2025小升初数学热点考点强化第1讲行程问题(一)(讲义)(原卷版+解析)

第1讲行程问题（一）考点目录考点目录TOC\o"1-1"\h\u相遇问题 2追及问题 4流水行船问题 7多次相遇问题 10热点热点透析考情透析考情透析热点考点考查频率考点难度相遇问题★★★★★★★追及问题★★★★★★流水行船问题★★★★★★多次相遇问题★★★★★★★【考情分析】考查行程问题常以选择填空题和应用题的形式出现，期中应用题出现的比例又较高。主要命题点有：相遇问题、追及问题、流水问题、多次相遇问题、环形跑道问题、钟面上的追及问题、列车过桥问题等问题热点突破1热点突破1关键知识关键知识相遇问题两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动，随着时间的发展，必然面对面地相遇，这类问题叫做相遇问题．它的特点是两个运动物体共同走完整个路程．小学数学教材中的行程问题，一般是指相遇问题．

相遇问题根据数量关系可分成三种类型：求路程，求相遇时间，求速度．

它们的基本关系式如下：

总路程=（甲速+乙速）×相遇时间

相遇时间=总路程÷（甲速+乙速）

另一个速度=甲乙速度和-已知的一个速度．典型例题典型例题例1：例1:根据算式选择问题．甲、乙两人同时从两地相向而行，甲骑车每小时行15千米，乙步行每小时行6千米，经过4小时两人相遇．

（1）甲、乙两人每小时共行多少千米？

（2）两地之间的路程是多少千米？

（3）相遇时，甲行了多少千米？

【分析】（1）根据甲乙两人的速度求和，求出甲、乙两人每小时共行多少千米即可；

（2）根据速度×时间=路程，用甲乙的速度之和乘以相遇用的时间，求出两地之间的路程是多少千米即可；

（3）根据速度×时间=路程，用甲的速度乘以骑车的时间，求出相遇时甲行了多少千米即可．

【解答】（1）15+6=21（千米）

答：甲、乙两人每小时共行21千米．

（2）21×4=84（千米）

答：两地之间的路程是84千米．

（3）15×4=60（千米）

答：相遇时，甲行了60千米．

【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间=路程，路程÷时间=速度，路程÷速度=时间，要熟练掌握．跟踪训练跟踪训练【跟踪训练1】（2024•龙亭区校级模拟）A、B两地相距16km,甲、乙两人都从A地到B地。甲步行，每小时4km,乙骑车，每小时行驶12km,甲出发2小时后乙再出发，先到达B地的人立即返回去迎接另一个人，在其返回的路上两人相遇，则此时乙所用时间为（）A．3.5小时B．3小时C．1.5小时D．1小时【跟踪训练2】（2024•兴隆县）两列高铁分别从A城和B城相对开出，2小时相遇，A城开出的高铁平均速度是240千米/时，B城开出的高铁平均速度是264千米/时。求A、B两城相距多少千米，下列算式错误的是（）A．2×240+2×264B．2×240+264C．2×（240+264）D．（240+264）×2【跟踪训练3】（2025•北碚区）甲、乙两人同时从A地出发前往相距270千米的B地，甲每小时比乙多走12千米。甲到达B地后立即返回A地，在距B地30千米处与乙相遇。相遇后两人的速度保持不变，乙到达B地之后再过______小时，甲返回A地。【跟踪训练4】（2024秋•淮北期末）一条马路长500米，小丽和她的小狗分别以均匀的速度同时从马路的起点出发。当小丽走到这条马路一半的时候，小狗已经到达马路的终点。然后小狗返回与小丽相向而行，遇到小丽后，跑向终点，到达终点后再与小丽相向而行……直到小丽到达终点才停止。小狗从开始出发到停止一共跑了______米。【跟踪训练5】（2025•黄埔区）甲、乙两车绕周长为400千米的环形跑道行驶，它们从同一地点同时出发，背向而行，5小时相遇，如果两车每小时各加快10千米，那么相遇点距离前一次相遇地点3千米，已知乙车比甲车快，求甲、乙原来每小时行多少千米？【跟踪训练6】（2024秋•武昌区期末）如图，学校操场的400米跑道中套着300米的小跑道，大跑道与小跑道有200米路程相重，甲以每秒6米的速度沿着大跑道逆时针方向跑，乙以每秒4米的速度沿着小跑道顺时针方向跑，两人同时从两跑道的交点处出发，当他们第二次在跑道上相遇时，甲共跑了多少米？热点突破2热点突破2关键知识关键知识追及问题1．追击问题的概念：

追及问题的地点可以相同（如环形跑道上的追及问题），也可以不同，但方向一般是相同的．由于速度不同，就发生快的追及慢的问题．

2．追及问题公式：根据速度差、距离差和追及时间三者之间的关系，常用下面的公式：

距离差=速度差×追及时间

追及时间=距离差÷速度差

速度差=距离差÷追及时间

速度差=快速-慢速

3．解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中，找出两者，然后运用公式求出第三者来达到解题目的．典型典型例题例1：例1：上午8时8分，小明骑自行车从家里出发，8分后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他，然后爸爸立刻回家．到家后又立刻回头去追小明，再追上他的时候，离家恰好是8千米，问这时是几时几分？

【分析】由题意可知：爸爸第一次追上小明后，立即回家，到家后又回头去追小明，再追上小明时走了12千米．可见小明的速度是爸爸的速度的13．爸爸从家到第一次追上小明，小明走了4千米，若爸爸与小明同时出发，则爸爸应走出12千米，但是由于爸爸晚出发8分钟，所以只走了4千米，所以爸爸8分钟应走8千米，则爸爸的速度为1千米/分钟．

那么，小明先走8分钟后，爸爸只花了4分钟即可追上，这段时间爸爸走了4千米．

【解答】爸爸的速度是小明的几倍：（4+8）÷4=3（倍），

爸爸从家到第一次追上小明，小明走了4千米，若爸爸与小明同时出发，则爸爸应走出12千米，但是由于爸爸晚出发8分钟，所以只走了4千米，所以爸爸8分钟应走8千米，则爸爸的速度为1千米/分钟．

爸爸所用的时间：（4+4+8）÷1=16（分钟）

16+16=32（分钟）

答：这时是8时32分．

【点评】跟踪训练跟踪训练【跟踪训练1】（2024春•泉山区期中）小王、小李沿着200米的环行跑道跑步。他们同时从同一地点出发，同向而行。小王每分钟跑260米，小李每分钟跑210米，经过（）分钟后小王第二次追上小李。A．4B．5C．8D．10【跟踪训练2】（2024•雄县）小明和爷爷一起去操场散步，小明走一圈需要8分钟，爷爷走一圈需要10分钟，两人同时同地同方向而行，（）分钟后小明超出爷爷一整圈。A．40B．40C．18D．20【跟踪训练】（2024春•武侯区期末）甲乙两人的速度比是9：7，甲乙两人分别从A，B两地同时出发，如果相向而行，0.5个小时后相遇；如果他们同向而行，甲过______小时能追上乙。【跟踪训练4】（2024•沙坪坝区）A、B两地相距22.4千米。有一支游行队伍从A地出发，向B匀速前进。当游行队伍队尾离开A时，甲、乙两人分别从A、B两地同时相向而行，乙向A步行，甲骑车先追向队头，追上之后又立即骑向队尾，到达队尾之后又掉头追队头，如此反复，当甲第5次追上队头时恰与乙相遇在距B地5.6千米处；当甲第7次追上队头时，甲恰好第一次到达B地，那么此时乙距离A地还有______千米。【跟踪训练5】（2025•泗洪县）甲、乙两人沿着400米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。甲的速度是每分钟290米，乙的速度是每分钟250米，经过多少分钟甲第一次追上乙？【跟踪训练6】（2025•重庆模拟）李勇、张强两人周末到笔架山锻炼身体，两人同时从山脚开始爬山，到达山顶就立即下山，他们两人下山的速度都是各自上山速度的1.5倍，李勇到达山顶时，张强距山顶还有400米，然后李勇下山，张强爬完400米到山顶也开始下山，李勇回到山脚时，张强刚好返回到半山腰，求从山顶到山脚的距离。热点突破3热点突破3关键知识关键知识流水行船问题船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推送或顶逆，在这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程，叫做流水行船问题．

流水行船问题，是行程问题中的一种，因此行程问题中三个量（速度、时间、路程）的关系在这里将要反复用到．此外，流水行船问题还有以下两个基本公式：

顺水速度=船速+水速，（1）

逆水速度=船速-水速．（2）

这里，船速是指船本身的速度，也就是在静水中单位时间里所走过的路程．水速，是指水在单位时间里流过的路程．顺水速度和逆水速度分别指顺流航行时和逆流航行时船在单位时间里所行的路程．

根据加减法互为逆运算的关系，由公式（l）可以得到：

水速=顺水速度-船速，

船速=顺水速度-水速．

由公式（2）可以得到：

水速=船速-逆水速度，

船速=逆水速度+水速．

这就是说，只要知道了船在静水中的速度，船的实际速度和水速这三个量中的任意两个，就可以求出第三个量．

另外，已知船的逆水速度和顺水速度，根据公式（1）和公式（2），相加和相减就可以得到：

船速=（顺水速度+逆水速度）÷2，

水速=（顺水速度-逆水速度）÷2．典型典型例题例1：例1：一艘船在河里航行，顺流而下每小时行16千米．已知这艘船下行3小时恰好与上行4小时所行的路程相等，求静水船速和水速？

【分析】根据题干，可以求得船逆水速度为：16×3÷4=12千米/时，船速是指的静水速=（顺水速+逆水速）÷2，水速=（顺流速度-逆流速度）÷2，由此代入数据即可解决问题．

解：逆水速度：16×3÷4=12（千米/时），

则船速：（12+16）÷2=14（千米/时），

水速：（16-12）÷2=2（千米/时），

【解答】船速为14千米/时；水速为2千米/时．

【点评】解答此题的关键是，根据船速，水速，船逆水的速度，船顺水的速度，几者之间的关系，找出对应量，列式解答即可．

例2：一位少年短跑选手，顺风跑180米用了20秒，在同样的风速下，逆风跑140米也用了20秒．问：在无风的时候，他跑200米要用多少秒？

【分析】根据顺风跑180米用了20秒钟，求出顺风时每秒的速度；再根据逆风跑140米，也用了20秒钟，求出逆风时每秒的速度；用二者之和除以2，求出无风时每秒的速度；要求跑200米要用多少秒，用200除以无风时的速度即可．

【解答】顺风时每秒的速度：

180÷20=9（米），

逆风时每秒的速度：

140÷20=7（米），

无风时每秒的速度：

（9+7）×12=8（米/秒）

无风时跑200米需要200÷8=25秒．

答：无风时跑200米需要25秒．

【点评】跟踪训练跟踪训练【跟踪训练1】一汽船往返于两码头间，逆流需要10小时，顺流需要6小时。已知船在静水中的速度为12公里/小时。问水流的速度是多少公里/小时？（）A．2B．3C．4D．5【跟踪训练2】有一艘轮船所带的燃料最多可用12小时，驶出时速度是30千米/每小时，返回时逆水，速度是顺水速度的80%，这艘轮船最多驶出（）千米就应返航．A．160B．200C．180D．320【跟踪训练3】（2024•峰峰矿区）甲、乙两港相距247.5千米，一艘轮船从甲港顺水驶向乙港用了4.5小时，返回时因为逆水比去时多用1小时，则水流速度为______千米/时。【跟踪训练4】（2025•北碚区）早上8时，骑士号和勇士号两船分别从A、B两港出发，相向而行，骑士号抵达下游B港、勇士号抵达上游A港后都立即掉头返回，上午10时两船首次回到各自的出发点。已知两船同向行驶的时间是10分钟，水流速度为0.5米/秒，那么骑士号在静水中的航行速度是______米/秒。【跟踪训练5】（2024•北碚区）某人畅游长江，逆流而上，在A处丢失一只水壶，他向前又游了20分钟后，才发现丢失了水壶，立即返回追寻，在离A处1千米的地方追到，则水流速度为多少？【跟踪训练6】（2024•九龙坡区）一条大河有A、B两个港口，水由A流向B，水流速度为4千米/时.甲、乙两船同时由A向B行驶，各自不停地在A、B之间往返航行，甲在静水中的速度是28千米/时，乙在静水中的速度是20千米/时，已知两船第二次迎面相遇地点与甲船第二次追上乙船（不算开始时甲、乙在A处的那一次）的地点相距40千米，求A、B两个港口的距离。热点突破4热点突破4关键知识关键知识多次相遇问题多次相遇的基本公式和方法计算：

距离、速度、时间这三个量之间的关系，可以用下面的公式来表示：距离=速度×时间．显然，知道其中的两个量，就可以求出第三个量．

还可以发现：当时间相同时，路程和速度成正比；当速度相同时，路程和时间成正比；当路程相同时，速度和时间成反比．也就是说：设甲、乙两个人，所走的路程分别为S甲、S乙；速度分别为V甲、V乙；所用时间分别为T甲、T乙时，由于S甲=V甲×T甲，S乙=V乙×T乙，有如下关系：

（1）当时间相同即T甲=T乙时，有S甲：S乙=V甲：V乙；

（2）当速度相同即V甲=V乙时，有S甲：S乙=T甲：T乙；

（3）当路程相同即S甲=S乙时，有V甲：V乙=T乙：T甲．

在多次相遇、追及问题中，用比例方法来解往往能收到很好的效果．典型典型例题例1：例1：如图：A、B是圆直径的两端，小张在A点，小王在B点，同时出发反向而行，他们在C点第一次相遇，C点离A点100米，在D点第二次相遇，D点离A点有60米，求这个图的周长．

【分析】由题意可知，第一次相遇于C点，两人合走了半个周长．从C点开始到第二次相遇于D点，两人合起来走了一个周长．因为两速度和一定，所以第一段所需时间是第二段的一半．对于小王而言，他第一段所走的行程是第二段的一半．则C，D的关系有如下两种情况：

对于第一种情况，小王第一段所走的行程为BC，第二段所走的为CD，则CD=2BC，所以CD=AC+AD=160米，则BC=160÷2=80米，所以半圆周长是100+80=180米，圆的周长是180×2=360米．

对于第二种情况，小王所走的行程为BC，第二段所走的为CD，同样有CD=2BC，CD=AC-AD=40米，则BC=40÷2=20米，则半圆周长是100+20=120米，圆的周长是120×2=240米．

即这个圆的周长为360米或240米．

【解答】由题可知，C，D的关系有如下两种情况：

对于第一种情况，CD=2BC，所以CD=AC+AD=160米，则BC=160÷2=80米，

所以半圆周长是100+80=180（米），

圆的周长是180×2=360（米）．

对于第二种情况，CD=2BC，CD=AC-AD=40米，则BC=40÷2=20米，

则半圆周长是100+20=120（米），

圆的周长是120×2=240（米）．

即这个圆的周长为360米或240米．

【点评】完成本题要细心，注意分析所给条件，从两种情况进行分析解答．跟踪训练跟踪训练【跟踪训练1】（2023春•郏县）小红和小华分别从一座桥的两端同时出发，往返于桥的两端之间。小红的速度为70米/分，小华的速度为65米/分，经过5分钟两人第二次相遇。这座桥长（）米。A．675B．135C．225D．450【跟踪训练2】（2024•嘉峪关）甲、乙两人从400米的环形跑道的一点A背向同时出发，8分钟后两人第三次相遇。已知甲每秒钟比乙每秒钟多行0.1米，那么，两人第三次相遇的地点与A点沿跑道上的最短距离是（）A．166米B．176米C．224米D．234米【跟踪训练3】（2025•重庆模拟）甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，甲的速度是乙的1.5倍，两人相遇后继续行进，甲到B地，乙到A地后立即返回，在A、B两地间往返前进，已知两人第四次相遇的地点距离第三次相遇的地点20千米，那么A、B两地相距______千米。（追上也算相遇）【跟踪训练4】（2024•渝中区）甲、乙两人同时从A、B两地同时出发，相向而行。甲速度是乙的45，相遇后二人继续前进。甲到B地、乙到A地后立即返回。已知二人第二次相遇的地点距离第一次相遇的地点是300米。A、B两地相距______米。【跟踪训练5】（2024秋•青山区期末）一辆客车与一辆货车的速度比是5：4，客、货两车同时从A、B两地出发相向而行，客车到达B地后立即返回，货车到达A地后也立即返回，在离A、B中点9千米处第二次相遇。A、B两地之间的距离是多少千米？【跟踪训练6】（2024•渝中区）甲、乙、丙三人沿着湖边散步，同时从湖边一固定地点出发。甲按顺时针方向行走，乙与丙按逆时针方向行走。当甲第一次遇到乙后113分钟遇到丙，再过223分钟第二次遇到乙。已知乙的速度是甲的9第1讲行程问题（一）考点目录考点目录TOC\o"1-1"\h\u相遇问题 2追及问题 7流水行船问题 11多次相遇问题 17热点热点透析考情透析考情透析热点考点考查频率考点难度相遇问题★★★★★★★追及问题★★★★★★流水行船问题★★★★★★多次相遇问题★★★★★★★【考情分析】考查行程问题常以选择填空题和应用题的形式出现，期中应用题出现的比例又较高。主要命题点有：相遇问题、追及问题、流水问题、多次相遇问题、环形跑道问题、钟面上的追及问题、列车过桥问题等问题热点突破1热点突破1关键知识关键知识相遇问题两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动，随着时间的发展，必然面对面地相遇，这类问题叫做相遇问题．它的特点是两个运动物体共同走完整个路程．小学数学教材中的行程问题，一般是指相遇问题．

相遇问题根据数量关系可分成三种类型：求路程，求相遇时间，求速度．

它们的基本关系式如下：

总路程=（甲速+乙速）×相遇时间

相遇时间=总路程÷（甲速+乙速）

另一个速度=甲乙速度和-已知的一个速度．典型例题典型例题例1：例1:根据算式选择问题．甲、乙两人同时从两地相向而行，甲骑车每小时行15千米，乙步行每小时行6千米，经过4小时两人相遇．

（1）甲、乙两人每小时共行多少千米？

（2）两地之间的路程是多少千米？

（3）相遇时，甲行了多少千米？

【分析】（1）根据甲乙两人的速度求和，求出甲、乙两人每小时共行多少千米即可；

（2）根据速度×时间=路程，用甲乙的速度之和乘以相遇用的时间，求出两地之间的路程是多少千米即可；

（3）根据速度×时间=路程，用甲的速度乘以骑车的时间，求出相遇时甲行了多少千米即可．

【解答】（1）15+6=21（千米）

答：甲、乙两人每小时共行21千米．

（2）21×4=84（千米）

答：两地之间的路程是84千米．

（3）15×4=60（千米）

答：相遇时，甲行了60千米．

【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间=路程，路程÷时间=速度，路程÷速度=时间，要熟练掌握．跟踪训练跟踪训练【跟踪训练1】（2024•龙亭区校级模拟）A、B两地相距16km,甲、乙两人都从A地到B地。甲步行，每小时4km,乙骑车，每小时行驶12km,甲出发2小时后乙再出发，先到达B地的人立即返回去迎接另一个人，在其返回的路上两人相遇，则此时乙所用时间为（）A．3.5小时B．3小时C．1.5小时D．1小时【答案】C【分析】设乙所用的时间为x,根据题意可知：乙走的路程=16+甲所剩的路程，依此列出等量关系解方程即可。【解答】解：设乙所用的时间为x,依题意得：

16+16-4（x+2）=12x

32-4x-8=12x

16x=24

x=1.5

答：此时乙所用的时间为1.5小时。

故选：C。【跟踪训练2】（2024•兴隆县）两列高铁分别从A城和B城相对开出，2小时相遇，A城开出的高铁平均速度是240千米/时，B城开出的高铁平均速度是264千米/时。求A、B两城相距多少千米，下列算式错误的是（）A．2×240+2×264B．2×240+264C．2×（240+264）D．（240+264）×2【答案】B【分析】已知两车的速度和相遇时间，求两地之间的距离，可以分别用两车的速度乘相遇时间，求出两车行驶的路程再相加；也可以先求出两车的速度和，再用速度和乘相遇时间。【解答】解：求A、B两城相距多少千米，可以列式为：

2×240+2×264；

240×2+264×2；

2×（240+264）；

（240+264）×2。

选项B是错误的。

故选：B。【跟踪训练3】（2025•北碚区）甲、乙两人同时从A地出发前往相距270千米的B地，甲每小时比乙多走12千米。甲到达B地后立即返回A地，在距B地30千米处与乙相遇。相遇后两人的速度保持不变，乙到达B地之后再过______小时，甲返回A地。【答案】3.375。【分析】根据题意，相遇时甲走的路程是全程多30千米，而乙的速度慢走的路程是全程少30千米，则相同的时间里面甲走的路程比乙多了60千米，且甲每小时比乙多走12千米，则5个小时就多走30千米，即甲和乙经过5个小时后相遇。5个小时甲行驶了300千米，速度=路程÷时间，甲每小时行驶60千米，同理乙每小时行驶48千米。

此时乙还需要行驶30千米才能到达B地，需要0.625小时，这段时间甲行驶了37.5千米。这时离A地还有202.5千米，速度是60千米每小时，根据时间=路程÷速度得出时间。【解答】解：30+30=60（千米）

60÷12=5（小时）

甲的速度：（270+30）÷5

=300÷5

=60（千米）

乙的速度：（270-30）÷5

=240÷5

=48（千米）

30÷48=0.625（小时）

0.625×60=37.5（千米）

270-30-37.5=202.5（千米）

答：相遇后两人的速度保持不变，乙到达B地之后再过3.375小时，甲返回A地。

故答案为：3.375。【跟踪训练4】（2024秋•淮北期末）一条马路长500米，小丽和她的小狗分别以均匀的速度同时从马路的起点出发。当小丽走到这条马路一半的时候，小狗已经到达马路的终点。然后小狗返回与小丽相向而行，遇到小丽后，跑向终点，到达终点后再与小丽相向而行……直到小丽到达终点才停止。小狗从开始出发到停止一共跑了______米。【答案】1000。【分析】小丽和小狗以均匀速度移动，当小丽到达马路的一半时，小狗已经跑到了终点。这表明小狗的速度是小丽的两倍。由于小狗的速度是小丽的两倍，当小丽到达终点时，小狗跑了两次全程的距离。据此即可解答。【解答】解：500×2=1000（米）

答：小狗从开始出发到停止一共跑了1000米。

故答案为：1000。【跟踪训练5】（2025•黄埔区）甲、乙两车绕周长为400千米的环形跑道行驶，它们从同一地点同时出发，背向而行，5小时相遇，如果两车每小时各加快10千米，那么相遇点距离前一次相遇地点3千米，已知乙车比甲车快，求甲、乙原来每小时行多少千米？【答案】37千米。【分析】甲、乙两车原来的速度和=400÷5=80（千米/小时），现在两车的速度和=80+10+10=100（千米/小时）；现在的相遇用时=400÷100=4（小时），由于乙车比甲车快，甲车现在4小时比原来多走：10×4=40（千米），这40千米甲以原来的速度走（5-1）=1（小时），还多出3千米。所以甲车原来的速度：（40-3）÷（5-4）=37（千米/小时）。【解答】解：加速后两车的相遇时间为：

400÷（400÷5+10×2）

=400÷（80+200）

=400÷100

=4（小时）

甲车原来的速度：

（40-3）÷（5-4）

=37÷1

=37（千米/小时）

答：原来甲车每小时行37千米。【跟踪训练6】（2024秋•武昌区期末）如图，学校操场的400米跑道中套着300米的小跑道，大跑道与小跑道有200米路程相重，甲以每秒6米的速度沿着大跑道逆时针方向跑，乙以每秒4米的速度沿着小跑道顺时针方向跑，两人同时从两跑道的交点处出发，当他们第二次在跑道上相遇时，甲共跑了多少米？【答案】660米。【分析】根据题意，甲乙第一次相遇的时间是400÷（6+4）=40（秒），第一次相遇甲跑的路程是40×6=240（米），第一次相遇乙跑的路程是40×4=160（米），然后再求出乙跑完（300-160）米的路程用的时间，即（300-160）÷4=35（秒），即乙回到出发点A的时间，这时甲跑的路程是6×35=210（米），这时甲所处的地点在A点左50米处，即与乙错开，再相遇还需要的时间是（400-50）÷（6+4）=35（秒），所以从第一次相遇到第二次相遇时间是2个35秒，第一次相遇用40秒，所以在第二次相遇时，他们一共跑了40+70=110（秒），再用甲的速度乘跑的时间，即可求出甲共跑的路程是多少。【解答】解：假设甲乙同时出发的地点为跑道的上方交点A处。

第一次相遇的时间是：400÷（6+4）=40（秒）

第一次相遇甲行驶的路程是：40×6=240（米）

第一次相遇乙行驶的路程是：40×4=160（米）

乙回到出发点A的时间：（300-160）÷4=35（秒）

甲行驶的路程是：6×35=210（米）

甲处的位置：210-（400-240）=50（米），即甲在A点左50米处。

再相遇还需要的时间是：（400-50）÷（6+4）=35（秒）

甲一共跑的路程是：6×（40+35+35）=660（米）

答：当他们第二次在跑道上相遇时，甲共跑了660米。热点突破2热点突破2关键知识关键知识追及问题1．追击问题的概念：

追及问题的地点可以相同（如环形跑道上的追及问题），也可以不同，但方向一般是相同的．由于速度不同，就发生快的追及慢的问题．

2．追及问题公式：根据速度差、距离差和追及时间三者之间的关系，常用下面的公式：

距离差=速度差×追及时间

追及时间=距离差÷速度差

速度差=距离差÷追及时间

速度差=快速-慢速

3．解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中，找出两者，然后运用公式求出第三者来达到解题目的．典型典型例题例1：例1：上午8时8分，小明骑自行车从家里出发，8分后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他，然后爸爸立刻回家．到家后又立刻回头去追小明，再追上他的时候，离家恰好是8千米，问这时是几时几分？

【分析】由题意可知：爸爸第一次追上小明后，立即回家，到家后又回头去追小明，再追上小明时走了12千米．可见小明的速度是爸爸的速度的13．爸爸从家到第一次追上小明，小明走了4千米，若爸爸与小明同时出发，则爸爸应走出12千米，但是由于爸爸晚出发8分钟，所以只走了4千米，所以爸爸8分钟应走8千米，则爸爸的速度为1千米/分钟．

那么，小明先走8分钟后，爸爸只花了4分钟即可追上，这段时间爸爸走了4千米．

【解答】爸爸的速度是小明的几倍：（4+8）÷4=3（倍），

爸爸从家到第一次追上小明，小明走了4千米，若爸爸与小明同时出发，则爸爸应走出12千米，但是由于爸爸晚出发8分钟，所以只走了4千米，所以爸爸8分钟应走8千米，则爸爸的速度为1千米/分钟．

爸爸所用的时间：（4+4+8）÷1=16（分钟）

16+16=32（分钟）

答：这时是8时32分．

【点评】跟踪训练跟踪训练【跟踪训练1】（2024春•泉山区期中）小王、小李沿着200米的环行跑道跑步。他们同时从同一地点出发，同向而行。小王每分钟跑260米，小李每分钟跑210米，经过（）分钟后小王第二次追上小李。A．4B．5C．8D．10【答案】C【分析】根据题意可知，小王第二次追上小李，他比小李应多跑两圈，利用追及问题公式：追及时间=路程差÷速度差，把数代入计算得：200×2÷（260-210）=8（分钟）。【解答】解：200×2÷（260-210）

=400÷50

=8（分钟）

答：经过8分钟后小王第二次追上小李。

故选：C。【跟踪训练2】（2024•雄县）小明和爷爷一起去操场散步，小明走一圈需要8分钟，爷爷走一圈需要10分钟，两人同时同地同方向而行，（）分钟后小明超出爷爷一整圈。A．40B．40C．18D．20【答案】A【分析】把路程看作单位“1”，根据：路程÷时间=速度，分别求出小明的速度和爷爷的速度，然后根据“路程差÷速度之差=追击时间”解答即可。【解答】解：1÷（1÷8-1÷10）

=1÷140

=40（分钟）

答：40分钟后小明超出爷爷一整圈。

【跟踪训练】（2024春•武侯区期末）甲乙两人的速度比是9：7，甲乙两人分别从A，B两地同时出发，如果相向而行，0.5个小时后相遇；如果他们同向而行，甲过______小时能追上乙。【答案】4。【分析】甲乙两人的速度比是9：7，设甲的速度就是9，乙的速度就是7，根据相遇问题，路程=速度和×相遇的时间。

追及问题中，甲追上乙，甲的路程比乙多行驶了的路程是，甲行驶的路程-乙行驶的路程。【解答】解：设甲过x小时能追上乙。

9x-7x=（9+7）×0.5

2x=16×0.5

2x=8

2x÷2=8÷2

x=4

答：甲过4小时能追上乙。

故答案为：4。【跟踪训练4】（2024•沙坪坝区）A、B两地相距22.4千米。有一支游行队伍从A地出发，向B匀速前进。当游行队伍队尾离开A时，甲、乙两人分别从A、B两地同时相向而行，乙向A步行，甲骑车先追向队头，追上之后又立即骑向队尾，到达队尾之后又掉头追队头，如此反复，当甲第5次追上队头时恰与乙相遇在距B地5.6千米处；当甲第7次追上队头时，甲恰好第一次到达B地，那么此时乙距离A地还有______千米。【答案】14.4。【分析】每次往返甲前进了5.6÷2=2.8千米，全程六次往返和一次追上，六次往返前进了2.8×6=16.8（千米），说明追上一次可以行22.4-16.8=5.6（千米），所以返回就行了5.6-2.8=2.8（千米）。甲和乙的速度比是（5.6×5+2.8×4）：5.6=7：1，然后求出乙行的路程，再用22.4减去乙行的路程即可。【解答】解：每次往返甲前进了5.6÷2=2.8（千米），

全程六次往返和一次追上，六次往返前进了2.8×6=16.8（千米），

说明追上一次可以行22.4-16.8=5.6（千米），所以返回就行了5.6-2.8=2.8（千米）。

甲和乙的速度比是（5.6×5+2.8×4）：5.6=7：1，乙行了（7×5.6+2.8×6）÷7=8（千米），乙还差22.4-8=14.4（千米）。

答：此时乙距离A地还有14.4千米。

故答案为：14.4。【跟踪训练5】（2025•泗洪县）甲、乙两人沿着400米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。甲的速度是每分钟290米，乙的速度是每分钟250米，经过多少分钟甲第一次追上乙？【答案】10分钟。【分析】当甲第一次追上乙时，甲比乙多行了一圈跑道的长度，再根据“追及时间=路程差÷速度差”，列式计算即可解答。【解答】解：400÷（290-250）

=400÷40

=10（分钟）

答：经过10分钟甲第一次追上乙。【跟踪训练6】（2025•重庆模拟）李勇、张强两人周末到笔架山锻炼身体，两人同时从山脚开始爬山，到达山顶就立即下山，他们两人下山的速度都是各自上山速度的1.5倍，李勇到达山顶时，张强距山顶还有400米，然后李勇下山，张强爬完400米到山顶也开始下山，李勇回到山脚时，张强刚好返回到半山腰，求从山顶到山脚的距离。【答案】2000米。【分析】通过分析两人在不同阶段的路程关系，利用速度变化与路程的联系来求解从山顶到山脚的距离。【解答】解：设从山顶到山脚的距离是s米，李勇上山速度为v1，张强上山速度为v2。

李勇到达山顶时，张强距山顶还有400米，此时两人爬山时间相同，根据时间=路程÷速度可得：sv1=s−400v2

即v2=（s−400）v1s

李勇下山速度是1.5v1，张强下山速度是1.5v2。李勇从山顶回到山脚的路程是s,所用时间是：s1.5v1

张强从距离山顶400米，然后到山顶，再从山顶走到半山腰，所用时间是：400v2+s21.5v2

因为两人这一阶段时间也相同，所以：s1.5v1=400v2+s21.5v2

把v2=（s−400）v1s代入s1.5v热点突破3热点突破3关键知识关键知识流水行船问题船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推送或顶逆，在这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程，叫做流水行船问题．

流水行船问题，是行程问题中的一种，因此行程问题中三个量（速度、时间、路程）的关系在这里将要反复用到．此外，流水行船问题还有以下两个基本公式：

顺水速度=船速+水速，（1）

逆水速度=船速-水速．（2）

这里，船速是指船本身的速度，也就是在静水中单位时间里所走过的路程．水速，是指水在单位时间里流过的路程．顺水速度和逆水速度分别指顺流航行时和逆流航行时船在单位时间里所行的路程．

根据加减法互为逆运算的关系，由公式（l）可以得到：

水速=顺水速度-船速，

船速=顺水速度-水速．

由公式（2）可以得到：

水速=船速-逆水速度，

船速=逆水速度+水速．

这就是说，只要知道了船在静水中的速度，船的实际速度和水速这三个量中的任意两个，就可以求出第三个量．

另外，已知船的逆水速度和顺水速度，根据公式（1）和公式（2），相加和相减就可以得到：

船速=（顺水速度+逆水速度）÷2，

水速=（顺水速度-逆水速度）÷2．典型典型例题例1：例1：一艘船在河里航行，顺流而下每小时行16千米．已知这艘船下行3小时恰好与上行4小时所行的路程相等，求静水船速和水速？

【分析】根据题干，可以求得船逆水速度为：16×3÷4=12千米/时，船速是指的静水速=（顺水速+逆水速）÷2，水速=（顺流速度-逆流速度）÷2，由此代入数据即可解决问题．

解：逆水速度：16×3÷4=12（千米/时），

则船速：（12+16）÷2=14（千米/时），

水速：（16-12）÷2=2（千米/时），

【解答】船速为14千米/时；水速为2千米/时．

【点评】解答此题的关键是，根据船速，水速，船逆水的速度，船顺水的速度，几者之间的关系，找出对应量，列式解答即可．

例2：一位少年短跑选手，顺风跑180米用了20秒，在同样的风速下，逆风跑140米也用了20秒．问：在无风的时候，他跑200米要用多少秒？

【分析】根据顺风跑180米用了20秒钟，求出顺风时每秒的速度；再根据逆风跑140米，也用了20秒钟，求出逆风时每秒的速度；用二者之和除以2，求出无风时每秒的速度；要求跑200米要用多少秒，用200除以无风时的速度即可．

【解答】顺风时每秒的速度：

180÷20=9（米），

逆风时每秒的速度：

140÷20=7（米），

无风时每秒的速度：

（9+7）×12=8（米/秒）

无风时跑200米需要200÷8=25秒．

答：无风时跑200米需要25秒．

【点评】跟踪训练跟踪训练【跟踪训练1】一汽船往返于两码头间，逆流需要10小时，顺流需要6小时。已知船在静水中的速度为12公里/小时。问水流的速度是多少公里/小时？（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【分析】设水流的速度为x,由顺水速度=静水速度+水流的速度，逆水速度=静水速度-水流的速度，表示出顺水速度和逆水速度，再根据码头之间距离不变列出方程。【解答】解：设水流的速度为x公里/小时。

6（12+x）=10（12-x）

72+6x=120-10x

16x=48

x=3

答：水流的速度是3公里/小时。

故选：B。【跟踪训练2】有一艘轮船所带的燃料最多可用12小时，驶出时速度是30千米/每小时，返回时逆水，速度是顺水速度的80%，这艘轮船最多驶出（）千米就应返航．A．160B．200C．180D．320【答案】A【分析】设这艘轮船最多驶出x千米就应返航，先依据分数乘法意义，求出逆水时的速度，再依据时间=路程÷速度，分别用x表示出顺水和逆水行驶时需要的时间，最后根据需要时间和是12小时，即“距离÷顺水速度+距离÷逆水速度=12小时”列方程，依据等式的性质即可求解．【解答】解：设这艘轮船最多驶出x千米就应返航，

30×80%=24（千米）

x÷30+x÷24=12

340x=12

340x÷340=12÷340

x=160【跟踪训练3】（2024•峰峰矿区）甲、乙两港相距247.5千米，一艘轮船从甲港顺水驶向乙港用了4.5小时，返回时因为逆水比去时多用1小时，则水流速度为______千米/时。【答案】5【分析】先求出轮船顺水速度，再求出逆水速度，再根据水流速=（顺流速-逆流速）÷2，即可得出结果。【解答】解：轮船顺水速度：

247.5÷4.5=55（千米/小时）

逆水速度：

247.5÷（4.5+1）

=247.5÷5.5

=45（千米/小时）

水流速度为：

（55-45）÷2

=10÷2

=5（千米/小时）

答：水流速度为5千米/小时。

故答案为：5。【跟踪训练4】（2025•北碚区）早上8时，骑士号和勇士号两船分别从A、B两港出发，相向而行，骑士号抵达下游B港、勇士号抵达上游A港后都立即掉头返回，上午10时两船首次回到各自的出发点。已知两船同向行驶的时间是10分钟，水流速度为0.5米/秒，那么骑士号在静水中的航行速度是______米/秒。【答案】6。【分析】设骑士号在静水中的航行速度是x米/秒，则勇士号在静水中的航行速度是x米/秒，由两船往返的时间均为10-8=2小时（即120分钟）及两船同向行驶的时间是10分钟，可得出任一船顺流航行时间是55分钟，逆流航行时间为65分钟，利用航程=航速×时间，结合两港之间的距离不变，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论。【解答】解：设骑士号在静水中的航行速度是x米/秒，则勇士号在静水中的航行速度是x米/秒。

根据题意得：

55×60（x+0.5）=65×60（x-0.5）

3300x+1650=3900x-1950

600x=3600

x=6

答：骑士号在静水中的航行速度是6米/秒。

故答案为：6。【跟踪训练5】（2024•北碚区）某人畅游长江，逆流而上，在A处丢失一只水壶，他向前又游了20分钟后，才发现丢失了水壶，立即返回追寻，在离A处1千米的地方追到，则水流速度为多少？【答案】0.025千米/分钟。【分析】首先设人在静水中的速度是x千米/分钟，将水流速度设为y千米/分钟，再根据题意画图，结合数量关系式“逆流速度=静水中的速度-水流速度，顺流速度=静水中的速度十水流速度、路程=速度×时间”，进行列式计算即可求出水流速度。【解答】解：根据题意画图如下：

设人在静水中速度为x千米/分钟，水流速度为y千米/分钟，人在A处丢失水壶，人从A处逆流游到B处用时20分钟，水壶被水流带着从A处到C处用时20分钟，

逆流速度=静水中的速度-水流速度，所以AB=20×（x-y）=20（x-y）千米，AC=20×y=20y（千米）

BC=AB+AC=20（x-y）+20y=20x-20y+20y=20x（千米）

发现丢失水壶后，人从B处顺流向下，用D处表示追到水壶的地点，设人从B到D用时为t分钟，则水壶从C到D也用时t分钟，顺流速度=静水中的速度+水流速度，所以BD=t×（x+y）=t（x+y）千米，

CD=t×y=ty（千米）

BC=BD-CD=t（x+y）-ty=tx+ty-ty=tx（千米）

20x=tx,则t=20（分钟）

AD=AC+CD=20y+20y=40y（千米）

依题意知：AD=1千米，

40y=1

y=1÷40

y=0.025

答：水流速度为0.025千米/分钟。【跟踪训练6】（2024•九龙坡区）一条大河有A、B两个港口，水由A流向B，水流速度为4千米/时.甲、乙两船同时由A向B行驶，各自不停地在A、B之间往返航行，甲在静水中的速度是28千米/时，乙在静水中的速度是20千米/时，已知两船第二次迎面相遇地点与甲船第二次追上乙船（不算开始时甲、乙在A处的那一次）的地点相距40千米，求A、B两个港口的距离。【答案】240千米。【分析】设A、B两个港口的距离为d,可分别求出甲乙顺水、逆水时的速度，根据两者的速度比可求出甲乙两船第二次迎面相遇与甲船第二次追上乙船时所在的位置，从而结合等量关系两地点相距40千米可列出方程，解出即可。【解答】解：

设A、B两个港口的距离为d,甲顺水速度：28+4=32千米/时，甲逆水速度：28-4=24千米/时，乙顺水速度：20+4=24千米/时，乙逆水速度：20-4=16千米/时，第二次相遇地点：从A到B：甲速：乙速=32：24=4：3，甲到B，乙到E；甲从B到A，速度24，甲速：乙速=24：24=1：1，甲、乙在EB的中点F点第一次相遇；乙到B时，甲到E，这时甲速：乙速=24：16=3：2，甲到A点时，乙到C点；甲又从A顺水，这时甲速：乙速=32：16=2：1，所以甲、乙第二次相遇地点是23AC处的点H，

AH=23×12AB=13AB=13d,

第二次追上地点：甲比乙多行1来回时第一次追上，多行2来回时第二次追上，甲行一个来回2AB时间d32+d24=7d96

乙行一个来回2AB时间d16+d24=10d96

一个来回甲比乙少用时间：10d96-7d96=d32

甲多行2来回的时间是：7d96×2=14d96

说明乙第二次被追上时行的来回数是：14d96÷d32=143，甲第二次追上乙时，乙在第5个来回中，甲在第7个来回中。

甲行6个来回时间是7d96×6=7d16，

乙行4个来回时间是10d96×4=5d12，

7d16-5d12=d48，从A到B甲少用时间：d24-d32=d96热点突破4热点突破4关键知识关键知识多次相遇问题多次相遇的基本公式和方法计算：

距离、速度、时间这三个量之间的关系，可以用下面的公式来表示：距离=速度×时间．显然，知道其中的两个量，就可以求出第三个量．

还可以发现：当时间相同时，路程和速度成正比；当速度相同时，路程和时间成正比；当路程相同时，速度和时间成反比．也就是说：设甲、乙两个人，所走的路程分别为S甲、S乙；速度分别为V甲、V乙；所用时间分别为T甲、T乙时，由于S甲=V甲×T甲，S乙=V乙×T乙，有如下关系：

（1）当时间相同即T甲=T乙时，有S甲：S乙=V甲：V乙；

（2）当速度相同即V甲=V乙时，有S甲：S乙=T甲：T乙；

（3）当路程相同即S甲=S乙时，有V甲：V乙=T乙：T甲．

在多次相遇、追及问题中，用比例方法来解往往能收到很好的效果．典型典型例题例1：例1：如图：A、B是圆直径的两端，小张在A点，小王在B点，同时出发反向而行，他们在C点第一次相遇，C点离A点100米，在D点第二次相遇，D点离A点有60米，求这个图的周长．

【分析】由题意可知，第一次相遇于C点，两人合走了半个周长．从C点开始到第二次相遇于D点，两人合起来走了一个周长．因为两速度和一定，所以第一段所需时间是第二段的一半．对于小王而言，他第一段所走的行程是第二段的一半．则C，D的关系有如下两种情况：

对于第一种情况，小王第一段所走的行程为BC，第二段所走的为CD，则CD=2BC，所以CD=AC+AD=160米，则BC=160÷2=80米，所以半圆周长是100+80=180米，圆的周长是180×2=360米．

对于第二种情况，小王所走的行程为BC，第二段所走的为CD，同样有CD=2BC，CD=AC-AD=40米，则BC=40÷2=20米，则半圆周长是100+20=120米，圆的周长是120×2=240米．

即这个圆的周长为360米或240米．

【解答】由题可知，C，D的关系有如下两种情况：

对于第一种情况，CD=2BC，所以CD=AC+AD=160米，则BC=160÷2=80米，

所以半圆周长是100+80=180（米），

圆的周长是180×2=360（米）．

对于第二种情况，CD=2BC，CD=AC-AD=40米，则BC=40÷2=20米，

则半圆周长是100+20=120（米），

圆的周长是120×2=240（米）．

即这个圆的周长为360米或240米．

【点评】完成本题要细心，注意分析所给条件，从两种情况进行分析解答．跟踪训练跟踪训练【跟踪训练1】（2023春•郏县）小红和