索洛模型详解课件

索洛简介1956年,麻省理工学院(MIT)的教授罗伯特•索洛写了一篇有关经济均衡增长路径的文章，这篇文章第一次引入了长期经济增长模型，又被称做“新古典增长模型”（建立在凯恩斯以前的经济学家所使用的古典模型基础上的）。为此，索洛获得了1987年的诺贝尔经济学奖。索洛对经济增长考察是从资本积累开始的。索洛模型基本思路：先让劳动力和技术保持不变，然后逐步放宽假设（劳动力的变化和技术进步）研究经济增长。6/8/20251经济增长理论——索罗模型第一节资本积累一.基本假设条件（1）劳动力和技术水平保持不变。（2）两部门经济（居民和生产者）：Y=C+I。（3）生产函数规模不变Y=F（K，L）规模收益不变：λY=F（λK,λL）（4）储蓄函数S=sY，s----储蓄率,0≤s≤16/8/20252二.资本积累和稳态1.人均生产函数（供给角度）索洛生产函数为Y=F（K，L）由于规模报酬不变，λY=F（λK,λL）为简化分析：我们把上述变量都变成人均量令λ=1/L，得Y/L=F（K/L,1）用y=Y/L代表人均产出，k=K/L代表人均资本存量，得：y=F（k，1）=f（k）即人均产出只与人均资本有关。6/8/20253二.资本积累和稳态2.人均消费函数（需求角度）假设:个人可支配收入DPI即为国民收入(Y)

自发消费a为零。C=a+bY=bY人均消费函数的推导由Y=C+I两边同除以L得：Y/L=C/L+I/L令C/L=c，称人均消费；I/L=i，称人均投资。

y=c+i

①6/8/20254由S=sY,DPI=C+S，DPI=Y得：C=(1-s)Y两边同除以L得到人均量，用小写字母代替有：c=（1-s）y代入①式得：

y=（1-s）y+ii=sy该式表明投资与产出成正比。6/8/20255二.资本积累和稳态3.投资函数前面的分析得到i=sy

和y=f(k)，整理得：i=sf(k)从式中可以看出：

(1)人均资本k越高，产出f（k）和人均投资i就越大。

(2)投资也取决于储蓄率，储蓄率越高，则在资本存量和产出水平一定的条件下，投资水平越高，但是同时消费越少。6/8/202560kyyicsf(k)f(k)产出、消费和投资的关系s1f(k)i16/8/20257二.资本积累和稳态4.

折旧(1)含义:折旧是资本随着使用和时间的变化而受到的损耗和减少。

为简单起见，假设一个经济中所有的资本都以一个固定的比例δ折损减少。（δ称平均折旧率）这样，如果年初资本数为k,当年折旧掉的资本数量就是δk，与k成正比。6/8/20258折旧0kδkδk6/8/20259二.资本积累和稳态5.资本积累和稳态综合以上，一个经济中投资和折旧对资本存量的影响能够用下列方程反映：Δk=i－δk=sf（k）－δk其中，Δk是这一年中新增的资本量，反映资本存量变化。当sf（k）>δk，则Δk>0，资本存量增加；当sf（k）<δk，则Δk<0，资本存量减少;当sf（k）=δk，则Δk=0，资本存量不变。6/8/202510k1k2k*i*=δk*δk*0kysf(k)投资、折旧和稳态f(k)6/8/202511说明（1）资本存量的不断增加反映了经济的增长，因为人均产出与人均资本成正比y=f(k)（2）当Δk=0时，资本存量会保持稳定不变的水平。我们称这个资本存量水平为资本存量水平的“稳定状态”，简称“稳态”，记为k*。（3）稳定状态是一个经济的长期均衡，具有一种真正的稳定性。不管经济的初始水平是什么，最后总是会达到稳定状态的资本水平。6/8/202512s2f(k)k2*i*=δk*1k1*s1f(k)0yδkk三、储蓄率变化对稳定状态影响6/8/202513三、储蓄率变化的影响1.储蓄率变化，形成新的稳态。

和原来的稳态相比，储蓄率提高形成新稳态具有较高的资本存量水平和较高的产出。降低储蓄率，则结果相反。2.储蓄率对经济增长速度的影响

储蓄率对一个经济稳定状态的影响，在一定程上说明了储蓄率的高低对经济增长速度的影响。(1)较高的储蓄率意味着较高的资本存量稳定状态。

当一个经济的当前资本存量水平一定时，储蓄率提高就意味着与稳定状态之间存在着更大的差距，这样经济增长就会有较大的空间和速度。但这仅仅是暂时的。(2)

经济在长期中只要达到它的稳态，就不会再继续增长。6/8/202514查阅资料并利用索洛经济增长模型解释：（1）我国经济最近几年增长速度都很高，会不会一直这么高下去？（2）日本和德国是两个成功的经济增长事例。二战期间摧毁了两国的大量资本存量。但是，战后的几十年中，这两个国家经历了最迅速的增长。在1948年到1972年间，日本每年人均产出为8.2%，德国的每年人均产出增长率为5.7%。相比之下，美国每年的人均产出增长率仅为2.2%。为什么战后的日本、德国的经济会得到高速的增长？6/8/202515思考题某国生产函数Y=K0.5L0.5,s=0.3,δ=10%。求：稳定状态的人均资本存量k*,人均产出y*。解答:y=k0.5sf（k）=δk,求出k*=9,y*=36/8/202516第二节资本积累的黄金律尽管高的储蓄率可带来高的经济增长速度，但高的资本数量和高产出，其实并不是一个经济所追求的目标。人们的目标是长期中的消费福利。高储蓄是以低消费为代价的。因此，选择最佳稳态，应该以高消费作为选定稳态的标准。一.假设条件1.索洛模型成立2.储蓄率s可以调整；3.目标：未来消费水平最高。讨论：多少资本积累是长期消费最优的6/8/202517一.假设条件1.索洛模型成立2.储蓄率s可以调整；3.目标：未来消费水平最高。6/8/202518二、黄金律1.含义:长期中消费水平最高的稳定状态，被称为资本积累的“黄金律”水平。2.数学表达我们知道：

c=y–i假定稳定状态的人均资本为k*，则有：i*=sf（k*）=δk*由c=y－i可得,c*=f（k*）－δk*。表明：稳定状态资本水平的提高，对稳定状态的人均消费有对立的影响，它通过使产出增加提高消费，但又因为需要有更多的产出去替代折旧掉的资本而使消费减少消费最大化即求c的最大值6/8/202519三、黄金律的基本条件1.数学推导消费的最大化表现为一阶导数为0。dc/dk=df/dk–

δ=0MPk-δ=0MPk=δ因此，MPk=δ就是消费最大化的基本条件，即：资本的边际产出等于折旧率。6/8/202520Cg*kg*δkf(k)k0y2.资本积累的黄金律水平6/8/202521Cg*kg*δkf(k)k0y通过储蓄率选择黄金律稳态sgf(k)6/8/202522练习题某国生产函数Y=K0.5L0.5,δ=10%。求：（1）黄金律稳态时的人均资本存量k*,人均产出y*；（2）储蓄率达到什么水平可以使资本存量达到黄金律稳态。解答:(1)y=k0.5MPK=dy/dk=1/2K-0.5.求出k=25,y=5(2)sf（k）=δk,5s=0.25,s=0.56/8/202523第三节人口增长与技术进步前面的分析表明，高储蓄能提高一个经济的稳态资本存量和产出。在原来资本水平较低时，有更多的发展空间，促进经济增长。但资本积累本身不能带来持续的经济增长。要解释一个经济的持续增长就必须扩展基本的索洛模型，即把原来没有考虑的两个因素：人口增长和技术进步引入模型。因为现实当中，一个国家的人口或技术总是在不断变化的。6/8/202524一、人口增长的影响1.基本假设：（1）索洛模型成立；（2）人口增长率为n.2.人口增长的影响假设劳动力人口以固定速率n增长,则y=Y/L，k=K/L两个变量都会随着人口增长而下降。假设下降速度为x。当总资本量不变时：K=k×L=（1-x）k×（1+n）L=（1-x+n-xn）k×L由于x、n都很小，xn则更小，可以忽略不计，因此，可得x=n也就是说，当人口以n的速度增加时，人均产出y和人均资本k均以n的速度下降。6/8/202525仍然从资本积累的角度来研究。则一年中资本的变化量（新增的资本量）为Δk=i-δk-nk=i-（δ+n）k=sf（k）-（δ+n）k6/8/2025263.人口增长后稳态的变化现在，考虑了人口的变动，稳态点就会有变化。稳态时，

sf（k）=（δ+n）k（δ+n）k称为“平衡投资”，即存在折旧和人口增长的情况下，新增投资必须至少等于它，才能使资本存量保持不变，达到稳态。说明：经济处于稳态时，“平衡投资”投资一部分用于对现有资本折旧的弥补δk，一部分给新劳动力提供稳态水平的资本nk

。6/8/202527k*(δ+n)k有人口增长时的稳态0kysf(k)δkk06/8/2025283.人口增长对索洛模型的影响人口增长的引入改变了索洛模型。从三个角度：(1)它能在一定程度上解释持续的经济增长。因为人口的增长，尽管人均资本和产出不变，导致总资本和总产出也以速度n增长。(2)人口增长率高的国家，稳态人均资本低，产出低，所以生活水平也低。(比较)(3)人口增长对黄金率稳态的影响：引进人口增长率会改变资本积累黄金律水平。稳态时:i=sf(k)=（δ+n）k*c=y-i=f（k*）-（δ+n）k*消费水平的最大化表现为一阶导数为0。MPk=δ+n即在黄金律稳态：资本的边际产量=折旧率+人口增长率6/8/202529人口增长率对稳态的影响k*2(δ+n2)kk*10ksf(k)y(δ+n1)k6/8/202530计算设某国的总量生产函数：Y=K0.5L0.5，资本存量折旧率为5%，人口增长率为1%，储蓄率为10%。求：（1）均衡时本国的人均资本存量、人均产出及人均消费水平。（2）黄金律稳态时的人均资本量和人均产出以及储蓄率水平。6/8/202531二、技术进步的影响前面的研究一直基于一个假定，即技术水平不变，在此条件下考虑资本、劳动的变化对经济增长的影响。事实上，现实中技术的发展日新月异，对劳动生产率的提高起到了积极的推动作用。所以，我们有必要把技术进步引入索洛模型。基本假设：（1）索洛模型成立；（2）人口增长率为n：（3）技术进步使劳动效率增长率为g。6/8/2025321.效率工人/效率劳动力把技术进步引起的劳动生产率的提高用“E”来表示，原来L个单位的劳动力由于技术进步的作用，现在相当于L×E个劳动力，称“效率工人”或“效率劳动力”。则生产函数变为：Y=F（K，L）→→→Y=F（K，L*E）

6/8/202533例子如：技术进步引起劳动生产率提高两倍，

原来投入10个单位的劳动可以生产100个单位的产量，技术进步后可以生产200个单位，也就相当于在原来的技术水平下投入10*2=20个单位的劳动力。这个劳动力就称为“效率工人”。L’（效率工人）=L×E（效率）6/8/202534技术进步使E以一个固定速率g增长，由于L以n增长，所以L’以（n+g）的速率增长。令Y/（L×E）=y’（每效率工人人均产出存量）令K/（L×E）=k’（每效率工人人均资本存量）则有技术进步的生产函数（效率工人的人均生产函数）仍为：y’=f（k’）6/8/2025352.技术进步对稳态的影响通过转换，我们仍然可以从资本积累的角度来研究。存在人口增长和技术进步时，每年的资本损耗会更多。新增资本为:Δk’=i’-δk’

–(n+g）k’=sf（k’）-（δ+n+g）k’稳态时，Δk’=0，即：sf（k’）=（δ+n+g）k’6/8/202536有技术进步的稳定状态k’*(δ+n+g)k’0ky’sf(k’)6/8/2025373.技术进步对经济增长的影响引入技术进步后，虽然在稳定状态每效率工人的资本k’=K/（L×E），y’=Y/（L×E）都不变，但人均产出Y/L=y’×E和总产出Y=y’×E×L却分别以g和n+g的速度增长。这样，索洛模型才能够解释我们所观察到的经济增长。（生活水平的增长、福利的增长）索洛模型表明技术进步是一个经济长期持续增长的源泉。6/8/2025384.技术进步对黄金率稳态影响引入技术进步因素同样也会改变黄金率稳态的公式。c*=y–i=f（k*）-（δ+n+g）k*即在黄金律稳态：

MPk=δ+n+g也即：MPk-δ=n+g

→资本的净产出=总产出的增长率6/8/202539课后作业1。有以下生产函数的索洛增长模型了一个经济：y=k0.5。一个发达国家储蓄率为28%，而人口增长率为每年1%。一个不发达国家储蓄率为10%，而人口增长率为每年4%。在这两个国家中，g=0.02,δ=0.04。（1）找出每个国家稳定状态y的值。（2）求出每个国家黄金律稳态的人均资本存量和储蓄率。6/8/202540解答由题知：sf（k）=(δ+n+g)k0.28k1/2=(0.01+0.02+0.04)kk=16y=4如果储蓄率下降到10%，人口增长率上升到4%，则计算得：k=1y=16/8/202541三、索罗模型的缺陷1.

模型可以推论：当资本存量增长时，由于边际报酬递