广东省华师附中2012届高三下学期第二次周末综合测试（数学理）

广东省华师附中2012届高三下学期第二次周末综合测试（数学理）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.设函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$，则$f(x)$的图像与x轴的交点个数为：A.1个B.2个C.3个D.4个2.若向量$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow{b}=(2,-1)$，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角余弦值为：A.$\frac{1}{\sqrt{5}}$B.$\frac{2}{\sqrt{5}}$C.$-\frac{1}{\sqrt{5}}$D.$-\frac{2}{\sqrt{5}}$3.已知等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$，若$a_1+a_3+a_5=12$，$a_2+a_4+a_6=18$，则$d$的值为：A.2B.3C.4D.54.若函数$f(x)=ax^2+bx+c$在$x=1$处取得最小值，则$\frac{b}{2a}$的值为：A.1B.-1C.0D.无解5.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$，若$f(x)$在$x=1$处的切线斜率为$2$，则$f(x)$在$x=2$处的切线斜率为：A.2B.4C.6D.86.若函数$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$，则$f(x)$的定义域为：A.$\{x|x\neq2\}$B.$\{x|x\neq0\}$C.$\{x|x\neq1\}$D.$\{x|x\neq-2\}$7.已知等比数列$\{a_n\}$的公比为$q$，若$a_1+a_2+a_3=12$，$a_3+a_4+a_5=48$，则$q$的值为：A.2B.3C.4D.68.若函数$f(x)=\sqrt{x^2-1}$，则$f(x)$的值域为：A.$[0,+\infty)$B.$(-\infty,0]$C.$(-\infty,1]\cup[1,+\infty)$D.$[1,+\infty)$9.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$，若$f(x)$在$x=1$处的切线斜率为$2$，则$f(x)$在$x=2$处的切线方程为：A.$y=2x-2$B.$y=4x-8$C.$y=6x-12$D.$y=8x-16$10.若函数$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$，则$f(x)$在$x=2$处的左导数和右导数分别为：A.$2$和$2$B.$2$和$-2$C.$-2$和$2$D.$-2$和$-2$二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.已知等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$，若$a_1+a_3+a_5=12$，则$a_2+a_4+a_6=______$。2.已知函数$f(x)=ax^2+bx+c$在$x=1$处取得最小值，则$\frac{b}{2a}=______$。3.若函数$f(x)=\sqrt{x^2-1}$，则$f(x)$的定义域为______。4.已知等比数列$\{a_n\}$的公比为$q$，若$a_1+a_2+a_3=12$，则$a_3+a_4+a_5=______$。5.若函数$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$，则$f(x)$在$x=2$处的左导数和右导数分别为______。6.已知函数$f(x)=\sqrt{x^2-1}$，则$f(x)$的值域为______。7.若函数$f(x)=ax^2+bx+c$在$x=1$处取得最小值，则$f(x)$在$x=1$处的切线斜率为______。8.已知等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$，若$a_1+a_3+a_5=12$，则$a_2+a_4+a_6=______$。9.若函数$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$，则$f(x)$在$x=2$处的切线方程为______。10.已知函数$f(x)=\sqrt{x^2-1}$，则$f(x)$在$x=2$处的切线斜率为______。三、解答题（本大题共4小题，共100分）1.（本小题满分20分）已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$，求：（1）$f(x)$的导数$f'(x)$；（2）$f(x)$的单调区间；（3）$f(x)$的极值。2.（本小题满分20分）已知等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$，若$a_1+a_3+a_5=12$，$a_2+a_4+a_6=18$，求：（1）$d$的值；（2）$a_1$和$a_6$的值。3.（本小题满分20分）已知函数$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$，求：（1）$f(x)$的定义域；（2）$f(x)$的值域；（3）$f(x)$的图像。4.（本小题满分40分）已知等比数列$\{a_n\}$的公比为$q$，若$a_1+a_2+a_3=12$，$a_3+a_4+a_5=48$，求：（1）$q$的值；（2）$a_1$和$a_5$的值；（3）数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n$的表达式。四、解答题（本大题共4小题，共100分）1.（本小题满分20分）已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$，求：（1）$f(x)$的导数$f'(x)$；（2）$f(x)$的单调区间；（3）$f(x)$的极值。2.（本小题满分20分）已知等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$，若$a_1+a_3+a_5=12$，$a_2+a_4+a_6=18$，求：（1）$d$的值；（2）$a_1$和$a_6$的值。3.（本小题满分20分）已知函数$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$，求：（1）$f(x)$的定义域；（2）$f(x)$的值域；（3）$f(x)$的图像。4.（本小题满分40分）已知等比数列$\{a_n\}$的公比为$q$，若$a_1+a_2+a_3=12$，$a_3+a_4+a_5=48$，求：（1）$q$的值；（2）$a_1$和$a_5$的值；（3）数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n$的表达式。五、解答题（本大题共4小题，共100分）5.（本小题满分20分）已知函数$f(x)=2^x-3$，求：（1）$f(x)$的导数$f'(x)$；（2）$f(x)$的单调性；（3）$f(x)$的极值。六、解答题（本大题共4小题，共100分）6.（本小题满分20分）已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=n^2-n+1$，求：（1）数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n$的表达式；（2）数列$\{a_n\}$的极限$\lim_{n\to\infty}a_n$；（3）若数列$\{b_n\}$为等差数列，且$b_1=a_1$，$b_3=a_3$，求$b_2$的值。本次试卷答案如下：一、选择题1.B解析：函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$的导数$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$，解得$x=1$或$x=\frac{2}{3}$，因此$f(x)$与x轴的交点个数为2个。2.A解析：向量$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow{b}=(2,-1)$的夹角余弦值为$\cos\theta=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|}=\frac{1\cdot2+2\cdot(-1)}{\sqrt{1^2+2^2}\cdot\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$。3.A解析：由等差数列的性质，$a_1+a_3+a_5=3a_3$，$a_2+a_4+a_6=3a_4$，所以$3a_3=12$，$3a_4=18$，解得$a_3=4$，$a_4=6$，公差$d=a_4-a_3=2$。4.B解析：函数$f(x)=ax^2+bx+c$在$x=1$处取得最小值，则对称轴$x=-\frac{b}{2a}=1$，解得$b=-2a$。5.A解析：函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$的导数$f'(x)=3x^2-6x+4$，在$x=1$处的切线斜率为$f'(1)=1$，在$x=2$处的切线斜率为$f'(2)=4$。6.A解析：函数$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$的定义域为$x\neq2$，因为分母不能为0。7.A解析：由等比数列的性质，$a_1+a_2+a_3=a_1(1+q+q^2)$，$a_3+a_4+a_5=a_1q^2(1+q+q^2)$，所以$12=a_1(1+q+q^2)$，$48=a_1q^2(1+q+q^2)$，解得$q=2$。8.C解析：函数$f(x)=\sqrt{x^2-1}$的定义域为$x^2-1\geq0$，即$x\leq-1$或$x\geq1$，因此值域为$(-\infty,1]\cup[1,+\infty)$。9.A解析：函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$在$x=1$处的切线斜率为$f'(1)=1$，切线方程为$y-1=1(x-1)$，即$y=2x-2$。10.B解析：函数$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$在$x=2$处的左导数和右导数分别为$\lim_{x\to2^-}\frac{\frac{x^2-4}{x-2}-2}{x-2}=2$和$\lim_{x\to2^+}\frac{\frac{x^2-4}{x-2}-2}{x-2}=-2$。二、填空题1.18解析：由等差数列的性质，$a_2+a_4+a_6=a_1+3d+a_1+5d+a_1+7d=3a_1+15d=3(a_1+5d)=3(a_1+a_3+a_5)=3\cdot12=36$。2.-1解析：由等差数列的性质，$a_1+a_3+a_5=3a_3$，$a_2+a_4+a_6=3a_4$，所以$3a_3=12$，$3a_4=18$，解得$a_3=4$，$a_4=6$，公差$d=a_4-a_3=2$。3.$\{x|x\neq2\}$解析：函数$f(x)=\sqrt{x^2-1}$的定义域为$x^2-1\geq0$，即$x\leq-1$或$x\geq1$，因此定义域为$\{x|x\neq2\}$。4.36解析：由等比数列的性质，$a_1+a_2+a_3=a_1(1+q+q^2)$，$a_3+a_4+a_5=a_1q^2(1+q+q^2)$，所以$12=a_1(1+q+q^2)$，$48=a_1q^2(1+q+q^2)$，解得$q=2$。5.2和-2解析：函数$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$在$x=2$处的左导数和右导数分别为$\lim_{x\to2^-}\frac{\frac{x^2-4}{x-2}-2}{x-2}=2$和$\lim_{x\to2^+}\frac{\frac{x^2-4}{x-2}-2}{x-2}=-2$。6.$(-\infty,1]\cup[1,+\infty)$解析：函数$f(x)=\sqrt{x^2-1}$的定义域为$x^2-1\geq0$，即$x\leq-1$或$x\geq1$，因此值域为$(-\infty,1]\cup[1,+\infty)$。7.-1解析：函数$f(x)=ax^2+bx+c$在$x=1$处取得最小值，则对称轴$x=-\frac{b}{2a}=1$，解得$b=-2a$。8.36解析：由等差数列的性质，$a_2+a_4+a_6=a_1+3d+a_1+5d+a_1+7d=3a_1+15d=3(a_1+5d)=3(a_1+a_3+a_5)=3\cdot12=36$。9.$y=2x-2$解析：函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$在$x=1$处的切线斜率为$f'(1)=1$，切线方程为$y-1=1(x-1)$，即$y=2x-2$。10.2和-2解析：函数$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$在$x=2$处的左导数和右导数分别为$\lim_{x\to2^-}\frac{\frac{x^2-4}{x-2}-2}{x-2}=2$和$\lim_{x\to2^+}\frac{\frac{x^2-4}{x-2}-2}{x-2}=-2$。三、解答题1.（本小题满分20分）（1）$f'(x)=3x^2-6x+4$（2）$f(x)$的单调递增区间为$(-\infty,1)$和$(2,+\infty)$，单调递减区间为$(1,2)$。（3）$f(x)$的极大值为$f(1)=2$，极小值为$f(2)=4$。2.（本小题满分20分）（1）$d=2$（2）$a_1=2$，$a_6=10$3.（本小题满分20分）（1）$f(x)$的定义域为$\{x|x\neq2\}$（2）$f(x)$的值域为$(-\infty,1]\cup[1,+\infty)$（3）$f(x)$的图像为开口向上的抛物