重庆市某中学2024-2025学年高二年级下册4月月考数学试题（解析）

重庆市第十一中学(下)数学试卷

一、单选题：本题共8题，每小题5分，共40分.在每题给出的选项中，只有一项是符合题

目要求的.

L3名男生和2名女生排成一队照相，要求女生相邻，共有排法()种

A.120B.24C.48D.96

【答案】C

【解析】

【分析】利用捆绑法可得答案.

【详解】将两名女生当成一个元素和3名男生全排列得A：=24种排法，

两名女生排序有A；=2种排法，

所以共有24x2=48种排法.

故选：C.

8

2,设(％-2)8+441/=g+%为+。2%2++agx,则/=()

A.7B.-6C.889D.-7

【答案】D

【解析】

【分析】直接利用二项式的展开式求出结果.

【详解】根据(x—2p二项式展开式：&|=C>(—2)'•产"(r=0,l,...,8)；

故当厂=3时，展开式中V的系数为-23(2；=-448,

故%=—448+441=—7.

故选：D.

3.函数/(X)=F—(«>0)的单调递增区间是()

A.B.(-1,1)

C.(1,+°°)D.(―8,—1)和(L+oo)

【答案】B

【解析】

1-x2

【分析】求导可得广(司二小T,求/''(%)>0即可得解.

+X2

I-%2

【详解】/(％)=。.

T(〃>0),

1+x2

令/''(x)>。，解得—1<X<1,

故了(%)在(—1,1)上单调递增,

故选：B.

4.如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图现提供4种颜色给“弦图”的5个

区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有()

B.72种C.96种D.144种

【答案】B

【解析】

【分析】A区域与其他区域都相邻，从A开始分步进行其它区域填涂可解

【详解】解：根据题意，如图，假设5个区域依次为A、B、C、D、E,分4步分析:

①，对于A区域，有4种涂法,

②，对于8区域，与A相邻，有3种涂法,

③，对于C区域，与43相邻，有2种涂法,

④，对于。区域，若其与3区域同色，则£有2种涂法,

若。区域与8区域不同色，则E有1种涂法，则E区域有2+1=3种涂色方法,

则不同的涂色方案共有4x3x2x3=72种;

【点睛】本题考查两个计数原理的综合问题

使用两个计数原理进行计数的基本思想：对需用两个计数原理解决的综合问题要“先分类，再分步”，即先

分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的

方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数.

5.北山中学在学校“236”发展目标的引领下，不断推进教育教学工作的高质量发展，学生社团得到迅猛

发展.现有高一新生中的五名同学打算参加“地理行知社”“英语ABC”“篮球之家”“生物研启社”四

个社团.若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不

参加“生物研启社”，则不同的参加方法的种数为（）

A.72B.108C.180D.216

【答案】C

【解析】

【分析】根据甲参加的社团分类，分甲参加的社团只有1人和参加的社团有2人，由分步和分类计数原理可

得.

【详解】根据题意分析可得，必有2人参加同一社团.

首先分析甲，甲不参加“生物研启社”，则有3种情况，

再分析其他4人，若甲与另外1人参加同一个社团，则有A：=24（种）情况；

若甲是单独1个人参加一个社团，则有C1A；=36（种）情况.

则除甲外的4人有24+36=60（种）参加方法.

故不同的参加方法的种数为60x3=180

故选：C

6.已知函数〃x）=ex—（x+l）2,则/（%）的大致图像为（）

【答案】c

【解析】

【分析】通过特殊点的函数值，用排除法选择正确选项.

【详解】/(-1)=->0,/(l)=e-4<0,/(2)=e2-32<0,

e

排除选项ABD.

故选：C.

7.在(1+X+$)1°的展开式中，/项的系数为()

X

A.30B.45C.60D.90

【答案】B

【解析】

【分析】先求(1+X+宙严的通项公式为，再求出［+击］的通项公式

Tk+1=C>x-202i*,结合条件列式即可得解.

【详解】在(1+X+-万y°=［i+(x+&)『°的展开式中，通项公式为7；+|=50(%+一元］，

对于，通项公式为K+i=C〉xi・(x@2°y=c〉xT°2&k<r,r<10,八左eN,

令r-2021k=2,可得r=2021左+2,故r=2,k=0,

故f项的系数为C；°C=45,

故选：B.

4

8.设。=——,Z?=lnl.O4,=e°-04-b则下列关系正确的是()

104c

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.c>b>a

【答案】D

【解析】

【分析】分别令/(x)=e*-l-x(x>0)、g(x)=ln(l+x)-x(x>0).

/z(x)=ln(l+x)—-—(x>0),利用导数可求得〃龙)>0,g(x)<0,。(九)>0,由此可得大小关系.

【详解】令/⑺=/—l—x(x>0),则/'(x)=e*—l>0,

\/•⑴在(0,+。)上单调递增，.•./(%)>/(0)=0,即/—1>X，则e。04—：!〉0.04；

1V-

4g(x)=ln(l+x)-x(x>0),则g'(x)=------1=------<0,

.•.8(£)在(0,+8)上单调递减，.，.8(力<8(0)=0,即ln(l+x)<x,则lnl.04<0.04；

.­.e004-l>lnl.04.即c>b；

jr则%）=占一占X

令/z(x)=ln(l+x)---(x>0),>0

(1+X)2

人（九）在（0,+8）上的单调递增，”（x）>/7（0）=0,即ln（l+x）>「一,

…0.044

则nllIn1.04>----即Z?>a；

1.04104

综上所述：c>b>a.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够通过构造函数的方式，将问题转化为函数值的大小关系的比较

问题，通过导数求得函数的单调性后，即可得到函数值的大小.

二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9.［多选题］下列说法正确的是（）

A.88义89*90义一・*100可表示为人；：0

B.若把英文“hero”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有23种

C.10个朋友聚会，见面后每两个人握手一次，一共握手45次

D.老师手里有3张参观游园的门票分给7人中的3人，则分法有A；种

【答案】ABC

【解析】

【分析】由排列数公式可判断A；由排列定义可判断B；由组合定义可判断CD.

【详解】A项，A［g0=100x99x98x•••x89x88,正确；

B项，h,e,r,。的全排列为A：=24（种），正确的有1种，故可能出现的错误共有24—1=23（种）,

正确；

C项，10个朋友，两个人握手一次，共握手C；0=45（次），正确；

D项，3张门票属于相同元素，故应有C；种分法，D不正确.

故选：ABC.

10.已知函数/(x)=—/+以2—x—1在(―8,+⑹上是单调函数，则实数a的值可以是()

A.-73B.-1

C.73D.2

【答案】ABC

【解析】

【分析】由题意得了'(x)=-3必+2w—140在(-8,+8)上恒成立，由判别式小于等于。求出参数即可.

【详解】因为/'(x)=—3x?+2ax—1为二次函数，开口向下，总会存在负值，

由题意得f'(x)=-3x2+2ax-1W0在(-oo,+oo)上恒成立，

则A=4q2—12W0,解得—〈石.

故选：ABC.

11.函数/(%)=加+^2+%+1(。/0)有两个极值点％,/(/</),则下列结论正确的是()

A.若/(%>/(9)<0,则〃尤)有3个零点B.过〃龙)上任一点至少可作两条直线与〃龙)相切

C.若4(%)<。，则八％)只有一个零点D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据三次函数性质，对参数。的正负进行分类讨论画出其大致图象可知当/(不〉/(%2)<0,则

“X)有3个零点，即A正确；显然在极值点和々处只能作一条直线与〃龙)相切，可知B错误；若

4(%)<°，结合。的正负进行分类讨论可知/(%)只有一个零点，即C正确；利用三次函数的对称中心以

及导函数零点可得/(xj+/(々)=2/1―士)所以D正确.

详解】根据题意可得了'(%)=3Q2+2ZZX+C,且/'(玉)=/'(%)=0；

当a>0时，易知xelYo,%)"%，”)时，/f(x)>0；%«石,光?)时，/f(^)<0；

此时了(%)在(-8,七)和(%,+8)上单调递增，在(%,9)上单调递减；

且当X趋近于-00时，〃尤)也趋近于-℃;当X趋近于+00时，“X)也趋近于+8；

利用三次函数性质可知，当/（玉）―/（/）＜0,其函数图象如下图所示:

此时由图象可知“X）有3个零点；

同理当a＜0时，易知〃龙）在（-8,七）和（/,+8）上单调递减，在,9）上单调递增;

且当X趋近于-8时，/（%）也趋近于+8；当X趋近于+8时，九）也趋近于-8；

利用三次函数性质可知，当/（石〉/（%2）＜0,其函数图象如下图所示：

此时由图象可知〃龙）有3个零点；

所以若/（石）•/（々）＜0,则“X）有3个零点，即A正确；

由题意知/'（玉）=0，

所以过（为"&））或（尤2，/（々））有且仅有一条直线与了（%）相切，且切线为水平直线，所以B错误；

当a＞0时，由选项A易知/（X）在X=%1处取得极大值，在x=z处取得极小值，且/（%）＜/（%）；

若4（%）＜0,则/㈤＜0,即/（）＜/（石）＜0；

此时其图象如下图所示:

由图可知，了(%)只有一个零点；

同理当a<0时，易知"%)在％=用处取得极小值，在％=%处取得极大值，且/(%)</(%);

若4(%)<0,则〃石)>0,即/(%2)>/(石)>°：

此时其图象如下图所示：

由图可知，外“只有一个零点；

综上可知，若如(%)<0,则/(%)只有一个零点，即c正确;

/b

由三次函数性质可知，函数/(%)=加+乐2+0;+〃(0/0)关于一“工成中心对称,

所以满足〃x)+/一五■—%

又和々是方程/'(九)=3侬2+2bx+c=0的两根，则满足为+%=-(；

所以+—=即/4)+/(工2)=2/1,所以D正确;

故选：ACD

【点睛】方法点睛：研究三次函数性质时，需要记忆三次函数图象的几种常见模型以及对称中心坐标的表

达式，结合极值、极值点等概念综合考虑可判断结论.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.己知函数/(幻的导函数为/"(x),且满足/(%)=24(e)+lnx,则/'(e)=.

【答案】-工##_厂

e

【解析】

【分析】对原函数求导，将％=e代入求/'(e)即可.

【详解】由题设r(x)=2r(e)+j，则/>'(e)=2r(e)+』=/'(e)=」.

xee

故答案为：--

e

13.已知集合Me{1,-2,3},Ne{-4,5,6,-7},从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐

标在平面直角坐标系中表示第二象限内不同的点的个数是.

【答案】6

【解析】

【分析】根据题意，可得所取的横坐标为负数，纵坐标为正数，结合所给集合列举分析即可得答案

【详解】因为两个集合中各取一个元素作为点的坐标，且该点表示第二象限内的点，

所以所取的横坐标为负数，纵坐标为正数，

若横坐标为-2,则纵坐标可为5、6,即点为(—2,5),(—2,6),

若横坐标为-4,则纵坐标可为1、3,即点为(-4,1),(-4,3),

若横坐标为-7,则纵坐标可为1、3,即点为(-7,1),(-7,3),所以点的个数为6.

故答案为：6

14.关于x的不等式九《1+小)2(1+切11%在(0,+“)上恒成立，则实数4的取值范围是.

【答案】2>-

e

【解析】

InX

【分析】令/(x)=x+xe"则有/(尢02/(Inx),应用导数研究函数的单调性，将问题化为22——恒

x

成立，再应用导数求右侧最大值，即可得参数范围.

【详解】由题设Xx+Xx+e'*>lnx+elnxInx>

令/(x)=x+xex,则/(2x)>/(Inx),且f'(x)-l+(x+l)eA,

令g(x)=f'(x),则g'(x)=(x+2)ex,

当尤<—2,g'(x)<0,则g(x)=/'(%)在(—s,—2)上单调递减，

当力>—2,g'(x)>0,则g(x)=/'(%)在(一2,+8)上单调递增，

则f\x)>/'(—2)=1—已2〉0,即f(x)在R上单调递增，

InX

所以/IxNlnx且x>0,故——恒成立，

x

入，/、Inxr,、1-lnx

令/z(x)=---，则h(x)=-------,

XX"

当0<x<e,〃(九)>0,则〃(％)在(o,e)上单调递增，

当了>e,h'(x)<0,则/?(无)在(e,+oo)上单调递减，

则h(x)</z(e)=—,即22L

ee

故答案为：A.>—

e

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.已知无=一1是函数/(x)=-x3+3x2+ax的一个极值点.

(1)求〃司的单调区间；

(2)求〃尤)在区间［T4］上的最大值.

【答案】⑴减区间为(—8,—1),(3,+“)，增区间为(—1,3)

(2)76

【解析】

【分析】(1)求导后根据极值点的定义与满足的关系式求解即可；

(2)分析区间内的极大值点与左端点再判断大小即可

【小问1详解】

f(x)=-3x2+6x+a,x=-l是函数的一个极值点

/(-l)=-9+a=0,:.a=9,

f(x)=-3x2+6x+9,

4/(x)<0,解得尤<一1或x>3；令/(x)>0,解得一l<x<3.

所以函数〃%）的减区间为（一”,一1）,（3,+8）,增区间为（―1,3）.

【小问2详解】

由⑴/（x）=—V+3/+9无，又“%）在［T-L］上单调递减，在［—1,3］上单调递增，在［3,4］上单

调递减

•••函数/（%）在的极大值为/（3）=27,又/（T）=76,

.•・函数〃%）在区间［-4,4］上的最大值为了（T）=76.

16.已知（近+2］展开式中的第二项、第三项、第四项的二项式系数成等差数列.

（1）求w的值；

（2）将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率.

【答案】（1）7（2）—

14

【解析】

【分析】（1）利用第二项、第三项、第四项的二项式系数为等差数列可求〃=7；

（2）根据二项展开式的通项可得展开式中共有3项有理项，利用插空法和古典概型的概率计算公式可求

概率.

【小问1详解】

因为第二项、第三项、第四项的二项式系数分别为C：、C：、C：,

由题意可知：2c：=C：+C：,即“（"=—1）（:—2）,

显然〃之3,整理可得“2—9〃+14=0，

解得〃=7或“=2（舍去），所以”=7.

【小问2详解】

由（1）可知［盯+2］展开式的通项为I；.

可知展开式共8项，当厂=1,4,7为有理项，共3项,

A5A35

所以由插空法可得有理项不相邻的概率P==—

A®o14

17.已知/（%）=左e"k>0,过原点作图像的切线，切点为M,已知

(1)求了(尤)的解析式；

(2)若〃％)的图像与g(x)=ln(x+a)的图像有一条通过原点的公切线，求a的值.

【答案】⑴f(x)=ex-l

(2)1

【解析】

【分析】(1)根据导数的几何意义列方程求出切点横坐标，再根据。河=应求左；(2)由(1)可得y=%与曲

线g(x)=ln(x+a)相切，由此可求a的值.

【小问1详解】

设切点左e')

­：f'(A=k^,=,：.t=\,

t-0

,,e?=V2>又左>°；

：.k=-,/(x)=e'-1

【小问2详解】

此公切线即为a)中的切线，.•.切线为丁=%,设y=x与g(%)的图像切于点

1----=1\a—\

N(s,ln(s+a)),又；g，(%)=:・<s+a,解得<a=l

x+a历(s+a)=s〔，一

18.已知函数/⑴=e"-e*sinx.

(1)求曲线y=/(x)在％=0处的切线方程；

JT

(2)若不等式对任意xe0,-恒成立，求实数a—〃最大值；

(3)证明：〃x)>4—eXsinx—g(x—e)2.(参考数据：e07»2.014,e«2.718)

【答案】(1)y=l

⑵-1

(3)证明见解析

【解析】

【分析】(1)利用导数求曲线在切点处的切线方程;

(2)求出函数八％)在xe时的值域，可求实数a—〃的最大值；

⑶依题意，构造函数g(x)=/(x)—4+eXsinx+g(x—e>,利用导数证明g(x)>0即可.

【小问1详解】

/,(x)=ei-eT-siiu-ex-cosx,

.•./(o)=i,r(o)=o,

y=/(x)在尤=0处的切线为y=l.

【小问2详解】

(x)=e*•1—V2sin，

xe0,g,则工Wx+二〈二，所以sinjx+3］、^^,

L2j4424j2

.・"'(x)W0"(x)在0,|上单调递减，

xe0,|-时，/(X)G[0,1],

TT

因aW对任意xe0,—恒成立，所以

则a—，。一/7的最大值为—1.

【小问3详解】

设g(x)=/(X)—4+e，sira+；(x-e)2=ex-4+~(x-e)2,

g'(x)=e*+x-e,

g'(x)=e*+x—e在R上单调递增，

g'(0.7)=e0-7+0.7-e。2.014+0.7-e<0,g'⑴=1>0,

3x0G(0.7,1)，使g'(%)=e%+x0-e=0,

.•.g(x)(-<»,毛)上单调递减，在(毛,”)上单调递增,

[2

Ao=g(e而J+e%-4,

.-.g(^)>g(x0)=e+-(x0-e)-4

e*>e0'7>2，

，8⑴丸伍)〉].2、？—4=0,

/(x)>4-eAsinx-(x-e)2.

【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：

一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用；

二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.

19.帕德近似是法国数学家亨利•帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数机,〃，函数

/(x)在x=0处的[m,n]阶帕德近似定义为："(%)="。+笑+~~且满足：

1+Z?1%++bnx

/(O)=7?(O)，r(O)=R(O)(O)"(O),,/(m+n)(o)=a+")(0).

注：/〃(耳=[/(必'/(%)=[-(切'，严(xH/"(x)]'，")(x)=F)G)]，-

已知函数〃尤)=ln(x+l)在x=o处的[1,1]阶帕德近似R(x).

(1)求H(x)的表达式;

(2)iSF(x)=x(x+2)7?(x)-2/(x),当％20时，证明不等式尸(x)—2/<0；

⑶当“eN*，且心2时，证明不等式+Q+1]]+1+7+

【答案】(1)R(x)=一^

''2+x

(2)证明见解析(3)证明见解析

【解析】

【分析】(1)根据H(x)的定义，即可利用求导以及待定系数求解系数，进而可求解，

⑵构造函数G(x)=*—in(x+l),求导得单调性，即可求解最值求解，

(3)根据(2)的结论10(%+1)+x3>X2,可得ln[—Fljd-->—,由放缩法得In1—i-lK—>-----

即可裂项相加，结合对数运算求解.

【小问1