人教版2025年八年级数学下学期期末总复习(专题训练)专题01二次根式(考题猜想易错重难点5大题型38题)(学生版+解析)

专题01二次根式（考题猜想，易错重难点5大题型38题）题型一：利用二次根式的性质化简（易错）1．（23-24八年级下·江西赣州·期末）若，化简，小杰的解答过程如下：解：原式

第一步

第二步

第三步(1)小杰的解答从第步出现了错误，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：；(2)请你写出正确的解答过程．2．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期末）观察下列等式，解答下面的问题：①，②，③，……(1)根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并给予证明；(2)利用（1）的结论计算．3．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）当时，求的值，如图是小亮和小芳的解答过程：

(1)的解法是错误的；(2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：；(3)当时，求的值．4．（23-24八年级下·河南信阳·期末）小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小石的探究过程，请补充完整：(1)具体运算，发现规律．特例1：，特例2：，特例3：，特例4：，特例5：______（填写运算结果）．(2)观察、归纳，得出猜想．如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为：______(3)证明你的猜想．5．（22-23八年级下·辽宁葫芦岛·期末）先化简再求值：当时，求的值甲、乙两人的解答如下：甲：原式；乙：原式．(1)______的解答是错误的，错误的原因是______；(2)若，计算的值．6．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数，使且，则将变成，然后开方，从而化简．例如：化简．解：．仿照上例化简下列各式：(1)；(2)．7．（23-24八年级上·湖南邵阳·期末）阅读下列解题过程例：若代数式的值是2，求的取值范围解：原式，当时，原式，解得（舍去）；当时，原式，符合条件；当时，原式，解得（舍去）．∴的取值范围是．上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：(1)当时，化简：______．(2)解方程：．8．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题化简：．解：隐含条件，解得，∴，∴原式【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简（结果保留）【类比迁移】（2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：

（3）已知a，b，c为的三边长．化简：题型二：二次根式的计算与最值（易错）9．（24-25八年级上·北京顺义·期末）阅读下面材料：我们知道把分母中的根号化去叫分母有理化，例如：．类似的把分子中的根号化去就是分子有理化，例如：．分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，例如：比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以．请根据上述材料，解决下列问题：(1)把下列各式分子有理化：①；②；(2)比较和的大小，并说明理由；(3)将式子分子有理化为__________，该式子的最大值为__________．10．（24-25八年级下·湖南益阳·期末）阅读材料1：在不等式领域，有一个叫基本不等式的工具，表述如下：对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在的条件下，，当且仅当时，即时等号成立，从而有最小值2．阅读材料2：我们知道，假分数可以写成一个整数与一个真分数的和，如，当分式的分母次数小于分子的次数时，也有类似的变换，如：（1），（2）．请根据阅读材料解答下列问题：(1)若为正数，则的最小值为______，此时，______；(2)若为正数，则的最小值为______，此时，______；(3)求下列分式在给定的的取值范围内的最小值，并指出取得最小值时对应的的值．①

②11．（23-24八年级下·贵州安顺·期末）阅读理解：若，，由，得，当且仅当时取到等号．利用这个结论，我们可以求一些式子的最小值．例如：已知，求式子的最小值．解：令，，则由，得，当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为4．请根据上面材料回答下列问题：(1)当时，当且仅当______时，式子的最小值为______（直接写出答案）；(2)如图，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边之和），这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？12．（22-23八年级下·北京大兴·期末）【阅读材料】小华根据学习“二次根式“及”乘法公式“积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法，探究”当时，与的大小关系”．下面是小单的深究过程：①具体运算，发现规律：当时，特例1：若，则；特例2：若，则；特例3：若，则．②观察、归纳，得出猜想：当时，．③证明猜想：当时，∵，∴，∴．当且仅当时，．请你利用小华发现的规律解决以下问题：(1)当时，的最小值为(2)当时，的最小值为；(3)当时，求的最大值．题型三：二次根式与规律探究（难点）13．（22-23八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）观察下列各式：①；②；(1)根据你发现的规律填空：______＝______；(2)猜想______（，为自然数），并通过计算证实你的猜想．14．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）观察下列等式：……(1)请你根据上述规律填空：______；(2)①把你发现的规律用含有的等式表示出来：______；②证明①中的等式是正确的，并注明的取值范围．15．（23-24八年级下·江苏盐城·期末）观察下列等式：①，②，③，…解答下列问题：(1)根据上面3个等式的规律，写出第⑤个等式：_______；(2)用含n（n为正整数）的等式表示上面各个等式的规律，并加以证明．16．（22-23八年级下·安徽安庆·期末）观察以下等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，…按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第5个等式：_________．(2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明．17．（22-23八年级下·湖北恩施·期末）（1）填空：，______，______．（2）观察上述计算，根据式子的规律写出后面连续的两个等式；（3）用含n的等式表示你所发现的规律，并证明你发现的规律是否正确．18．（22-23八年级下·湖北随州·期末）观察下列等式及验证，解答后面的问题：第1个等式：，验证：；第2个等式：，验证：；第3个等式：，验证：．(1)请写出第4个等式，并验证；(2)按照以上各等式反映的规律，猜想第个为正整数，且等式，并通过计算验证你的猜想．19．（22-23八年级下·云南红河·期末）阅读下列内容，解答问题：如图，在中，．当时，；当时，；当时，．……(1)根据以上规律信息，请直接写出a与b以及a与c之间的数量关系．(2)已知，求满足（1）中条件的的值．20．（23-24八年级下·广东韶关·期末）观察以下等式：第1个等式：第2个等式：第3个等式：……按照以上规律，解决以下问题：(1)写出第5个等式；(2)试用含n(n为自然数，且)的式子表示你猜想的第n个等式，并证明其正确性．21．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）观察下列等式，解决下列问题：第一个等式：，第二个等式：，第三个等式：……(1)第四个等式为：；(2)请用正整数来表示含有上述规律的第n个等式，并证明．22．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程：等式①：；等式②：；等式③：；等式④：______________；……(1)【特例探究】将题目中的横线处补充完整；(2)【归纳猜想】若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立；(3)【应用规律】嘉嘉写出一个等式（均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______．23．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期末）观察下列各式并解答问题：；；……(1)计算：；(2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）．24．（23-24八年级下·山东泰安·期末）；；；(1)写出_________；(2)猜想：_________；(3)由以上规律，计算的值．题型四：分母有理化（重点）25．（22-23八年级下·安徽铜陵·期末）观察下列各式：，，，依据以上呈现的规律，计算：26．（24-25八年级上·四川达州·期末）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决．例如：已知，求的值，可以这样解答：因为，所以．根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题：(1)已知：，则______；(2)化简：______；(3)计算：．27．（22-23八年级下·云南昆明·期末）阅读材料：像，…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．例如：；．解答下列问题：(1)的有理化因式是_______，的有理化因式是______．(2)观察下面的变形规律，请你猜想：_______．，，…(3)利用上面的方法，请化简：．28．（22-23八年级下·安徽池州·期末）观察下列运算：①由，得；②由，得；③由，得(1)由上述规律，直接化简：______；(2)用含n（且为整数）的式子表示______；(3)利用你发现的规律计算题型五：二次根式的应用（重难点）29．（22-23八年级下·山东烟台·期末）某居民小区有块形状为长方形绿地，长为米，宽为米，现在要长方形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米．除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为30元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？

30．（22-23八年级下·全国·期末）高空抛物现象曾被称为“悬在城市上空的痛”，严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常来不及避让，据研究，高空抛物下落的时间t（秒）和高度h（米）近似满足公式（其中g≈9.8米/秒2）．(1)当米时，求下落的时间t；（结果保留根号）(2)伤害无防护人体只需要65焦的动能，高空抛物动能（焦）＝10×物体质量（千克）×高度（米），某质量为0.1千克的玩具在高空被抛出后经过4秒后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由．31．（22-23八年级下·山东威海·期末）古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为、、，设，则三角形的面积．我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为、、，则三角形的面积．依据上述公式解决下列问题：(1)若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于______；(2)若一个三角形的三边长分别是，3，，求这个三角形的面积．32．（23-24八年级下·福建南平·期末）李老师家装修，矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）(1)背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式）(2)除去大理石图案部分，其它部分贴壁纸，若壁纸造价为22元，大理石造价为200元，则整个电视背景墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）33．（23-24八年级下·山东青岛·期末）有一块矩形木板，木工采用如图所示的方式在木板上截出，两个面积分别为和的正方形木板．(1)截出的，两个正方形的边长分别为__________，__________（用最简二次根式表示）(2)求剩余木板（阴影部分）的面积．34．（22-23八年级下·江苏南京·期末）已知：三角形的三边长分别为a，b，c（）．求证：．(1)如下的框图表示推导该结论的一种思路，结合题意，请填写其中的空格．

(2)为探讨该结论的其他证明方法，老师提供了以下几种思路，请选择其中一种思路进行证明．

思路①利用，，，再配方，……思路②利用，使用平方差公式，……思路③利用，……35．（22-23八年级下·四川广安·期末）如图，木工师傅在一块矩形木料上截出两块面积分别为和的正方形木板．

(1)截出的两块正方形木板中，小正方形木板的边长为________dm，大正方形木板的边长为________dm；（填最简二次根式）(2)求原矩形木料的面积；(3)木工师傅想从剩余矩形木料中截出一块正方形木板，这块正方形木板的边长________为2dm．（填“能”或“不能”）36．（23-24八年级下·北京海淀·期末）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均300平方厘米．为了提升团扇的耐用性和美观度，需对扇面边缘用缎带进行包边处理，如图所示．(1)圆形团扇的半径为_____________厘米，正方形团扇的边长为__________厘米；(2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短．37．（23-24八年级下·北京东城·期末）据研究，高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）．(1)求从高空抛物到落地时间；(2)已知高空坠物动能（单位：）物体质量（单位：）高度（单位：），某质量为的玩具被抛出后经过后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由（注：伤害无防护人体只需要的动能）．38．（23-24八年级下·新疆阿克苏·期末）如图，将两个正方形并列放置（不重叠）在一矩形中，且两个正方形的面积分别为，，求阴影部分的面积．专题01二次根式（考题猜想，易错重难点5大题型38题）题型一：利用二次根式的性质化简（易错）1．（23-24八年级下·江西赣州·期末）若，化简，小杰的解答过程如下：解：原式

第一步

第二步

第三步(1)小杰的解答从第步出现了错误，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：；(2)请你写出正确的解答过程．【答案】(1)二，(2)【知识点】利用二次根式的性质化简【分析】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．（1）根据二次根式的性质解答即可；（2）根据二次根式的性质进行化简即可．【详解】（1）解：小杰的解答从第二步出现了错误，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：；（2）．2．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期末）观察下列等式，解答下面的问题：①，②，③，……(1)根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并给予证明；(2)利用（1）的结论计算．【答案】(1)（n为正整数）；证明见解析(2)1【知识点】异分母分式加减法、利用二次根式的性质化简【分析】本题考查了二次根式的化简，分式的加减运算，（1）找出前面等式中的数据与序号数的关系，则可猜想出第n个等式，然后根据二次函数的性质进行证明；（2）利用（2）中的规律得到原式，然后根据二次根式的乘法法则运算．【详解】（1）（n为正整数）证明：左边，∵n为正整数，∴左边右边，∴猜想成立．（2）原式．3．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）当时，求的值，如图是小亮和小芳的解答过程：

(1)的解法是错误的；(2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：；(3)当时，求的值．【答案】(1)小亮(2)当时，(3)2【知识点】利用二次根式的性质化简【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．（1）根据二次根式的性质分析即可；（2）根据二次根式的性质分析即可；（3）先根据二次根式的性质化简，再把代入计算即可．【详解】（1）解：∵，∴，，∴，当时，原式，∴小亮的解法是错误的．故答案为：小亮；（2）错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：当时，．故答案为：当时，；（3），．原式．4．（23-24八年级下·河南信阳·期末）小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小石的探究过程，请补充完整：(1)具体运算，发现规律．特例1：，特例2：，特例3：，特例4：，特例5：______（填写运算结果）．(2)观察、归纳，得出猜想．如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为：______(3)证明你的猜想．【答案】(1)(2)(3)证明过程见详解【知识点】利用二次根式的性质化简、数字类规律探索【分析】本题主要考查数的变化规律，二次根式的性质，掌握二次根式的性质化简是解题的关键．（1）根据材料提示的二次根式的计算方法进行计算即可求解；（2）根据（1）中计算的结果进行推测即可；（3）运用二次根式的性质进行化简计算即可求解．【详解】（1）解：，故答案为：；（2）解：根据上述计算可得，，故答案为：（为正整数）；（3）证明：左边，∵为正整数，∴左边右边，∴．5．（22-23八年级下·辽宁葫芦岛·期末）先化简再求值：当时，求的值甲、乙两人的解答如下：甲：原式；乙：原式．(1)______的解答是错误的，错误的原因是______；(2)若，计算的值．【答案】(1)乙，去绝对值时，没有判断的正负情况(2)【知识点】利用二次根式的性质化简【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的性质．（1）利用二次根式的性质，化简求值即可得到答案；（2）利用二次根式的性质化简求值即可得到答案．【详解】（1）解：，，原式，乙的解答是错误的，错误的原因是：去绝对值时，没有判断的正负情况；故答案为：乙；去绝对值时，没有判断的正负情况；（2）解：，，原式．6．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数，使且，则将变成，然后开方，从而化简．例如：化简．解：．仿照上例化简下列各式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【知识点】运用完全平方公式进行运算、利用二次根式的性质化简【分析】本题考查了二次根式的化简，完全平方公式的运用，熟练掌握阅读学习的基本方法是解题的关键．（1）根据完全平方公式把化为，然后利用二次根式的性质计算；（2）根据完全平方公式把化为，然后利用二次根式的性质计算．【详解】（1）解：．（2）解：．7．（23-24八年级上·湖南邵阳·期末）阅读下列解题过程例：若代数式的值是2，求的取值范围解：原式，当时，原式，解得（舍去）；当时，原式，符合条件；当时，原式，解得（舍去）．∴的取值范围是．上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：(1)当时，化简：______．(2)解方程：．【答案】(1)2(2)的值为或7【知识点】带有字母的绝对值化简问题、绝对值方程、利用二次根式的性质化简【分析】本题考查二次根式的性质，化简绝对值，解绝对值方程．掌握二次根式的性质，绝对值的性质是解题的关键．（1）根据题意可确定，，从而化简二次根式的性质即可；（2）由阅读材料可知，再分类讨论，结合绝对值的性质，化简即可．【详解】（1）解：当时，，，∴．（2）解：原式，当时，原式，解得，符合条件；当时，原式，舍去；当时，原式，解得，符合条件．∴的值为或7．8．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题化简：．解：隐含条件，解得，∴，∴原式【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简（结果保留）【类比迁移】（2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：

（3）已知a，b，c为的三边长．化简：【答案】（1）；（2）；（3）【知识点】三角形三边关系的应用、利用二次根式的性质化简、实数与数轴【分析】本题考查了二次根式的化简、三角形的三边关系、数轴等知识，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．（1）先根据二次根式的被开方数的非负性可得，从而可得，再利用二次根式的性质进行化简即可得；（2）先根据数轴的性质可得，从而可得，再利用二次根式的性质进行化简即可得；（3）先根据三角形的三边关系可得，，，，从而可得，，，，再利用二次根式的性质进行化简即可得．【详解】解：（1）隐含条件，解得，∴，∴；（2）由数轴可知，，∴，∴；（3）∵为的三边长，∴，，，，∴，，，，∴．题型二：二次根式的计算与最值（易错）9．（24-25八年级上·北京顺义·期末）阅读下面材料：我们知道把分母中的根号化去叫分母有理化，例如：．类似的把分子中的根号化去就是分子有理化，例如：．分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，例如：比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以．请根据上述材料，解决下列问题：(1)把下列各式分子有理化：①；②；(2)比较和的大小，并说明理由；(3)将式子分子有理化为__________，该式子的最大值为__________．【答案】(1)①；②(2)，理由见解析(3)，【知识点】分母有理化、二次根式有意义的条件【分析】（）根据阅读材料中的分母有理化即可；（）根据阅读材料中的分母有理化即可；（）根据阅读材料中的分母有理化即可；本题考查了二次根式的运算二次根式有意义的条件，熟练掌握分母有理化是解题的关键．【详解】（1）解：，，故答案为：，；（2）解：由，

，又∵，∴．

∴，（3）解：，∵，∴，∴当时，有最大值，即有最大值，故答案为：，．10．（24-25八年级下·湖南益阳·期末）阅读材料1：在不等式领域，有一个叫基本不等式的工具，表述如下：对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在的条件下，，当且仅当时，即时等号成立，从而有最小值2．阅读材料2：我们知道，假分数可以写成一个整数与一个真分数的和，如，当分式的分母次数小于分子的次数时，也有类似的变换，如：（1），（2）．请根据阅读材料解答下列问题：(1)若为正数，则的最小值为______，此时，______；(2)若为正数，则的最小值为______，此时，______；(3)求下列分式在给定的的取值范围内的最小值，并指出取得最小值时对应的的值．①

②【答案】(1)6，3(2)，(3)①时，原式有最小值4，②时，原式有最小值5【知识点】二次根式的应用、分式化简求值【分析】本题考查了分式的化简求值、二次根式的应用，熟练掌握运算法则，理解题干所给例子是解此题的关键．（1）由题意可得的最小值为，此时，计算即可得解；（2）由题意可得的最小值为，此时，计算即可得解；（3）①仿照题干所给例子，计算即可得解；②仿照题干所给例子，计算即可得解．【详解】（1）解：∵对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立，∴为正数，则的最小值为，此时，解得：或（不符合题意，舍去）；（2）解：∵对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立，∴为正数，则的最小值为，此时，解得：或（不符合题意，舍去）；（3）解：①当且仅当时取等号，得或，即或，又，时取等号，即时，原式有最小值4．②当且仅当时取等号，得或，即或，又，∴当时取等号，即时，原式有最小值5．11．（23-24八年级下·贵州安顺·期末）阅读理解：若，，由，得，当且仅当时取到等号．利用这个结论，我们可以求一些式子的最小值．例如：已知，求式子的最小值．解：令，，则由，得，当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为4．请根据上面材料回答下列问题：(1)当时，当且仅当______时，式子的最小值为______（直接写出答案）；(2)如图，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边之和），这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？【答案】(1)，(2)长为10米，宽为5米时，所用的篱笆最短，最短篱笆为20米【知识点】通过对完全平方公式变形求值、利用二次根式的性质化简【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，二次根式的应用．（1）根据材料提供的信息解答即可．（2）设这个长方形垂直于墙的一边的长为米，则平行于墙的一边为米，则，，所以所用篱笆的长为米，再根据材料提供的信息求出的最小值即可．【详解】（1）解：令，，则由，得，当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为6，故答案为：6．（2）解：设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米，则，∴，∴所用篱笆的长为米，∵，当且仅当时，的值最小，最小值为20，∴或（舍去）．∴这个长方形的长、宽分别为10米，5米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是20米．12．（22-23八年级下·北京大兴·期末）【阅读材料】小华根据学习“二次根式“及”乘法公式“积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法，探究”当时，与的大小关系”．下面是小单的深究过程：①具体运算，发现规律：当时，特例1：若，则；特例2：若，则；特例3：若，则．②观察、归纳，得出猜想：当时，．③证明猜想：当时，∵，∴，∴．当且仅当时，．请你利用小华发现的规律解决以下问题：(1)当时，的最小值为(2)当时，的最小值为；(3)当时，求的最大值．【答案】(1)2(2)(3)【知识点】运用完全平方公式进行运算、二次根式的混合运算【分析】（1）直接由题中规律即可完成；（2）当时，，则可由题中规律完成；（3）原式变形为，由，计算出的最小值，即可求得的最大值，则最后可求得原式的最大值．【详解】（1）解：当时，均为正数，由题中规律得：，当且仅当，即时，，∴当x＞0时，的最小值为2；故答案为：2；（2）解：当时，，由题中规律得：，当且仅当，即时，，∴当x＜0时，的最小值为；故答案为：；（3）解：∵，∴当时，，∴，当且仅当，即时，，∵，∴，∴，∴，当且仅当时，的最大值为，∴当时，的最大值为．【点睛】本题考查了求代数式的最大值或最小值问题，读懂题目中的规律是解题的关键，另外特别注意规律中两个字母均为正数，在使用时要注意．题型三：二次根式与规律探究（难点）13．（22-23八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）观察下列各式：①；②；(1)根据你发现的规律填空：______＝______；(2)猜想______（，为自然数），并通过计算证实你的猜想．【答案】(1)；(2)，证明见解析【知识点】二次根式的应用、利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算【分析】（1）根据二次根式运算，二次根式的性质化简即可求解；（2）根据二次根式运算，二次根式的性质化简即可求解．【详解】（1）解：，故答案为：；．（2）解：，证明过程如下，证明：，故答案为：．【点睛】本题主要考查二次根式的运算及性质，掌握二次根式的性质化简，二次根式的混合运算法则是解题的关键．14．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）观察下列等式：……(1)请你根据上述规律填空：______；(2)①把你发现的规律用含有的等式表示出来：______；②证明①中的等式是正确的，并注明的取值范围．【答案】(1)(2)①；②证明见解析；（n为大于1的自然数）【知识点】用代数式表示数、图形的规律、利用二次根式的性质化简【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，规律型：数字的变化类，熟练掌握二次根式的化简是解决本题的关键．（1）仔细观察从上式中找出规律即可；（2）①归纳总结得到一般性规律，写出即可；②利用二次根式的性质及化简公式证明即可．【详解】（1）解：根据前3个式子，可得；故答案为：；（2）解：①由前面式子得出：；故答案为：；②证明：等式左边右边，为大于1的自然数．15．（23-24八年级下·江苏盐城·期末）观察下列等式：①，②，③，…解答下列问题：(1)根据上面3个等式的规律，写出第⑤个等式：_______；(2)用含n（n为正整数）的等式表示上面各个等式的规律，并加以证明．【答案】(1)(2)；证明见解析【知识点】数字类规律探索、异分母分式加减法、利用二次根式的性质化简【分析】本题考查数字规律的性质，解题的关键是熟练掌握数字规律的相关知识．（1）根据，，，得出第⑤个等式中分母应为，根据规律得到答案；（2）根据，，，，得出规律，从而得到答案．【详解】（1）解：由第①个等式，得由第②个等式，得由第③个等式，得∴第⑤个等式应为：，得．（2）解：第1个等式中分母为，第2个等式中分母为，第3个等式中分母为，第4个等式中分母为，得第个等式中分母为应为：∴第个等式为：，∵左边，右边，∴左边右边．16．（22-23八年级下·安徽安庆·期末）观察以下等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，…按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第5个等式：_________．(2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明．【答案】(1)(2)见解析【知识点】数字类规律探索、二次根式的混合运算【分析】（1）根据题目中前4个等式，可以发现式子的变化特点，从而可以写出第5个等式；（2）把上面发现的规律用字母n表示出来，并运用分式的混合运算法则计算等号的右边的值，进而得到左右相等便可．【详解】（1）解：根据题目中前4个等式，可以发现式子的变化特点，那么第5个等式为；（2）解：猜想的第（n为正整数）个等式为，证明如下：等式右边为，因为等式左边为，所以等式左边等于等式右边，即．【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式，并证明猜想的正确性．17．（22-23八年级下·湖北恩施·期末）（1）填空：，______，______．（2）观察上述计算，根据式子的规律写出后面连续的两个等式；（3）用含n的等式表示你所发现的规律，并证明你发现的规律是否正确．【答案】（1）；；（2）；；（3）规律：（n为正整数）；证明见解析【知识点】数字类规律探索、二次根式的混合运算【分析】（1）根据二次根式的性质即可解答；（2）根据二次根式的性质可知后续两个式子为；；（3）根据二次根式的性质化简即可解答．【详解】解：（1），，故答案为；；（2）∵，∴后续两个式子为；；（3）解：规律（n为正整数），理由如下：∵左边,∴，∴左边右边，∴（n为正整数）．【点睛】本题考查了根据二次根式的性质探索规律，掌握二次根式的性质是解题的关键．18．（22-23八年级下·湖北随州·期末）观察下列等式及验证，解答后面的问题：第1个等式：，验证：；第2个等式：，验证：；第3个等式：，验证：．(1)请写出第4个等式，并验证；(2)按照以上各等式反映的规律，猜想第个为正整数，且等式，并通过计算验证你的猜想．【答案】(1)，见解析(2)，见解析【知识点】用代数式表示数、图形的规律、异分母分式加减法、二次根式的混合运算【分析】（1）根据所给的等式的形式进行求解并验证即可解答；（2）分析所给的等式的形式，再进行总结，把等式左边的式子进行整理即可验证．【详解】（1）解：第4个等式：，验验：．（2）解：第个等式：，验证：．【点睛】本题主要考查了分式的运算、二次根式的性质、数字的变化规律等知识点，要求学生通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律是解题的关键．19．（22-23八年级下·云南红河·期末）阅读下列内容，解答问题：如图，在中，．当时，；当时，；当时，．……(1)根据以上规律信息，请直接写出a与b以及a与c之间的数量关系．(2)已知，求满足（1）中条件的的值．【答案】(1)，(2)4【知识点】数字类规律探索、二次根式的乘法【分析】（1）根据题干中的规律即可得；（2）根据（1）中的数量关系，代入计算即可得．【详解】（1）解：由题意可知，，．（2）解：由（1）可知，，，，．【点睛】本题考查了数字类规律探索、二次根式的乘法，正确发现规律是解题关键．20．（23-24八年级下·广东韶关·期末）观察以下等式：第1个等式：第2个等式：第3个等式：……按照以上规律，解决以下问题：(1)写出第5个等式；(2)试用含n(n为自然数，且)的式子表示你猜想的第n个等式，并证明其正确性．【答案】(1)；(2)，理由见解析．【知识点】数字类规律探索、二次根式的乘法【分析】本题考查了数字规律，二次根式的乘法，认真观察等式，找出所给规律是解题的关键．（1）根据所给等式可得答案；（2）首先写出第n个等式，然后再利用二次根式的乘法进行计算即可．【详解】（1）解：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，第5个等式：．（2）解：根据题意，第n个等式为：，理由如下：，∴．21．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）观察下列等式，解决下列问题：第一个等式：，第二个等式：，第三个等式：……(1)第四个等式为：；(2)请用正整数来表示含有上述规律的第n个等式，并证明．【答案】(1)(2)；证明见解析【知识点】与实数运算相关的规律题、用代数式表示数、图形的规律、利用二次根式的性质化简【分析】本题考查了二次根式的化简及应用，实数的规律探索；（1）根据题目规律直接得出答案即可；（2）由题意得第n个等式为：，然后根据二次根式的性质化简证明即可；准确找出运算规律及熟练二次根式的化简是关键．【详解】（1）解：由题意得第四个等式为：故答案为：（2）第n个等式：22．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程：等式①：；等式②：；等式③：；等式④：______________；……(1)【特例探究】将题目中的横线处补充完整；(2)【归纳猜想】若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立；(3)【应用规律】嘉嘉写出一个等式（均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______．【答案】(1)(2)，证明见解析(3)【知识点】数字类规律探索、利用二次根式的性质化简【分析】本题考查了二次根式的混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律．（1）根据前个的规律即可得出答案；（2）根据特例中数字的变化规律分析求解即可，对等式的坐标进行整理，即可求证；（3）利用（2）中的规律进行求解即可．【详解】（1）解：由题意得：等式④：；（2）解：若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律为，证明如下：等式左边右边；（3）解：∵（均为正整数），∴，，∴．23．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期末）观察下列各式并解答问题：；；……(1)计算：；(2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）．【答案】(1)(2)（n为正整数）【知识点】数字类规律探索、运用完全平方公式进行运算、利用二次根式的性质化简【分析】本题主要考查数字规律下的二次根式化简，（1）总结规律，按规律解答；（2）根据分式的性质和完全平方公式即可化简求得一般性结论．【详解】（1）解：∵；；，……∴；（2）解：根据（1）得到，证明：．24．（23-24八年级下·山东泰安·期末）；；；(1)写出_________；(2)猜想：_________；(3)由以上规律，计算的值．【答案】(1)；(2)；(3)．【知识点】利用二次根式的性质化简、数字类规律探索【分析】（）观察已知等式找到规律，即可求解；（）根据规律直接得出结果即可；（）利用（）中结论及有理数的混合运算进行计算即可；本题考查了二次根式及数字规律，根据题意找出相应规律是解题的关键．【详解】（1）∵；；；；；（2）；；；；；（3）由（）可得，．题型四：分母有理化（重点）25．（22-23八年级下·安徽铜陵·期末）观察下列各式：，，，依据以上呈现的规律，计算：【答案】9【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化【分析】先把里边的每一项分别分母有理化，再把所得结果计算出来即可求出最后答案．【详解】解：．【点睛】此题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，解题的关键是找出规律，使运算简便．26．（24-25八年级上·四川达州·期末）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决．例如：已知，求的值，可以这样解答：因为，所以．根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题：(1)已知：，则______；(2)化简：______；(3)计算：．【答案】(1)2(2)(3)【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算、二次根式的加减运算【分析】本题考查分母有理化及二次根式的混合运算，解题的关键是读懂阅读材料，应用“对偶式”进行分母有理化．（1）根据阅读材料的方法进行求解即可；（2）分母有理化即可得答案；（3）将每个加数分母有理化，再相加即可．【详解】（1）解：因为，所以．故答案为：2；（2）解：原式，故答案为：；（3）原式，．27．（22-23八年级下·云南昆明·期末）阅读材料：像，…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．例如：；．解答下列问题：(1)的有理化因式是_______，的有理化因式是______．(2)观察下面的变形规律，请你猜想：_______．，，…(3)利用上面的方法，请化简：．【答案】(1)，或(2)(3)【知识点】分母有理化【分析】（1）根据题意，找到有理化因式即可求解；（2）观察规律可得有理化因式是分母的两个数的差，据此即可求解；（3）根据（2）的规律进行计算即可求解．【详解】（1）∵，∴的有理化因式是是，∵∴的有理化因式是，故答案为：；或．（2），，…猜想：，故答案为：．（3）利用（2)中的规律，可得：．【点睛】本题考查了分母有理化，找到有理化因式是解题的关键．28．（22-23八年级下·安徽池州·期末）观察下列运算：①由，得；②由，得；③由，得(1)由上述规律，直接化简：______；(2)用含n（且为整数）的式子表示______；(3)利用你发现的规律计算【答案】(1)(2)(3)【知识点】分母有理化【分析】根据二次根式分母有理化的化简方法去化简即可求解；【详解】（1）；（2）；（3）原式；【点睛】该题主要考查了二次根式分母有理化，解答的关键是掌握分母有理化的化简方法．题型五：二次根式的应用（重难点）29．（22-23八年级下·山东烟台·期末）某居民小区有块形状为长方形绿地，长为米，宽为米，现在要长方形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米．除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为30元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？

【答案】元【知识点】二次根式的应用、二次根式的混合运算【分析】先计算出通道的面积，再根据“通道上要铺上造价为30元/平方米的地砖”即可求出购买地砖需要的花费．【详解】解：（平方米），则（元），∴要铺完整个通道，则购买地砖需要花费元．【点睛】此题主要考查二次根式的混合运算的实际应用，根据题意求出通道的面积是解题的关键．30．（22-23八年级下·全国·期末）高空抛物现象曾被称为“悬在城市上空的痛”，严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常来不及避让，据研究，高空抛物下落的时间t（秒）和高度h（米）近似满足公式（其中g≈9.8米/秒2）．(1)当米时，求下落的时间t；（结果保留根号）(2)伤害无防护人体只需要65焦的动能，高空抛物动能（焦）＝10×物体质量（千克）×高度（米），某质量为0.1千克的玩具在高空被抛出后经过4秒后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由．【答案】(1)2(2)会，理由见解析【知识点】已知字母的值，求代数式的值、二次根式的应用【分析】（1）把h的值代入计算求解；（2）先求出h的值，再计算判断．【详解】（1）解：当米时：==2；（2）这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，理由：当秒时，，解得：米，∵，所以这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人．【点睛】本题考查了二次根式的运用，掌握二次根式的运算是解题的关键．31．（22-23八年级下·山东威海·期末）古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为、、，设，则三角形的面积．我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为、、，则三角形的面积．依据上述公式解决下列问题：(1)若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于______；(2)若一个三角形的三边长分别是，3，，求这个三角形的面积．【答案】(1)(2)3【知识点】二次根式的应用、利用二次根式的性质化简【分析】（1）把三角形的三边的长代入p，然后代入S，计算即可得解；（2）把三角形的三边的长代入S，计算即可得解．【详解】（1）解：，；故答案为：；（2）解：．【点睛】本题属于材料阅读题，创新题型，主要考查了二次根式的应用，难点在于对各项整理利用算术平方根的定义计算．32．（23-24八年级下·福建南平·期末）李老师家装修，矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）(1)背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式）(2)除去大理石图案部分，其它部分贴壁纸，若壁纸造价为22元，大理石造价为200元，则整个电视背景墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）【答案】(1)背景墙的周长为(2)整个电视背景墙需要花费元【知识点】二次根式的应用、化为最简二次根式、二次根式的混合运算【分析】本题主要考查二次根式的应用：（1）背景墙长方形的周长，根据最简二次根式的定义化简即可；（2）分别求出大理石的面积和壁纸的面积即可，求解面积需要根据二次根式的乘法和加减运算法则计算．【详解】（1）背景墙长方形的周长．答：背景墙的周长为．（2）长方形的面积：．大理石的面积：．壁纸的面积：．整个电视墙的总费用：(元)．答：整个电视背景墙需要花费元．33．（23-24八年级下·山东青岛·期末）有一块矩形木板，木工采用如图所示的方式在木板上截出，两个面积分别为和的正方形木板．(1)截出的，两个正方形的边长分别为__________，__________（用最简二次根式表示）(2)求剩余木板（阴影部分）的面积．【答案】(1)，(2)剩余木板的面积为【知识点】二次根式的应用、算术平方根的实际应用【分析】（1）根据正方形的面积根式以及最简二次根式的定义进行解题即可；（2）根据图形进行列式计算即可．本题考查二次根式的应用、最简二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．【详解】（1）解：由题可知，设正方形的边长为，正方形的边长为，则，，解得，（负数舍去）．故答案为：，；（2）解：由题可