平行四边形 全章题型总结【5个知识点15个题型】解析版-2024-2025学年八年级数学下册（人教版）

平行四边形全章必考题型总结［5个知识点15个题型】

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【知识点1平行四边形的定义及其性质】

1.平行四边形的定义：两组对边分别隹的四边形叫做平行四边形。

2.平行四边形的性质：

性质1：平行四边形的对边平行且相等；

性质2：平行四边形的对角相等；

性质3：平行四边形的对角线互相平分.

另外，由平行四边形的性质可以得出三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且笠

王第三边的一半.

【拓展延伸】

(1)平行四边形是中心对称图形，对称中心就是两条对角线的交点；连接四边上任意一点和平行四边形的

对称中心，与另一条边相交于一点，则这两个点关于平行四边形的对称中心对称；并且这条线段将平行四

边形面积分成相等的两部分.

(2)平行四边形的每条对角线都将平行四边形分成两个全等的三角形.

(3)平行四边形被两条对角线分成的四个小三角形的面积相等，每个小三角形的面积都等于平行四边形面

积的四分之一；相邻两个三角形周长之差的绝对值等于平行四边形两邻边之差的绝对值.

【知识点2矩形的定义及其性质】

1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

2.矩形的性质：

性质1：矩形的四个内角都相等，且为90。.

性质2：矩形的两条对角线相等.

性质3：矩形是轴对称图形，对称轴是一组对边中点的连线所在的直线.

另外，由矩形的性质可以得出：(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；(2)矩形的对角线把矩

形分成四个小的等腰三角形.

【拓展延伸】

(1)矩形的性质可归结为三个方面.①边：矩形的对边平行且相等，邻边互相垂直.②角：矩形的四个角都

是直角.③对角线：矩形的对角线互相平分且相等.

(2)矩形的两条对称轴分别是两对对边中点连线所在的直线，对称轴的交点就是对角线的交点.

(3)矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，这四个三角形的面积相等.

【知识点3菱形的定义及其性质】

1.菱形的定义：有一组邻边相等平行四边形叫做菱形.

2.菱形的性质：

性质1：菱形的四条边相等.

性质2：菱形的对角线互相垂直平分.

性质3：菱形的对角线平分一组对角.

性质4：菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线.

另外，由菱形的性质可以得出：

(1)菱形的面积除了可以用平行四边形面积的求法外，还可用对角线乘积的一半来计算.

(2)菱形的对角线把菱形分成四个小的直角三角形.

【知识点4正方形的定义及其性质】

1.正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.

2.正方形的性质：

性质1：正方形的四个内角都相等，且都为90。，四条边都相等.

性质2：正方形的对角线互相垂直平分且相等，对角线平分一组对角.

性质3：正方形具有4条对称轴，两条对角线所在的直线和过两组对边中点的两条直线.

另外，由正方形的性质可以得出：

(1)正方形的对角线把正方形分成四个小的等腰直角三角形.

(2)正方形的面积是边长的平方，也可表示为对角线长平方的一半.

【题型1利用四边形的性质求角的度数】

【例1】如图，E、尸在平行四边形45CD的对角线4C上，AE=EF=CD,ZADF=90°,/BCD=66

A.33°B.23°C.22°D.18°

1

【分析】设/ADE=x,由直角三角形的性质得出DE=5,尸=AE=EF,从而/D4E=N4DE=x,DE=

CD,证出由得然后根据NBCZ)=66°,得出方程,

解方程即可.

【解答】解：设

•：AE=EF,ZADF=90°,

1

：・DE=-AF=AE=EF,

：./DAE=/ADE=x,

•：AE=EF=CD,

：.DE=CD,

：.ZDCE=/DEC=2x,

・・・四边形ABCD是平行四边形，

：.AD//BC,

AACB—NDAE=x,

VZBCD^66°,

.,.2x+x=66a,

解得：x=22°,

即乙4。£=22°.

故选：C.

【例2】如图，四边形/5CZ）是菱形，对角线ZC、3。相交于点。，过点。作。于点“，连接0”,

若NC/D=20°,则N5"。的度数是（）

【分析】先根据菱形的性质得8=08,AB//CD,BDLAC,则利用得到。H_LCQ,/DHB=

90°,所以OH为RtdDHB的斜边。5上的中线，得至!JOH=OD=OB,利用等腰三角形的性质得N1=N

DHO,然后利用等角的余角相等即可求出N5HO的度数.

【解答】解：如图，

：・OD=OB,AB〃CD,BDLAC,

■:DH工AB,

：.DH±CD,/DHB=9G°,

；・OH为RLDHB的斜边05上的中线,

：.OH=OD=OB,

:•/\=/DHO,

•；DH工CD,

AZ1+Z2=9O°,

•：BDL4C,

：.Z2+ZDCO=90°,

：.Z1=ZDCO,

：./DHO=/DCA,

・・•四边形48C。是菱形,

：.DA=DCf

：.ZCAD=ZDCA=20°,

AZDHO=20°,

:./BHO=90°-ZAHO=90°-20°=70°

故选：B.

【变式1］如图，。是矩形45CD对角线的交点，4E平分N氏4。，ZAEO=30°,则NCOS的度数为（）

【分析】延长EO交40于尸，过点尸作于X,连接先证明△04b和△OCE全等得。£=

11

OF=-EF,根据方H_L4£,ZAEO=30°得NEFH=60°,FH=~OEf由此可得△。归是等边三角形,

则FH=OH=OF=OE,进而得NOHE=N4EO=30°,再证明是等腰直角三角形得

1

进而得则N7£4O=NM24,再根据三角形的外角性质得NE4O=NHO4=万/。/加=15°,

然后再次利用三角形的外角性质即可求出NCOS的度数.

【解答】解：延长石O交力。于点凡过点/作可，/右于点H,连接OH,如图所示：

•・,四边形488是矩形,

：.OA=OC,AD//BC,ZBAD=90°,

：・NOAF=NOCE,

在△CM/和△OCE中,

Z.OAF=(OCE

/-AOF=(COE,

OA=OC

:.AOAFmAOCE(AAS)，

1

：.OE=OF=~EF,

•；FH_LAE,ZAEO=30°,

・••在RtAET之中，NEFH=60°,FH=1/2OE,

:・FH=OF=OE,

又,：/EFH=60°,

•••△。匹"是等边三角形，

：.FH=OH=OF=OE,

：.ZOHE=ZAEO=30°,

•：/BAD=90°,AE平分/BAD,

1

AZFAE=-ZBAD=45°,

■:FHLAE,

・・・^AHF是等腰直角三角形，

：.AH=FH,

：.AH=OH,

：.ZHAO=ZHOAf

•・・ZOHE是AHAO的外角，

・•・ZOHE=ZHAO+ZHOA,

11

：.ZHAO=ZHOA=~ZOHE=-x30°=15°,

•・・/COE是的外角，

ZCOE=AHAO+Z.AEO=15°+30°=45°.

故选：B.

【变式2】如图，在平行四边形45c。中，对角线ZC、8。相交于点。，点£、点厂分别是

OC,力5的中点，连接5£、FE,若NABE=42°,则N4环的度数为（）

BC

A.42°B.45°C.46°D.48°

【分析】根据平行四边形的性质推出08=8。，根据等腰三角形的性质求出根据直角三角形

的性质求出NR4£=48°,AF=EF,根据等腰三角形的性质即可得解.

【解答】解：・・•四边形4BCZ）是平行四边形，

1

：.OB=OD=-BDfAD=BC,

■:BD=2AD,

：・OB=BC,

・・,点E是OC的中点，

：.BELOC,

；・/ABE+NBAE=90°,

VZABE=42°,

・・・NA4E=48°,

丁点厂是48的中点，BELOC,

11

：.AF=~AB,EF=-AB,

:・AF=EF,

：.ZAEF=ZBAE=4S°,

故选：D.

【变式3】如图，在正方形45c。中，点E是4C上一点，过点£作斯，即交45于点尸，连接BE,DF,

若/ADF=oc,则的度数是（）

A.2aB.45°+aC.90°-2aD.3a

【分析】过点E作瓦于EN工AD于N,根据全等三角形的判定定理结合正方形的性质证得^

EMFQ丛END,AABE经AADE,得至"BE=DE=EF,根据等腰三角形的性质和平角的定义即可求出答

案.

【解答】解：过点£＞作圆门_48于M,EN1AD于N,

・・,四边形45CZ）是正方形,

AZBAD=90°,AB=AD,

・•・四边形4WEN是矩形，ZBAE=ZDAE=45°,

:・EM=EN,四边形4MEN是正方形，

:./MEN=90°,

VZDEF=9Q°,

・•・/MEF=NNED=90°-/FEN,

在AEMF和AEND中，

(Z.EMF=Z.END

]EM=EN,

IzMEF=Z.NED

:•丛EMF部丛END(ASA),

:.EF=ED,

：.ZEFD=ZEDF=45°,

ZADF=a,

：.ZAFD=90°-a,

；・/BFE=180°-Q/AFD+EFD)=180°-(90°-a+45°)=45°+a,

在△45£和440£1中，

(AB=AD

\ABAE=乙DAE,

UE=AE

：・LABE义LADE(SAS),

:・BE=DE,

:.BE=EF,

:./BFE=/EBF=45°+a,

:.NBEF=180°-Q/BFE+NEBF)=180°-2(45°+a)=90°-2a.

故选：C.

AND

【题型2利用四边形的性质求线段的长度】

【例1】如图，已知四边形/BCD和四边形CEFG均为正方形，且G是48的中点，连接/E,若/8=2,

则NE的长为（）

【分析】过点£作屈攸_1_/。交8c于点N,交/。于点则MN=4,再证明ABCGg△NEC,得出

NE=BC=4,再利用勾股定理即可解答.

【解答】解：过点E作交8C于点N,交/。于点河，则MN=2,

,/四边形/BCD和四边形CEFG均为正方形，

:.CG=CE,NB=9Q°=/CNE,NGCE=90°,

：.ZGCB=ZCEN,

:.△BCG"4NEC(ASA),

1

：.NE=BC=2,CN=BC=~AB=1,

；.Affi=4,AM=BN=l,

AE-V42+I2=V17,

故选：c.

【例2】如图，在菱形/BCD中，AB=5,AC=6,过点。作。EJ_R4,交8/的延长线于点£,则线段

的长为（）

E

121824

A.-B.-C.4D.—

【分析】由在菱形4BCZ）中，AB=5,AC=6,利用菱形的性质以及勾股定理，求得05的长，继而可求

得5。的长，然后由菱形的面积公式可求得线段的长.

【解答】解：如图.

•・,四边形45CD是菱形，AC=6f

1

：.ACLBD,OA=~AC=3,BD=2OB,

'：AB=5,

：.OB=y]AB2-0/2=4,

・"0=208=8,

1

YS菱形ABCD=4B・DE^AC・BD,

-ACBDix6x824

：.DE=------=------

AB5

故选：D.

【变式1】如图，在矩形45CQ中对角线4C与8。相交于点O,CE工BD,垂足为点E,CE=5,且£。

2DE,则AD的长为（）

11

【分析】由矩形的性质得到N/Z)C=90°,BD=AC,OD=~BD,OC=^AC,求得OC=OZ),设。E=

x,OE=2x,得到OD=OC=3x,AC=6x,根据勾股定理即可得到结论.

【解答】解：•・•四边形45C。是矩形，

11

AZADC=90°,BD=AC,OD=~BD,OC=~AC,

：.OC=OD,

•：EO=2DE,

・••设OE=2x,

J.OD=OC=3x,AC=6x,

■:CE2BD,

:.NDEC=/OEC=90°,

在Rt/XOCE中，

'：OE2+CE2=OC2,

：.(2x)2+52=(3X)2,

Vx>0,

：.DE=V5,4c=6后

:・CD=7DE2+CE2=[(而)2+52=同，

：.AD=VXC2-CD2=J(6V5)2-(V30)2=5V6,

故选：A.

【变式2】如图，口/BC。的对角线/C,AD相交于点O,的平分线与边N8相交于点P,E是PD

中点，若40=4,CD=6,则的长为()

A.1B.2C.3D.4

【分析】根据平行四边形的性质可得AB=CD,OD=OB,可得NCDP=N4PD,根据。尸平

分/ADC,可得NCDP=NADP,从而可得N4尸D,可得/。=4。=4,进一步可得尸8的长，

1

再根据三角形中位线定理可得△?=万尸5,即可求出E。的长.

【解答】解：在平行四边形45CZ）中，AB//DC,AB=CD,OD=OB,

；・NCDP=/APD,

・.・。尸平分N4DC,

：・NCDP=NADP,

：.ZADP=/APD,

・•・/尸=40=4,

♦：CD=6,

J.AB=6,

：.PB=AB-AP=6-4=2,

是尸。的中点，。是8。的中点，

:.E0是ADPB的中位线，

1

：.EO=~PB=\,

故选：A.

【变式3】如图，在边长为4的正方形/BCD中，点£是8c上一点，点尸是CD延长线上一点，连接

AF,NM平分交C。于点M.若BE=DF=1,则功0的长度为（）

A.2B.V5C.V6D.—

【分析】根据正方形的性质及三角形全等的判定及性质，证明/£=//；利用角平分线的定义及三角形

全等的判定及性质，证明瓦1/=门必设DN=x,将EM、MC和CE分别表示出来，在Rt/XMCE中根据

勾股定理列关于x的方程并求解即可.

【解答】解：・・•四边形是正方形，

：.AB=AD,NABE=NADF=90。,

在RtAABE和RtAADF中,

(AB=AD

\z-ABE=Z.ADF,

(BE=DF

：.RtA^^E^RtA^DF(&4S),

:.AE=AF；

•・7M平分NE/R

:.ZEAM=NFAM,

在和中，

(AE=AF

\z-EAM=Z.FAM,

UM=AM

:・AAEM咨AAFM(SAS),

：.EM=FM；

•・,四边形是正方形，

:・BC=CD=4,/BCD=90°,

设。M=x,贝ljMC=CD-。河=4-x,CE=BC-BE=4-1=3,EM=FM=FD+DM=1+x,

在RtZxMCE中，根据勾股定理，得EM2=MC2+CE2,即(1+x)2=(4-x)2+32,

12

解得x.

故选：D.

【题型3利用四边形的性质求面积】

【例1】如图，点尸是矩形4BCD的对角线NC上一点，过点尸作即〃2C,分别交48,CD于E、F,连

接依、PD.若NE=2,PF=6,则图中阴影部分的面积为（

A.10B.12C.16D.18

【分析】由矩形的性质可证明S"EB=S△尸尸D，即可求解.

【解答】解：作尸ML/。于交BC于N.

则有四边形/£尸河，四边形。EPM,四边形CEPN,四边形BEPN都是矩形，

:•SuDC=S“BC，S^4MP=SMEP，S»BE=S&PBN，S»FD=SAPDM，SAPFC=SAPCN，

,：MP=AE=2

1

:,S八DFP=S^PBE=5x2X6=6,

.•.5阴=6+6=12,

故选：B.

【例2】如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形/BCD中，AB=3,AC=2,则

【分析】先证四边形/BCD是菱形，由勾股定理可求2。，由菱形的面积公式可求解.

【解答】解：过点/作/ELCD于£,/FLBC于尸，连接NC,BD交于点、O,

•••两条纸条宽度相同,

：.AE=AF.

'JAB//CD,AD//BC,

四边形ABCD是平行四边形.

SnABCD=BC・AF=CD,AE.

又；AE=AF.

：.BC=CD,

四边形/BCD是菱形，

：.AO=CO=\,BO=DO,AC±BD,

:.BO=7AB2—A02=V9-1=2V2,

：.BD=4>/2,

四边形ABCD的面积=史|氾=4V2,

故选：A.

【变式1】如图，正方形45c。的边长是2,对角线4C、助相交于点。点E、尸分别在边4。、45上,

ROELOF,则四边形力歹。£的面积是（）

A.4B.2C.1D.-

【分析】证明△40E也/C4”）,得出△4OE的面积=b的面积，得出四边形4R9E的面积

11一

=：正方形ABCD的面积=7X22=1即可.

【解答】解：・・•四边形48。是正方形，

：.OA=OB,ZOAE=ZOBF=45°,ACLBD,

：.ZAOB=90°,

•；OE工OF,

：.ZEOF=90°,

：.ZAOE=ZBOF,

（Z-AOE=Z.BOF

在△4OE和△50月中，）。4=。8，

V/-0AE=Z.0BF

:•△AOE咨ABOF（ASA）,

・•・AAOE的面积=b的面积，

110

/.四边形AFOE的面积=£正方形ABCD的面积=-x22=l；

故选：C.

【变式2】如图，在正方形N5CD中，AB=3,点斯分别在CD,ND上，CE=DF,BE,CF相交于点

G.若图中阴影部分的面积与正方形/BCD的面积之比为2：3,则ABCG的周长为（）

【分析】根据阴影部分的面积与正方形/BCD的面积之比为2：3,得出阴影部分的面积为6,空白部分

的面积为3,进而依据ABCG的面积以及勾股定理，得出BG+CG的长，进而得出其周长.

【解答】解：•••阴影部分的面积与正方形/3CD的面积之比为2：3,

2

阴影部分的面积为§x9=6,

空白部分的面积为9-6=3,

由CE=DF,BC=CD,ZBCE=ZCDF=90°,可得△3CE四△C£＞尸，

13

.'.△BCG的面积与四边形。EGF的面积相等，均为］X3=万，

ZCBE=ZDCF,

VZDCF+ZBCG=90°,

AZCBG+ZBCG^90°,即NBGC=90°,

13

设8G=a,CG=b,则5ab=5,

又,.”+62=32,

.•.。2+2"+乂=9+6=15,

即（a+6）2=15,

：.a+b=V15,§PBG+CG=V15,

A5CG的周长=V15+3,

故选：D.

【变式3】如图，点£、尸分别是平行四边形N8CD边8C、CD上一点，连接/£、DE,连接/尸交于

点P,连接BF分别交AE、DE于点G、H,设ABGE的面积为当，APDF的面积为四边形CEHF

的面积为邑，若邑=4,$2=3,5,3=18,则阴影部分四边形/GAP的面积为（）

,一11

【分析】设40与8c之间的距禺为他，N8与CD之间的距离为“，贝！=•加，SAABF=~AB-

、1曰/

«，S口ABCD=4D"m=AB♦n，所以S"DE=S"BF='^口ABCD，则SAADE=S4口卢5&BCF，于是得S四边形/GHP+S

+=|-

/^ADPS^GEH•S'A^Z>P+3+18+5AG£7r4,求得S四边形4GHF=25,于是得到问题的答案.

【解答】解：•.•四边形/BCD是平行四边形，

：.AD//BC,AB//CD,

设/。与8C之间的距离为"?，4B与CZ>之间的距离为〃，

11

AB，n,

'■"SAADE=-AD-m,SAABF=2S口ABCD=4D・m=AB・n,

._1

..•限仞E=S"BF='^CJABCD>

._1

：•SAADE=SAADESABCF=《S口ABCD，

：SABGE=SI=4,S&PDF=S2=3,S四边形CEHF=S3=18,

S四边形/GHP+SA^OP+SaGEHuSAADP+S+lg+S4GETT+d,

•,•S四边形4GHP=25，

故选：D.

【题型4四边形的性质与折叠问题】

【例1】在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.有一张矩形纸片/BCD

如图所示，点N在边/。上.现将矩形沿8N折叠，点/对应的点记为点M,点加■恰好落在边DC

上.若48=10,BC=8,则图中DN的长为（）

DM

A.3B.3V2C.4D.5

【分析】由折叠的性质得到朋B=/3=10,MN=AN,由勾股定理求出MC=7MB2—BC2=6,得到

MD=CD-MC=4,令DN=x,由勾股定理得到(8-x)2^x2+42,求出x=3,得到DN=3.

【解答】解：由折叠的性质得到：MB=AB=10,MN=AN,

•..四边形是矩形，

：.ZC=ZD=9Q°,AD=BC=S,CD=AB=10,

：.MC=、MB2—BC2=6,

：.MD=CD-MC=4,

令DN=x,

：.MN=AN=S-x,

'：MN2=DN2+DM1,

(8-x)2=X2+42,

.'.x=3,

：.DN=3.

故选：A.

【例2】如图，在正方形48s中，E为边BC上一点,将△/NE沿/E折叠至△/9E处，B石与/C交于点

F,若NEFC=69°,则/。4£的大小为()

A_______________D

A.10B.12°C.14°D.15°

【分析】利用正方形的性质和轴对称的性质很容易求出NC/E的大小.

【解答】解：-：ZEFC=69°,N4CE=45

・・・NAE7=69+45=114°,

1

由折叠的性质可知：NBEA=3/BEF=57°,

・・・N54£=90-57=33°,

・・・NEZC=45-33=12°.

故选：B.

【变式1】如图，将矩形45C。对折，使45与CZ）边重合，得到折痕再将点4沿过点。的直线折叠

到MN上，对应点为H,折痕为48=10,BC=6,贝！JZ'N的长度为（）

A.10-3V3B.4C.10-2V3D.3

1

【分析】由折叠的性质得，AM=DM=~AD,ZDMA'=ZAMA'=90°,AD^A'D,由勾股定理求出

的长，再证四边形是矩形，即可求出HN的长.

1

【解答】解：由折叠的性质得，AM^DM=-AD,ZDMA^ZAMA^^0,AD=AD,

•・•四边形45cZ）是矩形，

：.AD=BC,ZA=ZB=90°,

•・,5C=6,

：.AD=6f

：.DM=3,

在中,由勾股定理得AM=-402-DM2=V62-32=3V3,

VZA=ZB=ZAMA'=90°,

・•・四边形是矩形，

:・MN=AB=10,

：.ArN=MN-A'M=10-3V3,

故选：A.

【变式2】如图，在边长为2的菱形中，N5=45。，将菱形折叠，使点8落在的延长线上的点

B'处，折痕为AB'交CD于点F,则尸5,的长为.

【分析】先证△/E8是等腰直角三角形，得出/A4E=45°,AE=BE,由勾股定理求出5£=鱼，再由

折叠的性质得2,E=BE=V2,NB=/B，=45°,ZB'AE=ZBAE=45°,然后证△2'厂C是等腰

直角三角形，得出尸8'=FC,求出gC=2V2-2,最后由勾股定理即可求出尸夕的长.

【解答】解：•••菱形N8C。的边长为2,

:.AB=BC=2,AB//CD,

:将菱形折叠，使点8落在3c的延长线上的点夕处，折痕为/E,

：.AE±BC,

VZB=45°,

：./\AEB是等腰直角三角形，

AZBAE=45°,AE=BE,

在Rt/\AEB中，由勾股定理得：AE2+BE2=AB2,

即28E2=22,

解得：BE=&（负值已舍去）,

由折叠的性质得：B'E=BE=V2,NB=NB'=45°,ZB1AE=NBAE=45°,

AABAB'=/B'AE+ZBAE=45°+45°=90°,

'JAB//CD,

：.ZB'FC=ZBAB'=90°,

:Z'尸C是等腰直角三角形，

：.FB'=FC,

B'C=BB'-BC=2BE-BC=2xV2-2=2^2-2,

由勾股定理得：FC2+FB'2=B'C2,

BP1FB'2=（2V2-2）2,

解得：FB'=2-V2（负值已舍去），

故答案为：2—

【变式3】如图，矩形/BCD中，BC=5,/8=6,点E为射线。C上一个动点，把沿直线/E折叠,

当点。对应点。'刚好落在线段N8的垂直平分线上时，的长为.

【分析】分两种情况讨论，由折叠的性质可得/O=/D'=5,AM=BM=3=DN,DE=D'E,由勾股定理

可求。M=4,再由勾股定理可求。£的长.

【解答】解：如图，若点E在线段CD上时，过点。作

四边形4D2W是矩形,

：.BC=AD=MN=5,AM=DN,

:把沿直线/E折叠，当点。对应点。刚好落在线段48的垂直平分线上时,

：.4D=4D'=5,AM=BM=3=DN,DE=D'E,

：.D'M=\/D'A2-AM2=725—9=4,

：.D'N=MN-D'M=l,

'：D'E1=EN1+D'N1,

：.DE2=(3-DE)2+l,

5

:.DE=—,

如图，点£在线段。C的延长线上，过点。作脑XLN8,

同理可求：D'M=4,DE=D'E,

：.D'N=4+5=9,

9：UE1=EN1+UN1,

：.DE2=(DE-3)2+81,

：・DE=15,

5

故答案为：15或引

【题型5三角形中位线定理的应用】

3

【例1】如图，△45。中，NBAD=/CAD,BE=CE,ADLBD,DE=3,AB=4,则4C的值为（

B

13

A.6B,7C.7D.8

【分析】延长交4c于R可证得之△ZFD,从而4月=/5=4,可证得DE是厂的中位线,

从而得出CF的值，进一步可得出结果.

【解答】解：如图，

延长8。，交4。于产,

U：ADLBD,

：.ZADB=ZADF=90°,

在△Z5Q和△4FD中,

Z.BAD=Z.FAD

AD=AD,

zADB=Z-ADF

：.AABD^AAFD(ASA),

:・BD=DF,AF=AB=4,

■:BE=CE,

:・CF=2DE=3,

・•・AC=AF+CF=4+3=7,

故答案为：C.

【例2】如图，。七是△/8C的中位线，N/8C的角平分线交DE于点RAB=8,BC=12,则跖的长为

()

A.1B.1.5C.2D.2.5

1

【分析】延长4尸交于凡由三角形中位线定理得到。石〃BC,DE=-BC=6,AF=FH,再证△5E4

学LBFH(AAS),得BH=4B=8,然后由三角形中位线定理得。9=4,求解即可.

【解答】解：连接4尸并延长交5C于如图所示：

•・•点。、E分别为边45、NC的中点，

1

J.DE//BC,DE=~BC=6,AF=FH,

在△瓦弘和△AF4中，

(Z.ABF=乙HBF

\^AFB=乙HFB,

VFA=FH

：.ABFA^ABFH(AAS),

:・BH=AB=8,

•；AD=DB,AF=FH,

：.DF是MBH的中位线，

1

：.DF=~BH=4,

:・EF=DE-DF=2,

故选：C.

解法二：

•「DE是△45C的中位线，AB=8,BC=12,

11

：.BD=^AB=A,DE//BC,DE=~BC=6,

：.NDFB=NCBF,

•/Bb是N48C的平分线，

ZDBF=/CBF,

：.ZDFB=/DBF,

:・DF=BD=4,

：.EF=DE-DF=6-4=2,

故选：C.

【变式1】如图，在△ZBC中，AE平分NBAC,。是5C的中点AB=5,AC=3,则Z)£的长为

()

35

A.1B.-C.2D.-

【分析】连接BE并延长交4c的延长线于点R易证明4/8/是等腰三角形，则得4月的长，点£是

5月的中点，求得W的长，从而DE是中位线，即可求得OE的长.

【解答】解：连接5E并延长交4C的延长线于点R如图，

AZAEB=ZAEF=90°,

平分N氏4C,

:./BAE=/FAE,

:.NABE=ZAFE,

月是等腰三角形，

・•・//=/8=5,点E是5厂的中点，

：.CF=AF-AC=5-3=2,。无是△BC厂的中位线，

1

：.DE=-CF=1.

故选：A.

【变式2］如图，已知在中，ZACB=90°,点。是4C延长线上的一点，AD=24,点、E是BC

上一点，BE=U),连接DE,M、N分别是N5、DE的中点，则〃N=.

【分析】连接取8。的中点R连接心、NF,证明NR分别是△5OE、△45。的中位线，由

11

三角形中位线定理得出NF〃5£,MF〃AD,NF=《BE=5,MF=《AD=12,证出7VF_L〃凡在RtZXMVF

中，由勾股定理即可得出答案.

【解答】解：连接8。，取8。的中点R连接〃/、NF,如图所示：

♦：M、N、厂分别是48、DE、5。的中点，

:.NF、MF分别是ABDE、△45。的中位线，

11

：.NF//BE,MF//AD,NF=-BE=5,MF=^AD=\2,

VZACB=90°,

C.ADLBC,

9：MF//AD,

：.MF±BCf

■:NF〃BE,

:.NF1MF,

在RtZU^VF中，由勾股定理得：MN=VNR2+MF2=7s2+⑵=13；

故答案为：13.

【变式3］如图，己知四边形/BCD中，ACLBD,NC=10,BD=12,点、E、尸分别是边2C的中点,

连接EF,则EF的长是.

【分析】取的中点G,连接EG、FG,根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求

出EG、FG,并求出EGLFG,然后利用勾股定理列式计算即可得解.

【解答】解：如图，取48的中点G,连接EG、FG,

■:E、尸分别是边C8的中点，

11

J.EG//BD且EG=~BD=~x12=6,

11

FG〃4c且/G=pC=5X10=5,

"JACLBD,

：.EGLFG,

：.EF=7EG2+FG2=V62+52=V61.

故答案为：V61.

【题型6直角三角形斜边中线的应用】

【例1】如图，在中，NA4c=90°,4B=4,CD是△/BC的中线，E是CD的中点，连接

BE,若AELBE,垂足为E,则AC的长为.

【分析】根据垂直定义可得//班=90°,利用直角三角形斜边上的中线性质可得DE=AD=-AB=2,

AE=DE=CE=2,从而得到CD=4,最后利用勾股定理进行计算即可解答.

【解答】解：,:AELBE,

:.NAEB=90°,

是△/BC的中线，AB=4,

：.DE是&4BE斜边上的中线，

1

：.DE=AD=pB=2,

VZDAC^90°,E是CD的中点，

:.AE=DE=CE=2,

；.CD=4,

由勾股定理得AC='CD2—AD2=V42-22=2V3.

故答案为：2遍.

【例2】如图，△NBC中NC=90°,48=10,/C=8,BC=6,线段DE的两个端点。、£分别在边/C,

8c上滑动，且。£=4,若点M、N分别是的中点，则儿W的最小值为.

11

【分析】根据三角形斜边中线的性质求得CN=yB=5,CM=~=2,由当C、M、N在同一直线上时,

MN取最小值，即可求得的最小值为3.

【解答】解：如图，连接CM、CN,

;DE=4,点、M、N分别是OE、的中点，

11

：.CN=~AB=5,CM=~DE=2,

当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，

的最小值为：5-2=3.

故答案为：3.

【变式1】如图，在四边形N5CD中，NABC=N4DC=9G°,E是对角线NC的中点，尸是对角线2D上

的动点，连接EF.若/C=6,BD=4,则斯的最小值为.

【分析】连接BE,DE,根据直角三角形斜边的中线的性质可得过点K作EF于点

F',可知8P的长度，根据勾股定理求出口'的长，即可确定即的最小值.

【解答】解：连接BE,DE,如图所示：

'：ZABC=ZADC=90°,E是对角线/C的中点，

11

：.BE=-AC,DE=-AC,

\'AC=6,

:.BE=DE=3,

过点E作EP于点P,

则点尸是线段3D的中点，

'：BD=4,

：.BF'=2,

根据勾股定理，得斯'=V32-22=V5,

线段斯的最小值为遥，

故答案为：V5.

【例2】如图，在正方形N3CD中，对角线NC与5。相交于点。，E为BC上一点、,CE=5,尸为DE的中

点.若△(7£尸的周长为18,则。尸的长为()

75

A.-B.-C.3D.4

【分析】利用三角形中位线定理求出5E即可解决问题.

【解答】解：,・•四边形ZBCD是正方形，

ZZ)CE=90°,OD=OB,

■:DF=FE,

:・CF=FE=FD,

VEC+£F+CF=18,EC=5,

AEF+FC=13,

：.DE=2CF=13,

：.DC='DE2一EC2=12,

：.BC=CD=\2,

：.BE=BC-EC=1,

•：OD=OB,DF=FE,

17

：.OF=-BE=-,

故选：A.

【例3】如图，四边形/BCD中，ZBAD=90°,/DCB=90°,E、尸分别是5。、/C的中点,

(1)请你猜测所与4。的位置关系，并给予证明；

(2)当4。=8,5。=10时，求斯的长.

【分析】(1)结论：EF±AC.利用直角三角形斜边中线以及等腰三角形的性质即可解决问题.

(2)在RtZ\£C/中，利用勾股定理即可解决问题.

【解答】解：(1)EFLAC.理由如下：

连接/石、CE,

VZBAD=90°,E为中点,

1

：.AE=~DB,

:/DCB=90°,

1

：.CE=~BD,

：.AE=CE,

:尸是NC中点，

J.EFLAC-,

(2)•；/C=8,BD=