山东省胶州市2025届高三年级下册二轮复习适应性训练3月数学检测试题（含答案）

山东省胶州市2025届高三下学期二轮复习适应性训练3月数学

检测试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.已知集合'IVI\则川1^-（）

A13,5,7,9}B.{MB}C.{l"1。}D.

{1,2,4,5,7,8,10}

【正确答案】B

【分析】根据集合的交集运算，即可求得答案.

A=卜1Vx<10j,5=*x=3左一1,左eN）

【详解】由于

故NC5={2,5,8},

故选：B

2.已知复数z=2一历，若z?为纯虚数，则6=（）

A.0B.±1C.土2D.±3

【正确答案】C

【分析】由复数的乘法运算结合复数概念即可求解；

z2=（2-bi）2=4-"4历

【详解］\,

因为Z?为纯虚数，所以4--=0,~4g0,

所以力=±2，

故选：C

3.已知数列，"}为等比数列，为=512,公比］一^,则数列S"}的前〃项积北最大时,

n=()

A.4B,5C,6D.7

【正确答案】B

512

【分析】根据条件得到"4"T,从而有时，%>1,〃26时，即可

求解.

1（1Y-1_512

a

n_S19__n=512--=-T

【详解】因为由一〉"，公比"=4,贝I]4,

所以当1W〃<5时，%>1；当〃26时，0<%<1,

又刀是数列｛""｝的前"项积，则当〃=5时，A取得最大值,

故选：B.

4.若函数/（x）=x"”（O,+。）的图象如图所示,则函数g（x）=log“x+log“（2-x）

的图象

【分析】根据给定的幕函数图象可得再变形函数g（x）并由函数值的特性得解.

【详解】由塞函数图象可得

函数g(x)=log/+log”(2—X)=log"(2x-X2)=log“［—(x-1)2+1］定义域为(o,2),

2

w0<-(x-l)+l<l；则g(x)20恒成立,BCD错误，A正确.

故选：A

5,已知非零向量B在向量石上的投影向量为5",同"2,则d-。)・。=()

A.-2B.2C.-1D.2

【正确答案】A

【分析】利用投影向量的意义及数量积的运算律求解即得.

1b-a-1-b-a1

_3一2a——a一2——।

【详解】由非零向量3在向量之上的投影向量为2,得2,贝日刈2,而同二2,

因止匕g.Q=2,所以(g_Q)•［二g.Q_Q-2-22=-2

故选：A

6.已知抛物线C：「=4x的焦点为尸，斜率为左的直线/与C交于两个不同的点48,且厂为

线段4B的一个三等分点，则左2=()

A.4B.8C.12D.16

【正确答案】B

—1—

【分析】设'(％，乂>'(々，外)，3,应用向量数量关系的坐标表示得到

x2+2xl

—1

<3

8+2%=0,再令乂=/,外=—2/有「=2,结合斜率的两点式求匕

【详解】设'(石‘%)''(乙，p2)，厂(1，0),不妨设F3B,

x2+2再

—i

13

（1一和一"）=］（》2—石，外—必），则卜2+2%=0,

,o,M=一,x»=t------=1=/=2

令必=/，%=—2/,所以4,则3,

^=J2-J1=-1=_4

x2-Xx3t2t

由4，所以*=8.

故选：B

£

7.已知函数/（x）=x（x—"）2的极大值为5,则。=（）

_3_223

A.2B.3c.3D.2

【正确答案】D

【分析】借助导数，判定函数单调性，再结合极大值为5,求。，验证即可.

【详解】解：由题意，"x）=x（x—4=/—2"2+八，

口|/'（1）=3%2—4QX+Q2=（3X_Q）（1_Q）

则’,

_a

令/'（x）=0,解得"-3或x=。，

当。＞0时，"X）在I',I3+°°）上满足/'（x）〉°,/GO单调递增，

a

在（3上满足/"）＜。,/㈤单调递减,

_a13

所以‘（X）在"3处取得极大值,ca=­

2,解得2

当。＜。时，"X）在Sa）,5+'上满足/，（力0,/。）单调递增,

在上满足/㈤单调递减，

f（x\/（Q）=Ow;

所以'I町在x=Q处取得极大值，2,不符合题意，

f2

当"0时，W=3x＞0；/（x）在R上单调递增，无极值，不符合题意，

3

d——

综上所述，2.

故选：D.

8.设圆。：。+『=2上两点4（再，%）,5（%2，%）满足必-%=芭-%2-4,则网=

A.1B.6c.2D.2&

【正确答案】D

［分析］设N«^cosa，J^sina)B(s/2cos)3,V2sin/?j得

J^sina-J^sin/=V2coscr—也c°s0-4,利用三角恒等变换可得

2sin||-2sin|/3--|--4

I4JI4J,结合三角函数值的有界性，可得

sin||=sinjp—生］=］

I4)I4J,进而计算可求解.

［详解］设玉=''^cosa,y1=J^sina,x?广J^cos£,乃=J^sin,cte［0,2兀),4e［0,2兀)

由必一力=演一々_4,

可得J5sina-J5sin万=J5cosa-J5cos万-4

J^sina-V2COS6Z一(V2sin/?-Jacos')=-4

即

2sin[a—：J—2sin(—j=-4

即

-l<sin|6T-—|<l,-l<sin|y^-—|<1

因为l4)r4j

所以l3r4j,

兀,兀7兀兀兀7兀

—4a—<—,—sp—<—

又444444

兀3兀兀兀

a———，p—二一

所以4242

所以川,-1),以-1,1),

所以|力同=皿+1)2+(—1-1)2=2/.

故选：D.

关键点点睛：关键在于利用三角代换，结合三角函数的有界性求解.

二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.为研究某种树的树高和胸径的关系，某人随机测量了10棵该品种树的胸径苫(单位：cm)和

树高M单位：m)的数据(2,)(z=l，2,••/())，已知其中一组数据为(38.4,23.7),且

10

Z%=291.6

,求得回归方程为V=°-25X+15,并绘制了如下残差图，贝U()

1.5「残差/m

1-

0.5■••••,

0------------1------------i------------1--------•~।------------1-------------1胸径/cm

_0515.20•2530.354045

-1-*

-1.5L

A.由残差图可判定树高与胸径的关系符合上述回归模型

B.该种树的平均树高约为22.29m

C.数据叱3）对应的残差为_0.9

D.删除一组数据084,23.7）后，重新求得的回归直线的斜率变小

【正确答案】ABC

【分析】对于A：分析残差图判断模型拟合程度，且集中在0附近，所以由残差图可判定树高与

胸径的关系符合上述回归模型，判定的即可；对于B：根据回归方程经过样本中心，代入计算即

可；对于C：运用残差概念，计算残差即可；对于D：分析删除一组数据对回归直线斜率的影响

即可.

【详解】解：对于A：分析残差图判断模型拟合程度，由残差图可知，残差分布比较均匀，且集

中在0附近，所以由残差图可判定树高与胸径的关系符合上述回归模型，选项A正确；

io1io7016

二291.6x=——=----=29.16

对于B：己知汩,则样本中心点的横坐标10-110,将

元=29.16代入回归方程U=0.25X+15,可得歹=0.25x29.16+15=7.29+15=22.29,所以

该种树的平均树高约为2229机，选项B正确；

对于C：计算数据（38423.7）对应的残差，当x=38.4时，

）=0.25x38.4+15=9.6+15=24.6,残差为y—y=23.7—24.6=—0.9,选项c正确;

对于D：分析删除一组数据对回归直线斜率的影响，删除数据（38423.7）后，因为38.4大于样

本中心点的横坐标2916,且23.7小于通过回归方程计算出的38.4对应的预测值24.6,所以删

除该点后，样本中心点向左下方移动，重新求得的回归直线的斜率变大，选项D错误.

故选：ABC.

10.已知函数/（x）=sinx（l-cosx））则（）

A.“X）的零点为汨MZ）

B.“X）在［一兀'可上的最大值与最小值之和为0

C.直线x=兀是/的图象的一条对称轴

D.0是函数，=货(X)的极小值点

【正确答案】BD

【分析】令可判断A；由/(")为奇函数可判断B；由对称性的性质计算

/(兀+*)”/(兀—x)可判断C；对>=求导，求出函数的单调性，由极小值点的定义可

判断D.

【详解】解：对于A,函数/(")的零点即=cosx)=0时*的值，

因为sinx。—cosx)=0,则$向=0或1一cosx=0,

当sinx=0时，x=kn,EwZ;

当l—cosx=0,即cosx=l时，x=2kn,左wZ,

所以/(x)的零点为左万，左eZ,A选项错误;

对于B,因为"r)=riMiosx)=-/(x),所以“X)为奇函数,

所以7GO在卜多万］上的最大值与最小值之和为0,B选项正确；

/(兀+x)=sin(7i+x)[l—cos(7i+x)]=-sinx(1+cosx)

对于C,

f(7i-x)=sin(7i-x)[l-cos(TC-x)]=sinx(1+cosx)

/Q—x),所以直线工=兀不是/(x)的图象的一条对称轴，c选项错误;

对于D,令g(x)=V(x)=xsiiw(l—cosx)

则g'(%)-(sinx+xcosx)(l-cosx)+xsin2x

xe(-|,0

2

当时，sinx+xcosx<0,xsinx<0,

所以g'(x)<0,g(x)单调递减,

又g(x)=^(x)为偶函数，所以〔万1时，g(x)单调递增,

所以0是函数片4(“)

的极小值点，D选项正确.

故选:BD.

22

「-匕=l（a〉O）

11.双曲线/3的左右焦点分别为"，N,°为坐标原点，点尸在双曲线上，且

△7W的内切圆圆心为"（U）,则（）

A.点〃在直线x=。上

71

NPMN>—

B.4

25

---71

C.△上必乂外接圆的面积为4

D,连结PH交x轴于点。，则户叫=2股1

【正确答案】ACD

【分析】根据题意，结合图像，利用双曲线焦点三角形的内切圆的特征，可求出。=1,得到双

曲线方程及焦点坐标，根据内切圆的性质可推理出△尸”N是直角三角形，并求得点尸坐标为

0，3）,再根据选项要求分别判断即可.

【详解】根据题意，设△》出的内切圆半径为厂，则外=1,设内切圆与边”乂的切点为A,

则有的,MN,'°，。），结合双曲线定义和内切圆的性质可得

24=归闾-|叫=||必-|叫|=2,即1,

2上—

所以双曲线的方程为"3,焦点MHQ，N（2,0）,

对于A,点“（1/）在直线x=a=l上，故A正确;

由题意，点尸在第一象限，设内切圆与边小的切点为8,连接HN,

易知HA=AN=HB=BN=l且HA：LAN,HB：LBN,

则四边形尸NNB是正方形，即有PNJ_〃N,易得点尸坐标为（2,3）.

对于B,在Rt△?中，"N=4,PN=3,根据勾股定理，

cosZPMN=->—ZPMN<-

PM=5,52,所以4,故B错误；

至兀

R=LpM=l

对于C,由已知条件可知，三角形外接圆半径22,所以圆面积为4，故c正确;

\PH\_\PB\_2

对于D,在旷尸”中，因为HB//QN,所以函忸N[7,则1PM=2阳，故口正确.

故ACD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.今有2只红球、3只黄球，同色球不加以区分，将这5只球排成一列，有种不同的方

法（用数字作答）.

【正确答案】10

【分析】由分步计数原理可分两步完成，第一步：在5个不同位置中选2个位置排红球，第二

步：在剩下的3个不同位置排黄球，再运算即可得解.

【详解】分两步完成，

第一步：在5个不同位置中选2个位置排红球，共以种排法，

第二步：在剩下的3个不同位置排黄球，共0；种排法，

故将这5只球排成一列，有0；&=10种不同的方法，

故10.

13.已知/⑺是｛刘K°｝上的奇函数，当x〉0时，/6）=欣，过原点O作两条互相垂直

的直线，其中一条与/（“）的图象相切于点A,C,另一条与/（“）的图象相交于点B,D,则四

边形ABCD的面积为

2e+i

【正确答案】

【分析】设切点坐标为（x°'11K°）,求导，则切线的斜率为飞,求出切线方程.代入（°,°）,

1

_y=—x_

可得%=e,从而得到两条直线方程分别为e,歹=一合.直曲联立，可得A,8,根据

是奇函数，得到c。.运用两点间距离公式得到得到四边形的面积.

【详解】解：设切点坐标为（"°』.°）,

因为x〉0时，"》）=叫所以‘（“七，

k——y—IHXQ——（x—）

则切线的斜率为后,则切线方程为天,

]_

代入（0,0）,可得X0=e,此时切线的斜率为e,另一条切线的斜率为-e,

_1

两条直线方程分别为"e",>可得交点坐标为（°，°）,

.1

联立L=1叫可得"卜,1）,联立["皿-x）,可得'1e,

因为"x）是&I"0｝上的奇函数，则

\AC\=^(e+e)2+22=2点+1,\BD\=+22=2

所以

-\AC\\BD\-x2yJe2+1

二四边形的面积为22

2e4,

故

14.勒洛四面体是以一个正四面体的四个顶点分别为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的

公共部分围成的几何体.如图，若构成勒洛四面体N8C。的正四面体N8CD的棱长为4,在该

“空心”勒洛四面体NBC。内放入一个正方体，使得此正方体能在该勒洛四面体内任意旋转，则

该正方体的棱长最大值是.

迪—2及

【正确答案】3

【分析】根据正方体的棱长最大时，其外接球为勒洛四面体的内切球，根据正方体的性质可求解

3,即可求解.

【详解】解：因为正方体可以在勒洛四面体内任意转动，

所以正方体的棱长最大时，其外接球为勒洛四面体的内切球，

记此时勒洛四面体的内切球半径为R,则正方体的外接球半径为R,

设正方体的棱长为a,

_2A/3D

则（2氏）~=/+〃+/,得a3

设正四面体棱长为m,则其外接球的直径为所在正方体（棱长为2的体对角线长,

V6

------TYI

因此可得正四面体外接球半径为4,

由对称性可知，勒洛四面体内切球的球心。为正四面体NBC。的外接球的球心,

连接B0并延长交勒洛四面体的曲面于点E,

则0E就是勒洛四面体内切球的半径,

易知正四面体Z5CD的外接球半径为4

故勒洛四面体的内切球半径为亚

故所求正方体棱长的最大值为333

故答案为：¥-2"

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

ab

15.在V48c中，记a,b,c分别为角A,B,C的对边.已知2cosZ3cos5

c=-

(1)若4,求taivl;

(2)若b=叵a,求C.

【正确答案】（1）tarU=2；

3乃

C二—

(2)4

【分析】（1）由正弦定理得，边角互化得到3taM=2tanB,算出tanC=l,得到

tan（/+8）=-1,运用和角正切计算出taM即可；（2）由余弦定理边角互化得到

c371

C二——

5a2-5b2=-c2,结合条件得到cosC,算出4

【小问1详解】

absiiMsinS

因为2cosZ3cos8,所以由正弦定理得，2cosZ3cos5,即3taM=2tan8,

因为°=所以tanC=l,即tan[兀-(Z+8)]=l,所以tan(/+3)=—1

即

taw4+taiiS.

1-tarUtan5

taib4=——

所以3tan24-5taiL4—2=0,解得taiM=2或3

tan/1——

因为3taM=2tanB,所以taiM,tanfi同为正数，所以3不符合题意，故tarU=2；

【小问2详解】

a_b

abb1^c1-a1.a2-^-c2-b2

---------=----------2x----------------3x----------------

因为2cosZ3cos8,所以由余弦定理得，2bclac

整理得，3(/+。2_〃)=202+°2_/),即“2_562=_02,

又因为'=行。，所以c=&a,所以由余弦定理得，

cosC=^±^〃+2〃-5〃

lab"26a22

C=—

又因为0＜。＜兀，所以4

16.如图，点。是以48为直径的半圆上的动点，已知45=5C=3,且4g,8C,平面

5co，平面

(1)证明：BDLBC；

(2)若线段NC上存在一点E满足酝=2瑞，当三棱锥C-N8D的体积取得最大值时，求平

面BED与平面AEB夹角的余弦值.

【正确答案】(1)证明见解析

V6

(2)6

【分析】(1)过点&作于〃，应用面面、线面垂直的性质有5〃1ND,再由线面垂

直的判定证明4D上面，最后应用线面垂直的判定和性质证明结论；

BD=AD=—

(2)根据已知确定三棱锥C—280的体积取得最大有2,过点。作

D°J.A8于°,建立合适的空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值.

【小问1详解】

过点8作Rf/,CD于

D

由平面BCD_L平面/CD,平面8CT>n平面NCD=CD,BHu平面BCD,

_L平面/CD,40u平面/C。，故BHJ.AD,又45为直径，易知RDL4D,

且u平面BCD,所以4D_L平面，8Cu平面8c。，

BC±AD;且NBLBC,ZD,ASu平面5/。，ADcAB=A,

8C_L平面AS。，BDu平面A8£),故BOLBC.

【小问2详解】

111,1,9

V,=-BCS,=-BD-AD<-(zBD2+AD2)=-AB2=-

由⑴知，cRn3Rn2八J44,

BD=AD=^-

当2时,JD取到最大值，过点。作Q°工48于。,

建立以。为原点，°。为x轴，04为了轴，过°点垂直于平面48。的方向为z轴,

设平面BED与平面/E8的法向量分别为々，〃2.

930,0，£0J，1

,D

2

—■—33

BDnx=—x+—=0

BD=|，=（021）

别屈BE•=2y+z=0

所以,则

令x=i,可得y=—1/=2

〃i=0，T，2）,因为平面的的法向量为〃2=（1，0,0）,

所以

COS0

则平面BED与平面AEB夹角的余弦值

17已知/(x)=xln(x—l)_ax(aeR)

（1）若/（X）在定义域上单调递增，求a的取值范围;

（2）若'=有极大值m,求证：m<-4.

【正确答案】（1）aW2

（2）证明见解析

f'（x\g（x）=ln（x-l）+-----a

【分析】（1）先求‘I人令/1,通过求导判断函数的单调性求解最

小值，结合题意列不等式即可求解;

（2）由⑴可知，当）'=/（"）一必有两个不同的零点时，。>2,由/‘（）。，贝产",

”=》2(1<玉<2<超)，判断/(x)的单调性，可得”=/(%)，通过求导即可证明.

【小问1详解】

函数/(x)=xln(x-1)一办的定义域为(1,+8),

ln(x-l)+———a

可得/〈)x-1

x

g(x)=ln(x-l)+------a

令x-1

g'(x)=-------y=~~2

所以xT(xT)(x-1)2

f

因为1<x<2时，g'O。,所以/'(x)单调递减，

x〉2时，g'(x)〉°,所以/,㈤

单调递增，

所以/(X)min=/'(2)=2-。

因为/(X)在定义域上单调递增，所以广(x)?0恒成立，

所以2—420,即a<2；

【小问2详解】

由(1)可知，当丁/(X)加有两个不同的零点时，a>2,

此时/(x)min=/'(2)=2-a<0

且Xf1时/'(x)f+",x->+8时

所以/'(x)=°,则X",尤=X2(1"<2<%)甘”@T)+受T="'=L2)

，央中勺

因为1〈XV国时，/(x)〉0,/(X)单调递增，

西<、气时，«)<°，小)单调递减，

…时，«)>°，"X)单调递增，

所以X/为/(X)的极大值点,贝产=/(%),

X：

/G)=X][ln(xi=XiIn(x；-1)-In(%j-1)-Xl

且LX]一]X]一]

r2则心-"。

设g（x）-7<2）

所以g（x）在0,2）单调递增，

所以g（x）<g（2）=—4,即加<—4

22

e=V[

C:—7+T=1(。〉6〉0)"2,过点尸（4,°）作直线/与椭圆。交于

18.已知椭圆ab"的离心率

48两点（A在B上方），当/的斜率为4时，点A恰与椭圆的上顶点重合.

（1）求椭圆C的标准方程;

（2）已知设直线儿〃，"2的斜率分别为勺，内,设AZMS的外接圆圆心为£,点

B关于x轴的对称点为0.

⑴求.+后2的值;

（ii）求证：MELPD.

2

%，2-

---by=1

【正确答案】（1）41

（2）（i）0；（ii）证明见解析

【分析】（1）根据条件求出椭圆上顶点坐标即可得到小的值，利用离心率可得椭圆标准方程.

（2）（i）联立直线/与椭圆方程，借助韦达定理可得占+%2的值.

（ii）根据外心为三角形三边垂直平分线的交点表示点E的坐标，计算直线腔的斜率，利用斜

率之积为T可证明结论.

【小问1详解】

当1的斜率为Z时，直线''4X+1,与了轴交点为（°」），故6=1,

cI.b2G

e=—=J1—-=—

2

.,.aVa2，一.〃=2，

•••椭圆C的标准方程为4’

【小问2详解】

⑴由题意得，直线/斜率存在且不为°,设直线/：》=吵+4，幺（21），8（//2）,

x-my+4

<X22_1

—~Z+y=1山上妨（m2+4V+8my+12=0

联立方程14消去x得：V）,

-8m12

...m+4加+4.

,%,必ZV-（必+了2）

—

.X]—1X21—1）（*2—1）

%%+%%—(%+%)=2叼防+3(%+%)=2机•一+3,—=0

m+4m+4

2孙必+3(必+72)_0

k[+k?

(%1-1)(X2-1)

（再+1%

（ii）解法一：：*—1,M4中点坐标为I22

••.M4垂直平分线方程为2%I2A

日+诉=1y=-hz^x+^-

由4得，M4垂直平分线方程为必与匕①.

x-13%；

y=---9——x+--

同理得，枚垂直平分线方程为%8V2②.

1+1=0再T+苫2T

由尢+左2=0可得左左2即M％

1

2%=一+---（1-%必）

①+②得：8必8y221乂％"2

yE

%%一工2凹-&2-％)_3

XEBl…)

由②-①得:2

弘=%

「直线幺5过点P（4，°）,即再-4X2-4

.产%-/凹=4（%-X）,故维=5（1+%必）

3(必+%)-8m

43(i2)3加2+4

yE_J1J2

；（必必T）

T2%歹2212

掰2+4

kkmX

kpD=一卜的PD-ME=-1

m，故儿化_LP0.

解法二：设圆E：x2+V+dx+纱+/=0,

/0，°）在圆E上，/+"+/=°

•••直线/与圆E交于48,

x2+y2+dx+ey+f=0

x=my+4得6?+1))2+(8m+〃m+e)y+16+4〃+/=0(

•••联立）,其中

必'为是方程（*）的两根.

由⑴可知如必是方程"+4"+8叼+12=0的两根,