扬州市田家炳实验中学高三数学一轮复习学案三角函数第4课三角函数的图象与性质

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第4课三角函数的图像与性质（2）一、教学目标1．会利用五点法熟练画出的简图；2．能由的图象通过平移、伸缩等变换得到的图象；3。能用的图象与性质来研究的图象与性质．二、基础知识回顾与梳理问题：已知函数（1)振幅、周期、初相各是多少？(2）画出函数的简图;（3）指出它由函数的图象经过哪些变换而得到，并画出图象变换的流程图;（4）写出函数的单调减区间；（5）写出函数的对称轴和对称中心；（6)当时，求函数的值域．【教学建议】本题选自课本习题（6）,主要是复习三角函数相关概念．涉及到振幅、周期、初相、“五点法作图”、图象变换、单调区间、对称性、求值的问题。通过这一组题，帮助学生熟悉三角函数图象和性质．（1）振幅，由最值确定；初相,由特殊点确定;由周期确定．（2）“五点法作图"作图的关键是确定哪五个点？把握“”的整体性与五点有什么关系?（3）图象变换的关键：①弄清平移的方向和单位；②强调横坐标伸缩变换时是伸长(或缩短）到原来的；③弄清变换的顺序：先平移后伸缩还是先伸缩后平移；④特别注意不为时的处理方法。建议画变换的流程图．（4）求单调区间时要注意什么?把“"看作整体，但前提是！易错点．（5）熟记正、余弦三角函数的对称轴、对称中心的公式.对称轴、对称中心有哪些性质?（6）求值域时注意哪些问题？定义域、图象、单调性．三、诊断练习诊断练习点评题1：将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数的解析式为．【分析与点评】（1）本题涉及到两种变换：平移变换和伸缩变换.注意平移的方向和单位“左加右减”特别关注自变量前系数不为1的情况。在进行伸缩变换时要搞清哪个坐标在变，哪个坐标不变。特别地当纵坐标不变时，｜|变大横坐标缩短；变小时横坐标伸长（也称周期变换)．建议学生写出变换的流程图：（请同学们想一想在伸缩变换时有没有变化?)若先进行伸缩变换后进行平移变换呢?体验一下当自变量前系数不为1时的处理方法!易错点！比较一下两种变换的顺序，结果是否相同？若按（2)的顺序变换应向右平移多少个单位才和（1）的结果一致．【变式】将函数的图象进行怎样变换才能得到的图象?题2．已知函数最小正周期为。为了得到函数图象，只要将的图像向平移单位.【分析与点评】(1）由周期公式求出（2）分清平移前后的函数分别是什么？从语法上讲是倒装结构!（3)平移前后函数名称不同该怎么办？化为同名三角函数！(4）平移的方向“左加右减”注意当自变量前的系数不为1时,应先提取系数在括号内加减，即【变式】将函数图像向左平移个单位后所得图象关于轴对称，则．题3.函数的对称中心为，对称轴为．【分析与点评】（1)正、余弦三角函数的对称轴、对称中心公式（2)正、余弦三角函数的对称轴、对称中心有哪些性质?在对称轴处函数取得最大值或最小值，在对称中心处函数值为.注意从形上理解．(3)函数的对称中心一定在图象上吗？能举例说明吗？对称中心是点，对称轴是直线，注意学生书写中的错误．【变式】：设函数对任意的都有，则．题4．函数的最小值是_________．2【分析与点评】（1）将三角函数化归为的形式是研究三角函数图象与性质的第一步；(2）在化归后，要弄清的值，及各个值对函数的影响．要点归纳（1)要熟练掌握诱导公式、两角和与差、二倍角等及其变形公式；（2)熟记三角函数的图象和性质．四、范例导析例1、请画出函数在一个周期上的草图．【分析与点评】应按照五点作图法的步骤进行．解第一步：列表第二步：描点第三步：画图【教学处理】引导学生读题、分析、画图，由学生归纳小结,教师作适当说明．根据解析式画图象，如何抓住关键点？会将中的当作整体来研究相邻两条对称轴，相邻两个对称中心之间距离是多少周期？相邻的一条对称轴和一个对称中心之间距离呢?如何根据具体题目确定?【反思】“五点法”作三角函数图象是最基本的研究函数的方法，如能熟练掌握图象变换的一些基本方法也可以迅速得到三角函数图象．【拓展】写出的变换过程．解变换过程中有两种：A、先平移，后伸缩；B、先伸缩，后平移．A、先平移，后伸缩B、先伸缩，后平移【提醒】若想更好、更清楚地认识这两个不同的过程（相同的结果），最好的办法就是用“五点法"作图，把上述过程中每一步都画一个图．但这有点低效，要总结规律熟练掌握便于运用．函数和两图象间平移变换的方向和平移单位数量极易搞错，解题时要倍加小心．三角函数图象平移变换规律是：寻找原函数中取代的即可得到“平移的原因式"．令此式得，若,则正向移动个单位；若,则负向平移个单位．这是所谓“左加右减”落实在运算形式上的规律，也适用于轴方向的平移．另外考试时经常会是一些逆向的题型,要看清楚题目，区分开起始位置和终了位置，谨防“大意失荆州”．【备用题】如图,它是函数的图象,由图中条件，写出该函数的解析式．【分析】由三角函数图象确定解析式是前几年命题的一个热点，此类型题要充分挖掘给出图象的信息进行求解，首先根据图象可知,函数的周期,所以．解法一(单调性法）由图象可知点在递减的那段曲线上，故所求函数的解析式为．解法二(最值点法）将最高点坐标代入得，，取时得满足的,故所求函数的解析式为．解法三（零点法）函数的图象一般由“五点法"作出，一个周期内至少两个零点．根据的图象可知是一个周期内的第二个零点,而是下一个周期的第一个零点于是有，解得，故所求函数的解析式为．解法四(平移法)由图象可知，起始点坐标是，则将的图象沿轴向左平移个单位，就得到本题图象,故所求函数的解析式为，即．【反思】以上各种解法各有所长,解法三可以推广为关键点法，用此法解题要深刻理解五点作图法的本质，即五点之间的对应关系要明确．进行三角函数图象变换通过把函数的形式平移变换、伸缩变换的次序不同，平移单位就不同,需要特别注意．【总结】已知三角函数的图象，欲求其解析式，必须搞清与图象的哪些因素有关，在利用图象与轴的交点时，要考虑这个点是在增区间上还是在减区间上,否则很容易出错．数形结合的思想方法必须时刻牢记在心,并随时加以运用．例2已知函数f(x)＝2sin2eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(π，4)＋x）)－eq\r(3）cos2x－1，x∈R.．（1）求f（x)的最小正周期；(2）若h(x)＝f（x＋t）的图象关于点eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f(π，6)，0）)对称，且t∈(0，π）,求t的值;(3)当x∈eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1（\f（π,4），\f(π，2))）时,不等式|f（x）－m|〈3恒成立,求实数m的取值范围．【教学处理】要求学生独立思考并解题，老师巡视指导了解学情．将典型的解法及错误通过实物投影展示，教师点评小结并作适当的变式训练．【引导分析与精讲建议】（1）三角函数中有关求最小正周期、单调区间、对称中心、对称轴、最值等问题通常要先把函数解析式化为什么的形式？(2）化归过程中的降次、辅助角公式的应用;（3）进一步熟悉对称轴、对称中心与图象、与函数值的关联;（4)掌握恒成立问题的转化及处理,实质就是求三角函数给定区间上的最值问题，强调先由自变量的范围求出“”的范围，然后画出简图结合单调性求出最值．例3已知函数为偶函数，且函数图象的两条相邻对称轴间的距离为。（1）求的值；（2)将函数的图像向右平移个单位后，再将得到的图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变，得到的图像,求的单调递减区间.【教学处理】指导学生仔细审题，找准解题的切入点.充分暴露思维过程和解题过程,教师板书作示范强调解题的规范性．【引导分析与精讲建议】（1）欲求函数值必先求函数解析式即确定．（2)分别由哪些因素确定？周期，特殊点。注意的范围!(3)原函数解析式能否化简即化为的形式？（4)“两条相邻对称轴间的距离为”这一条件怎么用？(5)“函数”为偶函数这一条件有何作用？如何最简洁？方法一:由偶函数定义对任意实数R恒成立可求．（要求学生动手做,体验解题过程）方法二：由偶函数的对称性可得或(注意范围)比较两种解法，体会不同的切入点对解题过程的影响．（6）先平移变换后伸缩变换注意事项同诊断1．五、解题反思三种题型：1.已知三角函数的图象，求函数的解析式；2.已知三角函数的解析式,求函数的性质(周期、对称性、单调性、最值）;3.三角函数的变换（注意变换的顺序)；两种思想：1.化归思想；2.数形结合思想．一点注意：由特殊点求时，注意范围，谨防增解!六、课后巩固：1、将函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，若函数是偶函数，则的值等于．答案：2、将函数图象上每一点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），然后把所得图象上的所有点沿x轴向右平移个单位，得到函数的图象，则．答案：3、已知函数f(x)=sinx(x∈[0，π］）和函数g（x）=eq\f（1,2)tanx的图象交于A,B,C三点，则△ABC的面积为．答案:4．已知函数的图象如图所示。（1)求的解析式;（2)求函数在上的最大值和最小值.xyO3xyO3-33的周期为8，则，