第六章计数原理（基础训练）A卷

第六章计数原理（基础训练）A卷姓名：班级：一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。1．五个人站成一排，其中甲乙相邻的站法有（）。A、种B、种C、种D、种【答案】D【解析】五个人站成一排，其中甲乙相邻，将甲乙看作一个大的元素与其他人进行排列，再考虑甲乙顺序为，故共种站法，故选D。2．的展开式中项的系数为（）。A、B、C、D、【答案】A【解析】通项公式，令，解得，∴展开式中项的系数为，故选A。3．某校从名同学中选择人分别参加数学、物理、化学竞赛，则不同选法种数是（）。A、B、C、D、【答案】C【解析】根据题意，某校从名同学中选择人分别参加数学、物理、化学竞赛，选出的3人有顺序的区别，则有种选法，故选C。4．某网路新闻台做“一校一特色”访谈节目，分、、三期播出，期播出两间学校，期、期各播出间学校，现从间候选学校中选出间参与这三项任务，不同的选法共有（）。A、种B、种C、种D、种【答案】C【解析】从间候选学校中选出间，共有方法种方法，所选出所，共有方法种方法，再进行全排，共有方法种方法，共有种方法，故选C。5．若（），则（）。A、B、C、D、【答案】B【解析】令，则，再令，则，∴，故选B。6．被除所得的余数是（）。A、B、C、D、【答案】A【解析】，其中所有含有的项都能被整除，只剩下，被除所得的余数是，故选A。7．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝。如图所示的弦图中，由四个全等的直角三角形和一个正方形构成。现有五种不同的颜色可供涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有（）。A、B、C、D、【答案】C【解析】相邻的区域不能用同一种颜色，则涂块区域至少需要种颜色，若块区域只用种颜色涂色，则颜色的选法有，相对的两个直角三角形必同色，此时共有不同的涂色方案数为（种），若块区域只用种颜色涂色，则颜色的选法有，相对的两个直角三角形必同色，余下两个直角三角形不同色，此时共有不同的涂色方案数为（种），若块区域只用种颜色涂色，则每块区域涂色均不同，此时共有不同的涂色方案数为（种），综上，共有不同的涂色方案数为（种），故选C。8．将六个数、、、、、将任意次序排成一行，拼成一个位数，则产生的不同的位数的个数是（）。A、B、C、D、【答案】A【解析】将、、、、、的首位不为的排列的全体记为，记为为的元素全数，则，将中的的后一项是，且的后一项是的排列的全体记为，，将中的后一项是，但的后一项不是的排列的全体记为，，将中的后一项是，但的后一项不是的排列的全体记为，，由中排列产生的每一个位数，恰对应中的个排列（这样的排列中，可与“、”互换，可与“、”互换），类似地，由或中排列产生的每个位数，恰对应或中的个排列，因此满足条件的位数的个数为：，故选A。二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9．若男女排成一排，则下列说法错误的是（）。A、共计有种不同的排法B、男生甲排在两端的共有种排法C、男生甲、乙相邻的排法总数为种D、男女生相间排法总数为种【答案】BC【解析】男女排成一排共计有种，男生甲排在两端的共有种，男生甲、乙相邻的排法总数种，男女生相间排法总数种，故选BC。10．若二项式的展开式中各项的二项式系数之和为，则（）。A、B、C、第项为D、第项为【答案】AC【解析】∵二项式的展开式中所有项的二项式系数之和为，∴，∴，∵二项式的展开式的通项公式为，∴，故选AC。11．现安排甲、乙、丙、丁、戊名同学参加年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法错误的是（）。A、每人都安排一项工作的不同方法数为B、每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为C、若司机工作不安排，其余三项工作至少安排人，则这名同学全部被安排的方法数为D、每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是【答案】ABC【解析】A选项，每人有四项工作可以安排，∴五人都安排一项工作的不同方法数为，错，B选项，每项工作至少有一人参加，则有一项工作安排两人，其他三项工作各一人，∴共有，而是先每项工作安排一人，还剩下一人在四项工作选择，这样会有重复，比如：“甲、乙、丙、丁分别安排翻译、导游、礼仪、司机，然后戊安排翻译”与“戊、乙、丙、丁分别安排翻译、导游、礼仪、司机，然后甲安排翻译”重复计算了，错，C选项，涉及到平均分组，为，先分组后分配，代表的是人分成人、人、人三组，代表的是人分成人、人、人三组，然后三组人分配三项工作，乘以，然而分组的过程中和都有重复，比如：人、人、人分组中先选择了甲、乙、丙三人一组，剩下丁、戊分两组只有一种分发，而不是种，错，D选项，分两类考虑，第一类：司机安排一人为，另外人分组为，（人选人为一组，另外两人分两组只有一种分法），然后三组人安排司机除外的三项工作，共，第二类：司机安排两人，剩下3人安排另三项工作，共，两类相加得，对，故选ABC。12．已知，则（）。A、B、C、D、【答案】ACD【解析】记，则，令，则，∴为的展开式中的系数，∵的通项为，∴，又，∴，，则，∴，故选ACD。三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．二项式（，）的展开式中，设“所有二项式系数和”为，“所有项的系数和”为，“常数项”值为，若、，则含的项为。【答案】【解析】依题得，∴，在的展开式中令，则有，∴，又∵展开式的通项公式为，令，∴，∴，∴（可取）或（舍去），当时，由得，∴令，∴，∴。14．有张都标着字母，张分别标着数字、、、、的卡片，若任取其中张卡片组成牌号，则可以组成的不同牌号的总数等于。（用数字作答）【答案】【解析】若牌号中不含字母，则有种牌号，若牌号中含一个字母，则有种牌号，若牌号中含两个字母，则有种牌号，若牌号中含三个字母，则有种牌号，∴可以组成的不同牌号的总数等于。15．已知，则。【答案】【解析】令，得，令，得，两式相加得。16．如图给三棱柱的顶点染色，定义由同一条棱连接的两个顶点叫相邻顶点，规定相邻顶点不得使用同一种颜色，现有种颜色可供选择，则不同的染色方法有。【答案】【解析】首先先给顶点、、染色，有种方法，再给顶点染色，①若它和点染同一种颜色，点和点染相同颜色，点就有种方法，若点和点染不同颜色，则点有种方法，点也有种方法，则、、的染色方法一共有种方法，②若点和点染不同颜色，且与点颜色不同，则点有1种方法，点与点颜色不同，则点有种方法，则点有1种方法，此时有种方法，若最后与相同，则有种方法，则共有种方法，点与点颜色相同，则点有种方法，则点有种方法，则点有2种方法，共有种方法，∴点和点染不同，颜色共有种方法，∴点、、的染色方法一共有种，∴共有种方法。四、解答题：本题共7小题，共70分。应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分10分）已知展开式中的倒数第三项的系数为，求：（1）含的项；（2）系数最大的项。【解析】（1）由已知得：，即，∴，解得（舍）或，由通项公式得：，令，得，∴含有的项是；5分（2）∵此展开式共有项，∴二项式系数最大项是第项，∴。10分18．（本小题满分10分）甲、乙两人从门课程中各选门，求：（1）甲、乙所选的课程中恰有门相同的选法有多少种？（2）甲、乙所选的课程中至少有一门不同的选法有多少种？【解析】（1）甲、乙两人从门课程中各选门，且甲、乙所选课程中恰有门相同的选法种数共有种；5分（2）甲、乙两人从门课程中各选两门不同的选法种数为，又甲乙两人所选的两门课程都相同的选法种数为种，因此满足条件的不同选法种数为种。10分19．（本小题满分10分）设。求：（1）；（2）。【解析】（1）令，得，1分令得，3分∴；5分（2）令得，7分联立得，9分∴。10分20．（本小题满分10分）名师生站成一排照相留念。其中老师人，男生人，女生人，在下列情况中，各有不同站法多少种。（1）名女生必须相邻；（2）名男生互不相邻；（3）若名男生身高都不相等，按从高到低的一种顺序站；（4）老师不站中间，女生不站两端。【解析】（1）名女生站在一起有种站法，视为一个元素与其余人全排，有种排法，∴有不同站法种；2分（2）先站老师和女生，有种站法，再在老师和女生站位的间隔（含两端）处插男生，每空一人，有插入方法种，∴共有不同站法种；4分（3）人全排列中，名男生不考虑身高顺序的站法有种，而由高到低有从左到右，或从右到左的不同．∴共有不同站法种；6分（4）中间和两侧是特殊位置可分类求解：①老师站两侧之一，另一侧由男生站，有种站法，②两侧全由男生站，老师站除两侧和正中间之外的另外个位置之一，有种站法，∴共有不同站法种。10分21．（本小题满分10分）从到的个数字中取个偶数个奇数，试问：（1）能组成多少个没有重复数字的七位数？（2）上述七位数中，个偶数排在一起的有几个？（3）在（1）中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？【解析】（1）分三步完成：第一步，在个偶数中取个，有种情况，第二步，在个奇数中取个，有种情况，第三步，个偶数和个奇数进行排列，有种情况，4分∴符合题意的七位数有个；6分（2）上述七位数中，个偶数排在一起的有个；8分（3）上述七位数中，个偶数排在一起，个奇数也排在一起的有：个。10分22．（本小题满分10分）已知（）的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是。（1）求二项项系数之和；（2）求展开式中各项系数的和；（3）求展开式中含的项。【解析】由题意知，第五项系数为，第三项的系数为，则有，化简得，解得（舍去）或（可取），3分（1）二项项系数之和为；5分（2）令得各项系数的和为；7分（3）通项公式，令，解得，故展开式中含的项为。10分23．（本小题满分10分）用、、、、这五个数字组成无重复数字的自然数。（1）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；（2）在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如、等都是“凹数”，试求“凹数”的个数；（3）在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数。【解答】（1）当末位是时，十位和百位从个元素中选两个进行排列有种结果，当末位不是时，只能从和中选一个，百位从个元素中选一个，十位从个元素中选一个，共有种结果，根据分类计数原理知共有种结果；