图形的初步认识（原卷版）

专题15图形的初步认识

【专题目录】

技巧1：活用判定两直线平行的六种方法

技巧2：与相交线、平行线相关的四类角的计算

技巧3：应用平行线的判定和性质的几种常用作辅助线的方法

【题型】一、线段的中点

【题型】二、角的计算

【题型】三、与角平分线有关的相关计算

【题型】四、余角与补角的相关计算

【题型】五、对顶角相等进行相关计算

【题型】六、邻补角相等求角的度数

【题型】七、平行线的判定

【题型】八、平行线的应用

【题型】九、求平行线间的距离

【考纲要求】

1、了解直线、线段、射线的相关性质以及线段中点和两点间距离的意义.

2、理解角的有关概念，熟练进行角的运算.

3、掌握相交线与平行线的定义，熟练运用垂线的性质，平行线的性质和判定.

【考点总结】一、直线、射线、线段与角

直线公理经过两点有且只有一条直线.直线是向两方无限延伸的，直线没有端点.

直线上一点和它一旁的部分叫做射线，这点叫做射线的端点,射线向一方无限延伸，射

射线

线只有一个端点.

直线上两个点和它们之间的部分叫做线段.线段有两个端点，有长短之分，将某一线段

线段分成两条相等的线段的点叫做该线段的中点.

两点确定一条直线，两点之间线段最短，两点之间线段的长度叫做两点之间的距离.

直线1°=60',1'=60".

1周角=2平角=4直角=360。.

射线

余角、补角:如果两个角的和等于90。,就说这两个角互为余角,同角或等角的余角相

角

线段

等；如果两个角的和等于180。,就说这两个角互为补角，同角或等角补角相等.

与角对顶角：一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线，则称这两个角是对顶角，对顶

角相等.

角平分线角平分线上的点到角两边的距离相等；到角两边距离相等的点在角平分线上.

垂线段公理直线外一点与已知线段连接的所有线段中，垂线段最短.

(1)线段垂直平分线的定义:垂直平分一条线段的直线叫做线段的垂直平分线.

线段垂直平分

(2)线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，到线段两端距离相

线

等的点在线段的垂直平分线上.

(1)过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.

(2)平行线的性质：

①两条直线平行，同位角相等；

②两条直线平行，内错角相等；

平行线③两条直线平行，同旁内角互补.

(3)平行线的判定：

①同位角相等，两条直线平行；

②内错角相等，两条直线平行；

③同旁内角互补，两条直线平行.

【技巧归纳】

技巧1:活用判定两直线平行的六种方法

【类型】一、利用平行线的定义

1.下面的说法中，正确的是()

4同一平面内不相交的两条线段平行B.同一平面内不相交的两条射线平行

C.同一平面内不相交的两条直线平行D.以上三种说法都不正确

【类型】二'利用“同位角相等，两直线平行'

2.如图，已知/ABC=/ACB,Z1=Z2,Z3=ZF,试判断EC与DF是否平行，并说明理由.

【类型】三、利用“内错角相等，两直线平行”

3.如图，已知/ABC=/BCD,Z1=Z2,试说，明BE〃CF.

【类型】四、利用“同旁内角互补，两直线平行”

120°,NDCE=35。，则AB与CD平行吗？请说明理由.

【类型】五、利用“平行于同一条直线的两条直线平行”

5.如图，已知/B=/CDF,/E+NECD=180。.试说明AB〃EF.

【类型】六、利用“垂直于同一条直线的两条直线平行(在同一平面内)”

6.如图，AB_LEF于B,CD_LEF于D,N1=N2.

⑴试说明：AB/7CD；

(2)试问BM与DN是否平行？为什么？

MANC

EBDF

技巧2：与相交线、平行线相关的四类角的计算

【类型】一'利用平角'对顶角转换求角

1.如图，已知直线AB,CD相交于点O,OA平分NEOC,若NEOC：/EOD=2：3,求NBOD的度数.

解：由NEOC:ZEOD.=2:3,

设/EOC=2x°,.则/EOD=3x°.

因为/EOC+Z________=180°(),

所以2x+3x=180,解得x=.36.

所以NEOC=72。.

因为OA平分/EOC(已知)，

所以/AOC=g/EOC=36。.

因为/BOD=NAOC(),

所以/BOD=.

【类型】二'利用垂线求角

2.如图，已知FE_LAB于点E,CD是过点E的直线，且/AEC=120。，则NDEF=

3.如图，MO_LNO于点O,0G平分NMOP,ZP0N=3ZM0G,则NGOP的度数为

4.如图，两直线AB,CD相交于点O,0E平分NBOD,ZAOC：ZA0D=7：11.

(1)求NCOE的度数；

(2)若OFLOE,求/COF的度数.

F

【类型】三、直接利用平行线的性质求角

5.如图，已知AB〃CD,ZAMP=150°,/PND=60。.试说明：MP±PN.

【类型】四、综合应用平行线的性质与判定求角

6.如图，N.1与N2互补，N3=135。，则N4的度数是（）

4.45°B.55°C.65°D.75°

7.如图，Nl=72。，/2=72。，/3=60。，求的度数.

技巧3：应用平行线的判定和性质的几种常用作辅助线的方法

【类型】一、加截线（连接两点或延长线段相交）

1.如图，AB〃EF,CDXEF,NBAC=50。，则/ACD=()

A.120°B.130°C.140°D.150°

【类型】二、过“拐点”作平行线

a.形图

2.如图，AB〃CD,P为AB,CD之间的一点，已知N2=28。，ZBPC=58°,求/I的度数.

从形图

3.(1)如图①，若AB〃DE,ZB=135°,ND=145。.求/BCD的度数.

(2)如图①，在AB〃DE的条件下，你能得出NB,ZBCD,ND之间的数量关系吗？请说明理由.

(3)如图②，AB〃EF,根据(2)中的猜想，直接写出NB+/C+ND+/E的度数.

AB

FE

②

c."弄”形图

4.如图，AB〃DE,则/BCD,ZB,ND有何关系？为什么？

5.如图，已知AB〃DE,ZBCD=30°,ZCDE=138°,求NABC的度数.

e.形图

6.(1)如图,AB//CD,若NB=130。，ZC=30°,求NBEC的度数；

(2)如图，AB〃CD,探究/B,ZC,NBEC三者之间有怎样的数量关系？试说明理由.

【类型】三、平行线间多折点角度问题探究

7.(1)在图①中，AB〃CD,则/E+NG与NB+NF+ND有何关系？

(2)在图②中，若AB〃CD,又能得到什么结论？

①②

【题型讲解】

【题型】一、线段的中点

例1、如图，已知AB=8cm,BD=3cm,C为AB的中点，则线段CD的长为cm.

I__________________।।_____________।

ACDB

【题型】二、角的计算

例2、如图，直线m〃n,直角三角板ABC的顶点A在直线m上，则/a的余角等于（）

A.19°B.38°C.42°D.52°

【题型】三、与角平分线有关的相关计算

例3、如图，AB//CD,ZEFD=64°,的角平分线EG交C。于点G,则NGEB的度数为（）

A.66°B.56°C.68°D.58°

【题型】四、余角与补角的相关计算

例4、如图，E是直线C4上一点，NEEA=40。，射线平分NCEF,GE±EF.则NG£fi=（

B

40°

A

E

A.10°B.20°C.30°D.40°

【题型】五、对顶角相等进行相关计算

例5、如图，AB和CD相交于点O,则下列结论正确的是（）

A.Z1=Z2B.N2=N3C.Z1>Z4+Z5D.Z2<Z5

【题型】六、邻补角相等求角的度数

例6、如图，直线A5,CD相交于点。，OELCD,垂足为点。.若N5O石=40。，则NAOC的度数

为（）

A.40°B.50°C.60°D.140°

【题型】七、平行线的判定

例7、如图，工人师傅用角尺画出工件边缘A8的垂线。和6,得到。〃6,理由是（）

A.连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短

B.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行

C.在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线

D.经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

【题型】八、平行线的应用

例8、如图，AB//CD,直线砂分别交A3,CD于点E,F,EG平分NBEF,若NEFG=64。，则NEG。

的大小是（）

C.122°D.112°

【题型】九、求平行线间的距离

例9、设AB,CD,EF是同一平面内三条互相平行的直线，己知AB与CD的距离是12cm,EF与CD的距

离是5cm，则AB与EF的距离等于cm.

图形的初步认识（达标训练）

一、单选题

1.如图所示，下列条件中能说明。〃匕的是（）

A.Z1=Z2B.Z3=Z4C.Z2+Z4=180°D.Zl+Z4=180°

2.如图，a//b,Zl=43°,则N2的度数是（）

C.47°D.43°

3.如图，若ABCD,CDEF,那么()

A3

F,

A.18O°-Z2+Z1B.18O°-Z1-Z2

C.N2=2/lD.Z1+Z2

4.如图，AB//CD,GH平分Zl=66°,则N2的度数为（）

5.如图，ABCD,ZCDE=140°,则NA的度数为（）

A.40°B.50°C.60°D.140°

6.将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则N1的度数为（）

二、填空题

7.如图，直线。〃6,则/I的度数为

a

b

DC

三、解答题

(1)如图1,E>8与ZE的关系是,并说明理由;

(2)如图2,写出与NE的关系，并说明理由；

(3)根据上述探究，请归纳得到一个真命题.

图形的初步认识(提升测评)

一、单选题

1.如图，直线/[〃右，等腰直角，ABC的两个顶点A、B分别落在直线4、4上，/ACB=90。，若/1=18。,

则Z2的度数是()

C

A

i

12

A.35°B.30°C.27°D.20°

2.如图，NABD为AABC的外角，BE平分ZABD,EB//AC,NA=65。，则/ESQ的度数为（）

A.50°B.65°C.115°D.130°

3.如图，AB//CD,EF交AB、CD于点E、F,FG平分NEFD,若/AE尸=70。，则/EG厂的度数为

4.将一副直角三角尺按如图所示放置（其中NGM=NG尸E=45。，ZH=60°,NEFH=30。）,满足点E在

A3上，点方在CD上，AB//CD,ZAEG=20°,则NH7力的大小是（）

A.70°B.40°C.35D.65°

5.如图，已知直线。，b,c,"中，cLa,cYb,直线b,c,d交于一点，若N2=36。，则N1等于（）

A.34°B.36°C.56°D.54°

二、填空题

6.己知4〃，2,一个含有30。角的三角尺按照如图所示的位置摆放，若4=65。，则N2=度.

7.如图所示，AB〃CD,点E在CO上，8£L£)凡垂足为3,已知/5即=34。，则乙期的度数为.

三、解答