2025年高二升高三数学暑假培优讲义6.3 二项式定理 -(选择性必修第二、三册)含答案

2025年高二升高三数学暑假培优讲义6.3二项式定理-(选择性必修第二、三册)含答案2025年高二升高三数学暑假培优讲义6.3二项式定理-(选择性必修第二、三册)含答案2025年高二升高三数学暑假培优讲义6.3二项式定理-(选择性必修第二、三册)含答案二项式定理1二项式展开式a+b2二项展开式的通项公式T3二项式系数表(杨辉三角)a+bn展开式的二项式系数，当n依次取1,2,3…4二项式系数的性质(1)对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(∵Cnm(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间一项Cnn2取得最大值；当n(3)二项式系数和：Cn奇数项的系数等于偶数项的系数等于2n−1备注∵令x=1，则2n令x=−1，则Cn0奇数项的系数等于偶数项的系数等于2n−1特别提醒1.在运用二项式定理时一定要牢记通项公式Tr+1=C2．在使用通项公式Tr+1=Cnr【题型一】二项式展开式【典题1】若x2+1ax6的展开式中，x3的系数是A．a=−12 B．所有项系数之和为C．二项式系数之和为64 D．常数项为－320【典题2】在二项式2x+16A.20B.160C.240D.192巩固练习1(★★)[多选题]关于x2A．奇数项的二项式系数和为32 B．所有项的系数和为－1 C．只有第3项的二项式系数最大 D．含x项的系数为－802(★★)[多选题]设常数a∈R,n∈NA．若a<1n，则各项系数随着项数增加而减小 B．若各项系数随着项数增加而增大，则C．若a=－2，n=10，则第7项的系数最大 D．若a=−2，n=7，则所有奇数项系数和为2393(★★★)[多选题]设1+2x5=a0+A．1 B．2 C．3 D．44(★★★)已知二项式(2x+1x)n(n∈N∗(1)求n的值；(2)求展开式中常数项；(3)计算式子C6【题型二】两个二项式相乘【典题1】已知(1+ax2)(2x−A．a=2 B．展开式中常数项为64 C．展开式系数的绝对值的和2187 D．若r为偶数，则展开式中xr−2系数是xr系数的【典题2】(1−x)6(1+x巩固练习1(★★)(xA．－19 B．－55 C．21 D．562(★★)已知正整数n≥7，若x−1x1－xn的展开式中不含xA．7 B．8 C．9 D．103(★★)(1−x)⋅(x+1x+2A．10 B．2 C．－14 D．344(★★★)(x+ax)(2x−1A．a=1 B．展开式中含x6项的系数是－32C．展开式中含x－1项 D．展开式中常数项为40【题型三】多项式展开式【典题1】x2－4x+1xA．840 B．－600 C．480 D．－360巩固练习1(★★)在(1−x+1x2021A．2021 B．28 C．－28 D．－562(★★)x+y－z6的展开式中xy23(★★)已知等差数列{an}的第5项是x−1【题型四】系数问题【典题1】已知1－x2A．a0=0 C．a1+a【典题2】若1+x+1+x2A．n=6 B．1+2xn展开式中二项式系数和为C．(1+x)+1+x2D．a巩固练习1(★★)[多选题]已知2+x1－2xA．a0的值为2B．a5的值为C．a1+a2+a32(★★★)[多选题]已知x－210A．a0=1 B．C．a12+3(★★★)[多选题]已知2x－3x－2A．a1+aC．a12+a【题型五】其他应用【典题1】证明32n+2－8n－9能被64整除(n∈【典题2】求0.9986的近似值，使误差小于0.001【典题3】求证：Cn【典题4】用二项式定理证明：2n巩固练习1(★★)若n是正奇数，则7n+CA．2 B．5 C．7 D．82(★★)用二项式定理证明：1110－1能被3(★★)求1.0284(★★)求和W=C5(★★)用二项式定理证明：1+16(★★★)记f(a)为ax+1n二项展开式中的x3项的系数，其中a∈{1,2,3,…,n}，(1)求f(1)，f(2)，f3(2)证明：二项式定理1二项式展开式a+b2二项展开式的通项公式T3二项式系数表(杨辉三角)a+bn展开式的二项式系数，当n依次取1,2,3…4二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(∵Cnm=(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间一项Cnn2取得最大值；当n(3)二项式系数和：Cn奇数项的系数等于偶数项的系数等于2n−1PS∵令x=1，则2n令x=−1，则Cn0奇数项的系数等于偶数项的系数等于2n−1特别提醒1.在运用二项式定理时一定要牢记通项公式Tr+1=C2．在使用通项公式Tr+1=Cnr【题型一】二项式展开式【典题1】若x2+1ax6的展开式中，xA．a=−12 B．所有项系数之和为C．二项式系数之和为64 D．常数项为－320【解析】由Tr+1=C令12－3r=3，得r=3．∴1a3⋅Cx2取x=1，可得所有项系数之和为a0+a二项式系数之和为26=64，故(二项式系数和：Cn由12－3r=0，得r=4，展开式的常数项为(−2)4⋅(常数项即变量x的指数为0)故选：ABC．【点拨】①先写出展开式的通项，并把其化为最简的形式；②每项的二项式系数Cn【典题2】在二项式2x+16A.20B.160C.240D.192【解析】二项式2x+16的展开式的通项为设ak则a当k≥2时，6−k2(k+1)<1，即ak+1而a1<a即系数最大项的系数为2【点拨】先求出系数通项，再利用求数列单调性的方法—作商法(作差法也行)求出最大项.巩固练习1(★★)[多选题]关于x2A．奇数项的二项式系数和为32 B．所有项的系数和为－1 C．只有第3项的二项式系数最大 D．含x项的系数为－80【答案】BD【解析】（x2−2x）5的展开式的所有二项式系数和为32，奇数项的二项式系数和为16，故取x＝1，可得所有项的系数和为﹣1，故B正确；（x2−2x）5的展开式有6项，第3项与第四项的二项式系数相等且最大，故展开式的通项为Tr+1由10﹣3r＝1，得r＝3，∴含x项的系数为(−2)3⋅故选：BD．2(★★)[多选题]设常数a∈R,n∈NA．若a<1nB．若各项系数随着项数增加而增大，则a>n C．若a=－2，n=10，则第7项的系数最大 D．若a=−2，n=7，则所有奇数项系数和为239【答案】BCD【解析】二项式(1+ax)n的展开式的通项为Tr+1=ar∁nrxr对于A：若a<0，则各项系数一正一负交替出现，故A不对，对于B：Cnrar<所以a>0，且a>r+1n−r对任意的∴a>n，故B正确；当a=－2，n=10，则展开式中奇数项的系数为正值，偶数项的系数为负值，所以，只需比较C100(−2)0，C102可得，C106(−2当a=−2，n=7，则奇数项系数和为：C7故选：BCD．3(★★★)[多选题]设1+2x5=a0+A．1 B．2 C．3 D．4【答案】BC【解析】二项式的展开式的通项Tn+1=所以an=C则(C即(5!n!(5−n)!)2•22n=2×化简得n2－5n+6=0，解得n=2或3，故选：BC．4(★★★)已知二项式(2x+1x)n(n∈N∗(1)求n的值；(2)求展开式中常数项；(3)计算式子C6【答案】（1）6（2）60（3）729【解析】(1)二项式(2x+1x)n(n∈求得n=6．(2)展开式的通项公式为Tr+1=C6r•26－r•x6−3r可得常数项为C64•22=60．(3)C6026+C612【题型二】两个二项式相乘【典题1】已知(1+ax2A．a=2 B．展开式中常数项为64 C．展开式系数的绝对值的和2187 D．若r为偶数，则展开式中xr−2系数是xr系数的【解析】对于A，令x=1，可得(1+ax)(2x−∴a=2，故A正确；对于B，易知(2x−1x其中r={0,1,2,3,4,5,6}，即(2x−则(1+2则展开式中常数项为1∙a由Tr+1=−1r26−rC对于C，(1+2x2令x=1，为1+2∙36对于D由(1+2当r=−6时，x−6的系数是a0+2a1，x−8的系数是故选：AC．【点拨】对于二个二项式模型“多项式∙a+bn”，比如对于想象下对2x−1x若要继续展开最后得到常数项，那只有1乘以2x−1x6的常数项和2乘以2x−即所求的常数项=1∙a【典题2】(1−x)6(1+x【解析】(1−=1－x则x2的项为1×即x2的系数为2故选：B．【点拨】式子复杂，若能化简为熟悉的模型“多项式∙a+b巩固练习1(★★)(xA．－19 B．－55 C．21 D．56【答案】B【解析】(x3+6x+1)(1−1x)6的展开式中的常数项为C故选：B．2(★★)已知正整数n≥7，若x−1x1－xn的展开式中不含A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【解析】正整数n≥7，若(x−1x)(1－x)n的展开式中不含x则(1－x)n的展开式中的含x3的项和含x5的项的系数和为0，即−Cn3+故选：B．3(★★)(1−x)⋅(x+1x+2A．10 B．2 C．－14 D．34【答案】C【解析】∵(1−x)⋅(x+=(1－x)•(C80•x4+C81•x3+C82故展开式中x的系数是C8故选：C．4(★★★)(x+aA．a=1 B．展开式中含x6项的系数是－32C．展开式中含x－1项 D．展开式中常数项为40【答案】AD【解析】令x＝1则有1+a＝2，得a＝1，故二项式为（x+1x）（2x−1（2x−1x）5通项公式为（﹣1）r25﹣rC5rx5﹣2r，（x+1x）（2x−1x）5的展开式中含x6项系数为（2x−1x）5通项展开式式中令5﹣2r＝5解得r＝0，所以（2x−1x）5通项展开式式中x5项系数（﹣1）025C5令5﹣2r＝7解得r＝﹣1，不合题意，∴展开式中含x6项的系数是32，（x+1x）（2x−1x）5的展开式中含x﹣1项系数为（2x−1x令5﹣2r＝﹣2，解得r=7令5﹣2r＝0，解得r=5则展开式不含x﹣1项，（x+1x）（2x−1x）5的展开式中含常数项为（2x−1x）5令5﹣2r＝﹣1，解得r＝3，令5﹣2r＝1，解得r＝2，所以其常数项为﹣22×C53+23C52＝40．故选：AD．【题型三】多项式展开式【典题1】x2－4x+1A．840 B．－600 C．480 D．－360【解析】x2－4x+1对于(−4x+1x)r，它展开式通项为Cr(特别注意r、多项式展开式中x的幂指数为10－2r+r－2k=10－r－2k，求x2的系数，则令10－r－2k=2可得k=0r=8>5(舍去)，k=1r=6>5(舍去)，k=2r=4，k=3(利用r、所以只有k=2r=4故展开式中x2项的系数为C故选：C．【点拨】①多项式展开式，可转化为二项式展开式，本题把−4x+1x看成“一项”，其实也可以把“②本题利用了二次展开式，得到最后变量x的指数10－r－2k，此时要特别注意r、k的限制范围.巩固练习1(★★)在(1−x+1x2021A．2021 B．28 C．－28 D．－56【答案】B【解析】由于(1−x+1x2021)故有2个因式取x，其余的因式都取1，即可得到含x2的项，故x2的系数C8故选：B．2(★★)x+y－z6的展开式中xy2【答案】－60【解析】(x+y－z)6表示6个因式(x+y－z)的乘积，故其中有一个因式取x，其中2个因式取y，其余的因式都取－z，即可得到展开式中xy2z3的项，故该项的系数为C61•C52•故答案为：－60．3(★★)已知等差数列{an}的第5项是x−1【答案】－40【解析】∵(x−1x+2y)6表示6个因式(x−故当有3个因式取x，其余的3个因式取−1x时，可得它的常数项为−C63•等差数列{an}的第5项是(x−1x+2y)6展开式中的常数项，则a2+a8=2a【题型四】系数问题【典题1】已知1－xA．a0=0 C．a1+a【解析】对于A，令x=－1，则a0=0，对于B，令t=x+1⇒x=t－1，则已知等式变成2t－t∵t+14展开式通项为C4rt对于C，令t=1，得a0令t=−1，得a∴a1+a3对于D，令t=−1，得a又∵a0=0，∴故选：ACD．【点拨】①对于类似系数问题，常令x=0,x=1,x=−1或根据等式结构取其他特殊值，这样往往能够得到展开式中某些系数的关系，这个要多尝试；②题目中等式右边(它是以x+1展开的)，不是我们熟悉的按x来展开，那可以用换元法，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题是求解数学题的常用思考模式.【典题2】若1+x+1+x2A．n=6 B．1+2xn展开式中二项式系数和为C．(1+x)+1+x2D．a【解析】对于A，∵1+x∴较易得到a0令x=1，可得2+2⇒21−2对于B，1+2xn展开式中二项式系数和为2n=对于C，(1+x)+1+x2+…+故C正确；对于D，∵(1+x)+(1+x)两边求导得1+21+x令x=1得a1+2a故选：ACD．【点拨】对于D选项，a1+2a2+3a3巩固练习1(★★)[多选题]已知2+x1－2xA．a0的值为2B．a5的值为C．a1+a2+a3【答案】ABC【解析】∵已知(2+x)(1−2x)令等式中的x=0，可得a0=2，故A正确．a5的值，即展开式中x5的系数，为2×(−2)5C5在所给的等式中，令x=1，得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=－3①，又a0=2，∴a1+a2+a3+a4+a5+a6=－5，故C正确；在所给的等式中，令x=－1，得a0－a1+a2－a3+a4－a5+a6=243②，由①②得：a1+a3+a5=－123，D错误．故选：ABC．2(★★★)[多选题]已知x－210A．a0=1 B．C．a12+【答案】ACD【解析】∵（x﹣2）10＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+⋅⋅⋅+a10（x﹣1）10，令x＝1，得a0＝1，故A正确，令x＝2，得a0+a1+a2+…+a9+a10＝0，令x＝0，得a0﹣a1+a2+…﹣a9+a10＝210，所以a0+a2+a4+a6+a8+a10=0+210令x=32，得a0+a12+a∵（x﹣2）10＝[（x﹣1）﹣1]10＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+⋅⋅⋅+a10（x﹣1）10，∴a6=C106•（﹣1）4故选：ACD．3(★★★)[多选题]已知2x－3x－2A．a1+aC．a12+a【答案】ACD【解析】∵(2x－3)(x－2)8=a0+a1(x－1)+a2(x－1)2+a3(x－1)3+…+a9(x－1)9，令x=1，得a0=－1，令x=2，得a0+a1+a2+…+a9=0，所以a1+a2+…+a9=1，故A正确；由(2x－3)(x－2)8=[2(x－1)－1][(x－1)－1]8，所以a5=2×C令x=3得(2×3所以a0+a12+a2设f(x)=(2x－3)(x－2)8=a0+a1(x－1)+a则f'(x)=2(x－2)8+8(2x－3)(x−令x=2，得a1+2a2+…+9a9=0，故D正确，故选：ACD．【题型五】其他应用【典题1】证明32n+2－8n－9能被64整除(【证明】3=====64(∵8∴32n+2－8n－9【点拨】这是整除与余数的问题，由于证明中的除数是64，则要在32n+2－8n－9中尽量找到与其有关信息，没直接信息与64有关，而32n+2【典题2】求0.9986的近似值，使误差小于0.001【解析】0.998=≈1+6•=0.988．【点拨】这是求近似值，由于0.998接近1，则由0.9986【典题3】求证：Cn【证明】设Sn=把①式右边倒转过来得Sn又由Cnm=C①+②得2S∴S即Cn原等式得证．【点拨】这是证明“左式=右式”的题型，方法很多，①直接把左式化简得到右式，本题就是这样，它借鉴了数列中的“倒序相加法”，主要是留意到组合数的性质Cn②左式，右式同步化简，化简为同一结果，则左式=右式；③数学归纳法对于与正整数n有关的等式或不等式均较为友好.【典题4】用二项式定理证明：2n【证明】∵n≥5，∴n－2≥3，由二项式定理可得2=1+n－2∵2当n≥5时，n－32∴n≥5时，2n【点拨】不等式的证明常用的方法有放缩法，而二项式的展开式是放缩法中的一种方式，展开式中有多项，那可有选择的把“影响大的项”留下，去除“影响小的项”，从而达到放缩的目的，留“几项”就