思维提升：规则立体图形的体积-小升初数学思维拓展几何图形专项训练

专题8规则立体图形的体积

小升初数学思维拓展几何图形专项训练

（知识梳理+典题精讲+专项训练）

[7

知伊梳理

1、公式:

正方体：V=（a表示正方体的边长）

长方体：V=abh,（a表示长方体的长，b表示长方体的宽，h表示长方体的高）

圆柱：V=nr2h,（r表示底面半径，h表示圆柱的高）

圆锥：V=—nr2h,（r表示底面半径，h表示圆柱的高）

3

典颤精饼

【典例一】一个近似于圆锥的小麦堆，测得底面周长是25.12米，高是2.4米，每立方米小麦约重735千

克，这堆小麦大约有多少千克？（得数保留整数）

【分析】先利用圆的周长公式求出麦堆的底面半径，进而利用圆锥的体积丫='5/?,求出这堆麦子的体积，

3

再用这堆麦子的体积乘每立方米麦子的重量，就是这堆麦子的总重量.

【解答】解：半径：25,124-3.14-2=4（m）

体积：1X3.14X42X2.4

3

=3.14x16x0.8

=40.192（小）

重量：40.192x735-29541（千克）

答：这堆小麦大约有29541千克.

【点评】灵活应用圆锥的体积的计算方法，是解答本题的关键.

【典例二】李小明参加校“节约用水”环保小组，对学校一个滴水的水龙头滴水量进行测量.他用一个棱

长6分米的正方体水箱去接水，一昼夜正好接满，如果采用下面“L”形的容器接水，多长时间可以接满？

［分析］先求出“£”形的容器的容积：长40cm宽20cm高20cm的长方体体积+棱长20cm的正方体体积，

以及棱长6分米的正方体水箱的容积，然后用形的容器的容积除以长方体水箱的容积，再乘以24即

可求出需要多长时间可以接满.

【解答】解：(40x20x20+20x20x20)4-1000-(6x6x6)x24

=(16000+8000)+1000+216x24

=24000+1000+216x24

=24+216x24

=-x24

9

=-(小时)

3

答：9小时长时间可以接满.

3

【点评】本题主要考查了规则立体图形的体积，正方体和长方体的体积公式：正方体的体积=棱长X棱长

X棱长；长方体的体积=长、宽X高.

【典例三】如图，一个工具箱的下半部分是棱长为20厘米的正方体，上半部分是圆柱体的一半.这个工具

箱的体积是多少立方分米？

【分析】这个图形的体积等于正方体的体积和圆柱的体积的一半之和，利用正方体的体积公式和圆柱的体

积公式计算即可解答.

【解答】解：20X20X20+3.14X102X20X-

2

=8000+3140

=11140（立方厘米）

11140立方厘米=11.14立方分米.

答：这个工具箱的体积是11.14立方分米.

【点评】解答此题的关键是明确这个箱子的体积包括哪几个部分，再利用公式计算即可解答.

，项制秣।

选择题（共3小题）

1.如图是用1立方厘米的正方体摆成的，它的体积是（）立方厘米.

D.12

2.如图是由的小正方体搭成的，它的体积是（）cm3.

A.10B.90.6

3.一个长方体、一个圆柱和一个圆锥的底面积和体积分别相等，那么长方体和圆柱和圆锥的高之比是（

）

A.1:1:1B.1:1:2C.1:1:3D.1:2:3

二.填空题

4.用一张长24厘米，宽23厘米的长方形铁皮，焊接成一个没有盖子的盒子，则焊接的盒子容积最大是

立方厘米.（盒子的棱长均为整厘米数）

5.某拦河坝的体积是8640立方米，横截面面积是43.2平方米，这段拦河坝长米.

6.用体积为la/的小正方体摆成的图形如图，它的体积是cm3o

7.如图是用棱长1厘米的小正方体拼成的立体图形。这个立体图形的表面积是平方厘米，体积是

立方厘米。

8.一块实心圆柱形橡皮泥，底面积是12c力「，高是4.2cm。如果把它捏成底面积是IZa"的实心圆锥形，

高是cm;如果把它捏成高是4.2a〃的实心圆锥形，底面积是cm2»

9.有一个密封的容器，它是由一个圆柱的一个圆锥组成的.圆柱和圆锥等底等高，高都是9厘米，圆柱在

下，圆锥在上.容器内有一部分水，水的高度是4厘米，把容器倒过来，圆锥在下，圆柱在上，现在水面

的高度是厘米.

10.如图是由同样大小的小方块堆积起来的，已知每个小方块棱长是law,它的体积是立方厘米.

11.如果如图中每个小正方体的棱长都是1厘米，这个物体的体积是立方厘米，表面积是平方厘

米。

12.由棱长1厘米的小正方体搭成的立体图形（如图），它的表面积是平方厘米，体积是立方

厘米。

13.用若干个体积相同的小正方体堆积成一个大正方体，要使大正方体的所有对角线（正方体八个顶点中

距离最远的两个顶点的联机）穿过的小正方体都是黑色的，其余小正方体都是白色的，并且大正方体每条

边上有偶数个小正方体，当堆积完成后，白色正方体的体积占总体积的93.75%,那么一共用了个黑

色的小正方体.

14.一个长方体的前面和上面的面积之和是39平方厘米，它的长、宽、高都是质数，那么长方体的体积

是.

3

15.如图图形都是用la/的正方体搭成的。图①的体积是cm,图②的体积是cm"o

y

①②

三.计算题(共3小题)

16.按要求计算。

(1)计算下面圆柱的表面积。

单位：cm

(2)计算下面圆锥的体积。

17.如图中小正方体的棱长为1cm,计算立体图形的体积。

18.计算如图图形的表面积和体积.单位：厘米

5

四.解答题

19.如图是圆柱沿一平面切掉一块后的剩余部分，请计算它的体积.

18cm

20.一支没有用过的圆柱形铅笔，长18厘米，体积是9立方厘米，使用一段时间后变成了如图的样子，这

时铅笔的体积是多少立方厘米？

21.智强公司计划生产两种模型，都是圆柱体挖去一个等底等高的圆锥，尺寸如图（单位：厘米）.你认

为哪种模型的实际体积大，为什么？（万取3.14）

h-3

d=S

22.一个零件的横截面是梯形，上底L6c/n,下底2.4C〃7,0.8cm»这个零件横截面的面积是多少平方厘

米？

2.4cm

23.筑一段长2.5千米的拦河坝，它的横截面是一个上底6米、下底14米、高7.8米的梯形.筑这段拦

河坝要用土石多少立方米？

24.一个装满稻谷的粮囤，上面是圆锥，下面是圆柱.量得圆柱的底面周长是62.8根，鬲4”？，圆锥的高是

1.5,77.这个粮围能装稻谷多少立方米？如果每立方米稻谷重750千克，这个粮囤能装稻谷多少吨？（得数

保留一位小数）

25.如图的蒙古包由一个圆柱和一个圆锥组成.蒙古包所占的空间大约是多少立方米？

26.一条水渠的横截面是梯形，渠底宽为0.8米，当水深为0.5米时，水面宽为1.2米，水流速度是每秒

0.6米，这条水渠每分钟能流水多少立方米？

27.一个长方体水箱，从里面量底面长25厘米，宽20厘米，深30厘米，水箱里已盛有深为6厘米的水,

现在水箱里放入一个棱长为10厘米的立方体铁块，问水箱里的水面上升多少厘米？

参考答案

选择题（共3小题）

1.【分析】根据题干，这个几何体的体积就是这些小正方体的体积之和，棱长1厘米的正方体的体积是1

立方厘米，由此只要数出有几个小正方体就能求得这个几何体的体积.

【解答】解：这个几何体共有2层组成，

所以共有小正方体的个数为：8+2=10（个）

所以这个几何体的体积为：1x10=10（立方厘米）

答：它的体积是10立方厘米.

故选：B.

【点评】此题考查了观察几何体的方法的灵活应用；抓住这个几何体的体积等于这些小正方体的体积之和.

2.【分析】观察图形，先数出这个图形是由几个小正方体组成的，因为每个小正方体的体积是1立方厘

米，据此即可解答.

【解答】解:（6+3+l）xl

=10x1

=10（立方厘米）

答：它的体积是10立方厘米.

故选：A.

【点评】此题考查了不规则图形的体积的计算方法的灵活应用.

3.【答案】C

【分析】由题意可得等量关系：长方体的底面积X高=圆柱的底面积X高=圆锥的底面积X高X工，已知它

3

们的底面积相等，由此可求得圆柱的高等于长方体的高，圆柱的高是圆锥的高的工，圆锥的高是长方体高

3

的3倍，解答即可。

【解答】解：由题意得：长方体的底面积k高=圆柱的底面积、高=圆锥的底面积x高><工

3

已知它们的底面积相等，

所以，长方体的高=圆柱的高；圆柱的高=圆锥的高X」，即圆柱的高：圆锥的高=1:3

3

所以长方体和圆柱和圆锥的高之比是1：1：3。

故选：Co

【点评】此题是考查长方体、圆柱、圆锥的关系，在等底等体积的情况下，圆柱的高是圆锥高的工，长方

3

体的高等于圆柱体的高。

二.填空题

4.

【分析】设盒子的高为无厘米，则盒子的长、宽、高分别是(24-2x)厘米、(23-2x)厘米、x厘米；由此可

得这个盒子的容积丫=(24-2x)(23-2x)x,因为盒子的棱长均为整厘米数，所以x是正整数，所以x的取值

范围是：由此进行讨论即可得出X的最大值.

【解答】解：根据题干分析可得盒子的容积V=(24-2x)(23-2x)x,

因为x是正整数，又因为23—2x>0,

所以x的取值范围是：11>%>1,

当x=l时，V=(24-2)x(23-2)x1=462(立方厘米)；

当x=2时，V=(24-2x2)x(23-2x2)x2=760(立方厘米);

当x=3时，V=(24-2x3)x(23-2x3)x3=918(立方厘米);

当x=4时，V=(24-2x4)x(23-2x4)x4=960(立方厘米);

当x=5时，V=(24-2x5)x(23-2x5)x5=910(立方厘米)；

当x=6时，V=(24-2x6)x(23-2x6)x6=792(立方厘米);

当x=7时，V=(24-2x7)x(23-2x7)x7=630(立方厘米)；

当x=8时，V=(24-2x8)x(23-2x8)x8=448(立方厘米);

当x=9时，V=(24-2x9)x(23-2x9)x9=270(立方厘米)；

当x=10时，V=(24-2x10)x(23-2x10)x10=120(立方厘米)；

当尤=11时，V=(24-2x11)x(23-2x11)x11=22(立方厘米)；

由上述计算可知，x=4时，盒子的容积最大.

答：焊接的盒子容积最大是960立方厘米.

故答案为：960.

【点评】解答此题的关键是先利用x表示出这个盒子的长、宽、高，进而讨论x的取值范围，代人逐步得

解.

5.【分析】棱柱的体积=底面积x高，由此即可计算出这段拦河坝长多少米.

【解答】解：8640^43.2=200(米)，

答：这段拦河坝长200米.

故答案为：200.

【点评】此题考查了棱柱的体积公式的灵活应用.

6.【答案】6o

【分析】观察立体图形，数一数有多少个的小正方体，它的体积就是多少°加3。

【解答】解:lx（4+l+l）

=1x6

=6（cM）

即该立体图形的体积为6c4o

故答案为：60

【点评】注意数小正方体的个数要按顺序计数，不要遗漏。

7.【答案】96,64o

【分析】观察可知，这个立体图形的长是由4个小正方体拼成的，宽也是由4个小正方体拼成的，高也是

由4个小正方体拼成的，因此这个图形是一■个正方体。它是一■个棱长为（1x4）厘米的正方体，根据正方体

的体积=棱长x棱长x棱长，正方体的表面积=棱长x棱长x6,即可求得。

【解答】解：1x4=4（厘米）

4x4x6

=16x6

=96（平方厘米）

4x4x4

=16x4

=64（立方厘米）

答：这个立体图形的表面积是96平方厘米，体积是64立方厘米。

故答案为：96,64。

【点评】本题考查正方体的体积和表面积的计算。

8.【答案】12.6厘米，36平方厘米。

【分析】①根据题意可知，圆柱形橡皮泥捏成圆锥形后，体积不变，根据V=所以先求出橡皮泥的体

积，然后就能求出圆锥的高，根据"=Vx3-S;

②根据题意可知，圆柱形橡皮泥捏成圆锥形后，体积不变，根据y=s/?,可以先求出橡皮泥的体积，然后

根据“S=Vx3+/z”求出圆锥的高。

【解答】解:①橡皮泥体积:12x4.2=50.4（fW）

圆锥的高：50.4x3+12=12.6（。?!）

答：圆锥的高是12.6厘米。

②橡皮泥的体积：12x4.2=50.4（c«?）

圆锥的高：50.4x3+4.2=36（。?？）

答：圆锥的底面积是36厘米2。

故答案为：12.6厘米，36平方厘米。

【点评】此题主要考查圆柱的体积公式及有关圆锥体积公式的应用。

9.【分析】根据题意可知，水的体积是相等的，把容器倒过来后，原来装在圆柱中的水首先装入圆锥容器，

通过计算可知：在圆柱中高3厘米的水正好可以装满9厘米高的圆锥，剩余的水仍在圆柱中高1厘米，所

以,现在水柱鬲：9+1=10（厘米）.

【解答】解：根据圆锥和圆柱的体积的关系可知，底面积相等的情况下，

9厘米高的圆锥的体积和3厘米高的圆柱的体积相等，

所以，原来的容器倒过来后，水可以装满圆锥后，还剩1厘米在圆柱中.

所以，水的高度为：

9+1=10（厘米）

答：现在水面的高度为10厘米.

故答案为：10.

【点评】本题主要考查规则立体图形的体积，关键根据“底面积和体积都相等的圆柱和圆锥，圆柱的高是

圆锥高的3倍”，这一规律做题.

10.【分析】先数出小正方体的个数，再乘1个小正方体的体积即为所求立方体的体积.

【解答】解:（lxlxl）xl2

=1x12

=12（而）

答：它的体积是12立方厘米.

故答案为：12.

【点评】此题考查了规则立体图形的体积，数出小正方体的个数，是解答此题的关键.

11.【答案】14；42。

【分析】根据图示，数出该几何体是由14个小正方体拼成的；从前后两面各看到7个小正方形，从左右面

各看到6个小正方形；上面和下面各看到8个小正方形，计算其面积即可。

【解答】解：1x1x1x14=14（立方厘米）

lxlx（7+6+8）x2

=1x21x2

=42（平方厘米）

答：这个物体的体积是14立方厘米，表面积是42平方厘米。

故答案为：14；42o

【点评】本题主要考查规则图形的表面积和体积，利用正方体的表面积和体积公式计算即可。

12.【答案】24；70

【分析】（1）这个立体图形的表面积就是露出正方体的面的面积之和，从上面看有4个面；从下面看有4

个面；从前面看有4个面；从后面看有4个面；从左面看有4个面；从右面看有4个面.由此即可解决问

题；

（2）根据题干，这个立体图形的体积就是这些小正方体的体积之和，棱长1厘米的正方体的体积是1立

方厘米，由此只要数出有几个小正方体就能求得这个几何体的体积.

【解答】解：（1）图中几何体露出的面有：4x6=24（个）

所以这个几何体的表面积是：1x1x24=24（平方厘米）

（2）这个几何体共有2层组成，

所以共有小正方体的个数为：3+4=7（个）

所以这个几何体的体积为：lxlx7=7（立方厘米）

答：这个图形的表面积是24平方厘米，体积是7立方厘米。

故答案为：24；7O

【点评】此题考查了观察立体图形的方法的灵活应用；抓住这个立体图形的体积等于这些小正方体的体积

之和；立体图形的表面积是露出的小正方体的面的面积之和是解决此类问题的关键。

13.

【分析】黑色小正方体的体积占总体积的-1-,那么大正方体的每个面上都有4个黑色正方体，由此可以求

16

得大正方体每个面上的小正方体共有：44-—=64（个），则每条边上有8个小正方体；令小正方体的体积

16

为1,则大正方体的体积就是8x8x8=512,那么黑色小正方体就是：512x—=32（个）.

16

【解答】解：根据题干可得：

黑色的正方体占：1一93.75%=6.25%=2，

16

每个面上有：4+,=64个，所以每条棱长上就是8个，

16

令小正方体的体积为1,

则大正方体的体积就是8x8x8=512,

那么黑色小正方体就是：512x—=32（个）；

16

答：一共用了32个黑色的小正方体.

故答案为：32.

【点评】抓住黑色正方体的排列规律，得出大正方体的棱长，利用大正方体的体积与黑色小正方体的体积

的百分比，即可解决问题.

14.

【分析】可以分别设出长方体的长、宽和高，根据前面长和高的乘，上面是长和宽的积，可以得到有个共

同的因数：长，再根据长、宽、高都是质数和前面、上面之和是39平方厘米，就可以推出长是多少来，最

后根据宽和高是质数，就可以算出长方体的体积了.

【解答】解：设长方形的长、宽、高分别为。、b、c;

则根据题义可得：ab+ac-39

即：。（6+c）=39;

39可被3整除，所以a=3;

贝4/+c=13;

因为6和c也是质数，只能是6=2,c=ll或者6=11,c=2;

所以长方体的体积：V=abc

=3x2x11

=66（立方厘米）；

故填：66立方厘米.

【点评】此题考查了长方体各个侧面积的求法、合数分解质因数和求长方体的体积.

15.【答案】18；8o

【分析】先求出两个图形是由多少个正方体构成的，再分别用个数乘一个正方体的体积即可求解。

【解答】解：图①的体积：18xl=18（cM）

图②的体积：8xl=8（cw3）

答：图①的体积是18c,图②的体积是8c/。

故答案为：18；80

【点评】弄清每个立体图形是由多少个小正方体组成的是关键。

三.计算题（共3小题）

16.【答案】169.56平方厘米，37.68立方厘米。

【分析】（1）根据圆柱的表面积公式黑=2万户+2万泌，代入数据计算即可解答问题。

（2）根据圆锥的体积丫=」乃内2解答即可。

3

【解答】解：（1）6+2=3（厘米）

3.14X32X2+3.14X6X6

=56.52+113.04

=169.56（平方厘米）

答：圆柱的表面积为169.56平方厘米。

（2）-X3.14X22X9

3

=-x3.14x4x9

3

=37.68（立方厘米）

答：这个圆锥的体积是37.68立方厘米.

【点评】此题主要考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。

17.【答案】10立方厘米。

【分析】立体图形的体积等于图中（7+3）个小正方体的体积之和，根据正方体的体积=棱长x棱长x棱长，

代入数据求解即可。

【解答】解：小正方体共有：7+3=10（个）

小正方体体积是：lxlxl=l（立方厘米）

立体图形体积：1x1x10=10（立方厘米）

答：立体图形的体积是10立方厘米。

【点评】解决本题的关键是能先按照一定的顺序数出图中小正方体的个数，再根据正方体体积公式求出小

正方体的体积。

18.【答案】图图形的表面积为358平方厘米；体积为408立方厘米。

【分析】体积：由两个长方体的体积构成，分别计算，7x5x8=280（立方厘米），4x4x8=128（立方

厘米），总体积为280+128=408（立方厘米）；表面积：由11个面的面积之和构成。

7x5x2+7x8x2+5x8x2+4x4x2+4x8x2

=70+112+80+32+64

=358（平方厘米）

【解答】解：体积：7x5x8=280（立方厘米）

4x4x8=128（立方厘米）

280+128=408（立方厘米）

表面积：

7x5x2+7x8x2+5x8x2+4x4x2+4x8x2

=70+112+80+32+64

=358（平方厘米）

答：如图图形的表面积为358平方厘米；体积为408立方厘米。

【点评】考查组合立体图形的体积和表面积。分别计算简单几何体积，然后相加求体积。求表面积时需要

先确定要求哪些面，然后分别计算即可。

四.解答题

19.

【分析】观察图形可知，这个立体图形的体积等于底面直径为8厘米，高18厘米的圆柱体的体积与底面

直径8厘米，高为22-18=4厘米的半圆柱的体积，据此利用圆柱的体积公式计算即可解答.

【解答】解：3.14x(8+2)2x18+3.14x(8+2)2x(22-18)+2

=3.14x16x18+3.14x16x44-2

=904.32+100.48

=1004.8(立方厘米)

答：这个立体图形的体积是1004.8立方厘米.

【点评】此题考查不规则图形的体积的计算方法，此题关键是明确右边部分的半圆柱的体积.

20,【分析】根据圆柱的体积公式可得，这个铅笔的底面积是9+18=0.5平方厘米，即得出图中剩下的铅

笔的底面积是0.5平方厘米，据此再利用圆柱与圆锥的体积公式求出剩下的体积即可.

【解答】解：9+18=0.5(平方厘米)

0.5x8+0.5x3x-

3

=4+0.5

=4.5(立方厘米)

答：此时铅笔的体积是4.5立方厘米.

【点评】此题考查了圆柱与圆锥的体积公式的计算应用，剩下的铅笔的体积等于图中圆柱与圆锥的体积之

和.

21.【分析】要想知道哪种模型的实际体积大，先分别求出两种圆柱的体积，然后再分别减去挖去的圆锥

的体积，然后比较即可.

【解答】解：3,14x(6-2)2xl0-1x3.14x(6-2)2xlO

,1

=3.14X(6H-2)2X10X(1--)

=3.14x9xl0x—

3

=188.4(立方厘米)；

3.14X(8+2)2X5-1X3,14X(8-2)2X5

91

=3.14X（8^2）2X5X（1--）

=3.14x16x5」

3

®167.5（立方厘米）.

188.4立方厘米＞167.5立方厘米.

答：第一种模型的实际体积大.

【点评】此题考查了运用圆柱体与圆锥体的体积公式解决实际问题的能力.

22.【答案】1.6平方厘米。

【分析】由题意可知这个零件的横截面是梯形，于是可以利用梯形的面积公式：梯形的面积=（上底+下

底）x高+2求解；将已知上底、下底和高的长度代入上式，利用小数混合运算的方法进行计算即可。

【解答】解：（1.6+2.4）x0.8-2

=4x0.8:2

=1.6（平方厘米）

答：这个零件的横截面的面积是1.6平方厘米。

【点评】本题主要考查了横截面面积的计算，需明确横截面的形状以及相关面积计算公式。

23.【分析】先求出横截面的面积，横截面的面积乘拦河坝的长度就是这个拦河坝的体积，