江苏省连云港某中学2024-2025学年下学期七年级期中数学试卷

2024-2025学年江苏省连云港外国语学校七年级（下）期中数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是（）

2.下列运算正确的是（）

A.a2-a3—a6B.a6a2—a4C.（ab4）3—ab12D.（a3）3—a6

3.若I；二11是方程2x+my=4的解，则根的值是（）

A.-1B.1C.-3D.3

4.若关于a的二次三项式9a2-24a+是一个完全平方式，则m的值是（）

6.如图，在正方形网格中，图中阴影部分的两个图形是一个经过旋转变换得到另一个

的，其旋转中心可能是（）

A.点A

B.点5

C.点C

D.点D

7.如图，大正方形与小正方形的面积之差是6,则阴影部分的面积是（）

A.8

B.4

C.3

D.1

8.在《九章算术》中，二元一次方程组是通过“算筹”摆放的，如图1、图2所示.图中各行从左到右列出

的算筹数分别表示未知数x,y的系数与相应的常数项.如图1所示的算筹图表示的方程组是

Em,‘：；:类似的，图2所示的算筹图表示的方程组是（）

IIIII=开III-I

IIITill1111川=7T

图।图2

Apx+y=11(2x+y=11(2x+y=162%+y=16

BC，

{4x+3y=22-[4x+3y=27(4%+3y=224x+3y=27

二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

9.水是生命之源，水是由氢原子和氧原子组成的，其中氢原子的直径为O.OOOOOOOOOlzn,把这个数值用科

学记数法表示为_____m.

10.已知。机=5,an=2,贝必祖一"的值等于.

11.若（。+匕）2=7,（a—6）2=5,则a2+%2=.

12.如图：图中三角形的面积为.

13.若二元一次方程组二：的解也是二元一次方程％+y=T的解，则左值为■

14.如图，在四边形A8CD中，AD//BC,ABCD=90°,将四边形ABCZ)沿

方向平移得到四边形4'B'C'D',8C与C'D'相交于点E,若BC=8,CE=

3,CE=2,则阴影部分的面积为.

15.如图，在三角形A8C中，点、E,尸分别在边AB,BC上,将三角形沿EP

折叠，使点B落在点。处，将线段沿着BC向右平移若干单位长度后恰好能

与边AC重合，连接4D,若BC=7,则阴影部分的周长为.

16.小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图所示,请你根据图中的信息，若

小明把50个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是cm.

17.将一副三角板中的两块直角三角板的顶点C按如图方式放在一起，其中

Z.B=45°,4DEC=6Q。,且8、C、E三点在同一直线上.点A在线段CO上，

现将三角板ABC绕点C顺时针转动a度(0°<a<180。)，在转动过程中，若4

ABC的边平行于4CDE的边。E时，则此时转动的角度a为

18.方程组有正整数解，则正整数。=.

三、解答题：本题共9小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

19.(本小题16分)

计算：

(1)(3-兀)。+(一｝-3+(-3尸+(-3)2；

(2)49X(—25)8；

(3)久3.x5—(2x4)2+%10+X2；

(4)(2x+3y7—4(x+y)(x—y).

20.(本小题8分)

解方程组

J2x+4y=5

(n)=1_y；

仔+2y=0

1J(3x+4y=6，

21.(本小题10分)

(1)先化简，再求值：(3%+2)(3%-2)-5x(%+1)-(x-I)2,其中/一%-2012=0；

(2)已知:a—b=2,ab=1,求(a—2b)?+3a(a—b)的值.

22.(本小题8分)

已知在8x8网格中，每个小格均为边长是1的正方形，AABC和线段的位置如图所示，小睿想利用这

两个图形画出一个跷跷板，于是他按照以下两个步骤来画：

①将△ABC平移，使得顶点A平移至4,画出平移后的AAB'C'.

②过4做线段D'E'和线段DE平行且相等，使得4恰好为线段D'E'的中点.请按照小睿的画法画出图形.

23.(本小题9分)

在易的运算中规定：若〃=a«a>0且a力1,尤、y是正整数)，贝卜=y.利用上面结论解答下列问题:

(1)若/=36,求无的值；

(2)若3^+2-34i=54,求x的值；

(3)若zn=2'—1,71=4*—2*,用含机的代数式表示九

24.(本小题8分)

如图，A/IBC中，点尸为边BC上一点，请用无刻度的直尺和圆规完成以下作图，要求：保留作图痕迹,

不需要写作法.

(1)如图①，作一条直线/,使点A关于/的对称点为点P.

(2)如图②，过点尸作直线MN,使得MN1BC.

25.(本小题10分)

某商店需要购进甲、乙两种商品(两种商品均购进)，其进价和销售价如表所示:

甲乙

进价(元/件)120150

售价(元/件)135180

(1)若商店计划购进甲、乙两种商品共30件，销售后利润600元，甲、乙两种商品分别购进多少件？

(2)若商店计划购进甲、乙两种商品，正好用去1800元，求甲、乙两种商品购进件数的所有方案.

26.(本小题12分)

学习了平行线的性质与判定之后，我们继续探究折纸中的平行线.

(1)【知识初探】

如图1,长方形纸条中，AB//CD,AD//BC,乙4=NB=NC==90。，将纸条沿直线所折

叠，点A落在力'处，点。落在》处，4E交C£)于点G.

①若N2EF=35。，则乙4'GC的度数为.

②若乙4EF=a,则NAGC=(用含a的式子表示).

(2)【类比再探】

如图2,在图1的基础上将NCGE对折，点C落在直线GE上的C'处，点8落在B'处，得到折痕GH,则折

痕EE与GH有怎样的位置关系？说明理由.

(3)【提升自我】

如图3,在图2的基础上，过点C'作A8的平行线直接写出乙4'GC和NB'C'N的数量关系.

27.(本小题15分)

通过第八章的学习，我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等

式，请结合图形解答下列问题：

(1)利用图1中的A、B、C三种纸片各若干，拼成一个“回形”正方形(如图2),请你写出(a+6)2、(a-

b)2和油之间的数量关系是；

(2)根据(1)的结论，若x+y=4,xy-1,贝!l(x-的值是；

(3)如图3,点C线段AB上的一点，以AC、为边向两边作正方形，设4B=6,两正方形的面积和S1+

S2=18,求图中阴影部分面积；

(4)利用5张2种纸片拼成如图4的大长方形，记长方形ABC。的面积为S],长方形所G8的面积为S2.设

CD=x,且当x取不同数值时，S1-S2永远为定值，则。与b之间的数量关系为.

(5)如图5,在长方形ABCD中，AB=22cm,点E,F是边BC,CD上的点，EC=10cm,且BE=DF=

x,分别以PC,CB为边在长方形ABC。外侧作正方形CFG"和正方形C8MN,若长方形尸的面积为

300cm2,求图中阴影部分的面积之和.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查了轴对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.

根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线

叫做对称轴进行分析即可.

【解答】

解：选项8、C、。不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，

所以不是轴对称图形，

选项A能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图

形，

故选：A.

2.【答案】B

【解析】解：A、a2-a3^a5,故此选项不符合题意；

B、a6a2-a4,故此选项符合题意；

C、(ab4)3=a3b12,故此选项不符合题意；

D、(。3)3=。9,故此选项不符合题意；

故选：B.

根据同底数哥的乘法法则、同底数累的除法法则、哥的乘方与积的乘方法则分别计算判断即可.

本题考查了同底数赛的乘法、同底数嘉的除法、塞的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键.

3.【答案】D

【解析】解：［21是方程&+W=4的解，

.,.把二21代入2久+叩=4,得：2x(―1)+2m=4,

解得：m=3.

故选：D.

把Z21代入2久+my=4,进行求解即可•

本题考查了二元一次方程的解，掌握解二元一次方程的步骤是关键.

4.【答案】A

【解析】解：•.•关于。的二次三项式9a2-24a+zn是一个完全平方式，

9a2-24a+m=(3a)2—2X3ax4+42,

解得：m=16.

故选：A.

根据完全平方公式(a-6)2=a2—2仍+炉，观察其构造，即可得出川的值.

本题主要考查了完全平方的公式，掌握完全平方公式的特征是解题的关键.

5.【答案】B

【解析】解:

A、由图形可得其周长为：2x(4+2)=12cm,

B、由图形可得其周长大于12cm,

C、由图形可得其周长为：2x(4+2)=12cm,

D、由图形可得其周长为：2X(4+2)=12cm,

所以最长的是艮

故选：B.

直接利用平移的性质求出各图形的周长，进而分析比较得出答案.

此题主要考查了平移的性质和应用，正确应用平移的性质是解题关键.

6.【答案】B

【解析】解：如图，两组对应点所连线段的垂直平分线的交点8即为旋转中心.

故选艮

根据旋转的性质，作出两组对应点所连线段的垂直平分线，交点即为旋转中

心.

本题考查了旋转的性质，主要利用了旋转中心的确定，是基础题，比较简单.

7.【答案】C

【解析】解：设大正方形的边长为a,小正方形的边长为b,则。2一°2=6,由于阴影部分是两个三角形

的面积和，

即阴影部分的面积为2a(a—6)+—b)

1

=2(a+b)(a—b)

1

=2(fl2-炉)

1

=—x6

=3.

故选：C.

设大正方形的边长为a,小正方形的边长为6,根据题意可知。2-炉=6,根据阴影部分的面积为2a(a-

b)+^b(a-b),即*。2一62)进行计算即可.

本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键.

8.【答案】B

【解析】解：由题意得，图②所示的算筹图我们可以表述为仁”

(4%+3y=27

故选：B.

根据图形，结合题目所给的运算法则列出方程组即可.

本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找出等量关系是解答本题的关键.

9.【答案】1x

【解析】解:0.0000000001=1Xio-吗

故答案为：1x1。-叫

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为aXIO",与较大数的科学记数法不同的是

其所使用的是负指数幕，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为aX10-n,其中1<|a|<10,〃为由原数左边起第一个

不为零的数字前面的0的个数所决定.

10.【答案】|

【解析】解：•・,a771=5,an=2,

am-n=产+an=/

故答案为：

逆用同底数塞的除法法则计算即可.

本题考查了同底数累的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键.

11.【答案】6

【解析】解：(a+6)2=7,(a-b)2=5,

a2+2ab+b2=7,a2—2ab+b2=5,

将两式相加可得：2a2+2b2=12,

则a?+炉=6,

故答案为：6.

将两式利用完全平方公式展开后再相加，解得a?+炉的值即可.

本题考查完全平方公式，熟练掌握该公式是解题的关键.

12.【答案】m2-4

【解析】解：-(2m+4)(m-2)=m2-4,

••.三角形的面积为爪2一4.

故答案为：m2-4.

根据三角形的面积公式和平方差公式计算即可.

本题考查三角形的面积，掌握三角形的面积计算公式和平方差公式是解题的关键.

13.【答案】fc=-1

【解析】解：方程组｛:+2y—1@；

2%+y=5fc+4@

①+②得：3x+3y=6k+3,

整理得：x+y=2k+l,

V%+y=-1,

*'•2fc+1=-1j

解得:k=—l.

故答案为：k=-1.

将①+②，整体代入求解即可.

本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，掌握解二元一次方程组的步骤是关键.

14.【答案】13

【解析】解:由平移的性质得：

四边形ABC。的面积与四边形AB'C'D'的面积相等，BC=B'C=8,AB'CD'=ABCD=90°,BE//B'C,

・•・阴影部分的面积为梯形ABC。的面积减去梯形ABED'的面积，

梯形BB'C'E的面积为梯形48'C'D'的面积减去梯形的面积，

・•・阴影部分的面积等于梯形BB'C'E的面积，

■■BE=BC-CE=8-3=5,C'E=2,

梯形BB'C'E的面积为：|{BE+B'C'}-=|x(5+8)x2=13,

故答案为：13.

根据平移的性质得出四边形ABC。的面积与四边形a'B'C'D'的面积相等，BC=B'C=8,Z,B'C'D'=

乙BCD=90。，BE//B'C,从而得到阴影部分的面积等于梯形BB'C'E的面积，根据梯形面积公式求出梯形

BB'C'E的面积即可.

本题考查了平移的性质，梯形的面积，熟练掌握平移的性质是解题的关键.

15.【答案】14

【解析】解：・•・△BEF沿EF折叠点B落在点。处，

DF=BF,

•••DF沿BC向右平移若干单位长度后恰好能与边AC重合，

AD=FC,AC=DF,

•••BC=BF+FC=7,

.­.DF+FC=7,DF=BF,

・・・阴影部分AOFC的周长为：2x(DF+FC)=2x7=14,

故答案为：14.

由折叠性质得DF=BF,由平移的性质可得，AC=DF,AD=FC,再由BC=BF+FC=7,可得四边形

的周长为：2X(DF+FC).

此题考查了翻折和平移变换的性质，解题的关键是要能够根据折叠和平移的性质得到对应的线段相等，从

而求得阴影部分周长.

16.【答案】56

【解析】解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高xcm,单独一个纸杯的高度为ycm,

由题意得阳二;4，

解得

则n个纸杯叠放在一起时的高度为：(几-l)x+y=n-l+7=(n+6)cm,

当n=50时，其高度为：50+6=56(cm).

故答案为：56.

根据题意可知，单独一个纸杯的高度加三个纸杯叠放在一起高出单独一个纸杯的高度等于9,单独一个纸

杯的高度加8个纸杯叠放在一起高出单独一个纸杯的高度等于14,根据这两个等量关系，可列出方程组，

再求解.

本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找出等量关系列出方程组是解题的关键.

17.【答案】15

【解析】解：如图，AB//DE,设AC交于点R

•••/.ACB=ZDCF=90°,AB=45°,4DEC=6。°,

•••ZX=90°-乙B=45°,乙D=90°-4DEC=30",

/.CFE=44=45°,

Z-D+Z-ACD=Z-CFE,Z-ACD=a,

・•・30°+a=45°,

・•・a=15°,

故答案为：15.

当2B〃DE时，设AC交DE于点E由44cB=NDCE=90。，NB=45。，ADEC=60°,求得立力=45。，

乙0=30。，由平行线的性质得NCFE=乙4=45。，由乙D+乙4。。=NCFE,且乙4cD=a,得30。+a=

45。，求得a=15。，于是得到问题的答案.

此题重点考查旋转的性质、直角三角形的两个锐角互余、平行线的性质、三角形的一个外角等于与它不相

邻的两个内角的和等知识，正确地画出48〃DE时的图形是解题的关键.

18.【答案】1或2

【解析】解：•••方程组有正整数解，

•••两式相加有(1+a)y=6,因为a,y均为正整数，故。的可能值为5,这时y=1,这与y—x=l矛盾，

舍去；

可能值还有a=2,a=1,这时y=2,y=3与y—久=1无矛盾.

a=1或2.

故应填a=1或2.

解题时先把两方程相加，去掉尤，然后根据方程组有正整数解确定正整数。的值.

本题考查的是二元一次方程的解法.解题的关键是正确利用方程组有正整数解这一已知条件.

19.【答案】—29；

4x1016；

-2x8；

12xy+13y2.

【解析】解：(1)(3—兀)°+(—}-3+(_3)3+(_3)2

=1+(-27)+(-3)

=一29；

(2)49*(-25>

=48x(-25)8x4

=[4x(-25)用x4

=(-100)8x4

=4x(-102)8

=4x1016；

35

(3)%-X—(2/)2+x10+%2

=x8—4%8+%8

=—2x8；

(4)(2x+3y)2-4(%+y)(x-y)

—4%2+12xy+9y2—4(——y2)

=4x2+12xy+9y2-4%2+4y2

—12xy+13y2.

(1)先化简各式，然后再进行计算即可解答；

(2)利用同底数累的乘法，积的乘方法则进行计算，即可解答；

(3)先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答；

(4)利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答.

本题考查了整式的混合运算，实数的运算，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关

键.

20.【答案】[3；

0=2

(y=-3

【解析】解：(1)产+刃=羽，

把②代入①，得2(1-7)+4丫=5,

去括号，得2—2y+4y=5,

解得：y=5，

把y=5代入②,得％=1—|=-p

(1

x=--

二方程组的解为《3；

x+2y=°①

3%+4y=6②’

①X2,得2%+4y=0③，

②■③，得％=6,

把％=6代入①，得6+2y=0,

解得：y=-3,

•••方程组的解为｛；二

(1)利用代入消元法解方程组即可；

(2)利用加减消元法解方程组即可.

本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法：加减消元法和代入消元法是解题的关键.

21.【答案】3x2-3x-5,6031；17.

【解析】解：(1)(3%+2)(3%-2)-5x(%+1)-(%-I)2

=9%2—4—5%2—5%—x2+2x—1

=3x2—3x—5,

x2—x—2012=0,

x2—x=2012,

・•・原式=3(%2-%)-5=3x2012-5=6031；

(2);a—b=2,ah=1,

・•.(a-2b)2+3a(a—b)

=a2-4ab+4b2+3a2-3ab

=4a2—lab+4b2

=4(a—b)2+ab

=4X22+1

=4x4+1

=16+1

=17.

(1)根据平方差公式、单项式乘多项式和完全平方公式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再根据

x2-x-2012-0,可以得到/一万=2012,最后将/一x=2012化简后的式子计算即可；

(2)先将所求式子化简，再将a-6=2,ab=1代入化简后的式子计算即可.

本题考查整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

22.【答案】①见解析；②见详解.

【解析】解：①如图所示，△AB'C'即为所求；

②如图所示，线段D'E，即为所求.

E

①根据平移的定义作图即可；

②根据平行线的定义作图即可.

本题考查了作图一一作已知线段的平行线和平移作图，掌握平移的性质是解答本题的关键.

23.【答案】解：(1)由条件可知(32尸=36,

32x=36,

**,2x=6,

•••x=3；

(2)由条件可知32x3*-3x3*=54,

.­.9x3X-3x3X=54,

6x3X=54,

3X=9=32,

•••%=2；

(3)由条件可得2*=m+1,

n=(2与2-2X

=2X(2X-1)

=m-2X

=m(m+1)

=m+m.

【解析】(1)利用塞的乘方的法则进行运算即可；

(2)利用同底数暴的乘法的法则进行运算即可；

(3)利用嘉的乘方的法则进行运算即可.

本题主要考查累的乘方，同底数累的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握.

24.【答案】见解答.

见解答.

【解析】解：(1)如图①，连接AP,作线段AP的垂直平分线/,

则直线/即为所求.

直线即为所求

(1)连接AP,作线段AP的垂直平分线/,则直线/即为所求.

(2)根据垂线的定义作出图形即可.

本题考查作图-轴对称变换、线段垂直平分线的性质，熟练掌握轴对称的性质、线段垂直平分线的性质是解

答本题的关键.

25.【答案】甲种商品购进20件，乙种商品购进10件；

该商店共有2种进货方案，

方案1：购进10件甲种商品，4件乙种商品；

方案2：购进5件甲种商品，8件乙种商品.

【解析】解：(1)设甲种商品购进元件，则乙种商品购进(30-x)件，

根据题意得：(135-120)x+(180-150)(30-%)=600,

解得：%=20,

•••30-%=30-20=10(件).

答：甲种商品购进20件，乙种商品购进10件；

(2)设购进机件甲种商品，"件乙种商品，

根据题意得：120巾+150n=1800,

m=15-|n,

4

又•.•加，〃均为正整数，

.产=10或产=5

该商店共有2种进货方案，

方案1：购进10件甲种商品，4件乙种商品；

方案2：购进5件甲种商品，8件乙种商品.

(1)设甲种商品购进x件，则乙种商品购进(30-切件，利用总利润=每件甲种商品的销售利润x购进甲种商

品的数量+每件乙种商品的销售利润X购进乙种商品的数量，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x

的值(即购进甲种商品的数量)，再将其代入(30-%)中，即可求出购进乙种商品的数量；

(2)设购进机件甲种商品，”件乙种商品，利用进货总价=进货单价x购进数量，可列出关于如"的二元一

次方程，结合”均为正整数，即可得出各进货方案.

本题考查了一元一次方程的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程(二元

一次方程)是解题的关键.

26.【答案】①110°；②180--2a；

EF//GH,理由见解答过程；

乙A'GC—乙B'C'N=90°,理由见解答过程.

【解析】解：(1)①由题意得：乙4七尸=N4EF=35。，

.­.AAEG=AA'EF+AAEF=35°+35°=70°,

•••AB"CD,

：.4CGE=/L.AEG=70°,

/.A'GC=180°-/.CGE=180°-70°=110°,

故答案为；110。；

②由题意得：^A'EF=AAEF=a,

/.AEG-Z-A'EF+/-AEF=a+a=2a,

•••AB"CD,

•••乙CGE=/.AEG=2a,

/.A'GC=180°-/.CGE=180°-2a,

故答案为：180°-2a；

(2)EF〃GH,理由如下：

由题意得:^AEF=乙A'EF=^AEG,乙CGH=4C'GH="CGE,

•••AB11CD,

/.CGE—/-AEG,

：.4C'GH=AA'EF,

AEF//GH.

(3”4GC—NB'C'N=90。，理由如下：

•••MN//AB,AB“CD,

：.DC//MN,

：.NA'GC=乙A'C'N,

•••乙A'C'N-Z.B'C'N=/-EC'B'=90",

NA'GC-乙B'C'N=90°.

(1)①由题意得=^AEF=40°,贝此AEG=^.A'EF+^AEF=80°,由平行线的性质得NCGE=

^AEG=80。，由平角的定义即可得出结果；

②由题意得乙4'EF=NAEF=a,则NAEG=NA'EF+N4EF=a+a=2a,由平行线的性质得NCGE=

△AEG=2a,由平角的定义即可得出结果；

(2)由题意得N4EF=^A'EF=jzXEG,乙CGH=AC'GH=jzCGF,由平行线的性质得NCGE=NAEG,推

出NC'GH=^A'EF,即可得出£T〃GH.

(3)根据MN〃/IB,AB〃CD,得出DC//MN,根据平行线的性质得出NAGC=N4C'N,根据乙4'C'N-

乙B'C'N=LEC'B'=90°,可以得出结论.

本题主要考查了折叠的性质、平行线的判定与性质，熟练掌握折叠的性质和平行线的判定与性质是解题的

关键.

27.【答案】Q+b)2=(a-b}2+4ab；

12；

空.

T;

424cm2.

【解析】解：(1)图2整体上是边