专题15全等三角形手拉手模型-初中数学模型与解题方法专题训练

15全等三角形手拉手模型一、单选题1．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则CH的长是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【详解】∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB=∠AEH=90°，∵∠AHE=∠CHD，∴∠BAD=∠BCE，∵在△HEA和△BEC中，∠BAD＝∠BCE，∠AEH＝∠BEC＝90°，EH＝EB，∴△HEA≌△BEC（AAS），∴AE=EC=4，则CH=ECEH=AEEH=43=1．故选A.2．如图，AB=AD，AC=AE，DAB=CAE=50°，以下四个结论：①△ADC≌△ABE；②CD=BE；③DOB=50°；④点A在DOE的平分线上，其中结论正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【详解】∵DAB=CAE∴DAB+BAC=CAE+BAC∴DAC=EAB∵AB=AD，AC=AE∴△ADC≌△ABE∴CD=BE，故①②正确；∵△ADC≌△ABE∴ADC=ABE设AB与CD交于G点，∵AGD=BGC∴DOB=DAB=50°,故③正确；过点A作AF⊥CD于F点，过点A作AH⊥BE于H点，则AF、AH分别是△ADC与△ABE边上的高∵△ADC≌△ABE∴AF=AH∴点A在DOE的平分线上，④正确故选D．3．如图，已知△ABC与△CDE都是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，AD与BE相交于点G，BE与AC相交于点F，AD与CE相交于点H，则下列结论①△ACD≌△BCE②∠AGB＝60°③BF＝AH④△CFH是等边三角形⑤连CG，则∠BGC＝∠DGC．其中正确的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【详解】试题分析：∵∠BCA=∠DCE=60°，∴∠BCE=∠ACD，在△BCE和△ACD中，∵BC=AC，∠BCE=∠ACD，CE=CD，∴△BCE≌△ACD（SAS）；故①正确；∵△BCE≌△ACD，∴∠CBF=∠CAH．∵∠BFC=∠AFG，∴∠AGB=∠ACB=60°，故②正确；在△BCF和△ACH中，∠CBF=∠CAH，BC=AC，∠BCF=∠ACH，∴△BCF≌△ACH（ASA），∴CF=CH，BF=AH；故③正确；∵CF=CH，∠ACH=60°，∴△CFH是等边三角形；故④正确；连接CG，过C点作CM⊥BE，作CN⊥AD，∵△BCE≌△ACD，CM⊥BE，CN⊥AD，∴CM=CN，∴GC平分∠BGD，∴∠BGC=∠DGC，故⑤正确．故选：D．4．如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OA＞OC，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M，连接OM，下列结论：①△AOC≌△BOD；②AC=BD；③∠AMB=40°；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【详解】解：∵∠AOB=∠COD=40°，∠AOD是公共角，∴∠COD+∠AOD=∠BOA+∠AOD，即∠AOC=∠BOD，∵OA=OB，OC=OD，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC=BD，∠OAC=∠OBD，∠ODB=∠OCA，故①②正确；过点O作OE⊥AC于点E，OF⊥BD于点F，BD与OA相交于点H，如图所示：∵∠AHM=∠OHB，∠AMB=180°∠AHM∠OAC，∠BOA=180°∠OHB∠OBD，∴∠AMB=∠BOA=40°，∴∠OEC=∠OFD=90°，∵OC=OD，∠OCA=∠ODB，∴△OEC≌△OFD（AAS），∴OE=OF，∴OM平分∠BMC，故③④正确；所以正确的个数有4个；故选A．5．如图，，，三点在同一直线上，，都是等边三角形，连接，，：下列结论中正确的是（

）①△ACD≌△BCE；②△CPQ是等边三角形；③平分；④△BPO≌△EDO．A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【答案】B【详解】∵△ABC，△CDE都是等边三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，∴∠ACB+∠PCQ=∠ECD+∠PCQ，∠PCD=60°，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE，∴①的说法是正确的；∵△ACD≌△BCE，∴∠PDC=∠QEC，∵∠PCD=∠QCE=60°，CD=CE，∴△PCD≌△QCE，∴PC=QC，∴△CPQ是等边三角形；∴②的说法是正确的；∵△PCD≌△QCE，∴PD=QE，，过点C作CG⊥PD，垂足为G，CH⊥QE，垂足为H，∴，∴CG=CH，∴平分，∴③的说法是正确的；无法证明△BPO≌△EDO．∴④的说法是错误的；故答案为①②③，故选B．6．如图，在直线AC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD交于点H，AE与DB交于点G，BE与CD交于点F，下列结论：①AE＝CD；②∠AHD＝60°；③△AGB≌△DFB；④BH平分∠GBF；⑤GF∥AC；⑥点H是线段DC的中点．正确的有（）A．6个 B．5个 C．4个 D．3个【答案】C【详解】连接GF，过点B作BM⊥AE于M，BN⊥CD于N∵△ABD，△BCE都是等边三角形，∴∠ABD＝∠EBC＝60°，BA＝BE，BE＝BC，∴∠ABE＝∠DBC，在△ABE和△DBC中，∴△ABE≌△DBC（SAS），∴AE＝CD，故①正确；∵△ABE≌△DBC，∴∠BAE＝∠BDC，∵∠AGB＝∠DGH，∴∠AHD＝∠ABG＝60°，故②正确；在△AGB和△DFB中，；∴△AGB≌△DFB（ASA），故③正确；∵△AGB≌△DFB，∴BG＝BF，∵∠GBF＝60°，∴△BGF是等边三角形，∴∠FGB＝∠ABD＝60°，∴FG∥AC，故⑤正确；∵△ABE≌△DBC，BM⊥AE，BN⊥CD，∴BM＝BN，∴BH平分∠AHC，但不一定平分∠GBF，故④错误；根据题意，无法判断DH＝CH，故⑥错误．故选：C．7．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE．下列结论中，正确的结论有（）①CE＝BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB＝∠AEB；④S四边形BCDE＝BD•CE；⑤BC2+DE2＝BE2+CD2．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【详解】解：∵，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AB=AC，AD=AE，∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°+∠CAD，∠CAE=∠DAE+∠CAD=90°+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴CE=BD，∠ABD=∠ACE，故①正确；∴∠BCG+∠CBG=∠ACB+∠ABC=90°，在△BCG中，∠BGC=180°（∠BCG+∠CBG）=180°90°=90°，∴BD⊥CE，∴S四边形BCDE=BD•CE，故④正确；由勾股定理，在Rt△BCG中，BC2=BG2+CG2，在Rt△DEG中，DE2=DG2+EG2，∴BC2+DE2=BG2+CG2+DG2+EG2，在Rt△BGE中，BE2=BG2+EG2，在Rt△CDG中，CD2=CG2+DG2，∴BE2+CD2=BG2+CG2+DG2+EG2，∴BC2+DE2=BE2+CD2，故⑤正确；从题干信息没有给出所以只有时，=90°，无法说明，更不能说明故②错误；∵△ABD≌△ACE，∴∠ADB=∠AEC，条件不足以证明∠AEC与∠AEB相等无法证明，∴∠ADB=∠AEB不一定成立，故③错误；综上所述，正确的结论有①④⑤共3个．故选：C．8．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（）A．① B．①② C．①②③ D．①②④【答案】D【详解】解：，，即，在和中，，，，①正确；，由三角形的外角性质得：，，②正确；作于，于，如图2所示：则，在和中，，，平分，④正确；，当时，才平分，假设，平分，，在和中，，，与矛盾，③错误；综上所述，正确的是①②④；故选：D．9．如图，点C是线段AE上一动点（不与A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，有以下5个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．其中一定成立的结论有（

）个A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【详解】①∵等边△ABC和等边△DCE，∴BC=AC,DE=DC=CE，∠DEC=∠BCA=∠DCE=60∘，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC，∠ACD=∠BCE，DC=CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD=BE；故①正确；③∵△ACD≌△BCE(已证)，∴∠CAD=∠CBE，∵∠ACB=∠ECD=60°(已证)，∴∠BCQ=180°60°×2=60°，∴∠ACB=∠BCQ=60°，在△ACP与△BCQ中，∠CAD=∠CBE，AC=BC，∠ACB=∠BCQ=60°，∴△ACP≌△BCQ(ASA)，∴AP=BQ；故③正确；②∵△ACP≌△BCQ，∴PC=QC，∴△PCQ是等边三角形，∴∠CPQ=60∘，∴∠ACB=∠CPQ，∴PQ∥AE；故②正确；④∵AD=BE，AP=BQ，∴AD−AP=BE−BQ，即DP=QE，∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，∴∠DQE≠∠CDE，∴DE≠QE，则DP≠DE，故④错误；⑤∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°，∵等边△DCE，∠EDC=60°=∠BCD，∴BC∥DE，∴∠CBE=∠DEO，∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°.故⑤正确；综上所述，正确的结论有：①②③⑤，错误的结论只有④，故选D．10．如图，正和正中，B、C、D共线，且，连接和相交于点F，以下结论中正确的有（

）个①

②连接，则平分

③

④A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【详解】解：①∵和均为等边三角形，∴，，，∴，∴，在和中，∴，∴，∵，，∴，故①正确；②如图所示，作于点，于点，则，∵，∴，在和中，∴，∴，∴平分，故②正确；③如图所示，作于点，∵，，∴，∵，∴整理得：，∵，∴，∴，故③正确；④如图所示，在上取点，使得，∵，平分，∴，，∴为等边三角形，∴，，∵，∴，∴，在和中，∴，∴，∵，，∴，故④正确；综上，①②③④均正确；故选：A．二、填空题11．如图，、是两个等边三角形，连接、．若，，，则．【答案】BE=10【详解】如图，连接AC，∵、是两个等边三角形，∴AB=BD=AD=2，CD=DE，∠ABD=∠ADB=∠CDE=60，∴∠ADB+∠BDC=∠CDE+∠BDC，∴∠ADC=∠BDE，在△ACD与△BDE中，∴△ACD≌△BED（SAS），∴AC=BE，∵，∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=60°+30°=90°，在Rt△ABC中，AB=6，BC=8，∴AC=，∴BE=10，故答案为：10．12．如图，点B、C、E在同一条直线上，与都是等边三角形，下列结论：①AE=BD；②；③线段AE和BD所夹锐角为80°；④FG∥BE．其中正确的是．（填序号）【答案】①②④【详解】解：如图，记与的交点为，∵与都是等边三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°∵点B、C、E在同一条直线上，∴∠ACD=60°，∴∠BCD=∠ACE=120°在和中，∴，所以结论①正确；∵，∴∠BDC=∠CEA，∵∠AHB=∠DBE+∠BEA=∠DBE+∠BDC=180°∠BCD=60°，所以③错误；在和中，，∴，∴所以②正确；，∵CG=CF，∠ACD=60°，∴∠GFC=60，又∵∠DCE=60°，∴∠GFC=∠DCE，∴GF∥BC，所以④正确．故答案为：①②④．13．如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点A在的斜边DE上，连接BD，有下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（填序号）【答案】①②③④【详解】解：∵和都是等腰直角三角形，∴，∴，即：，∵，∴，∴，故①正确；由三角形外角定理，，∵，∴，∵，∴，∵，∴，故②正确；∵，∴，∵，∴，即：，故③正确；∵，∴在中，，∵为等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴，故④正确；故答案为：①②③④．14．如图，，，，和相交于，和相交于，则的度数是°.【答案】120【详解】如图所示：∵∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAB+∠BAC=∠BAC+∠EAC，∴∠DAC=∠EAB，在△ADC和△AEB中，,∴△ADC≌△ABE（SAS），∴∠E=∠ACD，又∵∠AFE=∠OFC，∴∠EAF=∠COF=60°，∴∠DOE=120°．故答案是：120．15．已知：如图，正方形中，对角线和相交于点，，分别是边、上的点，若，，且，则的长为．【答案】【详解】解：连接EF，∵OD=OC，∵OE⊥OF∴∠EOD+∠FOD=90°∵正方形ABCD∴∠COF+∠DOF=90°∴∠EOD=∠FOC而∠ODE=∠OCF=45°∴△OFC≌△OED，∴OE=OF，CF=DE=3cm，则AE=DF=4，根据勾股定理得到EF==5cm．故答案为：5．16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D为三角形右侧外一点．且∠BDC＝45°．连接AD，若△ACD的面积为，则线段CD的长度为．【答案】【详解】解：过点B作BE⊥BD，交DC的延长线于点E，连接AE，如图所示：∵∠ABC＝90°，∴，∴，∵∠BDC＝45°，∠EBD＝90°，∴△EBD是等腰直角三角形，∴∠BDC=∠BED=45°，BE=BD，∵AB＝BC，∴△BCD≌△BAE（SAS），∴∠BDC=∠BEA=45°，AE=CD，∴，∵，∴，∴；故答案为．17．如图，是边长为5的等边三角形，，．E、F分别在AB、AC上，且，则三角形AEF的周长为．【答案】10【详解】解：延长AB到N，使BN=CF，连接DN，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵BD=CD，∠BDC=120°，∴∠DBC=∠DCB=30°，∴∠ACD=∠ABD=30°+60°=90°=∠NBD，∵在△NBD和△FCD中，，∴△NBD≌△FCD（SAS），∴DN=DF，∠NDB=∠FDC，∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠EDB+∠FDC=60°，∴∠EDB+∠BDN=60°，即∠EDF=∠EDN，在△EDN和△EDF中，，∴△EDN≌△EDF（SAS），∴EF=EN=BE+BN=BE+CF，即BE+CF=EF．∵△ABC是边长为5的等边三角形，∴AB=AC=5，∵BE+CF=EF，∴△AEF的周长为：AE+EF+AF=AE+EB+FC+AF=AB+AC=10，故答案为：10．18．在锐角三角形ABC中，AH是边BC的高，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接CE，BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是△AEG的中线；④∠EAM=∠ABC．其中正确的是．【答案】①②③④【详解】解：在正方形ABDE和ACFG中，AB＝AE，AC＝AG，∠BAE＝∠CAG＝90°，∴∠BAE+∠BAC＝∠CAG+∠BAC，即∠CAE＝∠BAG，∴△ABG≌△AEC（SAS），∴BG＝CE，故①正确；设BG、CE相交于点N，AC、BG相交于点K，如图1，∵△ABG≌△AEC，∴∠ACE＝∠AGB，∵∠AKG＝∠NKC，∴∠CNG＝∠CAG＝90°，∴BG⊥CE，故②正确；过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，如图2，∵AH⊥BC，∴∠ABH+∠BAH＝90°，∵∠BAE＝90°，∴∠EAP+∠BAH＝90°，∴∠ABH＝∠EAP，即∠EAM＝∠ABC，故④正确；∵∠AHB=∠P=90°，AB=AE，∴△ABH≌△EAP（AAS），∴EP＝AH，同理可得GQ＝AH，∴EP＝GQ，∵在△EPM和△GQM中，，∴△EPM≌△GQM（AAS），∴EM＝GM，∴AM是△AEG的中线，故③正确．综上所述，①②③④结论都正确．故答案为：①②③④．19．如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=50°，AD、BE交于点H，连接CH，则∠CHE=．【答案】65°【详解】解：如图，，，在和中，；过点作于，于，，，在和中，，，在与中，，平分；，，，，，，故答案为：．20．在△ABC中，点D是直线BC上一动点，连接AD，在直线的右侧作等边，连接CE，当线段CE的长度最小时，线段的长度为．【答案】【详解】解：在的左侧作等边三角形，连接、、、，则则，故点、关于对称，则，，均为等边三角形，，，，，，当时，最小，由故，故的长度为，故答案为：三、解答题21．如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN．

(1)求证：BD=CE；(2)求证：△ABM≌△ACN；(3)求证：△AMN是等边三角形．解：（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE．在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴BD=CE．（2）由(1)知△ABD≌△ACE，∴∠ABM=∠ACN．∵点B、A、E在同一直线上，且∠BAC=∠DAE=60°，∴∠CAN=60°=∠BAC．在△ABM和△ACN中，；∴△ABM≌△ACN(ASA)．（3）由(2)知△ABM≌△ACN，∴AM=AN，∵∠CAN=60°，∴△AMN是等边三角形．22．如图，在中，，，点O是中点，，将绕点O旋转，的两边分别与射线、交于点D、E．(1)当转动至如图一所示的位置时，连接，求证：；(2)当转动至如图二所示的位置时，线段、、之间有怎样的数量关系？请说明理由．【详解】（1）证明：∵，，，∴，，∴，∵，∴，在和中，，∴．（2）解：．理由：连接．∵，，，∴，，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴．23．在中，，点D是直线上一点，连接，以为边向右作，使得，，连接CE．(1)①如图1，求证：；②当点D在边上时，请直接写出，，的面积（，，）所满足的关系；(2)当点D在的延长线上时，试探究，，的面积（，，）所满足的关系，并说明理由．【详解】（1）证明：①∵，∴，即．在和中，。∴．②，理由如下：∵，∴，∵，∴；（2）解：，理由如下：∵，∴，即．在和中，∴，∴，∵，∴．24．在中，，点是直线上一点（不与、重合），把线路绕着点逆时针旋转至（即），使得，连接、．(1)如图1，点在线段上，如果，则__________度．

(2)如图2，当点在线段上，如果，则__________度．

(3)如图3，设，，当点在线段上移动时，，的数量关系是什么？请说明理由．

(4)设，，当点在直线上移动时，请直接写出，的数量关系，不用证明．【详解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，故答案为：90；（2）∵，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，故答案为：120；（3），理由如下：∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，∴；（4）如图4，当点D在的延长线上时，，

证明方法同（3）；如图5，当点D在的延长线上时，，

理由如下：∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴．综上，或．25．在△AEB和△DEC中，AC、BD相交于点P，AE、BD相交于点O，AE＝BE，DE＝CE，∠AEB＝∠DEC．(1)求证：AC=BD；(2)求证：∠APB＝∠AEB．【详解】（1）证明：∵∠AEB=∠DEC，∴∠AEB+∠AED=∠DEC+∠AED，∴∠BED=∠AEC，在△BED与△AEC中，∴△BED≌△AEC（SAS），∴AC=BD．（2）证明∵△BED≌△AEC，∴∠EBD=∠EAC，∵∠EBD+∠BOE+∠AEB=∠AOP+∠APB+∠EAC=180°，又∵∠BOE=∠AOP，∴∠AEB=∠APB．26．如图1，B、C、D三点在一条直线上，AD与BE交于点O，△ABC和△ECD是等边三角形．(1)求证：△ACD≌△BCE；(2)求∠BOD的度数；(3)如图2，若B、C、D三点不在一条直线上，∠BOD的度数是否发生改变？（填“改变”或“不改变”）【详解】（1）证明：∵△ABC和△ECD是等边三角形，∴∠ACB＝∠ECD＝60°，BC＝AC，EC＝CD，∴∠ACB+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，∴∠BCE＝∠ACD，在△BCE和△ACD中∵，∴△BCE≌△ACD（SAS）．（2）解：∵△BCE≌△ACD，∴∠ADC＝∠BEC，∵∠AOB＝∠EBC+∠ADC，∴∠AOB＝∠EBC+∠BEC＝∠DCE＝60°，∵∠AOB+∠BOD＝180°，∴∠BOD＝120°．（3）解：不改变，理由如下：同（1）得：△ACD≌△BCE（SAS），∴∠DAC＝∠EBC，∵∠AOE＝∠ABO+∠OAB＝∠ABO+∠DAC+∠BAC＝∠ABO+∠EBC+∠BAC＝∠ABC+∠BAC＝120°∴∠BOD＝∠AOE＝120°，即∠BOD的度数不改变．故答案为：不改变．27．如图，已知四边形是正方形，对角线、相交于，设、分别是、上的点，若，，求四边形的面积．

【答案】8【详解】解：∵四边形是正方形，∴，∵四边形是正方形，∴，，，∴，∴，在和中，∴，∴，∴四边形的面积．28．（1）如图1，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，猜想并证明：线段AE、BD的数量关系和位置关系．（2）在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，请判断∠ADB的度数及线段CM，AD，BD之间的数量关系，并说明理由．解：（1）如图1中，延长AE交BD于点H，AH交BC于点O，∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴AC=BC，CD=CE，∴∠ACE=∠BCD，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE=BD，∠CAE=∠CBD，∵∠CAE+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH，∴∠BOH+∠CBD=90°．∴∠AHB=90°，∴AE⊥BD．故答案为AE=BD，AE⊥BD；（2）∠ADB=90°，AD=2CM+BD，理由如下：如图2中，∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴∠CDE=∠CED=45°，∴∠AEC=180°∠CED=135°，由（