山东省平度市2024-2025学年高三4月高考模拟检测（二）数学试题（含答案解析）

山东省平度市2024-2025学年高三4月高考模拟检测（二）数

学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合4={0,1,2},8=卜"3一2%<3},则（）

A.{0}B.{0,1}C.{0,1,2}D.{1,2}

2.若复数z满足iz=3—4i,则|z|=()

A.3B.9C.16D.5

3.一个圆台的母线长为5,上、下底面的半径分别为2,5,则圆台的体积为（）

A.6471B.56兀C.48兀D.52兀

4.若1,%知4成等差数列；1也也，&,4成等比数列,则与”等于

b2

A.--B.gC.±-

222

5.已知夕为锐角，且tanaan2=—l,贝！）6=（）

A.1B.--1C.2--D.71—2

22

6.5件产品中有2件次品，现逐一检查，直至能确定所有次品为止，则第四次检测结束的

概率为（）

A3「2厂3D-焉

A.—B.—C.一

1055

Q

7.在VABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若/+/=6?-1ac,且AB边上的高

3

等于一AB,贝|sinC=（）

2

A6屈R4#「3&「2下

A.----------D.---------U.--------D.----------

65272025

8.我们约定：若两个函数的极值点个数相同，并且图象从左到右看，极大值点和极小值点

1

分布的顺序相同，则称这两个函数的图象“相似”.已知/（x）=e“-+G—以9，则下列给

出的函数其图象与丁=/（力的图象“相似''的是（）

A.y=x2B.y=-x2C.y=x3-3xD.y=-x3+3x

二、多选题

9.已知一组数据1,3,5,7,9,其中位数为0,平均数为元，极差为"方差为S2.现从中删去

某一个数，得到一组新数据，其中位数为平均数为7,极差为，，方差为s'?,则下列

说法中正确的是（）

A.若删去3,则a<d

B.若删去9,则无

C.无论删去哪个数，均有62加

D.若丁=尤，，则$2<S，2

10.双曲线C：--y2=i的左右焦点分别为月、F”左右顶点分别为A、B,若尸是右支上一

点（与8点不重合），如图，过点P的直线/与双曲线C的左支交于点Q,与其两条渐近线分

别交于S、T两点，则下列结论中正确的是（）

B.尸到两条渐近线的距离之积为定值g

C.当直线/运动时，始终有|QS|=|7P|

D.△「耳耳内切圆的圆心/的横坐标为g

11.如图，已知正三棱台ABC-A与G的上、下底面边长分别为2和3,侧棱长为1,点尸

在侧面3C£A内运动（包含边界），且AP与平面BCG4所成角的正切值为灰，则（）

试卷第2页，共4页

A.CP长度的最小值为g-1

存在点尸，使得APJ_3c

存在点P,存在点Qe耳G，使得A尸〃AQ

D.所有满足条件的动线段AP形成的曲面面积为叵

3

12.记等差数列｛。“｝的前〃项和为S“，且q,+2S“S“T=0(w22),q=g,则3.

13.平面向量满足忖=1,%-@+归+©=4,则+的最小值为.

14.斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1,123,5,8,13,21,34,…，在数

学上，斐波那契数列以如下递推的方式定。。=1,%=1,«„=an_l+an_2(n>2,«eN*),已知

A=｛%2，…,他^^吕口人且台大。，则3中所有元素之和为奇数的概率为.

四、解答题

A

15.记VABC的内角内B,C所对的边分别为a,6,c,已知asinB=6cos彳.

⑴求A；

(2)若VABC的周长为20,a+6=3c,求VA5C的面积.

16.已知函数/(x)=xe*+asinx

(1)当。=0时，求证：")>尤+1;

⑵若/(尤)>0对X«0㈤恒成立,求a的取值范围.

17.如图，在斜三棱柱ABC-A瓦G中，V钻C为边长为3的正三角形，侧面B耳GC为正

方形，4在底面A3C内的射影为点。.

A\G

5）

B

（1）求证：OB=OC；

⑵若OA^OB^OC,求直线和平面34cle的距离.

18.抛物线C:1=4y,歹为C的焦点，过抛物线外一点N作抛物线C的两条切线，A,B

是切点.

⑴若点N的纵坐标为-2,求证：直线48恒过定点；

⑵若|A8|=2,求AABC面积的最大值；

（3）证明:|融|・|阳|=|加|2.

19.设“为正整数，集合4={<z|a=（q,%，…,%），同W1，，=L2,…，科，对于集合A“中2个

元素。=（占,孙…，%），£=（%，％，3，％），若玉+%+…+/+%+%+…+”=。，则称％尸具

有性质M.记5=玉+々+…+%，4=%+y.（i=L2,…⑶为网，园（i=1,2,…中的

最小值.

⑴当〃=3时，若。=（1,-0.9,1）,分=（0.1,—1,-0.2）,判断火尸是否具有性质如果是，求

出M（a,⑶；如果不是，说明理由；

⑵当场=3时，若£=（4,1,1）,万=（-1也。）具有性质河，求知（。,£）的最大值；

⑶给定不小于3的奇数〃，对于集合4中任意2个具有性质M的元素a,尸，求⑶的

最大值.

试卷第4页，共4页

《山东省平度市2024-2025学年高三4月高考模拟检测(二)数学试题》参考答案

题号12345678910

答案BDDACCDCACDBC

题号11

答案ACD

1.B

【分析】将集合A中的元素分别代入不等式，结合交集的概念可得结果.

【详解】将集合A中的元素分别代入不等式元3一2%<3,可得X=O、尤=1时符合要求，

&通={。,1}.

故选：B.

2.D

【分析】根据条件，利用复数的运算法则及模长的计算公式，即可求解.

【详解】因为iz=3—4i,所以z=\^=-4一3i,所以忖=,(_盯+(-3)2=5.

故选：D.

3.D

【分析】首先求出圆台的高，再由圆台的体积公式计算可得.

【详解】•.•圆台的高为//=,52-(5-2『=4,

二圆台的体积V=g兀(22+52+2x5)x4=5271.

故选：D

4.A

【分析】利用等差数列以及等比数列的性质求出等差数列的公差，等比数列的公比，然后计

算求解即可.

【详解】若1,ai,。2,4成等差数列，4=l+3d,d=l,

ai-〃2=-1.

又1,bl,岳，b3,4成等比数列，岳2=1X4,解得岳=2,历=-2舍去(等比数列奇数项的

符号相同).

.q-%1

**b2~~2

故答案为A.

【点睛】本题考查等比数列的通项公式，是基础的计算题，对于等比等差数列的小题，常

答案第1页，共19页

用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即

利用数列的基本性质.

5.C

【分析】根据同角三角函数的基本关系及两角差的余弦公式可得4-2=-由此可得答案.

【详解】由tanaan2=—1得，tan6=-——,即里些_=-3,

tan2cos夕sin2

cosqcos2+sinqsin2=0,即cos(q-2)=0,

由f。，：得，”2?|吟2,

'.q-2=-—,故6=2」.

22

故选：C.

6.C

【分析】总的检验方法数易求，恰好检验4次就停止，说明前三次中检验出一件次品，第4

次检验出第2件次品，或前三次中检验出一件次品，第4次检验出一件正品，分别求出方法

数后可得概率.

【详解】检验4次的方法总数为A：=120,

因为恰好检验4次就停止，

所以前三次中检验出一件次品，第4次检验出第2件次品，共C；C；A；=36种方法，

或前三次中检验出一件次品，第4次检验出一件正品，共C；C；A；=36种方法，

所以满足题意的概率为2=・1?=1.

故选：C.

7.D

【分析】首先根据余弦定理求cos8,再结合图形，通过所设边长，结合正弦定理，即可求

解.

+「2―〃243

【详解】由题意得cosB=P+£-=-+，sinB==.

lac55

设CDLAB,垂足为。，易知点。在AB的延长线上，如图所示，

答案第2页，共19页

c

不妨设5c=5,则CD=3,BD=4,贝AD=6,AC=^AEr+CD1=375>

ACAB2x3「

由'解鼠小我*

sinBsinC

故选：D

8.C

【分析】先利用导数求出函数/'(尤)的极值点，再逐一判断各个选项即可.

【详解】/'(x)=e，一ex+2尤一2,贝iJ/'(l)=O,

令广(力=0,贝E=(e-2)x+2,

如图，作出函数〉=巴丫=仁一2)x+2的图象,

由图可知函数y=e',y=(e—2)x+2的图象有两个交点，

即函数y=/'(x)有两个零点1,%,且％<0,

令r(x)>0,则X>1或无<%,令/(x)<0,则玛<X<1,

所以/(x)在％,(1,+⑹上单调递增，在(%,1)上单调递减，

所以/(尤)的极大值点为％,极小值点为1.

对于A,函数y=V在(-%,0)上单调递减，在(0,+力)单调递增，

所以函数有极小值点，无极大值点，故A选项不符；

对于B,函数y=-/在(-8,0)上单调递增，在(0,+8)单调递减,

答案第3页，共19页

所以函数有极大值点，无极小值点，故B选项不符;

对于C,y'=3x2—3,

当x<-l或x>l时，y'=3%2-3>0,当一1<X<1时，y=3f-3<0,

所以函数>=三-3x的极大值点为-1,极小值点为1,故C选项符合题意;

对于D,y=-%3+3x=-(x3-3%),

则函数》=-炉+3》的极小值点为-1,极大值点为1,故D选项不符.

故选：C.

9.ACD

【分析】根据中位数的定义可判断A选项，根据平均数的定义判断B选项，分类讨论去掉

的数据结合极差的定义判断C选项，先判断去掉的数据是什么，然后根据方差的定义判断

D.

【详解】A选项，若去掉3,根据中位数的定义,

a=5.a,=^-=6

满足a<。'，A选项正确;

2

B选项，若删去9,根据平均数的定义,

-1+3+5+7+9「-1+3+5+7

x——=5,x=---------=4,x>x'>B选项错误;

4

C选项，根据极差的定义，若去掉的数是3,5,7中的一个,

显然去掉前后极差都是9-1=8,满足6=加,

若去掉1,b'=9-3=6<b=8,若去掉9,少=7—1=6<6=8,

综上，b>b',C选项正确；

D选项，原数据平均数7=5,去掉一个数后平均数保持不变，即>=5，

则剩下的四个数之和为5x4=20,显然去掉的数只能是5,由方差的定义,

?=1[(1-5)2+(3-5)2+(5-5)2+(7-5)2+(9-5)2]=8,

S”=；[(1-5)2+(3-5)2+(7-5)2+(9-5)2]=10,

满足s2<s'2,D选项正确.

故选：ACD

10.BC

答案第4页，共19页

【分析】设尸（Xp，%）,计算直线BP,的斜率，比较斜率关系即可判断A；先确定渐近线，

分别计算距离求解即可判断B；设直线/：、=履+加，然后分别联立双曲线和渐近线方程计

算交点，利用弦长公式确定|QS|,17Pl关系即可判断C；设内切圆与x轴的切点为PFaPF]

与内切圆的切点分别为2E,利用切线长定理，再利用双曲线的定义，把|「耳|-|「局=2°=2,

转化为|期H肛I=2，从而求得点H的横坐标即可判断D.

【详解】双曲线C:Y-y1=1的片=1,廿=l,c2=a2+b2=2,所以。=1,6=l,c=A/2,

则双曲线渐近线方程为y=±x,设尸（乙,%）,则焉-第=1,且与＞1,

对于A,,则=1+—>1,而

xp-\Xp—1

\kBP\＞l,而所以|峪国晒|，则不存在尸使得3尸〃OT,故A不正确;

对于B,点尸（巧,孙）到两条渐近线的距离分别为&=任云」,&=阵昔।,

故“==L则P到两条渐近线的距离之积为定值;，故B正确；

'2V2xV222

对于C,设点s（Xs，ys），r（XT，yT），Q（q，yQ）,

显然直线/的斜率存在，设直线/：＞="+加，且左w±l,

y=kx+m

联立方程所以(l—k2)x2—2kmx—m2—1=0,

x2-y2=lf

所以/+々=言,

k—1

直线/：丁质+”分别与渐近线y=x与y=一联立得芍=晨,

mm2km

得/+%=----1------=---7，所以有xT+xs=xp+xQ,即xp-xT=xs-xQ,

l-k-1-k1-k2

由题可知|QS|=JI+左2ks—玉IJJP[=Ji+%2—%小,所以故c正确;

对于D,如图所示:

答案第5页，共19页

设内切圆与无轴的切点为H,p片,P&与内切圆的切点分别为，E,

由双曲线的定义可得|因|-|2同=2a=2,由圆的切线长定理知|尸〃|=|尸回，

故|班|—但阊=2,即|孙曰牲|=2,

设内切圆的圆心横坐标为了,则点H的横坐标为x,

故(x+c)—(c—x)=2。=2,解得x=1,故D错误.

故选：BC.

11.ACD

【分析】先将正三棱台侧棱延长补成正三棱锥，求出点A到平面的距离即可确定点尸

的运动轨迹，再逐项分析即可.

【详解】依题意，延长正三棱台侧棱相交于点0,取用G中点。，

BC中点E,连接的＞,OE,AE,则有。1=O8=OC,

所以OE的延长线必过点。且。E，片储,,

过点。作Z)F||GC,OG||瓦8,则四边形是边长为1的菱形.

如图所示：

答案第6页，共19页

_B.C,OCOC2OC,

在△0'C中’~BC~~OC~OCl+ClC）即0C[+]，

解得OG=2,所以OC=OG+GC=2+1=3,

所以AOBC为边长为3等边三角形，

所以〃庄="£>£=NOC3=m，0e=乎

所以£>石=。尸乂$也色=1><立=且，

322

因为VABC是边长为3的等边三角形且E为3c中点，

所以AE=^^,BC1AE,

在△OAE中，由余弦定理变形得，COSNOEA=QT运二处1_

2xOExAE3

在VADE中，由余弦定理变形得,

2

(3^3、

-AD-

江+@-4。2I2J

cosZDEA=

2xDExAE3

22

解得AD=迷，所以AE?=£>£?+AD?,所以AO_L/)E；

由3C，A£,BC，0E,AEc0E=E,可得平面AOE,

又">u平面AOE,所以3C_LAD,

由BC_LAD,AD±DE,BCC\DE=E,可得AD_L平面BCGB1,

因为4尸与平面BCGB所成角的正切值为瓜,

所以笠="，解得DP=LAP=y/AD2+DP2=76+1=77>

所以点P在平面BCC4的轨迹为GE用G，

对于A：当点P运动到DC与QF的交点时CP有最小值，

因为四边形。尸CQ是边长为1且/FDG的菱形，

所以DC=g,所以CP=OC—D尸=6一1,

故A选项正确；

答案第7页，共19页

对于B：要使得APL3C,则点尸必须落在

平面ADE与平面BCQBI的交线上且DP=1,

由图易知，在平面BCG片中不存在这样的点P,

故B选项错误；

对于C：当点尸运动到点尸时，连接A尸尸，OF交BG于点Q,

连接A。，由于平面AAG〃平面A5C,

所以AF//平面4瓦£,又AFu平面AFO,平面AFOc平面=4。，

所以所以存在点P,存在点Qe^G，使得AP〃A。，

故C选项正确；

对于D：设C者的长度为/，贝1"=|/阳弓冈£）尸|=三'1=］，

动线段AP形成的曲面展开为两个面积相等扇形，设其中一个的面积为S,

则有S=—xZxlAPl=—x—xV7=""，

211236

因此所有满足条件的动线段AP形成的曲面面积为2s=2x®=®，

63

故D选项正确；

故选：ACD.

【点睛】本题考查了线面角的相关性质与证明，先证明线垂直于平面是几何法中求线面角的

关键，线面垂直的证明，可先转化为线线垂直的问题，利用等腰三角形性质，勾股定理是证

明线线垂直常用的方法，要求考生平时多加练习总结，熟练掌握线面平行垂直、面面平行垂

直的判定定理及其相关性质定理是高考的基本要求.

12.±

2n

【分析】利用通项与前〃项和的关系，把等式转化为3的递推关系，利用等差数列公式即可

求解.

【详解】由4=Sn-S"T代入已知可得：

s〃-S〃-I+2S£T=0=>------^-+2=0=>-^--—=2,n>2

可得是公差为2的等差数列，因为所以"=2，

答案第8页，共19页

即4*=2+（W-1>2=2〃，

所以S“=；,

2n

故答案为：TT--

2n

13.女

3

【分析】根据向量不共线时，借助平行四边形，可得|Q4|+|O3|=4,进而利用余弦定理以及

基本不等式即可求解最值.

【详解】如图:当入B不共线时，取荏4,AD=b，则=网，辰同=|明,

故|工|+|丽|=4,故|侬+|。到=2,

在VA03中，=|OA|2+|OB|2-2|OA|-|OB|cosZAOB,

故1=(|OA|+1_210AH03卜2104|cosNAO2,

3-2OA-OB3

故cosZAOB=—।\~n~r-1,

2|OA|-OB\2|（9A|-|OB|

由于|C网+|O@=2,故|。4|+|。回22晒口两，故|。4||。3归1,当且仅当4Ho引=1时

取等号，

则3乙4。8=乖而河-12,,由于NAOBe（0,7r）,故/AC®的最大值为三，

由于的夹角为〈方瓦^即为/COB,

2兀

由于NCO2与1493互补，故NCOB的最小值为三，

当Z、B共线时，不妨设1=加々，则口一相@+忖+根4=4=>|1_根|+|1+同=4,可得加=±2,

当m=2时，此时（2-反Z+的夹角为卜'函，即为兀,

机=一2时，此时（£-瓦£+石）的夹角为卜Z,石），即为兀，

综上可知：（1瓦2+可的夹角的最小值为g

2兀

故答案为：y

答案第9页，共19页

【分析】记A中所有偶数组成的集合为C,所有奇数组成的集合为。，集合C的子集为E,

集合。中含有奇数个元素的子集为忆则所有元素之和为奇数的集合B可看成，然后可解.

【详解】由斐波那契数列规律可知，集合4=025｝中的元素有675个偶数，1350

个奇数，记A中所有偶数组成的集合为C,所有奇数组成的集合为D,集合C的子集为E,

集合。中含有奇数个元素的子集为F,则所有元素之和为奇数的集合8,可看成EuF,显

然集合E共有个2675，集合厂共有Cl。+C鼠+C鼠+…+C豌=21349个,

所以所有元素之和为奇数的集合B共有2675X2*49=2?。〃个,

又集合A的非空子集共有22025_1个,

22024

所以B中所有元素之和为奇数的概率为

22025-1,

22024

故答案为:

22025-1,

15.⑴方

(2)10A/3

【分析】(1)利用正弦定理将边化为角，再结合三角函数公式求出角A；

(2)先根据已知条件求出三边长度，再利用余弦定理求出儿的值，最后根据二角形面积公

式求出面积.

AA

【详解】(1)因为〃sin3=0cos—,由正弦定理可得2RsinAsin5=2Esin3cos—.

22

AAAA

因为0<5<兀，所以sin^wO,可得sinA=cos—,即2sin—cos—=cos—.

2222

AAAi

因为0<4<兀，所以cos—#0,得到2sin—=1,即sing=g.

/LNN

所以则人=日.

263

(2)因为a+b+c=20,又a+/?=3c,

所以c=5,〃+Z?=3x5=15.

由余弦定理得a2=b2+25-5bc,

答案第10页，共19页

又因为。=15-6,c=5,

i^(15-b)2=b2+25-5b,解得，=8.

贝|」。=15—8=7,所以bc=8x5=40.

所以S='x40xsin生='x40x卫=1。6・

16.(1)证明见解析

(2)ae[-1,+oo)

【分析】(1)由。=0,得/(x)=xe)构造函数g(x)=eJx-l(xRO),求解单调性，即可

证明；

(2)求导得/'(x)=(x+l)e*+acosx,令/z(x)=(x+l)e，+acosx，贝(jh\x)=(x+2)e*-asinx,

分类讨论可求得a的范围.

【详解】(1)由。=0,得/(x)=xe*.

要证这>x+l,只要证e;x-l>0.

X

令g(x)=e*-x-l(x*0),贝I]g'(x)=e'-1

当xe(f,0)时，g，(x)<。,贝ljg(x)单调递减，

当xe(0,+8)时，g'(x)>0,则g(x)单调递增，

所以g(x)>g(0)=0,则e，>x+L即&>x+1.

(2)由已矢口可得/'(%)=(x+l)e"+acos],

令%(%)=(%+l)ex+acosx,求导可得〃'(%)=(%+2)e"-asin%,

(1)当时,由无£(0,兀),得％e">0,asin%之0,因此满足题意.

⑵当a<0时，由％£(0,兀)，得//(%)>0,则/'(%)在(。,兀)上单调递增.

①当一lVa<0时，(x+2)e%>0,-«sinx>0,所以〃(x)>0,即"(九)在(0,兀)单调递增，

所以f(x)在(0,兀)单调递增,所以f(x)>/\0)=1+«>0,

则f(x)在(0,兀)上单调递增,所以/«>/(0)=0,满足题意.

②当av—l时,/\0)<0,八兀)>0,则存在唯一的％0£(0,万)，使得了'(%)=0,

且当工£(0,%)时，f\x)<0,/(x)在(O,xo)上单调递减，

答案第11页，共19页

所以〃x)</(0)=0,不满足题意.

综上：<2G[-l,+oo)

17.(1)证明过程见解析

⑵述

2

【分析】(1)分析得知要证O3=OC,只需证AB=AC,取用C],BC的中点分别为后歹，

故只需证明即可，而这又可以通过线面垂直的判定定理、性质定理证明；

(2)将问题转换为求点A到平面B4£C的距离，建立适当的空间直角坐标系，根据题意分

别求出步,3即可，其中7为平面8耳GC的法向量，进一步由公式1=匕口即可得解.

同

【详解】(1)

B

一方面：因为A在底面ABC内的射影为点。，而。民。Cu平面A3C,

所以AO_LOB，AO_LOC,

故要证03=0C,只需证AB=AC；

另一方面：取耳G，BC的中点分别为连接4瓦4£所，

因为VABC为边长为3的正三角形，所以也是边长为3的正三角形,

又点E是耳G的中点，

从而4E_L3iG，因为BC//4G,所以AE_LBC,

因为四边形2CC4为正方形，Bg,BC的中点分别为E,F,

所以

又因为A]E_L8C,EFd.BC,AlEr>EF=E,AE，EFu平面人后尸，

答案第12页，共19页

所以2C_L平面AEP，

因为4尸u平面4所，

所以

又点歹是BC的中点，

所以48=AC；

综上所述，OB=OC；

(2)一方面：注意到AV/831,84u平面BCCi%90平面2"1瓦,

所以胡〃平面BCC4，

要求直线M和平面BBCC的距离，只需求点A到平面BBC。的距离即可;

另一方面：^OA=OB=OC,则点。为三角形ABC的外心，从而A,。,厂三点共线,

过点。作OG〃3C交A8于点G,易知。GLO/，

因为AQ_L平面ABC,0G。尸u平面ABC,

所以AO,OG,AQ，OF,

从而OG,OF,O\两两互相垂直，

所以以点。为坐标原点，OG,OF,OA所在直线分别为X，y，Z轴建立如图所示的空间直角坐标

系,

由题意.H=|,AO=*=|¥3也)=乎等,

—BB[=BC=3,从而4。=yj—AO2=。9-3=V6,

0(0,0,0),A^0,—A/3,0j,B—,-^-,0,F0,-^-,0,C——,-^-,0,^0,0,V6j,

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0,孚,0,

AF=BC=(-3,0,0),B^=A^=(0,>/3,A/6),

I7

设平面2CC4的法向量为力=（%,%,Zo）,

[BC,n=-3x=0/i—\

则」厂n厂,故可取为=0,—行』，

[5片♦为=,3%+J6z0=0'

\—.I3y

所以点A到平面BBgC的距离为_产叫不3及；

一一而一〒

综上所述，直线AA,和平面BB&C的距离为述.

2

18.（1）证明见解析

*

（3）证明见解析

【分析】（1）利用导数分别求出直线N4和直线A®的方程，由直线N4和直线都过

N（%,%）即可求出直线的方程，再根据点N的纵坐标为-2,即可得到直线恒过定点;

（2）将直线A3的方程与抛物线的方程联立，利用弦长公式求出|相|,利用点到直线距离

公式求出&4BN的高，即可求出AABN面积的最大值.

（3）设直线方程为'=履+1,4（占,%）,8（々,%）,与抛物线方程联立，可得附_LA®,直线N4

的方程为＞=；%尤-%，进而可得直线N8的方程为丫=：马尤-%，求得N,进而可得

AFNA-AFNB,可得结论.

【详解】⑴设4（%,%）,3（孙％）,N&,%）,

由y=得/=-,则直线N4的方程为占（x-占），

422

即2（,_乂）=玉彳_4%,即百x=2（y+yj,

同理，直线NB的方程为％x=2（y+%）

又直线N4与直线N3都过N（%o，%）,

则占为=2（%+乂），x2x0=2（y0+y2）,

从而人石,乂）,以々，%）均在直线5=2（%+y）上,

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故直线48的方程为毛尤=2(%+y),又为=-2,

故直线AB的方程为2(y-2)=x(x0-0),

故直线43过定点(0,2)；

(2)联立｛:匚1y+得尤2-2日+4%=0,

A=4XQ-16%>0,则玉+%=2%,xrx2=4yo,

贝！J|+£|与一x?|=+£.jLfx?=J（x：+4）（x；-4%）=2，

于是,片一分。=乙，

忖-2%—2%I号4%]

又点N到直线AB的距离d=

Jx；+4J*+4

lii1XQ-4y041

所以S-ABN=势d=]X2x-7===F45（当X。=0时取等号）.

，龙。+4（尤0?+4）22

则AABN面积的最大值为;;

(3)由题意知直线斜率存在，且P(0,D.

设直线方程为y=kx+l,A（玉,y）,B（X2,%）,

I2-4y

由【X产"+1'得x-4=。，

对y」/求导，y=—x,

42

所以kNA.kNB=~X1'~X2=；X（—4）=-1,

:.NA±NBf

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直线NA的方程为y-弘-演)，

又丁1=工再2,.,.直线7^4的方程为>=5玉％—%，

同理可得直线NB的方程为y=^x2x-y2.

1

=-X-y

JX11x=2k

由,1，得所以N(2£—1),

y=T

y=-x2x-y2

当k=0时，|E4|二|m|=2,\FN\=2,所以|E4H⑵1=1尸N/；

-1-1

当左。0时，k-k=--—k=-l,.\FN.LAB,

FNAB2k

又*.・NA工NB,:.江NA〜,NB,

IFN\IFB\

所以两二两.所以阳刁山"

综上：|E4|-|FB|=|/W|2.

19.(l)a,6具有性质M,M(a,尸)=0.8；

⑵1；

【分析】(1)根据定义，计算%+毛+%+%+为+%=。，即可判断8万具有性质M;在分

别计算出同间，园，园,即可求得M(a,0；

(2)方法1：由已知得出a+b+c=—1,结合同41,同41,同41，得出

S=a+2>0,7]=G-l<0,7；=l+fo>0,7；=l+c>0,进而得出M(a,6)<1,并取

a=T,6=c=0验证⑶的最大值可以取到；方法2：用反证法假设"(外⑶>1,由已

知得出时41与题设矛盾，即可说明;

(3)由性质M可得无i+%+…+%+%+%+…+%=。，

S=x1+x2+…+x“=一(M+y2+…+y“)①，且7；+4+…+[=0②，①中不妨设S20,②中

不妨设(20(7=1,2,…,〃。,工＜0(?=m+l,m+2,...,/i),由对称性可以设

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tn>---—机)V---,得出(:w+l)Af(a,6)<S+(+<+...+(“，进而得出

(©'卜二一正仁二工方，再验证可以取到最大值即可.

F

【详解】(1)因为1一0.9+1+0.1-1—0.2=0,所以%〃具有性质M；

因为间=|1_0.9+1|=1.1