解三角形（九大题型）解析版-2025届高三数学一轮复习

专题：解三角形一一九大题型解析版

一、知识导图

具体求角

二、基础知识

8sA=且±4

=人2+/-cosA,2bc

cosB=《±j

1.余弦定理：＜/=/+c?—2〃ccos_8,推论:

lac

222

c=a+b-labcosC.22

「a+b-c

cosC=-------------

lab

2.正弦定理:

sinAsinBsinC

（其中H为A45C外接圆的半径）

OQ=27?sinA.b=27?sinB,c=27?sinC;

・A〃•八b.「c

sinA——,sinB——,sinC——;

2R2R2R

oa:b:c=sinA:sin5:sinC.

、三角形面积公式：

3SAA*=—bcsinA=—absinC=—acsinB,

AABC222

三、题型专练

(1)三角形中的角

1.在锐角VABC中，角A,民C所对的边分别为a,6,c,若:=匕*，则一二-U+ZsinA的取值范围为()

bcos5tanBtanA

【答案】D

【详解】依题意，由正弦定理可得〕——=-------，BPsinAcosB=sinB+sinBcosA；

sinBcosB

所以sinAcosB-sinBcosA=sin(A-B)=sinB,

又因为VABC为锐角三角形，所以A—5=5,即A=25,

X0°<A=2B<90°,且0°<C=180°—A—B=180°—3B<90°,

可得30°<B<45°,60°<A<90°;

口%11仁•％cosBcosA仁.AsinAcosB-cosAsinB小••

易知-----------+2smA=-----------------+2sinA=-------------------------------+2sinA

tanBtanAsinBsinAsinAsinB

sin(A-B)sinB1

=.'.—^+2sinA=-——;—+2sinA=2sinA+--；

sinAsinBsinAsinBsinA

显然sinAe1*」)，由对勾函数性质可知2sinA+熹在sinAe]*』)上单调递增，

所以可得2sinA+「e三一,3.

sinAI3,

故选：D

2.在VA3C中，AB=3,BC=2如,则角C的取值范围是()

A.(0勺B、模进口件-5考.5热444c.邑当

66232

【答案】B

【详解】在VABC中，AB=3,BC=2^3,AB<BC,C为锐角，

由正弦定理得sinC=4^sinA=3sinAV^,解得0<CV^,

BC223

所以角C的取值范围是呜].

故选：B

3.（多选）在VA5C中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列说法正确的是（）

A.若〃一/=°2一.°,则角A的度数是:

0

B.若4=4,4=4,则VABC面积的最大值为8囱

C.若］焉+高］（丽-前）=0,则VABC为等腰三角形

D.若acosA=6cos3,则VABC为等腰三角形

【答案】AC

222222

[W1A选项，a-b=c-s/3bc^b+c-a=y/3bc,

b2+c2-a2

故cosA=

2bc2bc~^2

又4式0,兀)，故A=m，A正确；

o

B选项，A=g,Q=4,由余弦定理得cos^="——,

332bc2

故〃+/=A+i6,由基本不等式得6+c?>2bc,BPZ?c+16>2Z?c,

解得。c<16,当且仅当人=c=4时，等号成立,

故SABr=—&csinA<—xl6x-^-=4\/3,

"222

VABC面积的最大值为4有，B错误；

BCCABACA-|BC|-|CA|COSCIBAI-ICAICOSA

即.।=U,--------.----------1------------------=0,

ISCIIBAI\BC\\BA\

所以1C^cosA=|C5|cosC,cosA=cosC,

因为A,Ce（O,兀），所以A=C,VABC为等腰三角形，C正确;

D选项，若acosA=Z?cosb,贝！JsinAcosA=sin5cos5,

—sin2A=—sin2B,sin2A=sinIB,

22

因为ABe(O,7r),所以2A=23或2A+23=?r,

IT

所以A=3或A+B=m，则VABC为等腰三角形或直角三角形，D错误.

故选：AC

4.在锐角VABC中，内角A,B,C所对的边分别为。，b,c.且a+2acos5=c.则A的取值范围是

7171

【答案】

6,4

【详解】因为a+2acos3=c,由正弦定理可得sinA+2sinAcosB=sinC,

且sinC=sin(A+3)=sinAcosB+cosAsinB,

即sinA+2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB,

整理可得sinA=cosAsinB-sinAcosB=sin(B-A),

又因为AB中,?，则2-Ae

可得A-即3=2A,

-.71

0<A<—

2

因为VABC为锐角三角形，贝人0<B<-,

2

0<C<-

2

0<A<-

2

兀71.71

可得0<2A<-解得Z<A

264

0<兀一3A<C

2

所以A的取值范围是

故答案为:

b2-c2

5.已知VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,5.3a-bcosC-ccosB,则cosA

a2

的最小值为.

【答案】3平/矮

ih2—r2/42_il

【详解】在VA5c中，由3a=bcosC—ccosB及余弦定理，得3〃=b------------------c----------------------

2ablac

a1+b2-c2a2+c2-b2b1-c2b2-c2

因此=3；

2a2aaa2

b、c2_b^

34="+/一/3=6+202〉2缶°二2夜,当且仅当^=缶时取等号,

2bc2bc3bc3bc3

所以cosA的最小值为逆.

3

故答案为：3；------

3

A

6.已知VABC的内角A,反。对边分别为。也c,BC边上的高为九h=b+c—a,贝!jtan5的取值范围

是.

【答案】-a)

【详角军】在VABC中，b+c=a+h,

,b2+c2-a2(b+cV-a2-2bc(a-^hf-a2+2ah1

cosA=--------------=-----------------------=------------------1=--------------1，

2bc2bc2bc2bc

即1+COSA="+2"”；

2bc

l17.417Tah口.Aah「.，「

乂一/7csinA=—:.bc=------,BPsinA=——,XsinA>0；

22sinAbe

)2A

,,1+cosAh2+2ah.hC0S?1c

故-------=-------=1+一=-----;~=------r>0,

sinA2ah2a2sin4cos&tad

222

如图，在VABC中，过5作CB的垂线EB,且使£8=2力，则AE=AB=c9

E

/；

门!

//!

hi

2h\\'b+c=a+h>\CE\,BP(^+/z)2>tz2+(2/z)2=a2+4-h2,可得0<—W—,

e

a口

14

一九4l<——-<-3,A1

1<1H4一，R即nA3,——tan—<1.

2a3tan542

-3

故答案为：-,1)

7.如图，在VABC中，D,E为BC边上的三等分点,BC=3^3,Z.BAE=—.

A

BDEC

⑴若AE=2^,求VABC的面积；

⑵求AC长的最大值；

⑶若ZBAE=Z.CAD，求cos/DAE的值.

【答案】⑴手

⑵2+小

/FMZ7A/T^+3

(3)cosNDAE=-------

8

jr

【详解】(1)在&4BE中，由AE=BE且NBAE=w，得AABE1为正三角形,

所以s△/Aiz”>c=-2BABC-smZABC=—2.

BEAE

(2)在1中，由正弦定理得

sin/BAEsin3

2后_AE

即.兀一sin5，所以AE=4sin5,

sin—

3

在“。石中，由余弦定理得

AC2=AE2+EC2-2AEEC-cosZAEC=(4sin2了+3-2•4sin8・一•cos+B

=28sin2B-4^/3sinBcosB+3=17-4A/13sin(2B+0)(其中tanO=M^)

3

因为所以2人(0,1^,

又因为tan0=述>白=tan乌，所以sin(2B+6)可取到最小值-1.

33

所以AC?<17+4而=(2+四)2,即AC最大值为2+8.

(3)设小归=〃，由对称性知AD=AE,AB=AC,

71—07T

则/ADE=,ZBAD=——e,

23

71-0710

所以3=-+-,

262

AE

EDAEAE=

在VAZ火中,即sinO，ini'所以

sin9sinNADE2sin-；

22

2A/3AE

BEAE71+e

在^ABE中，，即3sin7i,所以AE=4sin

sinNBAEsinB6+2J2

2

71+0

=4sin

所以j>化简得sin(0-g

2sin-4

2

因为0<e(二，所以_四<夕_火<0,所以cos，6>_二］=巫

333I,3J4

所以cos6=cos(e—C+3]=BPcosZDAE=^^.

k33j88

8.已知VABC的内角A,B,C的对边分别为a,Z?,c,a=2Z?,c=3,cosA=-1^.

⑴求sinB；

(2)求VABC的面积；

(3)求cos(C-3)的值.

【答案】⑴sia8=^^

⑵3

⑶11^

25

【详解】(1)在VABC中，因为cosA=-^^,所以sinA=Jl-cos2A=马5

55

由正弦定理三=上，得sinB="电4=^sinA=@.

sinAsinBa25

(2)由余弦定理/="+。2—2Z?ccosA,Ra=2b,c=3,cosA=-,

5

得4〃=〃+9+竿b,解得6

故VABC的面积为』6csinA=3.

2

（3）在VABC中，因为cosA<0,所以A为钝角，民C为锐角,

所以cosB=Vl-sin2B=~~~~，

2垂：2非亚（非\3

所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA=----------X-------------1---------X-----------=—

555(5)5

cosC=Vl-sin2C=—,

42节3节11小

则cos(C-B)=cosCcosB+sinCsinB=—x-----------1—x--------=-------------

555525

（2）三角形中的边长

1.已知(a+c)(sia4-sinC)+6sinB=asirLB,b+2a=3,CA=3C/5-2CB,其中7ABe的内角A,民C的对边分别

是a,4c,则线段CD长度的最小值为（）

A.且B.-C.友D.更

2432

【答案】A

【详解】因为（。+。何114-5由。）+如116=痴116,所以由正弦定理得（。+。（。-。）+万人=〃为，

即/+k―°2=仍，由余弦定理得cosC="+"一'=）,又C«0,兀），所以C=g,

2ab2''3

由人+20=3,。=3①一2函知，O）=-CA+-CB,

所以|CD卜|CD|=^QC4+|C§J=|后+2画2=1y/cA2+4CB2+4CA-CB

=|^b2+4a2+4b-a-cos^=|J（6+2a『一62a>1J仅+2“『一（"=|J32g=与,当且仅当

5=2〃=3即时等号成立，

所以线段C。长度的最小值为走.

2

故选：A

2.在VA5C中，A=1,BC=6,若满足上述条件的VASC有且仅有一个，则边长AC的取值范围是（）

A.（0,右）B.（0,6]C.（0,^]u{2}D.[A/3,2]

【答案】C

BC_AC_A/3

【详解】在VABC中利用正弦定理得而1=高下=二万=,则AC=2sin3,

~2

若满足上述条件的VABC有且仅有一个，则sin3=l或sinBV且，

2

则AC=2或0<ACwg,

则边长AC的取值范围是值，道]口{2}.

故选：C

3.如图，在四边形ABCD中，AC±BC,AB=4,BC=CD,ZACD=600,则AD的最小值为（）

C.2&D.2m

【答案】C

【详解】设=a,则AC=4cosa,CD=BC=4sincr,

2

则在AACD中利用余弦定理得AD=VAC2+CD-2AC-CDcos600=J16-8sin2。，

jr

当sin2a=1,即。=时，AD取得最小值20.

故选：C

TT

4.在VABC中，AB=3,荏=2丽，ZACE=g,则BC的最大值为（）

A.2上B,屈C.2存布D.2国国

33

【答案】D

【详解】

由钻=3,荏=2万，则A£=2,BE=1,

在AAEC中，<AE2=AC2+EC2-2AC-ECcosZACE,

即AC2+EC2-ACEC^4,即AC-EC=AC2+EC2-4,

ACECAE24A/3

WSinZAEC-sinAsinZACE~~,

sin——

3

痂人「_4、/^•/人匚c口「_4>/3..

AC------sin^.AEC1,EC------sinA，

33

CB=CA+-^=CA+-iCE-CA\=--CA+-CE,

22、)22

则冏口一较+1可q同Y同一I网同三

-;闷）|同|2

«4

=8sin2A--sin2ZAEC+3=4(l-cos2A)--(l-cos2ZAEC)+3

4C/-_(4兀)/,1/

——cos2/AEC—44cos2AH——cos2兀-A4cos2AH

333I3)3

——cos2AH--------4cos2AH-----=—cos2A--------sin2A—4cos2AH-----

3I33333

、

.1417:一f^Zsin(2A+°),

sin2A-\----cos2A+——=

33

7171

其中，。w

tan(p=~~~i52

则当2A+°=1，即4=孚-与时，BC有最大值，

242

,「兀兀\.「八兀

由仁仁，］J，则LI3了TI一(p万(寸7i了7?t正A(由.N…AC…E="7i则Ae(o,可2

故A可取女-名，故BC有最大值〃74■一、而+2)_2寻回.

42VT+~~一忑—

故选：D

5.在VABC中，a=64=60°,求36+2c的最大值

【答案】2M

a_+_不_2b

【详解】已知在VABC中，a=y/3,4=60°，因为函E=sin60°=有=，所以「;=2,可得b=2sin3；

-smB

2

——=2,可得。=2sinC.

sine

因为三角形内角和为180°,所以。=180°—A—5=180°—60°—3=120°—3.

则3Z?+2c=3x2sinB+2x2sinC=6sinB+4sinC.

代入上式得：6sinB+4sin(l20°-B).

sin(120°-B)=sin120°cosB-cos120°sinB=cosB+—sinB.

22

hi

所以6sin3+4sin(l20°—B)=6sinB+4(—cosB+-sinB)

22

=6sinB+2\/3cosB+2sinB=8sinB+2^/3cosB.

对于8sinB+2\/^cos3,根据辅助角公式，

所以］仍+(2百)2=J64+12=A/7^=2M，tan^=—=—.

84

则8sinB+2A/3COSB=2^/19sin(B+(p).

因为正弦函数的值域是［Tl］,所以2Msin(B+0)的最大值为2晒，即(3b+2c)11Hx=2m.

故答案为：2M

6.在锐角VABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，若6cosc+：c=a,c=l,则/+从的取值范围为.

【答案】(1,7)

【详解】在VABC中，由6cosc+1c=a及正弦定理得：2sinBcosC+sinC=2sinA,

2一

2sinBcosC+sinC=2sin(B+C)=2sinBcosC+2cosBsinC,

整理得2cos5sinC=sinC,而3,。£(0,兀)，sinC>0,于是cos3=',

2

所以8=小

-c兀，.十以…gac/口csinAsinAcsinB石

在VABC中，B=—,c=l,由正弦定理^一-=-=――=——同理b=

3smAsinCsinCsinCsinC2sinC

因止匕/+b2_sin2/|3_4sin2A+3_守)

sin2C4sin2C4sin2C4sin2C

3cos2C+sin2C+2V3sinCcosC+36cos2C+4sin2C+2^sinCcosC3君.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1----------------1-]

4sin2C4sin2C2tan2C2tanC

0<C<-

2‘解得。呜$，则tanC>*,U熹e(0,回

由锐角VA5C,得<

八2兀「兀

0<C<—

32

于"+*¥+$+］在"后上单调递增,则】<i<7

所以的取值范围为(1,7).

故答案为：(1,7)

7.在锐角VA3C中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,S为VABC的面积，且4s=6-优-c)］，则宁£■

的取值范围为.

【答案】2,3

【详解】在锐角VABC,由余弦定理可知26ccosA="+c2-a2,

由面积公式可得，应=；bcsinA,代入到已知条件可得

222

4x-^bc-sinA->/3[a-b-c+2bc]<=>2bc-sinA=g[-2/?c•cosA+2bc],

因为人cwO,化简可得sinA=-百cosA+6,所以sinA+J^cosA=,

根据恒等变换可得sin14+工71］=3,

因为锐角VABC,

32

所以0<A<g,则g<A+g〈等，所以可得A+?=4,即A=g

2336333

所以sinA=且,cosA=',

22

sin5sin（A+C）_sinAcosC+cosAsinC_y/311

则2=------=---------------=-------------------------------=---------------1—,

CsinCsinCsinC2tanC2

因为锐角VABC,所以0<C<],0<B=y-C<^

则B<C<g,又tanx在O7,1g单调递增,

62<2

则一^€（0,6）,4r=-=^—+-，所以2；

tanC'Jc2tanC2

g、i/+/bc1

所以------=-+-=t+~,

becbt

由对勾函数的单调性知，+/川单调递减，在。,2）单调递增,

当/=1时，取到最小值y=2,当/=：或t=2时，最大值y=g,

e24-

be

故答案为：2,1

sinAb+c

8.在VABC中，内角A氏C的对边分别是。，瓦c,已知。=2,且

sinB-sinCb—a

⑴求C；

（2）若G为VABC内一点且出+岳+2/=0，求GC长度的最大值;

（3）若VABC为锐角三角形，求VABC的周长的取值范围.

7T

【答案】（l）c=g

⑵在

2

⑶（2省+2,6］

sinAb+cab+c

【详解】（1）因为,所以

sinB一sinCb-ab-cb-a

整理可得a」*-，，所以啜］

因为Ce（O,兀），所以C=g；

（2）取A8的中点。，连接8,所以曲+况=2而，

因为G4+GS+2%=0，所以说=一反，所以G为O）的中点,

因为国=:（丽+丽），

2222

所以方=；*+函2=l（c5+CB+2C4-CB）=^（Z?+a+2

=；（〃+a2+ab^,

由余弦定理可得4=4+〃—Q。22〃。一aZ?=a。，即aZ;K4,

当且仅当a=b=2时等号成立，

所以国2=；（加+/+。6）=；（4+206）＜；（4+2'4）=3,所以|无«的,

所以否=/函41,所以GC长度的最大值为7；

a_b_c_2_4A/3

（3）由正弦定理得sinAsinBsinC有3,

~T

所以a=48sinA,b=sinB，

33

所以a+Z?+c=^sinA+逑sinB+2=^sinA+逑sin[A+3]+2

3333I3j

=2*\/3sinA+2cosA+2=4sin[A+—J+2,

0<A<-

因为VA5c为锐角三角形，所以'2，解得三<A</

八2兀，兀62

0<------/-

L3

所以*sin(A+jvl,所以4sin(A+聿+2e(26+2,6],

所以VA5c的周长的取值范围为（2石+2,61

（3）三角形的中线

1.在AMC中，若NA=60。，AC=3,BC边上的中线长为巫，贝UsinB=（）

2

A.叵B.一也C.匹D.用

141414

【答案】C

【详解】由图可知3C边上的中线人。=巫，

2

故2通=通+正，进而4而2=通2+恁?+2旗・衣，

故13=庙+9+2画x3xg,解得网=1（负值舍去）,

XBC=AC-AB,则配2=+/2_2湿.就，

故品2=1+9—2xlx3x；=7,解得|前卜近,

ACBC

在VABC中，由正弦定理可得

sinBsinA

&百

3x——

故ACsinA3历,

sin5=2

BCF14

故选：C

TT

2.（多选）如图，在VABC中，若8C=4,。为BC边上的点（不包含氏C）,ZBAD=a,ZCAD=p,a+/3=~,

则（）

B.顶点A到2c的最大距离为26

C•若。为3C边的中点，则孤奇

D.若。为BC边的中点，则AD的最大值为2#

【答案】BCD

BCR_BC_4_4m

【详解】对于A,设AABC外接圆的半径为R,由正弦定理得，2R=—^—,所以K一二"二一耳一二，

sm^BAC2sin—

3

所以A错误；

对于B,由［+£=］得，顶点A在圆弧上运动，当且仅当4?=AC时，顶点A到8C的最大距离为2石，所以

B正确；

对于C,若。为5c边的中点，则2.=8支皿，

~,11~,sin。AC一A

所以大AHAOsina=；；AC・AOsin^,所以一^=不；，C正确；

22sinpAB

对于D,在VABC中，由余弦定理得16=>2+/一2〃c-bc=〃c,当且仅当人=c=4时取等号,

XAD=AB^AC,则由=gJ（荏+宿2=；扬+°2+6c=；Ji6+26cV2技

因此当6=c=4时，AO取得最大值26，D正确.

故选：BCD.

3.在VABC中，已知NA=2NB,AB=2,VABC的面积是岳，则48边上的中线长是.

【答案】V19/19j

【详解】AB=c,AC=b,BC=a,则0=2,

a_b_2

在VABC中利用正弦定理,

sinAsinBsinC

因ZA=2ZB,则=

sin2Bsin3B

2sin2B_4sinBcosB_4cos3_4cos3

sin35sinBcos2B+cosBsin2Bcos2B+2cos2B2cos25+1

因VABC的面积为比?,则S=-^acsmB=asmB=y/15,

4cosBsinB2sin28=岳

则〃sin5=

2cos2B+12cos25+1

则sin2B="ycos2B+半，

解得c°s22=t或一2，

TT

因0v2B<兀,0<兀一3B<兀，则0v25<兀,0v兀-35v兀，得0v5<—,

2兀]

贝|]0<23<—,贝！J--<cos2B<l,

32

故8s22=j则cos底产号邛,

7asinBa

4cos5b=--------=----------书=4

a=--------------=276,sinA2cos52x好

2cos23+1

4

c

A

D2B

取线段5C的中点。，设=则在和△5CD中分别利用余弦定理可得,

^2+1-42/+1-（2指『2d2.38

cosZCDA+cosCDB=--------—+-------——匚=------=0，

2d2d2d

得“=岳，即A8边上的中线长是

故答案为：V19

4.已知在锐角三角形ABC中，内角A,B,C,所对应的边分别为。，6,C,且是4=2,sinB+sinC=2sinZfi4C,

则中线AD长的取值范围是.

【答案】"平

【详角军】在VABC中，sinB+sinC=2sinZ^4C.

。=2,。为5C的中点，所以BD=CD=1.

由正弦定理得Z?+c=2a=4.

又cosZADB=—cosZADC,设AD=x,

2

由余弦定理知、+<=,得f=〃+「2,

2x2x2

代入6=4-c,整理得x=J(c-2y+3.

因为VABC是锐角三角形，所以

22+02_（4_0）2

a2+c2-b2

cos3=>0,

lac4c

2C2C2

a2+b2-c22+（4-）-

cosC=>0,

lab~2（j）

CC

b+<?a（4_『+2_22

cosABAC=~>0,

2bc2（4-c）c

35

解得

22

当c=2时，x取最小值为名；当c=T或c=|时，x取最大值为平.

..兀、.,人、2cosAcos3cosC与入_,〜一人人

5.在①。smA+不=asin(zA+C)；②---------=--------+-------；③2〃cos_B+Z?=2c；二个条件中任选一个，补

I3Jbeabac

充在下面问题中，并解答.

问题：已知VA3C的内角A,民C的对边分别为a,b,c且满足

(1)求角A的大小；

(2)若边上的中线长为近，AB=2,求VABC的面积.

(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)

【答案】(1)所选条件见解析，A=］；

⑵26

【详解】（1）①在VABC中，由A+8+C=7t,得sin（A+C）=sin3,

由正弦定理得6sinA=asin3,则6sin[A+]J=asin（A+C）=asinB=bsinA,

结合已知条件得sin（A+=sinA,

7TTTTT

因为OvAv兀，4+§+A=兀，或A+；=A（舍），解得A=g.

口2cosAcosBcosCccosB+Z?cosCe,六7八

②由题忌---=——+-----=--------------,即13r2lacosA=ccosB+bcosC,

beabacabc

由正弦定理得2sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sin（兀一A）=sinA,

i7r

又A«O,71）,所以sinAwO,则cosA=,,所以A=§,

③在VABC中，2acosB+b=2c,则2sinAcosB+sin_B=2sinC,

所以2sinAcos5+sin5=2sin（A+B）=2sinAcosB+2sin3cosA,

即sinB=2sinBcosA,又A5£（0,兀），sin5w0,

所以cosA=t1，所以A=；71

（2）设BC的中点为。，根据向量的平行四边形法则可知通+衣=2而，

A

BDC

所以回+衣『=4而「即通2+*。+2网罔cosA=4砺二

因为AB=c=2,A=y,AD=A/7,所以户+26+4=28,解得6=4（负值舍），

所以S^ABC=：6csinA=2G.

6.在VABC中，内角A,B,C的对边分别为b,c,若沅=(sinA-sin5,c+ga),n=(«+Z?,sinC),且

ffiLn,

⑴求3角的大小；

(2)若b=J7,点。是AC的中点，且8。=:，求@的值；

2c

171

(3)已知VABC的面积为行，且VA3C所在平面内的点尸满足N3R4=N3PC=5NAPC