8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积-2025年高一数学新教材同步课堂精讲练导学案（人教A版2019必修第二册）含答案

8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积-2025学年高一数学新教材同步课堂精讲练导学案（人教A版2019必修第二册）8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积【学习目标】1.会求棱柱、棱锥、棱台的表面积2.会求棱柱、棱锥、棱台的体积【自主学习】知识点1棱柱、棱锥、棱台的表面积1．棱柱的表面积棱柱的表面积：S表＝．①其中底面周长为C，高为h的直棱柱的侧面积：S侧＝；②长、宽、高分别为a，b，c的长方体的表面积：S表＝；③棱长为a的正方体的表面积：S表＝.2．棱锥的表面积棱锥的表面积：S表＝S侧＋；底面周长为C，斜高(侧面三角形底边上的高)为h′的正棱锥的侧面积：S侧＝.3．棱台的表面积棱台的表面积：S表＝．多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积之和．知识点2棱柱、棱锥、棱台的体积1．棱柱的体积(1)棱柱的高是指之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这个点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离．(2)棱柱的底面积S，高为h，其体积V＝.2．棱锥的体积(1)棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，与(垂线与底面的交点)之间的距离．(2)棱锥的底面积为S，高为h，其体积V＝.3．棱台的体积(1)棱台的高是指之间的距离．(2)棱台的上、下底面面积分别是S′、S，高为h，其体积V＝．

【合作探究】探究一多面体的表面积【例1】已知正三棱台(上、下底是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下底面的中心)的上、下底面边长分别为2cm和4cm，侧棱长是eq\r(6)cm，则该三棱台的表面积为________．归纳总结：【练习1】如图所示，有一滚筒是正六棱柱形(底面是正六边形，每个侧面都是矩形)，两端是封闭的，筒高1.6m，底面外接圆的半径是0.46m，问：制造这个滚筒需要m2铁板(精确到0.1m2)．

探究二多面体的体积【例2】如图所示，在多面体ABCDEF中，已知底面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF＝eq\f(3,2)，EF与面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为()A.eq\f(9,2) B．5C．6 D.eq\f(15,2)归纳总结：【练习2】三棱台ABC­A1B1C1中，AB：A1B1＝1：2，则三棱锥A1­ABC，B­A1B1C，C­A1B1C1的体积之比为()A．111B．112C．124D．144课后作业A组基础题一、选择题1．如图，ABC­A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C­AA′B′B的体积是()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)2．正方体的表面积为96，则正方体的体积为()A．48eq\r(6) B．64C．16 D．963．棱锥的一个平行于底面的截面把棱锥的高分成1∶2(从顶点到截面与从截面到底面)两部分，那么这个截面把棱锥的侧面分成两部分的面积之比等于()A．1∶9 B．1∶8C．1∶4 D．1∶34．若正方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比是()A．eq\r(3)B．eq\r(2)C．eq\f(2,\r(3))D．eq\f(\r(3),2)5．四棱台的两底面分别是边长为x和y的正方形，各侧棱长都相等，高为z，且侧面积等于两底面积之和，则下列关系式中正确的是()A．eq\f(1,x)＝eq\f(1,y)＋eq\f(1,z) B．eq\f(1,y)＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,z)C．eq\f(1,z)＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,y) D．eq\f(1,z)＝eq\f(1,x＋y)二、填空题6．已知一个长方体的三个面的面积分别是eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(6)，则这个长方体的体积为________．7．已知棱长为1，各面均为等边三角形的四面体，则它的表面积是________，体积是________．8.如图，在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，则点A到平面A1BD的距离d＝________.三、解答题9．已知四面体ABCD中，AB＝CD＝eq\r(13)，BC＝AD＝2eq\r(5)，BD＝AC＝5，求四面体ABCD的体积．

10．如图，已知正三棱锥S­ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，求此正三棱锥的表面积．11．建造一个容积为16m3，深为2m，宽为2m的长方体无盖水池，如果池底的造价为120元/m2，池壁的造价为80元/m2，求水池的总造价．

B组能力提升一、选择题1．正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为()A．3πB．eq\f(4,3)C．eq\f(3,2)π D．12．正三棱锥的底面周长为6，侧面都是直角三角形，则此棱锥的体积为()A．eq\f(4\r(2),3)B．eq\r(2)C．eq\f(2\r(2),3)D．eq\f(\r(2),3)二、填空题3．已知某几何体是由两个全等的长方体和一个三棱柱组合而成，如图所示，其中长方体的长、宽、高分别为4,3,3，三棱柱底面是直角边分别为4,3的直角三角形，侧棱长为3，则此几何体的体积是________，表面积是________．三、解答题4．如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积．5．一个正三棱锥P­ABC的底面边长为a，高为h.一个正三棱柱A1B1C1­A0B0C0的顶点A1，B1，C1分别在三条棱上，A0，B0，C0分别在底面△ABC上，何时此三棱柱的侧面积取到最大值？8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积导学案编写：廖云波初审：谭光垠终审：谭光垠廖云波【学习目标】1.会求棱柱、棱锥、棱台的表面积2.会求棱柱、棱锥、棱台的体积【自主学习】知识点1棱柱、棱锥、棱台的表面积1．棱柱的表面积棱柱的表面积：S表＝S侧＋2S底．①其中底面周长为C，高为h的直棱柱的侧面积：S侧＝Ch；②长、宽、高分别为a，b，c的长方体的表面积：S表＝2(ab＋ac＋bc)；③棱长为a的正方体的表面积：S表＝6a2.2．棱锥的表面积棱锥的表面积：S表＝S侧＋S底；底面周长为C，斜高(侧面三角形底边上的高)为h′的正棱锥的侧面积：S侧＝eq\f(1,2)Ch′.3．棱台的表面积棱台的表面积：S表＝S侧＋S上底＋S下底．多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积之和．知识点2棱柱、棱锥、棱台的体积1．棱柱的体积(1)棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这个点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离．(2)棱柱的底面积S，高为h，其体积V＝Sh.2．棱锥的体积(1)棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离．(2)棱锥的底面积为S，高为h，其体积V＝eq\f(1,3)Sh.3．棱台的体积(1)棱台的高是指两个底面之间的距离．(2)棱台的上、下底面面积分别是S′、S，高为h，其体积V＝eq\f(1,3)h(S′＋eq\r(S′S)＋S)．

【合作探究】探究一多面体的表面积【例1】已知正三棱台(上、下底是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下底面的中心)的上、下底面边长分别为2cm和4cm，侧棱长是eq\r(6)cm，则该三棱台的表面积为________．【答案】(5eq\r(3)＋9eq\r(5))cm2[分析]利用侧面是等腰梯形求出棱台的侧面积，再求出其表面积．[解析]正三棱台的表面积即上下两个正三角形的面积与三个侧面的面积和，其中三个侧面均为等腰梯形，易求出斜高为eq\r(5)cm，故三棱台的表面积为3×eq\f(1,2)×(2＋4)×eq\r(5)＋eq\f(1,2)×2＋eq\r(3)＋eq\f(1,2)×4×2eq\r(3)＝5eq\r(3)＋9eq\r(5).归纳总结：在掌握直棱柱、正棱锥、正棱台侧面积公式的基础上，对于一些较简单的组合体，能够将其分解成柱、锥、台体，再进一步分解为平面图形正多边形、三角形、梯形等，以求得其表面积，要注意对各几何体相重叠部分的面积的处理【练习1】如图所示，有一滚筒是正六棱柱形(底面是正六边形，每个侧面都是矩形)，两端是封闭的，筒高1.6m，底面外接圆的半径是0.46m，问：制造这个滚筒需要5.6m2铁板(精确到0.1m2)．解析：因为此正六棱柱底面外接圆的半径为0.46m，所以底面正六边形的边长是0.46m.所以S侧＝Ch＝6×0.46×1.6＝4.416(m2)．所以S表＝S侧＋2S底＝4.416＋2×eq\f(\r(3),4)×0.462×6≈5.6(m2)．故制造这个滚筒约需要5.6m2铁板．探究二多面体的体积【例2】如图所示，在多面体ABCDEF中，已知底面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF＝eq\f(3,2)，EF与面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为()A.eq\f(9,2) B．5C．6 D.eq\f(15,2)【答案】D[解析]如图，连接EB，EC，AC，则VE­ABCD＝eq\f(1,3)×32×2＝6.∵AB＝2EF，EF∥AB，∴S△EAB＝2S△BEF.∴VF­EBC＝VC­EFB＝eq\f(1,2)VC­ABE＝eq\f(1,2)VE­ABC＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)VE­ABCD＝eq\f(3,2).∴V＝VE­ABCD＋VF­EBC＝6＋eq\f(3,2)＝eq\f(15,2).归纳总结：求几何体体积的常用方法1公式法：直接代入公式求解.2等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可.3补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等.4分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.【练习2】三棱台ABC­A1B1C1中，AB：A1B1＝1：2，则三棱锥A1­ABC，B­A1B1C，C­A1B1C1的体积之比为()A．111B．112C．124D．144【答案】C解析：如图，设棱台的高为h，S△ABC＝S，则S△A1B1C1＝4S.∴VA1­ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·h＝eq\f(1,3)Sh，VC­A1B1C1＝eq\f(1,3)S△A1B1C1·h＝eq\f(4,3)Sh.又V三棱台ABC­A1B1C1＝eq\f(1,3)h(S＋4S＋2S)＝eq\f(7,3)Sh，∴VB­A1B1C＝V三棱台ABC­A1B1C1－VA1­ABC－VC­A1B1C1＝eq\f(7,3)Sh－eq\f(Sh,3)－eq\f(4Sh,3)＝eq\f(2,3)Sh.∴体积比为124，∴应选C.课后作业A组基础题一、选择题1．如图，ABC­A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C­AA′B′B的体积是()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)【答案】C[∵VC­A′B′C′＝eq\f(1,3)VABC­A′B′C′＝eq\f(1,3)，∴VC­AA′B′B＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).]2．正方体的表面积为96，则正方体的体积为()A．48eq\r(6) B．64C．16 D．96【答案】B3．棱锥的一个平行于底面的截面把棱锥的高分成1∶2(从顶点到截面与从截面到底面)两部分，那么这个截面把棱锥的侧面分成两部分的面积之比等于()A．1∶9 B．1∶8C．1∶4 D．1∶3【答案】B[两个锥体的侧面积之比为1∶9，小锥体与台体的侧面积之比为1∶8，故选B．]4．若正方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比是()A．eq\r(3)B．eq\r(2)C．eq\f(2,\r(3))D．eq\f(\r(3),2)【答案】A[如图所示，正方体的A′、C′、D、B的四个顶点可构成一个正四面体，设正方体边长为a，则正四面体边长为eq\r(2)a.∴正方体表面积S1＝6a2，正四面体表面积为S2＝4×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2)a)2＝2eq\r(3)a2，∴eq\f(S1,S2)＝eq\f(6a2,2\r(3)a2)＝eq\r(3).]5．四棱台的两底面分别是边长为x和y的正方形，各侧棱长都相等，高为z，且侧面积等于两底面积之和，则下列关系式中正确的是()A．eq\f(1,x)＝eq\f(1,y)＋eq\f(1,z) B．eq\f(1,y)＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,z)C．eq\f(1,z)＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,y) D．eq\f(1,z)＝eq\f(1,x＋y)【答案】C[由条件知，各侧面是全等的等腰梯形，设其高为h′，则根据条件得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4·\f(x＋y,2)·h′＝x2＋y2，,z2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y－x,2)))eq\s\up12(2)＝h′2，))消去h′得，4z2(x＋y)2＋(y－x)2(y＋x)2＝(x2＋y2)2.∴4z2(x＋y)2＝4x2y2，∴z(x＋y)＝xy，∴eq\f(1,z)＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,y).]二、填空题6．已知一个长方体的三个面的面积分别是eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(6)，则这个长方体的体积为________．【答案】eq\r(6)[设长方体从一点出发的三条棱长分别为a，b，c，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝\r(2)，,ac＝\r(3)，,bc＝\r(6)，))三式相乘得(abc)2＝6，故长方体的体积V＝abc＝eq\r(6).]7．已知棱长为1，各面均为等边三角形的四面体，则它的表面积是________，体积是________．【答案】eq\r(3)eq\f(\r(2),12)[S表＝4×eq\f(\r(3),4)×12＝eq\r(3)，V体＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×12×eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))eq\s\up12(2))＝eq\f(\r(2),12).]8.如图，在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，则点A到平面A1BD的距离d＝________.【答案】eq\f(\r(3),3)a[在三棱锥A1­ABD中，AA1是三棱锥A1­ABD的高，AB＝AD＝AA1＝a，A1B＝BD＝A1D＝eq\r(2)a，∵V三棱锥A1­ABD＝V三棱锥A­A1BD，∴eq\f(1,3)×eq\f(1,2)a2×a＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(2)a×eq\f(\r(3),2)×eq\r(2)a×d，∴d＝eq\f(\r(3),3)a.∴点A到平面A1BD的距离为eq\f(\r(3),3)a.]三、解答题9．已知四面体ABCD中，AB＝CD＝eq\r(13)，BC＝AD＝2eq\r(5)，BD＝AC＝5，求四面体ABCD的体积．[解]以四面体的各棱为对角线还原为长方体，如图．设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝13，,y2＋z2＝20，,x2＋z2＝25，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝2，,z＝4.))∵VD­ABE＝eq\f(1,3)DE·S△ABE＝eq\f(1,6)V长方体，同理，VC­ABF＝VD­ACG＝VD­BCH＝eq\f(1,6)V长方体，∴V四面体ABCD＝V长方体－4×eq\f(1,6)V长方体＝eq\f(1,3)V长方体．而V长方体＝2×3×4＝24，∴V四面体ABCD＝8.10．如图，已知正三棱锥S­ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，求此正三棱锥的表面积．[解]如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h′，过点O作OE⊥AB，与AB交于点E，连接SE，则SE⊥AB，SE＝h′.∵S侧＝2S底，∴eq\f(1,2)·3a·h′＝eq\f(\r(3),4)a2×2.∴a＝eq\r(3)h′.∵SO⊥OE，∴SO2＋OE2＝SE2.∴32＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)×\r(3)h′))eq\s\up12(2)＝h′2.∴h′＝2eq\r(3)，∴a＝eq\r(3)h′＝6.∴S底＝eq\f(\r(3),4)a2＝eq\f(\r(3),4)×62＝9eq\r(3)，S侧＝2S底＝18eq\r(3).∴S表＝S侧＋S底＝18eq\r(3)＋9eq\r(3)＝27eq\r(3).11．建造一个容积为16m3，深为2m，宽为2m的长方体无盖水池，如果池底的造价为120元/m2，池壁的造价为80元/m2，求水池的总造价．解：设长方体的长、宽、高分别为am，bm，hm，水池的总造价为y元．∵V＝abh＝16，h＝2，b＝2，∴a＝4.则有S底＝4×2＝8(m2)，S壁＝2×(2＋4)×2＝24(m2)，y＝S底×120＋S壁×80＝120×8＋80×24＝2880(元)．

B组能力提升一、选择题1．正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为()A．3πB．eq\f(4,3)C．eq\f(3,2)π D．1【答案】B[如图所示，由图可知，该几何体由两个四棱锥构成，并且这两个四棱锥体积相等．四棱锥的底面为正方形，且边长为eq\r(2)，故底面积为(eq\r(2))2＝2；四棱锥的高为1，故四棱锥的体积为eq\f(1,3)×2×1＝eq\f(2,3).则几何体的体积为2×eq\f(2,3)＝eq\f(4,3).]2．正三棱锥的底面周长为6，侧面都是直角三角形，则此棱锥的体积为()A．eq\f(4\r(2),3)B．eq\r(2)C．eq\f(2\r(2),3)D．eq\f(\r(2),3)【答案】D[由题意，正三棱锥的底面周长为6，所以正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，可知侧棱长均为eq\r(2)，三条侧棱两两垂直，所以此三棱锥的体积为eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)×eq\r(2)＝eq\f(\r(2),3).]二、填空题3．已知某几何体是由两个全等的长方体和一个三棱柱组合而成，如图所示，其中长方体的长、宽、高分别为4,3,3，三棱柱底面是直角边分别为4,3的直角三角形，侧棱长为3，则此几何体的体积是________，表面积是________．【答案】90138