《自动控制原理（本）》-张慧妍 习题及解答

习题解答

第一章自动控制原理概述

思考题

1-1自动控制，就是在没有人直接参与的情况下,采用物理装置对生产设备或(和)工艺

过程进行自动的调节与合理控制，使之按照一定的期土变化。

1-2开环控制是一种最简单的控制方式,其特点是输入量对输出量之间只有星方向的控

制作用，即输出量.没有参与系统的控制。

1-3闭环控制系统,通过将检测出来的输出量送回系统的输入端，并与输入信号比较形成

回路，形成输出量参与系统的控制以具有反馈的机制。

1-4简述控制系统基本组成中反馈环节、比较环节的作用？

答：反馈环节是用于检测输出最，如，电热炉实际输出温度，并将其转换为与给定最具有相

同物理量纲和数量级相同的量。比较环节是将所检测的输出量与参考输入进行比较，确定

两者之间的偏差量。比较环节中窗头上的符号表示在此相加或相减。

1-5按输入量变化的规律分类，自动控制系统可以分为哪些类？

答：恒值控制系统、随动控制系统、过程控制系统

1-6对控制系统的基本性能要求都有哪些？

答：稳定性、准确性、快速性

1-7分析我国南方夏季居室温度空调系统中何为参考输入？何为输出？

答：期望的居室温度，也就是设定的居室温度为参考输入。输出为实际居室的温度。

1-8对控制系统进行数字仿真实验的意义是什么？

答：控制系统数字仿真实验不仅可以在理论学习阶段能够方便、有效地辅助学习者对自动控

制原理相关概念和问题的认识和理解，后续实际工作中对于加速控制系统试验研制进程也是

非常有意义的。

第二章线性系统的数学模型

思考题

2-1传递函数是在拉普拉斯变换基础上引申出来的复数域数学模型。

2-2令传递函数分母多项式;等于零，求得的复数域根就是系统的极点。

2-3环节的并联其特点是多个环节的具有输入星，而以各环节的输出量的代数和作

为总输出量。

2-4系统的开环传递函数就等于幽通道传递函数与反馈通道传递函数的乘积

2・5什么是传递函数？定义传递函数的前提条件是什么？

答：线性定常系统的传递函数是指在初始条件为零时，系统输出量的拉普拉斯变换与输入量

的拉普拉斯变换之比。线性定常系统传递函数定义的前提条件是初始条件为零。初始条件为

零可以从两方面进行理解：是指输入信号是在/=()以后才作用丁系统，因此，系统输入量

及其各阶导数在f40时均为零；二是指输入信号作用于系统之前，系统是“相对静止”的，

即系统输出量及各阶导数在ZW0时的值也为零。初始条件为零的规定不仅能简化运算，而且

有利于在同等条件下比较系统的性能，所以，这样的规定是必要的。

2-6在自动控制系统中，常见的数学模型有哪些？

答：微分方程、传递函数、频率特性和脉冲传递函数是自动控制系统中常见的数学模型。

2-7自动控制系统有哪些典型环节？它们的传递函数是什么样的？

答：比例环节，02=K；积分环节，^=-；惯性环节，空1=-!一；理想微分环节，

R(s)R(s)TsR(s)rs+\

92=KS；振荡环节，—一"——7；延迟环节，必=65。

R(s)火(s)s~+2^(t)ns+co；R(s)

2-8控制系统结构图的组成要素有哪些？系统结构图有哪儿种基本连接方式？

答：控制系统结构图的组成要素有四项：

(1)方框，用于表示系统或环节输入量和输出量的关系，通常将对应的传递函数放入方

框内，表示输出量等于输入量与方框内传递函数的乘积。

(2)信号线，表示信号的流向，是一个用箭头表示方向的直线。

(3)比较点，又称综合点、求和点，表示多个信号之间进行代数加运算后得到一个新的

变量。

(4)引出点，表示信号引出的位置，从同一点引出的信号相同。

控制系统结构图有三种基本连接方式，分别为：环节的串联、环节的并联和反馈连接。

2-9写出梅逊公式的表达式，并对公式中的符号进行简要说明。

型“

答：梅逊公式的表达式为G(s)=上----

A

式中：〃表示从源节点到汇节点，前向通道的个数；A表示从源节点到汇节点，第A条前向

通道的传输；△称为信号流程图的特征式，其表达式为A=i-Zzn+Z&-Z&+…o

这里，为系统中各个回路的传输之和；Z4为系统中任何两个不接触回环的传输乘积

之和；为系统中任何三个不接触回环的传输乘枳之和；同理，有为系统中任何加

个不接触回环的传输乘积之和。“称为第攵条前向通道的特征式的余子式。即在确定笫人条

前向通道后，从特征式△中划掉与第七条前向通道有公共节点接触的回路后，余下的部分。

习题

2-10初始条件均为零的前提下,己知线性定常系统的微分方程如下,其中力)、9)分别表

示系统的输入和输出，试求对应系统的传递函数。

(1)6华+3以,)=2皿+3«)

drdtdt

(2)史华+2生£+5CQ)=«)

dtdr

答：(l)两端同时进行拉普拉斯变换，652c($)+«?($)+(?($)=2向s)+3R(.s)

求得对应的传递函数为8一至±3

R(s)6.S-+5+1

(2)两端同时进行拉普拉斯变换，JC(s)+2s2c(s)+5C⑸=R(s)

求得对应的传递函数为必=,二

R(s)$3+2S“+5

2-11试求如题图所示网络的传递函数，并指出包含的典型环节，其中％为输入，〃.为输出。

答：（a）依据运算放大器的虚短和续断特性，有%=_＜也应，进而两端同时取拉普拉斯

R、dt

变换有幺0=一_包含有比例环节和积分环节。

4G）Rgs

（b）依据运算放大器的虚短和续断特性，有殳他=Y皿一幽，进而两端同时取拉

R2dt/?,

普拉斯变换有需=-（CRs+点），包含比例环节和理想微分环节，进一步可以认为这两个

环节共同构成一个一阶比例微分环节。

2-12已知控制系统的结构图题图所示，试通过结构图的等效变换求系统的传递函数毁。

答：（a）第一个比较点向输出方向移动，有

化简整理，得

进一步求得系统传递函数为

C(s)二〔6(5)+G3⑶叵(s)

而—l+G(s)G(s),(s)

(b)由图可知G?⑶和G,(s)并联，有

进一步求得系统传递函数为

[G($)+—)]-—)

C(s)=________1+[G(S)+G(S)]，2(S)_________=[G($)+G3($)]G(S)

而一]।[G|(s)+G3(s)g(s)与⑶-l+[G(s)+G式s)]H,(s)+G(s)H[(s)

1+1G,(^)+G.(S)\H2(5)'IG,(5)+Gy(5)1

2-13已知控制系统的结构如题图所示，试求取

(1)扰动N($)=0,设定系统输入为R($),输出CG)时，系统的传递函数也;

RG)

(2)R(s)=O,设定系统输入为N(s),输出C(s)时，系统的传递函数生

N(s)

图2-21

解：(1)对应的系统结构图为

G?G）

G,（s）

⑻G?⑻_________

则a

G2G）1+G2（S）〃2（S）+G/S）G2（S）M（S）

1+G（s）Hj（s）

1+G2（.V）H,（5）

(2)对应的系统结构图为

这种情况下，前向通道传递函数为]⑴，反馈通道的传递函数为G(S)[-H|(S)],

这里的号是在比较环节处做差，由于R(s)=O,等价传递而来。即，G|(s)的输入等于

输出乘以必⑸再乘以这种情况下，系统的传递函数为

G2(S)

C(s)二______l+G?")”示)_____________________________

A(s)]Gz(s)”(工)1l+G,(s)〃,G)+GKs)G(s)〃[(s)

A

\+G2(S)H2(S)'

2-14已知控制系统的信号流程图如题图所示，试使用梅逊公式求系统的传递函数也。

R(s)

解：由图可知，该信号流图共有两条前向通道即

〃=2

第一条前向通道的传输为p,=acegi

第二条前向通道的传输为P2=kgi

信号流图共有6个回路，不同回环的传输之和为

Z4=ab+cd+ef+gh+ij+kfdb

信号流图含有两两互不接触回路的传输增益乘积之和为

ZL?=abef+ahgh4-abij+cdgh+cdij4-efij+kfdbij

信号流图含有每三个互不接触回路的传输增益乘积之和为

£L、=abefij

第一条前向通道与所有回环均有接触，所以

4=1

第二条前向通道与回环〃不接触，所以

A2=1-cd

应用梅逊公式计算给定系统的传递函数为

G(s)=＞尊二

+Z&

=(acegi+kgi-kgicd)/

[1-(ah+cd+ef+gh+ij++{abef+ahgh+abij+cdgh+cdij+efij+Irfhdij)-ahefij]

第三章线性系统的稳定性和稳态特性分析

思考题

3」线性控制系统在扰动影响下，若其动态过程随时间的推移上数邃鼠，不能回到原来的

平衡状态,则称系统是不稳定的。

3-2线性定常系统稳定的充分必要条件为：系统传递函数的全部极点具有_23」。也就

是说系统所有极点均位于复数S平面的左半部。

3-3已知单位负反馈系统开环传递函数为G(s)==一，则此系统类型为1型，系统的

5(5+3)

阶数为系统的开环极点为岂-、_z3_,系统的闭环极点为，、工。

3-4线性系统的稳定性与哪些因素有关？

答:线性系统的稳定性与无外界输入无关，是系统的固有特性，仅取决于系统的结构和参数，

与初始条件也无关。

3-5如何减小线性控制系统的稳态误差？

答：通过增大升坏增益、提高系统的类型叫以减小线性控制系统的稳态误差值，但这他项措

施使用时需要注意与保持系统稳定性的限制约束之间存在的矛盾关系。必要时可以通过在控

制系统中设置额外的补偿装置以减小系统的稳态精度，提高系统的稳态精度。

习题

3-6已知系统的特征方程为。($)=3/+%3+5$2+2$+3=0,试用劳斯稳定判据判别系统的

稳定性。

答：列劳斯表

353

/92

1390

51-5500

5°9

由劳斯表可知，第一列存在两次变号，I3--55->9,因此系统不稳定，在复数s平

面的右半部存在两个具有正实部的特征根。

3-7已知单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)=*^—,试确定系统稳定时的K值

5(5+3)(5+2)

范围。

解：依据已知条件可知，系统的闭环特征方程为Q(S)=J+5S2+(6+2K)$+K=0

列劳斯表

$3|6+2K

5K

,30+9K

5

,0K

系统稳定要求对应劳斯表第一列不变号，可知满足K>0即可。

3-8已知控制系统结构如题图3-8所示，试用劳斯稳定判据确定系统稳定时反馈参数『的取

值范围。

题3-8图

C(s)12(25+1)

解：由题图求得系统的传递函数为:

R⑸-.y3+(2+12r).r+24.V+12

系统的闭环特征方程为：D(s)=/+(2+12r)?+24,$+I2=0

列劳斯表

124

2+12712

18+24X6T

1+6。

12

系统稳定要求对应劳斯表第一列不变号，可知满足r>0即可。

3-9已知单位负反馈系统的开环传递函数如下式所示，对应的给定输入信号分别为

「⑺=3」⑺+5，+9时,试求控制系统的稳态误差.

r(/)=1(/)+3/、r(/)=5t+2r

50050(s+l)

(1)G(s)=(2)G(s)=

5(5+5)(5+10)5(0.55+1)(5+10)

10(s+2)

(3)G(s)=

.v(.v2+25+10)

解：（1）由已知条件可知

|3

------+—=0+0.3=03

1+3K,

5(X)

K=limG(s)=lim

pi-M).v->0s(s+5)(s+10)

5(Y)

Kv=lim$G($)=lim,y------......=10

-'-*02。5(,V+5)(5+10)

544

=---+----=1+—=co

5Ka0

pr、v50(5+1)

K„=hmsG(s)=hm.v-----------------=5

ST。75(0.55+1)(5+10)

50(5+1)

Ka=Iim?G(5)=lim?————=0

STO,_>OS(0.5S+1)(S+10)

③「上+£+,=0+*+Loo

1+KpKvKa20

PC、r10(s+2)

Kn=limG(5)=lim——---------------=8

p'f。+2s+10)

pi-c、i-10(5+2)

K、=hmsG(s)=11ms——；--------------=2

ST。S(S~+25+10)

.r..2z-，z\,10(S+2)_

K,,=hm.vG(.s)=lim.y—；--------------=0

…$_>0S(S~+2,v+10)

3-io已知单位负反馈系统的闭环传递函数为必=——试确定系统的开环脉冲传递

R(s)5~+35+9

函数G(s)和给定误差传递函数中,(s),并求出系统在单位斜坡函数输入下的给定稳态误差。

C(5)9G(s)

解:=>G(s)(s2+35+9)=911+G(s)1

R(s)$2+3$+91+G(s)

o

进一步整理得G(s)==0

s~+3s

E(s)1s2+3$

依据定义，给定误差传递函数0⑸

R(s)l+G(s)/+3s+9

<24a《

可知，E(5)=———/?(5)

s+3s+9

c2+3s1

/=limsE(s)=Iim.sO.(v)/?(.?)=lim.v—-------------=0

5.io…s~+3$+9$

3-11已知单位负反馈系统的开环传递函数如下式所示，试求系统的稳态位置误差系数KP、

稳态速度误差系数r、稳态加速度误差系数K.。

…、~、500⑵G⑸J0(：+2)(0.2S+I)

(I)G(s)=------------------

(5+5)($+10)52G2+3s+3)

解：(1)依据定义有

5()0

K=limG(s)=lim—————=10

PnI。ST0(s+5)($+10)

“r〜、..500八

K=hmsG(s)=lim.y------------------=()

v$5(.v+5)(.y+10)

K=lims2G(s)=lim.v2-----------------=0

a5.JO(S+5)(.v+10)

(2)

10(.?+2)(0.25+1)

=limG(s)=lim

ATO.t-♦0s2(s2+3s+3)

10(5+2)(0.25+1)

K=limsG(s)=lim.y

5->0STO一(『+3s+3)

叱2i、10(5+2)(0.25+1)20

K=hm$-G(s)=hrms-2,,------=一

“a…2。$2(233)3

第四章线性系统的动态特性时域分析

思考题

4-1为了定量评价控制系统动态性能指标的优劣，依据系统的单位阶跃响应曲线定义了上升

时间、峰值时间、最大超调量、调节时间等性能指标。

4-2当二阶系统的阻尼比为0〈乙＜1时，对应系统特征根分布在复数s平面的左半部分。

4-3什么是的主导极点？高阶系统包含主导极点对系统的分析与设计有什么意义？

答：如果高阶系统中距离虚轴最近的极点，其实部比其他极点的实部的1/5还要小，并且该

极点附近没有零点，则可以认为系统的响应主要由该极点决定。这些对系统响应起主导作用

的极点，称为系统的主导吸点。对于高阶系统，如果找到•对共挽狂数主导极点，则高阶系

统就可以近似地当作二阶系统来分析，并可以用二阶系统的动态性能指标来估算高阶系统的

动态特性。在设计一个高阶系统的时候，常利用主导极点这一概念选择系统参数，使系统具

有预期的一对共扰复数主导极点，这样就可以近似地用二阶系统的性能指标来设计系统。

4-4什么是偶极子？

答：工程实际中，兰某个极点和某个零点间距很近，它们之间的距离比它们到虚轴的

距离小于一个数量级时，称这对零、极点为偶极子。极端情况下，若一对零极点重合，则

该极点对控制系统暂态响应无影响。

习题

4-5已知系统的单位脉冲响应，试求系统的传递函数。

(1)c⑴=0.2/

(2)c(r)=0.2e-3/+0.6^5/

解：(1)已知系统输入为单位脉冲函数，则对应的拉普拉斯反变换为R(s)=l,同理，输出

C⑸二肾，进而求得系统的传递函数为需二旨。

⑵已知系统输入为单位脉冲函数，则对应的拉普拉斯反变换为R(s)=l,同理，输出

0.20.60.8.S+1.9，进而求得系统的传递函数为黑=成捻

C(5)=-------1----------=--------------------

5+35+0.5(s+3)(s+0.5)

4-6已知控制系统的单位阶跃响应为6(/)=1+0.5-如-1.5/°,，试确定⑴系统的单位脉冲响

应。(2)系统的传递函数，(3)系统的阻尼比和无阻尼自然震荡角频率综。

解：(I)对于线性系统，由于单位脉冲响应是单位阶跃响应的导数，可以求得

以/)=一15-初+15"|°'；

⑵方法一：系统单位脉冲响应的拉普拉斯反变换就是系统的传递函数求得

C(s)1515=300.

~R(s)~s+\0~s+30~(s+\0)(5+30)5

方法二：单位阶跃响应的输入信号的拉普拉斯变换为R(s)=1,单位阶跃响应为

s

C(s)='+0.51.5300

则系统的传递函数为

55+305+105(5+10)(5+30)

C(s)300300

瓦3-(s+10)(s+30)一$2+40s+300'

(3)面=300=4=106=17.3,加,=40=4=型=1.16。

4-7已知二阶系统的单位阶跃响应为c(f)=1-1.25/"sin1l6+53.1)试确定⑴系统阻尼比的

范围。(2)系统的最大超调量为多少？(3)系统特征根的实部、虚部为多少？(4)系统的

阻尼比和无阻尼自然震荡角频率”。(5)系统的传递函数£应。

R(s)

答：(1)定性地分析可知系统为欠阻尼二阶系统，因此阻尼比的范围

(2)由Q=arccosC得&<=0.6带入计算公式有，=e"xlOO%=9.5%。

(3)系统特征根的实部为-1.2,虚部为±1.6。

(4)由。=2「80$,,得出7=0.6,对应地，牡=1.2/0.6=2。

(5)系统的传递函数92=-5—

R(s)?+2.45+4

4-8已知控制系统如题图所示，试着分析(1)无反馈环节”⑸时系统的动态性能指标和

r,o(2)反馈环节为比例微分"(s)=0.216s时，系统的动态性能指标Mp和小

10中)

—一s(s+l)

-------H3--------

题4-8图

解：(1)无反馈环节H⑶射系统的传递函数为

c(5)10

R(s).F+s+10

求得对应的q=加，<=0.158o

对应计算M,=ekX1OO%=72.7%,rv(5%)=—=6.y,乙(2%)=’-=85.

gg

(2)反馈环节为比例微分HG)=0.216s系统的传递函数为

C(s)二10

R(s)d+3.16s+10

求得对应的=3.16n，=0.5。

对应计算M，=e户xl00%=16.3%,rs(5%)=—=1.95,4(2%)=2=2.53s。

初3.

4-9已知单位负反馈二阶系统的开环传递函数为G(s)=—空—,其单位阶跃响应如题图

6($+2g)

所示，其中最大超调量M,=9.6%,(=0.2s(5%误差带)。试着写出(1)系统的阻尼比〈和

无阻尼自然震荡角频率七。(2)该系统的闭环传递函数山。

R(s)

题4-9图

解•：(1)依据超调量定义以及计算公式可知

c(l〃)-c(8)x]00%=e向xioo%=9.6%,求得，=0.6

0C3)

33

((5%)=—=——=0.25,求得(on-25

g0.64

(2)C(.y)_625

瓦3-$2+30S+625

4-10已知控制系统结构图如题图所示，依据系统的单位阶跃响应的峰值时间。=0.75$,输

出稳态值为2,试求出系统对应的参数K、

题4-10图

解：系统的闭环传递函数为

2K,冠—,二K,279

R(s)s~+2sts+0:s~+as+27.9

参数K相当于将系统输出响应曲线放大K倍.输出稳态值为2,因此K=2。

con=V27^9=5.28,C=—=/兀、—=0.75s=>0=0.46

4=2血=4.858。

第五章线性系统的稳定性和稳态特性分析

思考题

5・1惯性环节对数幅频特性渐近线低频段的斜率为0,经过转折频率后的高频段斜率为

-20dB/deco

5-2对数幅频特性渐近线在低频段为0,小的典型环节有惯性环节、•阶比例环节、

振荡环节等。

5-3最小相位系统和非最小相位系统的差异是什么？

答：依据传递函数定义进行分析：复数s平面的右半部是否具有极点和零点、纯时间延迟特

性，具有为非最小相位系统，否则是最小相位系统。此外，对数幅频特性与相频特性之间的

是否具有一一对•应的关系也是差异，与具有相同幅频特性的非最小相位系统相比，最小相位

系统的相位变化量总小于非最小相位系统的相位变化量。

5-4简述绘制系统开环对数幅频特性渐近线的步骤有哪些？

答：详见教材，略

5-5分析、推导辅助函数&s)=l+G(s)”(s)的零点、极点与开环传递函数极点和闭环传递

函数极点的关系。

答：详见教材，略

习题

5-6已知某负反馈系统的传递函数为8=3-,试求当系统的给定输入信号为(1)

R(s)s+1

r(0=sin(2r+30)；(2)巾)=2sin(3f-45)时,系统输出的稳态分量。

答：依据频率特性的概念，A(co)=.6,^(69)=-arctan69

二卡，^(2)=-arctan2=-63.4,进而c(f)⑵-33.4)

(1)M=2,=A(2)

—,^(3)=-arctan3=-71.56，进而c(f)=^J^sin(3f-l16.56)

(2)69=3>=>A(3)=

V10V10

5-7已知单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)^------------,试绘制系统的极坐标图和

5(1+5)(1+25)

伯德图。

_____________10*

答：系统开环频率特性为：G(»=——―-——

+769)(1+；2<y)(oe^+苏-3W+4dgn20

系统开环相频频率特性为：以口)=-90-arctanco-arctan2co

次⑼=-90——迎】=_180>,

\-2co~=哈号

其中，取点、列表、计算结果如下表所示。

表5-5列表计算题5-7极坐标的数据点

0+9立R

(0

A(⑼帝里与0

33瓜

8(⑼-90-180-215.26-270

A

题5-7系统的极坐标图

系统开环对数频率特性为：U(o)=20Ig10-201g-201gVl+<w2-201gVl+4<w2

系统低频段的斜率为—20dB/dcc,过0=0.5点，高度为L(0.5)=201g——=26dB。啰=0.5又

是惯性环节的转折频率，之后的渐近线斜率变为TOdB/dec也是惯性环节的转折频率,

之后的渐近线斜率变为YOdB/dec。

系统的相频特性可采用列表、取点、计算的方式大致绘制。系统伯德图如下：

题5-7系统的伯德图

5-8如题图所示，为最小相位系统的开环对数幅频特性的渐近线，试写出对应的开环传递函

数，并求出相角裕度人

题5-8图

解：此最小相位系统的开环传递函数结构为:

G(5)=_£(£±1L

由图可知，£(l)=201g4=20=>K=l(X)

r

求剪切频率：———=|-20|=><y(.=10

5-9如题图所示的奈奎斯特曲线中，判别系统稳定性。

解：(a)稳定；(b)不稳定；(c)不稳定

K

5-10已知单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)=，试用伯德图方法确定闭环

s(s+l)(3s+l)

系统稳定的临界增益K值。

K

解：系统幅频特性表达式：

+1也①2+1

相频特性表达式：(p((o)=-90-arctan6y-arg3ft)

令*(⑼=-90-arctan69-arg36y=-180=<y=g

由A(等)=i=K=g为系统闭环稳定的临界增益。

5-11已知系统的开环传递函数为G(s)H(s)=———------试用奈奎斯特稳定判据分析闭环

5(54-1)(25+1)

系统的稳定性。

解：仿照例题5-11过程，绘制此具有积分环节的3阶系统的奈奎斯特曲线如下图所示

题5-11图

由传递函数可知P=0,由奈奎斯特曲线可知N=2(补画关于实轴对称部分曲线后顺时针包围-

1点两圈)，根据Z=P-N=2,可知此系统闭环具有两个具有正实部的闭环极点，系统闭环不稳

定。

5-12如题图所示，为某最小相角系统对数幅频渐近线，请写出对应的开环传递函数。

题5-12图

解：此最小相位系统的开环传递函数结构为：

K段+1)

G(s)=--------------------------

5(—+1)(—+1)

50100

由题图可知，系统的剪切频率％=3?201g-0?K3。

3

16

5-13已知系统的开环传递函数为G(s)=,用MATLAB求系统的开环相角裕

5(0.15+1)(54-1)

度和增益裕度，并绘制系统的闭环对数幅频特性和相频特性图.确定对应的谐振峰值历，，

谐振频率?和截止频率例。

解：程序代码如下：

num=16;

den=[0.11.110];

G=tf(num,den);

[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=inargin(G)%求稳定裕度

Gyc=feedback(G,l);%求闭环传递函数

bode（Gyc）

grid

运行结果如下：

开环系统的Gm=0.6875（幅值裕量），Pm=-6.0900（相角裕量6Wcg=3.1623（相位

穿越频率），Wcp=3.8031（剪切频率）。

题5-13闭环系统伯噫图

可见，闭环的谐振峰值=19.9,谐振频率勺=3.74和截止频率例=5.75。

第六章线性系统的校正

思考题

6-1用频率法设计控制系统的校正环节时，采用串联相位超前校正是利用其具有的超前的

正相角，采用相位滞后校正是利用其具有的滞后的负用角。

6-2PD控制器具有正的用频特性，与相位超前校正类似,串联到控制系统中可以提高

系统的剪切频率和相角裕度。

6-3增大系统的开环增益可能给系统带来哪些性能改善和问题？

答：系统的稳态误差分减小、剪切频率牝增大，动态性能提升，但这也可能导致控制系统

的相角裕度/减小甚至出现不稳定的情况，以及抵抗高频噪声的能力下降。

6-4相位滞后校正的相角是滞后的，为什么串联后可以用来改善系统的相角裕度了?

答：相位滞后校正，主要是利用其高频段的负增益，与未校正系统串联降低系统原有的

剪切频率，从而间接地使相角裕度变大。若未校正系统原有的相频特性具有随频率减

小，相角裕度增大的特性，串联相位滞后校正就会取得较好的效果。

此外，还有一些场合使用图6-10（b）所示相位滞后校正，主要数利用其低频段的正增

益，与未校正系统串联增加低频段的增益，进而提高系统为稳态精度，设计合理则几乎

不影响校正后系统的相角裕度。此外，需要注意相角滞后程度较大的中频段，使用时要

尽量避免其位于校正后系统的中频段。

6-5串联相位超前校正为什么可以改善系统的动态特性？

答：一般情况下，串联相位超前校正使得剪切频率利增大，提高了系统的频带宽度，从而可

提高系统的响应速度，改善系统的动态特性。

习题

6-6如题图所示，试求此有源电路网络的传递函数并绘制伯德图，分析其串联加入控制系统

对系统性能有哪些改善？

解：由运算放大器的性质可知，

C小…。)=，

dtR2"&

两端取拉普拉斯变换，整理有

U„_C&s+l_CR23+1_R2CR2S+\

aC&sCR\幺sR]CR2S

题6-6对应传递函数伯德图

可见这是一个比例积分校正环节，伯德图如上。串联此类PI控制器能够提高系统的型别，

有利于消除或减小系统的稳态误差，改善系统的稳态性能。

6-7已知单位负反馈系统的开环传递函数为6($)=而言J，校正网络装置的传递函数为

&($)=辱史，绘制校工前后系统的对数幅频特性渐近线，并计算校正前后系统的相角裕

度。

解：绘制对数幅频特性渐近线如线图所示，其中6(5)为超前校正环节，可提供超前相角。

G(s)为校正前系统，G*s)G,(s)为串联校正后系统。

G.(s)

题6-7图系统的对数幅频埼・性图

校正前:201g(2.5/0.4)=401g(%/0.4)=>%=1

(

r,=180-90-arctg2.5co(l»21.8°

2

校正后：设在单位§7处的高度为力，则有：

3

——上一-=40^——-一-=20,消去中间变量〃

22

lgfy-lg-lg^-lg-

rIJ2J

401g粤=2。也等n@2=15

33

r2=180-90-arctgl.5coc24-arctg\,5cov2-arctg0.25a)c2«60

6-8已知单位负反馈系统的开环传递函数为6(S)=S(]+0]S；]+02S)

(1)试绘制系统伯德图尹求相角裕度了。

(2)串联校正环节的传递函数为G,(s)=咨二]，试求咬正后系统的剪切频率和相角裕度,

33.3s+1

并分析校正后系统的性能有哪些改善？

4

解：(I)低频段，串联一个积分环节，与G：(S)=M的对数幅频特性曲线重合。具有两个转

s

折频率5、10,每经过一个转折频率，渐近线的斜率变化-2(k/B/dec.

其中低频段选取一点3=4单位s"处的高度为〃，则有力=201g="7=0,可知原系统的剪

(01

切频率&=4

对应的相角裕度/=180-90-arctan0.1仁一arctan0.2M<=29.5

绘制系统对数幅频特性渐近线如下图所示，

(2)可见校正环节为相位滞后校正，〃=10,转折频率分别为0.3和0.03,串联后可以使得

原系统的剪切频率变小。

由于201g£=20必，可知，对应原系统具有20曲的高度与串联滞后校正带来的-2()〃

4

之和为OdB,对应的频率为系统新的剪切频率，20馆,代?=20=>"=0.4

进一步求得校正后系统的相角裕度为；

Y=180-90-arctan0.\<oc.—arclan0.2"，+arctan3.334,—arctan33.3々.«37

可见串联相位滞后校正，利用其高频段的负增益，与未校正系统串联减小系统原有的剪

切频率，从而间接地使相角裕度变大。

6-9已知单位负反馈系统的开环传递函数为G.(s)=不磊可，要求系统的稳态速度误差系

数为100,相角裕度/>55,试确定串联校正环节的传递函数。

解：I.基于稳态速度误差系数要求可知，

K=\ims---=100=>K=l()0

s-*05(1+0.15)

2.低频段选取一点<y=10单位『处的高度为力，则有/7=2Olg@Li=2O

co1

由于系统为最小相位系统，绘制系统的开环频率特性渐近线如下图所示

题6-9图，系统的幅频特性渐近线

剪切频率所在三角形高宽比

—————=40=找=31.6,/=180-90-arctanO.=17.56,不满足性能指标要求。

lg<yr-IglO

3.根据性能指标中期望的相角裕度人计算需要由相位超前校正补偿的相位超前量

0=7-%+£=55-17.564-7.56=45。

4.令相位超前校正提供的最大超前相角%=°,则由式（6-10）求得

*上画娱0⑺6

l+sin/

5.在未校正系统的对数幅频特性渐近线中找到对应对数幅频特性为

h=-lOIg^-=|-0.7661dB处的频率,―"电一=40=".=50,单位「。

lg4,-1g%

1

6.将舔=q.=5()带入式(6-9)求得@=50=nr=0.05.进而相位超前校正的两

r\[a

个转折频率可分别求得为2="而=20、i

=116.55,单位

ar4a

7.串联校正后系统的传递函数为

100I+0.05A-

G（S）=G（$）G,（$）=

5(0.15+1)1+0.008585

校正后系统的相角裕度为

/=180-9()+arctan0.05q.一arctan0.\eo(,-arctan0.008582x56

可见满足相角裕度要求。

2

6-10已知单位负反馈系统的开环传递函数为G.（s）=,用MATLAB设计

5(1+0.15)(1+0.255)

超前校正，使得系统满足塾态速度误差系数为10,相角裕度y>45。

解•：依据期望性能指标可知，系统的开环增益应增大到10。具体程序如下:

cic

clear

num=2;

den=conv([10],conv([0.2511J0.11]))%分母多项式展开

G=tf(num,dcn);

kc=5

yPm=45+10%epsilon=10

G=tf(G);

(mag,pha.wl=bode(G*kc);

Mag=20*logl()(mag);%converttodB

[Gm,Pm,Wcg,Wcpl=margin(G*kc);

phi=(yPm-Pm)*pi/180;%Calculatcthephaseanglethatshouldbecompensated

alpha=(1-sin(phi))/(1+sin(phi));

Mn=-10*log10(l/alpha);

Wegn=spline(Mag,w,Mn);%Cubicsplinedatainterpolation

T=l/(Wegn*sqrt(l/alpha));

Tz=l/alpha*T

Gc=tf([Tz1],[T1])%输出校正环节的传递函数

BG=feedback(G*kc,I)%输出校正前的闭环传递函数

BGC=feedback(G*kc：!：Gc,1)%输出校正后的闭环传递函数

stcp(BG)

holdon

stcp(BGC,'・・')

题6-10校正前后系统的单位阶跃响应曲线

可见，由于引入校正(此题为相位超前校正)，系统的带宽增大，响应速度增加，超调

量减小。

第七章非线性系统的分析

思考题

7-1对于非线性系统，输入正弦信号，输出的频率响应系能是一个含有高次谐波的周期信

号。

7-2非正弦周期信号经过的线性环节G(s)具有低通滤波特性时，信号中的总次谐波才可

能被衰减。

7-3常见的非线性特性有哪些？

答：死区特性、饱和特性、间隙特性、继电器特性等。

7-4简述相平面分析法的实质，为什么它是分析二阶系统的有效方法？

答：构建以.N)为横轴，其/)为纵轴的直角坐标平面为相平面，在相平面上每一个状态