人教版高中数学精讲精练选择性必修一312 椭圆的简单几何性质（精练）（解析版）

3.1.2椭圆的简单几何性质(精练)

j基“础唧N练

22

1.(2022・全国•高二假期作业)已知椭圆C:二+乙=1,则下列各点不在椭圆内部的是()

43

A.(U)B.(72,-1)

C.(72,V2)

【答案】C

2

【解析】由椭圆方程为c：Ld+JV=i,

43

117

因为:+:=看＜1，所以点(1/)在椭圆内部，A错误;

因为湾=2

，所以点在椭圆内部，B错误;

297

因为Vik',所以点;(血，血)在椭圆外部，C正确;

I

为

所

-点

因

1以

4<1

-+-=19一在椭圆内部，D错误.

43

48

故选:C.

2.(2023春•上海浦东新♦高二统考期中)已知椭圆C：工+工=1,直线

259

/:("?+2)x-("?+4)y+2=0(/〃eR),则直线/与椭圆C的位置关系为()

A.相交B.相切C.相离D.不确定

【答案】A

【解析】对于直线/：(〃7+2)x-(〃7+4)y+2-〃7=O,整理得〃?(x-)-l)+2(x-2)，+l)=O,

x-y-1=0x=3

令《八,解得

,r-2y+l=O[y=2

故直线/过定点人(3,2).

唉+a=果＜1,则点A(3,2)在椭圆C的内部,

所以直线/与椭圆C相交.

故选：A.

3.(2023秋•黑龙江鸡西•高二鸡西实验中学校考期末)若直线，冰=4与。。：V+y2=4没有交点，则

过点p（〃?,〃）的直线与椭圆卷十号=1的交点个数是（）

A.至多为IB.2C.1D.0

【答案】B

4

【解析】由题意得，圆心（0,0）到直线—町，=4的距离d=J,/+.>2=「,即>+〃2<*

则点P（〃L〃）在圆f+y?=4内,

由椭圆几何性质知点P（〃?,〃）也在椭圆会+?=1内，

团与椭圆工+工=1的交点个数为2.

94

故选:B

22

4.（2023春・河南南阳•高二统考期末）（多选）若椭圆—+^=1的离心率为!，则实数々的值可能为（）

攵+892

A.——B.-C.—4D.4

44

【答案】AD

【解析】因为椭圆工+二=1的离心率为:，

女+892

当焦点在工轴上时，即&+8>9,得到%>1,由€=,/授=/缶=；，解得〃=4；

当焦点在》轴上时，即0<&+8<9,得到—8v2vl,由e=解得《二-；.

故选:AD.

5.（2022秋•高二课时练习）已知椭圆二+£=1的离心率6=叵，则”的值为（）

5m5

A.3B.厉或工而

3

C.V15D.3或g

【答案】D

【解析】当焦点在1轴上，即0<用<5时，则a=氐c=^^二百，

可得。=且"区=坐，解得小=3；

V55

同理当焦点在丁轴，即/〃>5时，则a=4m,c=yJm-5,

可得《=与5=坐，解得m=?；

y]Hl53

故选：D.

6.（2023春•湖南湘潭•高二湘潭县一中校联考期末）开普勒第一定律也称椭圆定律、轨道定律，其内容如下：

每•行星沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的•个焦点上.将某行星〃看作一个原点，〃绕太

阳的运动轨迹近似成曲线工+目=1（/»〉〃>0）,行星H在运动过程中距离太阳最近的距离称为近日点距离，

mn

距离太阳最远的距离称为远日点距离.若行星〃的近日点距离和远日点距离之和是18（距离单位：亿千米），

近日点距离和远日点距离之积是16,则6+〃=（）

A.39B.52C.86D.97

【答案】D

【解析】根据椭圆方程二+《=】，得长半轴〃=诟，半焦距。=疝吃，

mn

近Fl点距离为a-c=x[m--Jin-n，远Fl点距离为a+c=4m+,

近H点距离和远H点距离之和是4m-\/m-n+\[m+Jin-n=18,

近日点距离和远日点距离之积是（向-=16,

解得加=81,”=16,则〃?十〃=97.

故选：D.

7.（2022秋・河北石家庄•高二河北新乐市第一中学统考期中）1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗

人连地球卫星“东方红一号"，从此我国开向了人造卫层的新篇章.人造地球卫星绕地球运行遵循开普物行星

运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积

守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面枳相等，如图建系，设椭圆道的

长轴长，短轴长，焦距分别为2a,2b,2c,下列结论正确的是（）

A.卫星向径的最大值为2〃

B.卫星向径的最小值为2〃

C.卫星绕行一周时在第三象阻内运动的时间小于在第四象限内运动的时间

D.卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越圆

【答案】D

【解析】由题意得；向径为卫星与地球的连线，即椭圆上的点与焦点的连线的距高,

由椭圆的几何性质可知卫星向径的最小值为a-c,最大值为a+c,故AB错误；

由开普勒行星运动定律卫星的向径在相同的时间内扫过的面积相等，

在第二象限运动时扫过的面积大于在第一象限运动时扫过的面积，

故卫星在第二象限内运动的时间大于在第一象限运动时扫过的时间，

由椭圆的对称性可知，卫星绕行一周时在第三象限内运动的时间大于在第四象限运动的时间，故C错误；

当卫星向径的最小值与最大值的比值越大时，由生====-1+3,可得。越小，椭圆越圆，故D正确，

a+c\+e1+e

故选：D

8.（2023・全国•高三专题练习）嫦娥五号完成了人类航天史上的壮举，在我国航天事业发展史上具有里程碑

意义.嫦娥五号返回时要经过多次变轨，根据开普勒第一定律，嫦娥五号以椭圆轨道环绕地球运动，地球处

于其中一个焦点上，嫦娥五号在近地点处加速即可保持近地距离而增大远地距离，由月地转移轨道团进入月

地转移轨道国.若某探测器的月地转移轨道团的远地距离是轨道国的3倍，月地转移轨道回的离心率是轨道团的，

则月地转移轨道回的离心率为（）

【答案】B

【解析】设月地转移轨道团的长半轴为〃，焦半距为J离心率为e,轨道团的长半轴为"，焦当距为

a'+c'=3(a+c)

所以,解得:a'=2a+c,c'=a+2c,

则£=!•炉£,整理为：2/+2-2=（）,两边同时除以

a22a+c

得2e2+2e-\=0•e=〔1"

故选：B

9.（2023・全国•高三专题练习）已知椭圆E:二十匚=1（。>〃>0）,直线与椭圆E相切，则椭圆E

a~b~2

的离心率为（）

【答案】B

【【解析】由题意，联》.椭圆E和直线y=的方程得：b2x2+a2—x+a=a2b2.

2

整理得：力=。，

因为椭圆E和直线y=+〃相切，

则A=（叫2—4（12+〃）（/_12）=0,

化简得：4=3,

a-4

则椭圆石的离心率e=£=F5=FI=r

故选：B.

10.（2023春•江西吉安•高二校考期中）直线y=x+l与椭圆Y+工=1的位置关系是（）

2

A.相离B.相切C.相交D.无法确定

【答案】C

y=x+I

【解析】联立《，y2=>3X2+2X-1=0,

2

贝ljA=2、4x3=16>0

所以方程有两个不相等的实数根，

所以直线与椭圆相交

故选:C.

今

11.（2022秋•山西晋城•高二晋城市第一中学校校考阶段练习）已知直线y=2x+f与椭圆工+）3=］相交于A、

4-

B两点,若线段的中点纵坐标为则，=（）

«15c0—15c17

A.—B.2C.------D.—

822

【答案】D

y=2x+t

【解析】联立直线与椭圆方程得，整理得17/产4=0,

—+y2=1

4,

设人（即乂）、3（"力），则弘=2内+“2=2勺+/

I6Z4r-4“\cc（16八c2/

-

:•％+W=-占=-^，）；+y2=2（x1+x2）+2/=2x^-—J+2r=—

••・线段A8的中点纵坐标为

9/17

二•V|+丫2=万=1解得，=万，

故选:D.

12.（2022秋•高二课时练习）若椭圆二+二=1的弦A8的中点为（T-1）,则弦A8的长为（

42

AV30R2x/6

33

MV15

rL•---nU・------

33

【答案】A

【解析】设4%,%），3（巧,为），

因为弦AB的中点为（T，T）,可得％+/=-2,）[+为=・2,

J%

又因为A8在椭圆上，可得1£12,

区+丛=1

42

两式相减可得（再+占：内—%）++）=0.

可得在“沙罟=4,即直线AB的斜率为％=+

I3

所以弦AB的直线方程为y+l=--（x+l）,即y=-耳工一；，

13

V=——X——

联立方程组〈，2，2，整理得3/+6%+1=0,可得%+电=-2,王巧=彳1，

尸上）‘一_1-3

由弦长公式，可得|人8]=d1+卜5・+工2）-4'工2=、4-/-2）--4x-=—.

故选：A.

13.（2023秋•高二课时练习）直线y=x-l被椭圆2./+），2=4所截得的弦的中点坐标是（

ri2^（2n

A-[3-3）B.KR

（n（1n

C，[2\^3）。.匕田

【答案】A

【解析】设弦为48,弦为4），8（七,必）,

由k,4，消去），得2/+（》-1）2=4,即3/-2X-：3=0.

2x~+y-=4

2

A=（-2）-4x3x（-3）=40>0,At+x2=-,

3

所以弦的中点的横坐标是x==;，

2

代人直线方程y=x-i中，得y=J.

所以弦的中点坐标是

故选：A.

14（2022秋•四川资阳•高二四川省资阳中学校考期中）过点时（1,1）作斜率为-；的直线与椭圆

C：?+"=l（a>b>0）相交于A,B两点，若M是线段AB的中点，则，的值为（）

【答案】A

22

务21

+从=

2

【解析】设4小凹），倒工2，乃），则.”

+从=

两式相减得（…乂…）+%）5+必）=0

a~b~

x1+x,=222

则E=°'

2y+)'2=2

则/=»，2=叵

a2

故选:A

15.（2023・四川巴中•南江中学校考模拟预测）已知椭圆。：/+/=1（。〉力>0）四个顶点构成的四边形的面

枳为16&，直线，：x-2），+6=0与椭圆C交于A,8两点，且线段4B的中点为（-2,2）,则椭圆C的方程是

()

《+匚1„xy,

A.B.—+匚=1

168324

《+匚1D.3

C.

3216642

【答案】A

【解析】设A（X，y），8（孙），2）,则可十1=1宗袅「两式作差并化简整理得

a"b

•2

2LZA=__.Vti,因为线段A8的中点为（—2,2）,所以内+吃=-4,x+%=4,

百一々T）1+%

所以江三=与，由勺=:，得£=L乂因为葭2"力=2必=16&,解得从=8,"=|6,

2

x,-x2cr2a22

所以椭圆C的方程为二+£=1.

168

故选:A.

16.（2023•江西•校联考模拟预测）已知直线4：y=2x+2过椭圆C；与।4=1（々>〃>0）的一个焦点，与C

a~b~

交于4,8两点，与4平行的直线&与C交于M,N两点，若48的中点为P,MN的中点为Q,且PQ的斜

率为-4]，则C的方程为（）

A丁y2[

A.—+—=1B.三+二=1

4395

C."=1至+至=1

D.

983616

【答案】C

（解析）设A（N，yj,8（孙必），?（如%），

<+£=1

（凹）（）

则":耳，两式作差得区0土出=+%y-%

=,b2

4/+b41

所以9.迎一空一学

王一式2与飞。

,2b2

若。为坐标原点，则无p=-亲，同理攵如,所以O,P,。三点共线,

即%=%=-9=-1,所以探［，乂4过点（T，。），即椭圆的焦点，所以/一斤=1

a2=9r22

解得心8,所以。的方程%v

故选:C

22

17.（2023・湖南长沙•雅礼中学校考模拟预测）（多选）已知椭圆E:\+g=l（a小0）的右焦点为尸（3,0）,

过点尸的直线交椭圆七于4B两点.若A8的中点坐标为则（）

A.直线的方程为y=g（x-3）B.a2=2b2

C.椭圆的标准方程为二+工=|D.椭圆的离心率为也

932

【答案】ABD

【解析】因为直线45过点/(3,0)和点(1,7),所以直线A3的方程为y=g*-3),

代入椭圆方程。p,消去y,得生叩亨共为5、。,

3,

—a"

2

所以AB的中点的横坐标为印片=2凡

14

又居—所以j=3-3日离心率为冬

所以圆E的方程为三+二=1.

189

18.(2023春•浙江•高二校联考阶段练习)(多选)已知椭圆&三+上=1的右焦点为K，直线A)，+3=0与

2516

椭圆交于A、A两点，则()

B.ZVIB鸟的面积为更逑

A.ZXAB外的周长为20

41

C.线段4B中点的横坐标为-勺D线段,勺长度为言

41

【答案】ACD

22

【解析】依题意，直线X-y+3=0过椭圆£卷+旨1的左焦点6(-3,0),椭圆长轴长2a=10,

所以八钻玛的周长|A玛I+IA3I+I8耳卜4玛|+|相|+|明|+|8玛|=4°=20,A正确;

x->'+3=0

由,工2消去y得：4lx2+150x-175=0>设4%%），8（々,y2），则%+巧=一x\x2~_~7T»

—+—=14141

,2516

因此线段A8中点的横坐标为七殳=-当x；=V，C止确；

线段A5的长度为卮守五三=应[[-詈)+4x^=等，D正确;

点5(3,0)到直线X-)，+3=0的距离d=；_])2=3夜,

所以的面积为S=3A8|・d='x型x3夜=竺还，B错误.

21124141

故选：ACD

19.(2023春•辽宁朝阳•高二统考期末)已知椭圆。:£+在1(〃>〃>0)的右顶点为A,P、。为C上关于

2

坐标原点对称的两点，若直线AP,4Q的斜率之积为-q，则C的离心率为()

Ax/15RVw「瓜

553。・李

【答案】A

【解析】由题意可知：A(aO),

设P(%%)(N0HO)，则Q(F)，一%)，可得出”二：^了女相二一^二丹

玉)一Q一玉—aA()+Cl

Vp>0>0

则2Ap,",1Q=

2

-ax0+ax：-a

又因为点尸(外九)在椭圆上，则J+/=l,整理得必=「(苏—年),

故选：A.

20.(2022秋•广东惠州•高二惠州市惠阳高级中学实验学校校考期中)已知直线2履-y+2=0与椭圆

1+21=[(,n>0)恒有公共点，则实数〃1的取值范围为________.

9in

【答案】［4,9)59,2)

2x=0——0

【解析】，•直线2依-)，+2=。，令1_y：2=0'解得［12,所以直线2依一)'+2=0恒过定点玖。，2),

2)

直线2日-丁+2=0与椭圆三+匕=1(〃?>0)恒有公共点，

9.7?

n4

即点?(0,2)在椭圆内或椭圆上，.■.5+—<1,即〃?“,

9m

又〃39,否则二十丫=1是圆而非椭圆，

9m

.•.4W〃7v9或〃?>9,即实数机的取值范围是［4,9)=(9,y).

故答案为：［4,9)U(9,+8)

21.(2022秋•新疆伊犁•高二统考期末)过椭圆工+亡=1内一点Hl』)引一条恰好被。点平分的弦，则这条

54

弦所在直线的方程是

【答案】4x+5y-9=0

【解析】椭圆二十£=I即4/+5)，2=20,

54

设弦的两端点分别为4X,X),BgM则9^=1,比卢=1,

则4M+5y；=20,4吐+54=20,

两式作差可得：4(x,-x2)(xt+x2)=-5(y,-y2Xyl+y2),

.-X--f=—一场+—〜=)—一4

・占一95(x+%)5"

•・•直线过点P(1，D,

「•这条弦所在直线的方程是3'-l=-^4(x-i),

即4.1+5)，­9=0.

故答案为：4x+5y-9=0.

22.(2023・全国•高三对口高考)直线x+y-1=0截椭圆工+工=1所得弦的中点M与椭圆中心连线OM的

43

斜率为.

3

【答案】-/0.75

4

【解析】设线4+丁-1=0与椭圆£+［=1的交点坐标为4%身),8(孙为)，则知伊三玉,吟公|,

43V22)

X+）’2

可得如&“=+=山

工［一七X1+x2

2

i22

+

42L3

,两式相减得正且+正反=0,

因为A8在椭圆上，则.2£

W

+一,43

4一3

整理得j=3

即-%,=-W

X[-X；A,-XyX)+x2

3

所以3w二"

3

故答案为：--

23.（2023・高二课时练习）如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成

的曲面）的一部分，过对称轴的截口84。是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点写上，片门位于另一

个焦点工上.由椭圆一个焦点人发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点工.已知_LKK，

刷若，内图=4,则截口84。所在椭圆的离心率为.

B___

【答案】|

【解析】：取焦点在x轴建江平面直角坐标系，由4c_1斗用及椭圆性质可得，8C为椭圆通径,

所以忸却=?=?，用周=2c=4

又a2=b2+c2，解得a=6,c=2.b=4忘

所以械口R4C所在椭圆的离心率为g

故答案为：—

24.（2023春•四川凉山•高二统考期末）已知椭圆的离心率为近，点八（2,1）在椭圆

。上.

⑴求椭圆。的标准方程；

⑵过点M（0.1）的宜线/交椭圆C于P,Q两点，求|P@的取值范围.

【答案】⑴1+4=1

63

⑵[26,4]

【解析】（1）设椭圆C的半焦距为c>0,

£_72

6=>/6

由题意可得卜2=4+/,解得力=6,

所以椭圆。的标准方程为q+m=।.

63

（2）当直线/的斜率不存在时，则/:x=0,

可得/（O,J5）,Q（O,M）,所以附|=2岛

当直线/的斜率存在时,设/:y=h+1,。（玉,X）,。（七，）’2），

联立方程1V）?消去），得（2公+1*+4依_4=0,

---卜--=1

则A=（4&y_4（2&2+1）X（-4）=]6（3*2+I）>0,可得王+々=_

~~2k2+\

则叱E[肃）"（1+心）（3心1）

（2公+1）2

3

225/-r+2/+3=2^-（/-1）2+4，

因为所以|PQ|=2j-（…l）2+4«2"4

综上所述：|尸0的取值范围为[2、&4].

25.（2023春•四川成都•高二校联考期末）已知椭圆E：/+，=1卜0〃>0）的离心率为孝,

且其中一个

焦点与抛物线V=8x的焦点重合.

⑴求椭圆E的方程;

（2）若直线/：），=履+2与椭圆E交于不同的A,B两点,且满足丽.丽=7（。为坐标原点）,求弦长|明

的值.

22

【答案】（1）j+J=1

84

（2）至

2

【解析】（1）由），2=8x得焦点（2,D）,则椭圆的焦点为（2,0）,

因为椭圆离心率为它，

2

所以也=£=2,解得4=2拉，则从="一。2=8一4=4,

2aa

V2p2

所以椭圆E的方程为J+匕=1.

84

（2）设A（芭，）,8（七,力），

三+21=1

由184得，（1+2r）/+8仆=0,

y=kx+2

QL-or,2,4

易得△>（）,则Xi+Xzn-j-T7T».中天二°，y•%=（3+2）（仇+2）=----T>

因为04。分二一1,

所以四=1=一1,解得公=[,

所以\AB\=J1+&2xJ（X]+占）2—4占“2

26.（2023秋・广东东莞•高二东莞市东莞中学校考期末）已知圆加：/+）3+2.♦2），+1=0经过帏圆

C:二+二=1（。>〃>0）的左焦点和上顶点.

a-b'

⑴求椭圆C的方程：

⑵有线/：.y=x+〃?与椭圆C交干儿B两点.若|4川=警,求〃的值.

【答案】（1）、+产=1

(2)J〃=±1

【解析】（1）解：对于圆M+2x-2y+l=0,

令1=0得），2一2），+1=0,解得），=1,即与y轴的交点为（0,1）,

令:"。得寸+2x+l=0,解得x=-l,即与x釉的交点为（-1,0）

因为圆M经过椭圆C的左焦点和上顶点，椭圆C的焦点在x轴匕

所以（-1,0）为椭圆的左焦点，（04）为椭圆的上顶点，

所以c=16=1,a2=b2+c2=2>

所以椭圆C的方程为《+丁=1

2,

（2）解：因为直线/：y=x+m与帏圆C交于AA两点，

y=x+m

所以联立方程、Y、得3x?+4/nr+2〃?2-2=0,

—+y~=}

2-

所以，A=167w2-12（2m2-2）=-8m2+24>0,解得—百<〃?<#,

设A（%,y）,8（电,％）,则k+x2=一竽小超二2-3-2,

因为|人却二3,

22

所以IA8|==\!\+kyj(xi+x2^-4X,X=V2-；即3-8=曰•V-8nz+24，

236-

整理得〃?2=1，解得〃?=±1,满足-\/5<〃?<6,

所以，〃?=±1.

能I力,提“升

1.（2023春•江苏镇江）（多选）在中，内角4,B,C的对边分别为小b,c,且。+c=»,则下列

命题正确的是（）

A.若8.，则a=c

B.若八=三，则4ABC为正三角形

C.角A的最小值为g

D.若〃=2,则△/WC面积的最大值为石

【答案】ABD

【解析】如图所示，不是一般性，将8看做定值，则根据已知条件和椭圆的定义，得到B的轨迹为以AC为

焦点，焦距位W。=/九长轴长为|"|+忸C|二2|AC|=2/?的椭圆上的动点（长轴的端点除外），以AC所在宜

线为x轴，线段AC中点原点建立坐标系，如图所示.

22

椭圆的半长轴为0,半焦距为半短轴为-（£]-=等从椭圆方程为炉+跖=L

当且仅当“在椭圆的短轴的端点时，AB=BC=b=AC,对•应4=?,此时。=8C=AB=c,d8C为正三角

形，△4AC面积取得最大值.

若/>=2,则面积最大值为:x2x2xsin600=6,

角A的值可以任意接近「0,没有最小值.

故A正确，B正确，C错误，D正确.

故选：ABD

Ay

2、

2.（2。22秋・湖北荆州•高二沙市中学校考阶段练习）已知椭圆?若椭圆上存在两点A、"关于直

线y=4x+〃z对称，则加的取值范围是（）

A.B.c.D.RI

【答案】A

【解析】椭圆土+匕=1,即：3?+4/-12=0,

43

设椭圆上两点4（士,»）,4（无2，%）关于直线y=4x+〃?对称，A8中点为"（绘,人）,

则34+4W-12=0,3*+4"2=0,

所以3a+W）（X]-W）+4（y+y2）（y,-y2）=0,

回上&=一产=4

Xf4为4

回儿=3与，代入直线方程y=4x+"?得与=一切，＞'（）=-3m,即朋（t〃，一3/〃），

因为（•%,为）在椭圆内部，

团3〃『+4.（-3〃7）晨12,

解得一迹＜闭（迹，

1313

即阳的取值范围是

故选:A.

3.（2022秋•安徽•高二合肥市第八中学校联考期中）已知椭圆C：5+），2=1上存在关于直线/：尸丹〃?对

称的点，则实数，〃的取值范围为（）

,r

A.-1，§B.

i回

3'~3~

【答案】C

【解析】设。上关于直线y=x+〃，对称的两点分别为例&，x），N（J），2）,其中点为矶心先）,

则[+4=],J+£=i,两式相域，

得金芈3+（）”%）（，-M）=。，

由MNJJ,得"&二一1,

%一七

又百+々=2.%，y,+y2=2y0,

所以与一2为=0,即/=2为，乂%=%+〃？，

所以％=-2〃？,%=-m,即E（-2/n,-m）,

又点E在C的内部，

所以2"『+〃产＜1,所以一且＜〃?〈且.

33

故选：C.

4.（2022秋•广东珠海♦高二珠海市第一中学校考期末）已知椭圆E的左焦点为尸，E上两点A、8满足

AFLBF,若tanNE43的最小值为则E的离心率为（）

A.正B.旦C.在D.1

3253

【答案】D

【解析】设椭圆的右焦点为M,连接A",BM,

因为由椭圆的对称性知，四边形AF8W为矩形，所以|人m=忸青,

由椭圆的定义知，|AF|+|AM=2〃，所以|M+|M=2O,

在RSA8/中，tanZE4B=—=2t7~A/=--1＞-＞所以

AFAFAF23

4〃

WAF＜a+c,所以a+c=7，Bla=3c,

所以离心率e=—=;.

a3

故选:D.

5.（2023春•福建福州•高二校联考期末）设点入、鸟分别是椭圆。：5+/=1（。＞方＞。）的左、右焦点，点

M、N在C上（历位于第一象限）且点M、N关于原点对称，若陷凶=巧用，|%用=3|咋|,则C的离

心率为（）

A.-加VloD.-

84

【答案】B

【解析】如下图所示：

由题意可知，。为£工、MN的中点，则四边形为平行四边形，则用=|”|=3|5|,

又因为|MN|=|K用，则四边形M母女为矩形，

设|MR=r,则阿=3（＞0）,所以,2a=\MF]\+\MF2\=4t,

由勾股定理可得2c=6周=32+|M6「=的产+产=加,

所以，该椭圆的离心率为《二冬^二融史="0.

2a4/4

故选:B.

6.（2022秋•高二课时练习）已知月，鸟是椭圆5+/=1（.>〃>0）的左、右焦点，过右焦点5的直线/与椭

圆交于A8两点，且满足正=2既，|耶|=|而则该椭圆的离心率是（）

A—V35

•2一B.

3

立

C3

•2D.

【答案】D

因为亚=2石瓦所以|人却=3怛叫，

又因为|耶卜|而|,所以忻同=3怛段,

因巧到+忸国=2%

所以陶啖忻M4,

可得:|A玛|=。，|4周=%|A8|=|耳用=,,

所以点A在短轴的顶点上，

在等腰三角形中,

cos/BA£=

|叫3

./尸3。=疝卫=/二-』如乙=正

2V23

故选为:D

0、

7.（2。23秋•黑龙江哈尔滨・高二哈尔滨三中校考期末）已知椭圆从）〉叱八。）的左，右焦点分别

为耳，F2,上顶点为八，直线与椭圆E的另一个交点为B,若可•印=0,则椭圆E的离心率为（）

A-竽3.当43

C.—D.

55

【答案】B

【解析】由题意得A（0,〃），耳（-C,0），6（C,0）MM=§,

则直线的方程为y="+〃,

c

b

y=—x+b

些+户口+2网abA。,

联立《,c,，消去y得

f-1

2a2c,2a2b

不，)‘8=沙一-2一7

a-+ca~+c~

2a2c2a2b八

所以肥=（c,-。）.8月=c+~--------T一人，

cr+ca~+c)

因为花•瓯=0,

242c22a2b2

所以/++b2=0,

a-2+c―2-4~，+(r2

因为从“2-c2,化简得5a2c2-/=o,

即5c2_/=o,所以£■=]

a~5

所以e=£

5

故选：B.

广、广3

8.（2023•全国•高三专题练习）已知椭圆方+方=1（。>0>0）的上顶点为B,斜率为1的直线/交椭圆于M,

N两点，若回8MN的重心恰好为楙圆的右焦点忆则椭圆的离心率为（）

A.也B.且C.1D.国

2323

【答案】A

【解析】设知（卬y）村（七,必），MV的中点为代%，先），

因为MECCq，）、）都在椭圆与+方=1上,

rM城

/+一

=1

2从（内+工）（内一为）（y+K）（）i-/）

所以'W=1，作差可得

亲+7P

瓦

1

即三3二9+ZM与Z2il=o,所以2K()1-门)=_2,

a'b-2x0(x1-x2)a~

艮"-上，因为所以&”=一娑，

a'23a

一3一

又因为尸为ABMN的重心，所以BP=*,B(O,〃)/(c,O),

3

所以（毛,%-力）=|（（?,-/?）,

则1

1/

~\b加

所以A”=毋=一『，整理得"