一线三等角模型（含答案）-2025年中考数学几何模型方法巩固练习

第8讲一线三等角模型

模块1本质原理

1.概念

由三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形(可以是直角、锐角或钝角)，称此模型为一线三等角模型.

2.常见图形演变

同侧型:如图8.1所示，已知NB=/ACE=ND.

图8.1

异侧型:如图8.2所示，已知NACE=NABD=/EDF.

图8.2

3.模型的性质

⑴在上面的6个图中均可得到△ABC△CDE.

(2)在图8.1中，当点C为BD的中点时,△ABC^ACDE^AACE.

简证:因为△ABCs/XCDE,所以箸=笫又BC=CD,则箓=笫即震=祭

因为NB=NACE,所以△ABCs/\ACE,即可得证.

思考若△ABCs^CDEs/\ACE,点C是BD的中点吗?

⑶如图8.3所示，当AD=AE,Z.B1C=90°+时，有△BDIS^IEC.证明如下：

设/ADE=/AED=a厕ZBDI=ZCEI=180°-a,ZA=180°-2a,ZBIC=180°-a,此时ZBDI=ZCEI=ZBIC=180°-a,易

证4BDI^AIEC.

特别地，因为乙BIC=90。+04所以点I与B,C,AABC的内心(O)四点共圆(图8.4).

实例剖析

如图8.5所示,△ABC为等腰直角三角形,/BAC=9（F,AB=AC,BD:CD=1:2,/BEC=135。,则啜=_.

ED

【答案】I

【分析】如图8.6所示，过点E作PQ〃BC,分别交AB,AC于点P,Q.

图8.5图8.6

因为/BPE=NBEC=NEQC=135。,易证△BPEs.QC,所以—=—.

QCQE

①

易证”=丝.

BDDC

因为BD:CD=1:2,所以

EQ=2PE=2a.②

又

BP=QC,③

由式①~式③可得.=V2a.

又Ap="=双红则竺=竺=三

乂V22,AJEDBP2

（4）一线三等角模型一般分为两种模型：全等形和相似形.

全等形的本质原理是证明“AA+S”型的全等三角形，然后再转移边和角；

相似形的本质原理是证明“AA”型的相似三角形，然后再转移边和角.

4.模型的构造

构造一线三等角的步骤：找角、定比、构相似（图8.7）.

找角（a一般为特殊角）定比(AC:BC=m：n)构相似(△ACD<^/\CBE)

图8.7

实例剖析

如图8.8所示，直线y=-x+m分别交x轴、y轴于A,B两点已知点C（2,0）,设点P为线段OB的中点，连接PA,PC,

若NCPA=NABO很!Jm=.

【答案】12.

【分析】

解法1构造一线三个45。.

1,

2m+92_2V2

作OD=OC=2,连接CD厕/PDC=45。,如图8.9所示则APCDs^APB.所以需=等，即…短”解得

m=12.

解法2构造三垂直.

如图8.10所示,作CUPC,交AP于点L作IHLx轴，则△POC04CHI,所以P0=CH=p0C=IH=2,易得△

AIHs^APO,所以察=累，艮①二=，解得m=12.

AOPOm-m

如图8.11所示作PD〃x轴,DKLx轴，交AP于点L,则.=案=1,所以DL=LK=:则CL=r+2,CK=

LKPO44

7-2.在△CKL中，则有得-2）2+=©+2）［解得m=12.",

解法4利用辅助圆.

如图8.12所示作等腰R3ACQ,NAPC=AQC=45。,所以A,C,P,Q四点共圆，则Q（m，m-2）,P（0，£）,N

（等，等）.因为NP=NQ,所以（等-OY+（等-疗=（詈）【解得m=12.

先构造RtABCD,再利用三垂直相似.

也可以这样构造（如下图）：

6.利用三垂直模型证明“12345模型”

12345模型：a+0=45。,tana=gtan"=这三个条件知二推一，因含有数字“12345”,故叫作12345模型.

证明如下：如图8.13所示网格，每个正方形的边长均为1,线段AB,AC的端点均在格点上，此时tana=

tan0=*连接BC,利用三垂直和全等易证4ABC为等腰直角三角形，此时/BAC=45。.

图8.13

实例剖析1

如图8.14所示，网格是正方形网格，则NPAB+NPBA=(点A,B.P是网格线交点).

【答案】45°.

【分析】tan/PAB=1,tanZPBX=最贝!]NPAB+NPBA=45。.

实例剖析2

如图8.15所示在正方形ABCD中,AB=6,G是BC的中点.将△ABG沿AG对折至△AFG,延长GF交DC于

点E,则DE=.

【答案】2.

【分析】如图8.16所示，连接AE.因为AE=AE,AF=AD,所以RtAAFE之RtAADE(HL),则EF=DE,因此a+B=45。.

又tana="='则tan.=筹=抑DE=2.

图8.15

模块2场景演练

模型的识别

1.如图8.17所示，在△2BC中，AB=4C,点D,E分别在边BC,AC上，BD=CE,AADE=NB.求证：/.CAD

=^ADC.

图8.17

2.如图8.18所示，在正方形ABCD中，AB=4,,点E是DC延长线上一点，连接BE,过点E作EF团BE与A

D的延长线交于点F若CE=2,贝JCE=2,DF=

图8.18

3如图8.19所示，将等边△力折叠，使得点C落在AB边上的点D处，折痕为EF,点E,F分别在AC

和BC边上.若AC=8,AD=2,则△4E0的周长为

图8.19

4.如图8.20所示点E是矩形ABCD中DC边上一点，将△BCE沿BE折叠得到△BFE,点C的对应点F

恰好落在AD上.若smZ-DFE=|,则tan/EBC=

图8.20

5.如图8.21所示在△力BC中，AB="，点D,E,F分别在边AB,BC,AC上，乙DEF=4B,当点E是BC的

中点时，求证:EF平分乙DFC.

图8.21

模型的构造：全等形

类型1:已知直角，构造三垂直模型

6.如图8.22所示，直线4眄伍，一等腰RM4BC的三个顶点A,B,C分别在.%%上,AC交%于点D,

乙4cB=90。.已知h与%的距离为2,%与。的距离为6,贝（1BD=_.

图8.22

7.如图8.23所示，在等腰Rt△04B中，N04B=90。,顶点O为坐标原点，顶点A,B在某反比例函数的图

像上，点A的横坐标为2,则SA04B

8.如图8.24所示,正方形ABCD的边长为5,点A的坐标为（4,0）,点B在y轴上若反比例函数y=（k中0）

的图像过点C,则k的值为.

9如图8.25所示，反比例函数为=?（幻0）的图像与反比例函数=频幻0）的图像关于x轴对称.若有一等

腰Rt△OAB,^OBA=90。,顶点O为坐标原点点A在.y1图像上点B在.力图像上，其中点A的横坐标为4,

则点B的横坐标为.

10.如图8.26所示,正方形4声止止2的顶点Pi，P2在反比例函数y=式幻。）的图像上，顶点分别在x轴

和y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形2P2P3,顶点4在x轴的正半轴上，则点.P3的坐标为

类型2:利用45。,构造三垂直模型

11.如图8.27所示,已知点A(2,3)和点B(0,2),点A在反比例函数y=:的图像上，作射线AB,再将射线AB

绕点A按逆时针方向旋转45。,交反比例函数图像于点C,则点C的坐标为

2x-1的图像分别交x,y轴于点A,B,将直线AB绕点B旋转45°,

交x轴于点C,则直线BC的函数表达式是.

13.如图8.28所示，在Rt△ABC中，zC=90°,AC=6,BC=8,点D在AC上，点E在BC上，CD=2,,分别

连接BD,AE交于点F.若乙BFE=45°,则CE=_.

图8.28

类型3：利用60。,构造一线三等角

14.如图8.29所示△ABC是等边三角形，点A与点D的坐标分别是A(4,0),D(10,0).点C从点O沿y轴

向下移动，过点B作回%轴,垂足为点Q.当点C的坐标为C(0，-2次)时，金=_.

类型4：等腰直角三角形存在性问题

15.如图8.30所示在矩形ABCO中，点B的坐标为(8,6),点A,C分别在坐标轴上点P是线段BC上的动点.

已知点D在第一象限，且是直线y=2%-6上的一点，若ANP。是不以A为直角顶点的等腰直角三角形，请直

接写出所有符合条件的点D的坐标：.

类型1:利用直角，直接构造三垂直模型

16.如图8.31所示，在RtAAOB中Q为坐标原点，乙40B=90°,OA-.OB=1:2,如果点A在反比例函数y=

Io）。）的图像上运动，那么点B在函数________（填函数解析式）的图像上运动.

17.如图8.32所示，已知A是双曲线y=:在第一象限上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B,以

AB为边作等边AABC,点C在第四象限.已知点C的位置始终在一函数图像上运动则这个函数解析式为

图8.32

18.如图8.33所示，半圆O的直径AB=10,AC=a，点D在…4C上,tanzOOC=%点P是半径OC上的

一个动点，连接DP,过点P作PE回DP,,交直径AB于点E.当点P与点C重合时，(。£"=_.

图8.33

19.如图8.34所示，在等腰4ABC中，BC=8V5,tanzXBC=/点D为边AC上的一个动点(不与点C重合),

作DEXBD于点D,使得案=|,连接CE,则△CDE的面积的最大值为.

DUJ

类型2：建直角，构造三垂直模型

20.如图8.35所示，函数y=苫("0)的图像上有一点A(4,3),将射线OA绕着原点O逆时针旋转角a,交

图像于点B,且tana=点则点B的坐标为.

图8.35

21.如图8.36所示，AABC是等边三角形，顶点C在y轴的负半轴上点，a。，#）,点B在第一象限，经过

点A的反比例函数y=其»（））的图像恰好经过顶点B,贝U.△ABC的边长为

类型3：隐形的一线三等角模型

22.如图8.37所示，△ABC为等边三角形,BD=7f3PD=4PE/BPF=120°,zMP/V=6O°,BM=FN=5,!0!JCF=_

C

BE

图8.37

模型的综合应用：遇见中考

23.在△ABC中,NABC=90。.

⑴如图8.38所示，分别过A,C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为点M,N,求证:△ABM-ABC

N.

⑵如图8.39所示,P是边BC上一点，NB4P=zC,tanzPXC=乎,求tanC的值.

⑶如图8.40所示,D是边CA延长线上一点AE=AB,NDEB=9(r,sin/BAC=1三=|,则tan/CEB=

图8.38图8.39图8.40

第8讲一线三等角模型

1.易证△ABD^ADCEJ!!AB=DC=AC利用等腰三角形的性质即可证得.

2.3.

提示:易证ACBE-ADEFJU*=能即2=*解得DF=3.

DFDEDF6

二1。,|

提示:因为△AEDs^BDF,所以CE:CF=(AE+DE+AD):(DF+BF+BD).

4—

'5'

提示易证ADFEs^ABF,设DE=2a,则EF=3a,DF=Za利用折叠的性质可得出EC=EF，进而可得出AB=

DC=5a,利用相似三角形的性质可得出案=喘=看又tanzESC=*代入数值即可得证.

BFAB5BC

5.易证△CEF-ABDEJII黑=黑.因为E为BC的中点，所以黑=为又/DEF=/Cj^ADEFs/\ECF,故/

DEBEDECE

DFE=NCFE,即EF平分NDFC.

6.-.

2

22

如图J8.1所示，作BF±13,AE±13.易证△ACEg/XCBF,进而AB=<BG+AG=10a,所以第=当=即

CEAE4

DG=；CE=|,故SD=SG-DG=14-|=y.

图J8.1

7.5-V5.

如图J8.2所示过点B作BMLy轴于点M,过点A作ANLx轴于点N,并延长MB,NA交于一点W.

易证△AON^ABAW.

设点A(2,m),则点B(2-m,2+m),)所以((2-m)(2+m)=2犯解得m=V5-1,

故SROAB=|o^2=|(m2+4)=5-V5.

过点C作CELy轴于点E,易证△ABO^^BCE,所以OA=BE=4,CE=OB=3,贝［|OE=BE-OB=4-3=1,故点C的坐

标为(-3,1).

因为反比例函数V=E（k40）的图像过点C,所以k=xy=-3xl=-3.

9,-2+2V5.

287

如图J8.3所示过点B作x轴的平行线EB过点A作AFXEB的延长线于点F,AF交x轴于点D.

易证△OEB丝ABFA,则EO=BF,BE=AF.

设BE=x,则OE=BF=4-x,AD=x—(4—x)=2x-4,故A(4,2x-4),B(x,x-4).

因为两函数图像关于x轴对称，所以fci+fc2=0,即4(2x-4)+x(x-4)=0,解得=-2-24(不合题意舍去)，

犯=-2+2强则点B的横坐标为-2+2V5.

1O.(V6+V2-V6-V2).

如图J8.4所示，作P]C回y轴于点C,22。团x轴于点D,P3E团无轴于点E,P3F1P?D于点F.

易1正△P[B[C=△B^A^O=A

设0B[=P1c=ArD=%则。4=B[C=P2D=OC-OBr=^-a,所以点P2的坐标为a)把

22(5《一a)代入y=得—a)=4,解得ax=一夜(舍去)，a?=VX故P2(29企)

设点P3的坐标为G，£),易证△P2P3F=A&P3E,则P3E=P3F=DE=?因此OE=。0+DE=2&+(,即

2金+[=b,解得瓦=-V6+企舍去),(b2=V6+VX故点P3的坐标为(遥+&，遥-V2).

288"

11.(-1,-6).

如图J8.5所示过点B作BFLAC于点F,过点F作尸。回y轴于点D,过点A作2E回DF的延长线于点E,

则4ABF为等腰直角三角形，易得△AEF=△FDB.

设BD=a，则EF=a.

因为点A(2,3)和点B(0,2),所以.DF=2-a=AE.OD=OB-BD=2-a.

又AE+0D=3,即2-a+2-a=3,解得a=|,故F(|,|).

311I_3

设直线AF的解析式为y=k'x+6,则｛/+°=5解得｛k'=3b=-3,所以y=3x-3.解方程组

3=2k'+b

(-Y=2

(y=3x-3y=；，可得2或｛%=-叮=-6,故C(-l,-6).

12.y=—1或y=-3x-l.

解法1利用三垂直模型.

289

分两种情况：

①点C在x轴正半轴上时，如图J8.6所示，过点D作DEJ_AC于点E,由三垂直模型易证△AOB^ADEA,

得出。一》又B(0,-l),则yBC=—1.

②点C在x轴负半轴上时，如图J8.7所示，过点A作APXAB于点P,作PI±AI于点I,由三垂直模型易证△A0

B也APIA,得出P(W)又B(0,-l),则yBC=-3x-l.

：o/AX

B

图J8.6图J8.7

解法2利用12345模型.

①点C在x轴正半轴上时，如图J8.6所示易得/ABO+NOCB=45。.又tan/ABO=|,则tan/OCB=/于是0C

=3,故yBC=|x-1.

②点C在x轴负半轴上时，如图J8.7所示易得/ABO+NOBC=45。.又tanZABO=1则tan/OBC=1,于是0C

=［故yBc=-3x-L

7

如图J8.8所示，过点D作AE的平行线DI,过点B作DI的垂线，交于点I,再利用三垂直模型设边求解.

设CG=BH=GI=x，则IH=DG=x+2=8-x,解得x=3,所以tanZEAC=tanZ/DG=—=三,故tan/EAC=—

GD5AC

系.得CE评

14.哈

解法1构造一线三等角（图J8.9）.

构造△AECgZ\BFA,其中/AEC=/AFB=60。,求得FQ=3,BQ=3y/3,DQ=5,故tan/ODB=手.

290解法2构造一线三垂直（图J8.10）.

有^AFEs^EGB,其中若=%由“三线合一”可得E为AC的中点所以EF为公AOC的中位线，则AF=2

BEV3

,EF=43,EG=2V3,BG=3,8(5，一3百)，故tanZODB=手.

15.(4,2)或管号)或(争等

如图J8.ll所示，当"DP=90。时,AD=PD,则点D的坐标为(4,2).

如图J8.12所示，当/ADP=90。时,AD=PD,同理可求得点D的坐标为售勺.

如图J8.13所示，当/APD=90。时,AP=PD,设点P的坐标为(8,m),则点D的坐标为(14-m,8+m).由8+m=2(14-m)-

图J8.13

如图J8.14所示，分别过点A,B作2C回y轴于点C,8。回y轴于点D.设A(a,b)易证△OACs^BOD,则S^AOC

S△海

靠尸=［，故点B在函数y='的图像上运动.

图J8.14

17.y=-沁〉0).

连接oc,,=+，解法同题16.

OCV3

1&|.

作DFXOC于点F.由三垂直模型易证△DFPAPOE,则差=黑，即差=|,故0E=|.

CFDF133

64

19.—.

3

如图J8.15所示构造三垂直模型，易证ADEGs/SBDF,贝1）黑=黑=今

FDBD3

因为BC=8V5,tanzXBC=tanAACB=*所以CF=16.

设CD=a，则FD=16-a,于是£G=|F£>=|(16-a),故

S.DE=|•CD-=|•a-|(16-a)=-|(a-8)2+g,则(^ACDE)^%=y-

20.8(访2佝.

如图J8.16所示，构造出三垂直模型，易证△OACsaED,则第=禁=奈=淅以E（|，5）,故yOB=2x.由

y=2x

=12

'x可得2A/6).

图J8.15图J8.16

21.2"

解法1如图J8.17所示，延长AB到点D使得AB=BD,连接CD,作人113轴于点口,口£3轴于点£.设（2（0©.

因为BA=BC=BD,所以△ACD是直角三角形，因此DC=何1C,易证△ACHs^CDE,则黑=黑=差=唱

ECDECD3

因为A（1，W）,所以2H=1,CH="—c,则EC=V3,£）£=y-Ec,故D（y-V3c.c-恒）.

又BA=BD利用中点坐标公式得B（号曳,土譬）代入y=德*=回,空譬,整理得4V3c2-16c

-11V3=0,解得c=-与或竽（舍去），则C（0,-苧），故AC=VAH2+CH2=+

解法2如图J8.18所示构造三垂直模型，易证△ADEsaEFC厕,=萼=,=之WLV

设根据中点坐标公式得E（等，竽（1+；加斤以

吁逋—逋（1+工）=逋（1」），

241mJ41mJ

CF=V3x-（1--'）=-fl-

因为CF=xE,所以京1-J=等解得加=弓或m=5.'

图J8.17

当爪=刘寸，点C在y轴的正半轴上，不符合题意