2024北京重点校高二（下）期末数学汇编：等差数列（人教B版）

第1页/共1页2024北京重点校高二（下）期末数学汇编等差数列（人教B版）一、单选题1．（2024北京顺义高二下期末）已知等差数列的前项和为，，，则的值为（

）A． B． C． D．2．（2024北京西城高二下期末）在等差数列中，，，则（

）A．8 B．10 C．12 D．143．（2024北京房山高二下期末）设等差数列的前项和为，若，，使最小的的值为（

）A．4 B．5 C．6 D．4或5二、填空题4．（2024北京海淀高二下期末）已知数列满足，，设，则；的最小值为.5．（2024北京怀柔高二下期末）已知数列的通项公式，则下列各项说法正确的是．(填写所有正确选项的序号)①当时，数列的前n项和；②若数列是单调递增数列，则；③，数列的前n项积既有最大值又有最小值；④若恒成立，则．6．（2024北京怀柔高二下期末）已知等差数列的前项和，若，则；前项和的最大值为．7．（2024北京昌平高二下期末）我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中对于同余问题给出了较完整的解法，即“大衍求一术”，也称“中国剩余定理”．现有问题：将正整数中，被2除余1且被3除余2的数，按由小到大的顺序排成一列，则此列数中第10项为.8．（2024北京昌平高二下期末）已知等差数列的前项和为，且.数列的前项和为.给出下列四个结论：①；②；③使成立的的最大值为4048；④当时，取得最小值.其中所有正确结论的序号是.三、解答题9．（2024北京石景山高二下期末）已知等差数列的前n项和为，从条件①、条件②和条件③中选择两个作为已知，并完成解答.(1)求数列的通项公式；(2)设，证明：数列的前n项和．条件①，条件②，条件③.注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．10．（2024北京顺义高二下期末）若数列满足，则称为数列．记.(1)若数列满足，直接写出所能取到的最大值和最小值；(2)若数列满足，求证：存在，使得；(3)若数列满足，求所能取到的最大值（结果用含的代数式表示）.11．（2024北京西城高二下期末）设和均为各项互不相等的N项数列，其中，．记数列C：，，…，，其中，．(1)写出所有满足条件的数列和，使得数列；(2)若，C是公差不为0的等差数列，求证：为定值；(3)若C为各项互不相等的数列，记C中最大的数为P，最小的数为Q，求的最小值．

参考答案1．C【分析】法一：由基本量法求出公差d和首项，再由等差数列前项和公式可得结论．法二：利用等差数列的性质即可整体代入求和.【详解】法一：设等差数列的公差为d，因为，，所以，解得，所以.法二：因为在等差数列中，，所以.故选：C2．C【分析】根据等差数列基本量运算即可.【详解】因为所以.故选：C.3．D【分析】设公差为，依题意得到方程组，求出、，即可求出通项公式，再根据数列的单调性判断即可.【详解】设公差为，由，，所以，解得，所以，令，解得，则数列单调递增，且，所以当或时取得最小值.故选：D4．【分析】根据给定的递推公式，结合等差数列求出，进而求出及其的最小值.【详解】由，得，而，则，因此数列是首项为，公差为2的等差数列，，，所以当时，取得最小值.故答案为：；5．①④【分析】对于①，利用裂项相消求和法求解判断，对于②，由求解的范围，对于③，举例判断，对于④，由题意得，利用基本不等式求出的最小值即可.【详解】对于①，当时，，所以，所以，所以①正确，对于②，若数列是单调递增数列，则，即，所以，所以，因为，所以，所以②错误，对于③，当时，，则数列的前n项积没有最大值，所以③错误，对于④，由，得，得，因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为2，所以，所以④正确.故答案为：①④6．16【分析】根据等差数列的通项公式，利用即可求得，从而求得，从二次函数的角度思考，可求出的最大值.【详解】设等差数列的公差为，则，解得，所以，，当时，的最大值为,故答案为：，16.7．59【分析】被2除余1且被3除余2的数构成公差为6的等差数列，由此即可得．【详解】依题意，设a满足被2除余1且被3除余2，则a加上2和3的最小公倍数6的整数倍后也能满足被2除余1且被3除余2．设被2除余1且被3除余2的数由小到大排列而成的数列为，由于被2除余1且被3除余2的最小正整数为5，则是首项为5，公差为6的等差数列，所以故答案为：59．8．①②④【分析】由与的关系即可判断①；由等差数列的性质即可判断②③；由数列的正负规律即可判断④.【详解】，，所以，故①正确；因为数列为等差数列，所以，公差，所以，因为，所以，由，所以，即，故②正确；因为，，所以成立的的最大值为，故③不正确；因为，，所以当时，，当时，，当时，，所以当时，取得最小值，故④正确.故答案为：①②④.【点睛】方法点睛：解决数列前项和的最值问题的一般方法有以下两类：（1）先求出数列的前项和，再通过的符号研究数列的单调性求最值，或转化为求函数的最值求解；（2）不求数列的前项和，通过对数列通项的符号变化规律找到所有的正负转折项，如：利用条件来找最大时可能的项数，利用条件来找最小时可能的项数，需要注意的是，由于首项的特殊性（无前一项），最值也可能在处就取到.9．(1)，；(2)证明见解析.【分析】（1）选①②或②③时，利用等差数列的通项公式与求和公式求出首项与公差，再根据等差数列的通项公式求解；选①③时，利用等差数列的通项公式求出首项与公差，再根据等差数列的通项公式求解；（2），利用裂项相消法即可证明.【详解】（1）（1）由于是等差数列，设公差为，当选①②时：，解得，所以的通项公式，．选①③时，解得，所以的通项公式，．选②③时，解得，所以的通项公式，．（2）由（1）知，，所以，所以，因为，所以.10．(1)最大值是3，最小值是-3(2)证明见解析(3)【分析】（1）根据数列的定义即可求解；（2）用反证法证明，假设任意，.设是中最后一个小于零的项（由可知这样的项存在），并且由，从而推出，推出矛盾即可证明；（3）令，则.从而可得，进而推出，由可得中1与的个数相等.不妨令，从而，进而，进而可得，从而利用等差数列的前项和公式即可求解.【详解】（1）所能取到的最大值是3，所能取到的最小值是-3；（2）用反证法，假设任意，.设是中最后一个小于零的项（由可知这样的项存在），并且由，可知.

由，可知是整数列，从而，所以，与矛盾.所以假设不成立，从而存在，使得；（3）令，则.因为，,,，所以，根据可知，注意到，并且中1与的个数相等.不妨令，，等号取到当且仅当.故所能取到的最大值为.【点睛】关键点点睛：第三问中，关键是令，则.从而可得，进而推出，由可得中1与的个数相等.11．(1)答案见解析(2)证明见解析(3)当为偶数时，最小值为；当为奇数时，最小值为.【分析】（1）根据定义分析出，再写出所有情况即可；（2）记等差数列的公差为，分析出，则，以分析即可；（3）分为偶数和为奇数讨论，当为偶数利用反证法得，再讨论等号成立的情况，当为奇数时举例即可.【详解】（1）显然，因为，根据，，则，，，从而满足条件的答案有4组，分别为：；；；.（2）记等差数列的公差为，由，得，则.由，得.因为，且和均为各项互不相等的2024项数列，所以，所以，即.所以公差.不妨设公差，则，而只能由1和2024得到，去除两端的数后只能由2和2023得到以此类推，于是总为定值2025.（3）由题意，数列中有个不同的整数，则，当且仅当数列为个连续整数时取等号，当为偶数时