AE=（-l,0,l）,ZB=（-2,273,0）,痂=（0,2班,0）设平面的法向量为而=（再,则

AE•成=0—Xy+2[=0

叫一+2同=。取必=1,可得加=（有人

AB-m=0

所以八吟叱当二差1，即点。到平面皿的距离为孚;

（ii）M3=（-2,273,-2）,CA=（2,0,0）^MN=AMB=（-22,2732,-22）,贝lj

N（2-2/2后,2-2彳），GV=（2-22,2732,2-22）,设平面NAC的法向量为万共私为4）则

CA-n=02X[—0

CN,元=0口（2—2/）x2+2y[^大y[+（2—2X）Z2=0

令大。可得万=（0,2-1,5/^2）,

|cos流力卜川叫V7-V422-2A+17,化简得18万_州+1=0,解得2=§或%,

■,\MB\3或％.

18.【详解】（1）由题意可知，|回+|叼=|泗/|+|隅=4>|防=2百,由椭圆定义可得，点N

的轨迹是以E,尸为焦点的椭圆，且长轴长2.=4,焦距2c=忸尸|=2场,

丫2

所以〃=/一/=1,因此曲线C方程为?+/=1.

（2）证明：⑴设尸（士,必），Q（x2,y2）,T（4,m）,由题可知4（-2,0）,B（2,0）,如下图所示，则

必二加2”

于是加=

$-2,2玉一2,

2

所以如也°