2025数学常考压轴题上册八年级（沪科版）专题07 三角形的角的模型九种考法-解析版VIP

专题07三角形的角的模型九种考法目录解题知识必备 1压轴题型讲练 4类型一、双垂直模型 4类型二、A字模型 6类型三、双内角平分线模型 9类型四、内外角平分线模型 14类型五、双外角平分线模型 18类型六、8字模型 26类型七、燕尾模型 34类型八、折角模型 39类型九、“高分”模型（角平分线和高相结合模型） 42压轴能力测评 47模型1双垂直模型【条件】∠B=∠D=∠ACE=90°.【结论】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.模型2A字模型【结论】∠BDE+∠CED=180°+∠A模型3双内角平分线模型【条件】BP、CP分别为∠ABC、∠ACB的角平分线.【结论】∠P=90°+∠A.模型4内外角平分线模型【条件】BP、CP分别为∠ABC、∠ACD的角平分线.【结论】∠A=∠P.模型5双外角平分线模型【条件】BP、CP分别为∠EBC、∠BCD的角平分线.【结论】∠P=90°-∠A.模型68字模型【结论】∠A+∠B=∠D+∠E.模型7燕尾模型【结论】∠BPC=∠A+∠B+∠C.模型8折角模型模型9“高分”模型（角平分线和高相结合模型）【结论】类型一、双垂直模型【条件】∠B=∠D=∠ACE=90°.【结论】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.例．如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧交于点，分别以、为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了尺规作图—作垂线、直角三角形两锐角互余等知识，理解并掌握作垂线的尺规作图方法是解题关键．根据“直角三角形两锐角互余”可得，结合题意可知，然后计算的度数即可．【详解】解：∵，，∴，由作图可知，，∴．故选：A．【变式训练1】．如图，的直角顶点A在直线a上，斜边在直线b上，若，，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形是特征；由平行线的性质得，再由直角三角形的特征即可求解；掌握平行线的性质是解题的关键．【详解】解：，，，，故选：A．【变式训练2】．如图，，于点C，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等得，再根据直角三角形两锐角互余即可得解．掌握直角三角形两锐角互余是解题的关键．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，∴，∴的度数为．故选：B．【变式训练3】．如图，在中，，过点作于点，若，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查三角形中求角度，涉及直角三角形两锐角互余等知识，在中求出，再由互余定义得到的度数，熟记直角三角形两锐角互余等知识是解决问题的关键．【详解】解：，，，，在中，，则，故选：A．类型二、A字模型【结论】∠BDE+∠CED=180°+∠A例．如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根据三角形内角和定理求出，根据平角的概念计算即可．【详解】解：，，，故选：D．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于是解题的关键．【变式训练1】．如图，在中，，三角形的外角和的平分线交于点E，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查三角形内角和定理以及角平分线定理，熟练掌握角平分线定理是解题的关键．根据题意求出，根据角平分线的定理求出，即可得到答案．【详解】解：，，和分别平分和，，，．故选C．【变式训练2】．如图，在中，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理求出的度数，再根据平行线的性质求出的度数即可．【详解】解：∵，∴，∵∴；故选B．【变式训练3】．如图，在中，与的角平分线交于点D，且、，则与的数量关系可表示为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查了角平分线定义，三角形内角和，掌握这两个知识点是关键；由角平分线定义及三角形内角和得．再由、及三角形内角和即可求得与的数量关系．【详解】解：分别是与的角平分线，，，．、，；，，，整理得：．故选：D．类型三、双内角平分线模型【条件】BP、CP分别为∠ABC、∠ACB的角平分线.【结论】∠P=90°+∠A.例．如图，在△ABC中，(1)如果AB=4cm，AC=3cm，BC是能被3整除的的偶数，求这个三角形的周长．(2)如果BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线．a、当∠A=45°时，求∠BPC的度数．b、当∠A=x°时，求∠BPC的度数．【答案】(1)13cm(2)a、112.5°；b、90°＋x°【分析】（1）利用三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两之差小于第三边，得出BC的取值范围为1＜BC＜7，再根据BC是能被3整除的偶数，得到BC=6cm，再求出周长为13cm．（2）利用三角形的内角和等于180°，先求出∠ABC+∠ACB，再利用角平分线平分角的知识，求出∠PBC+∠PCB，然后再一次用三角形内角和等于180°，求出∠BPC．【详解】（1）∵AB=4cm，AC=3cm∴1＜BC＜7∴BC=6cm∴三角形的周长为：C△ABC=AB+AC+BC=4+3+6=13cm（2）a、当∠A=45°时，由三角形的内角和可知：∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°−45°=135°∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB∴∠PBC+∠PCB=∠ABC+∠ACB=(∠ABC+∠ACB)=×135°=67.5°∴∠BPC=180°−(∠PBC+∠PCB)=180°−67.5°=112.5°b、当∠A=x°时，由三角形的内角和可知：∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°−x°∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB∴∠PBC+∠PCB=∠ABC+∠ACB=(∠ABC+∠ACB)=×(180°−x°)=90°−x°∴∠BPC=180°−(∠PBC+∠PCB)=180°−(90°−x°)=90°＋x°【点睛】本题考查有关三角形的知识．第一小问的解题关键是运用三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两之差小于第三边进行解答；第二小问的解题关键是运用三角形的内角和等于180°，以及角平分线平分角的知识结合一起解答，在求角度时，有时不一定需要每个角都求出来，可以利用整体思想．【变式训练1】．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P．（1）若∠ABC+∠ACB＝130°，求∠BPC的度数．（2）当∠A为多少度时，∠BPC＝3∠A？【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据角平分线的定义，求得，，再根据三角形内角和定理即可求得；（2）根据（1）的方法求得，再结合条件∠BPC＝3∠A，解方程即可求得∠A．【详解】（1）平分，平分，，∠ABC+∠ACB＝130°，，，（2）平分，平分，，，，，∠BPC＝3∠A，．【点睛】本题考查了与角平分线有关的角度计算，三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．【变式训练2】．如图，已知、的平分线相交于点，过点且．

（1）若，，求的度数；（2）若，，求、的度数．【答案】（1）125°

（2）60°；40°【分析】（1）由角平分线的定义可求得∠OBC=25°，∠OCB=30°，再利用三角形的内角和定理求解即可；（2）由已知条件易求∠1，∠2的度数，根据平行线的性质即可得∠OBC，∠OCB的度数，利用角平分线的定义可求解；【详解】解：（1）∵和的平分线与相交于点，∴，，又，，∴，，∴；（2）∵，∴，∵，∴，，∵，∴，，∵和的平分线与相交于点，∴，．【点睛】本题主要考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，平行线的性质，等腰三角形的性质等知识点的综合运用．【变式训练3】．如图，ΔABC的角平分线相交于点．（1）若，则________；（2）试探究与之间的数量关系并说明理由．【答案】（1）60；（2），见解析．【分析】（1）直接利用三角形的内角和定理求解即可；（2）先根据角平分线的定义得到∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，再根据三角形内角和定理得∠BPC=180°-∠1-∠2=180°-（∠ABC+∠ACB），加上∠ABC+∠ACB=180°-∠A，易得∠BPC=90°+∠A，再根据平角的定义解答即可．【详解】（1）∵∠ABC=50°，∠ACB=70°，∴∠A=180°-50°-70°=60°．故答案为60．（２）∠DPC=90°-∠A，理由：的平分线相交于点，，，∴∠DPC=180°-（90°+∠A）=90°-∠A．故答案为：90°-∠A．【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°，本题探讨了三角形两角的平分线的夹角与第三个角之间的关系．类型四、内外角平分线模型【条件】BP、CP分别为∠ABC、∠ACD的角平分线.【结论】∠A=∠P.例．如图，在△ABD中，∠ABD的平分线与∠ACD的外角平分线交于点E，∠A=80°，求∠E的度数【答案】40°【分析】由题意：设∠ABE=∠EBC=x，∠ACE=∠ECD=y，利用三角形的外角的性质构建方程组解决问题即可．【详解】由题意：设∠ABE=∠EBC=x，∠ACE=∠ECD=y，则有，①-2×②可得∠A=2∠E，∴∠E=∠A=40°．【点睛】本题考查三角形的外角的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题．【变式训练1】．（1）问题发现：如图1，在中，，和的平分线交于，则的度数是______（2）类比探究：如图2，在中，的平分线和的外角的角平分线交于，则与的关系是______，并说明理由．（3）类比延伸：如图3，在中，外角的角平分线和的外角的角平分线交于，请直接写出与的关系是______．

【答案】（1）110°；（2）；（3）【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可；（2）根据三角形外角的性质得到∠ACE=∠ABC+∠A、∠PCE=∠PBC+∠BPC，根据角平分线的定义解答；（3）根据（1）的结论然后用角分线的定义，计算即可．【详解】解：（1）∵，∴，∵和的平分线交于，∴，，∴故答案为110°（2），证明：∵是的外角，是的外角，∴，∵平分，平分，∴，∴，∴，∴，故答案为：；（3）由（1）得，，故答案为：．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用以及角平分线的定义，掌握三角形内角和等于180°和三角形外角性质是解题的关键．【变式训练2】．（1）如图（1）所示，已知在△ABC中，O为∠ABC和∠ACB的平分线BO，CO的交点．试猜想∠BOC和∠A的关系，并说明理由．（2）如图（2）所示，若O为∠ABC的平分线BO和∠ACE的平分线CO的交点，则∠BOC与∠A的关系又该怎样？为什么？【答案】(1)∠BOC=∠A+90°；理由见解析；(2)∠BOC=∠A；理由见解析【分析】(1)根据三角形内角和定理得出∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，根据角平分线的性质得出∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，然后得出∠BOC+∠ABC+∠ACB=180°，最后得出结论；(2)根据外角的性质得出∠A+∠ABC=∠ACE，∠OBC+∠BOC=∠OCE，然后根据角平分线的性质得出∠ABC=2∠OBC，∠ACE=2∠OCE，最后根据∠BOC=∠OCE-∠OBC得出答案．【详解】(1)∠BOC=∠A+90°．在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，又∵BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB．∴∠BOC+∠ABC+∠ACB=180°．∴∠BOC=180°﹣(∠ABC+∠ACB)=180°-(180°-∠A)=90°+∠A．(2)∠BOC=∠A．∵∠A+∠ABC=∠ACE，∠OBC+∠BOC=∠OCE，∴∠A=∠ACE-∠ABC，∠BOC=∠OCE-∠OBC又∵BO，CO分别是∠ABC和∠ACE的平分线，∴∠ABC=2∠OBC，∠ACE=2∠OCE．∴∠BOC=∠OCE-∠OBC=∠ACE-∠ABC=(∠ACE-∠ABC)=∠A．【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形外角的性质，熟练掌握外角性质并能正确计算是解题关键．【变式训练3】．如图所示，已知为的角平分线，为外角的平分线，且与交于点D；

(1)若，，则；(2)若，，则；(3)当和在变化，而始终保持不变，则是否发生变化？为什么？由此你能得出什么结论？（用含的式子表示）【答案】(1)(2)(3)的大小不变，；理由见解析【分析】（1）和（2）根据角平分线的定义求出和，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解；（3）根据外角的性质得出，，根据角平分线的定义得出，，两式联立可得．【详解】（1）解：∵为的角平分线，，∴，∵，∴；故答案为：40；（2）解：∵，，∴，∴，∵为的角平分线，∴，∵为外角的平分线，∴，∴；故答案为：40；（3）解：的大小不变，；理由如下：∵，∴，∵，∴，∵为的角平分线，为外角的平分线，∴，，∴．【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．类型五、双外角平分线模型【条件】BP、CP分别为∠EBC、∠BCD的角平分线.【结论】∠P=90°-∠A.例．（1）如图所示，在中，分别是和的平分线，证明：．（2）如图所示，的外角平分线和相交于点D，证明：．（3）如图所示，的内角平分线和外角平分线相交于点D，证明：．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【详解】（1）设．由的内角和为，得．①由的内角和为，得．②由②得．③把③代入①，得，即，即（2）∵BD、CD为△ABC两外角∠ABC、∠ACB的平分线，∴由三角形内角和定理得，，=180°-[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]，=180°-（∠A+180°），=90°-∠A；（3）如图：∵BD为△ABC的角平分线，交AC与点E，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，两角平分线交于点D∴∠1=∠2，∠5=（∠A+2∠1），∠3=∠4，在△ABE中，∠A=180°-∠1-∠3∴∠1+∠3=180°-∠A①在△CDE中，∠D=180°-∠4-∠5=180°-∠3-（∠A+2∠1），即2∠D=360°-2∠3-∠A-2∠1=360°-2（∠1+∠3）-∠A②，把①代入②得∠D=∠A．【点睛】此题考查的是三角形内角与外角的关系，角平分线的性质，三角形内角和定理，属中学常规题．【变式训练1】．如图，∠CBF，∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分线所在的直线分别与∠ABC，∠CBF的平分线BD，BE交于点D，E．（1）若∠A=70°，求∠D的度数；（2）若∠A=a，求∠E；（3）连接AD，若∠ACB=，则∠ADB=．【答案】（1）35°；（2）90°-α；（3）β【分析】（1）由角平分线的定义得到∠DCG=∠ACG，∠DBC=∠ABC，然后根据三角形外角的性质即可得到结论；（2））根据角平分线的定义得到∠DBC=∠ABC，∠CBE=∠CBF，于是得到∠DBE=90°，由（1）知∠D=∠A，根据三角形的内角和得到∠E=90°-α；（3）根据角平分线的定义可得，∠ABD=∠ABC，∠DAM=∠MAC，再利用三角形外角的性质可求解．【详解】解：（1）∵CD平分∠ACG，BD平分∠ABC，∴∠DCG=∠ACG，∠DBC=∠ABC，∵∠ACG=∠A+∠ABC，∴2∠DCG=∠ACG=∠A+∠ABC=∠A+2∠DBC，∵∠DCG=∠D+∠DBC，∴2∠DCG=2∠D+2∠DBC，∴∠A+2∠DBC=2∠D+2∠DBC，∴∠D=∠A=35°；（2）∵BD平分∠ABC，BE平分∠CBF，∴∠DBC=∠ABC，∠CBE=∠CBF，∴∠DBC+∠CBE=（∠ABC+∠CBF）=90°，∴∠DBE=90°，∵∠D=∠A，∠A=α，∴∠D=α，∵∠DBE=90°，∴∠E=90°-α；（3）如图，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACG，∴AD平分∠MAC，∠ABD=∠ABC，∴∠DAM=∠MAC，∵∠DAM=∠ABD+∠ADB，∠MAC=∠ABC+∠ACB，∠ACB=β，∴∠ADB=∠ACB=β．故答案为：β．【点睛】本题主要考查三角形的角平分线，三角形外角的性质，灵活运用三角形外角的性质是解题的关键．【变式训练2】．（1）如图（a），平分，平分.①当时，求的度数.②猜想与有什么数量关系？并证明你的结论.（2）如图（b），平分外角，平分外角，（1）中②的猜想还正确吗？如果不正确，请你直接写出正确的结论（不用写出证明过程）.

【答案】（1）①；②，证明见解析；（2）不正确，【分析】（1）①首先根据三角形内角和定理求出的度数，然后根据角平分线定义求出的度数，然后再利用三角形内角和定理求解即可；②首先根据三角形内角和定理求出的度数，然后根据角平分线定义求出的度数，然后再利用三角形内角和定理求出的度数，即可得出结论；（2）首先根据三角形内角和定理求出的度数，然后根据补角的定义求出，然后根据角平分线定义求出的度数，然后再利用三角形内角和定理求出的度数，即可得出结论．【详解】（1）①，．∵平分，平分，，；（2）①，．∵平分，平分，，；（2），，．∵平分，平分，，．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理和角平分线的定义，掌握三角形内角和定理和角平分线的定义是解题的关键．【变式训练3】．如图1，AB∥CD，P为AB、CD之间一点

（1）若AP平分∠CAB，CP平分∠ACD．求证：AP⊥CP；（2）如图（2），若∠BAP∠BAC，∠DCP∠ACD，且AE平分∠BAP，CF平分∠DCP，猜想∠E+∠F的结果并且证明你的结论；（3）在（1）的条件下，当∠BAQ∠BAP，∠DCQ∠DCP，H为AB上一动点，连HQ并延长至K，使∠QKA＝∠QAK，再过点Q作∠CQH的平分线交直线AK于M，问当点H在射线AB上移动时，∠QMK的大小是否变化？若不变，求其值；若变化，求其取值范围．【答案】（1）见解析；（2）∠E+∠F＝108°，证明见解析；（3）不变，是定值，值为15°【分析】（1）依据平行线的性质，以及角平分线的定义，即可得到∠P＝180°﹣90°＝90°，进而得到AP⊥CP；（2）过E作EG∥AB，过F作FH∥CD，依据平行线的性质即可得到∠AEC＝∠BAE＋∠DCE，∠AFC＝∠BAF＋∠DCF，再根据∠BAP∠BAC，∠DCP∠ACD，AE平分∠BAP，CF平分∠DCP，即可得到∠E＋∠F＝108°；（3）过Q作QE∥AB，依据平行线的性质可得∠AQC＝∠AQE＋∠CQE＝∠BAQ＋∠DCQ，依据∠BAQ∠BAP，∠DCQ∠DCP，即可得出∠AQC＝30°，再根据∠M＝∠MQH﹣∠K进行计算，即可得出∠QMK的大小不变，是定值15°．【详解】解：（1）∵AB∥CD，∴∠BAC＋∠ACD＝180°，又∵AP平分∠CAB，CP平分∠ACD，∴∠CAP∠CAB，∠ACP∠ACD，∴∠CAP＋∠ACP（∠BAC＋∠ACD）180°＝90°，∴△ACP中，∠P＝180°﹣90°＝90°，即AP⊥CP；（2）∠E＋∠F＝108°．证明：如图2，过E作EG∥AB，过F作FH∥CD，

∵AB∥CD，∴EG∥AB∥FH∥CD，∠BAC＋∠DCA＝180°，∴∠BAE＝∠AEG，∠DCE＝∠CEG，∠BAF＝∠AFH，∠DCF＝∠CFH，∴∠AEC＝∠BAE＋∠DCE，∠AFC＝∠BAF＋∠DCF，∵∠BAP∠BAC，∠DCP∠ACD，AE平分∠BAP，CF平分∠DCP，∴∠BAE∠BAC，∠DCF∠DCA，∴∠AEC∠BAC∠ACD，∠AFC∠BAC∠DCA，∴∠AEC＋∠AFC∠BAC∠ACD∠BAC∠DCA∠ACD∠BAC（∠BAC＋∠DCA）180°＝108°；（3）如图，过Q作QE∥AB，

∵AB∥CD，QE∥CD，∴∠BAQ＝∠AQE，∠DCQ＝∠CQE，∴∠AQC＝∠AQE＋∠CQE＝∠BAQ＋∠DCQ，由（1）可得∠BAP＋∠DCP＝180°﹣90°＝90°，又∵∠BAQ∠BAP，∠DCQ∠DCP，∴∠AQC＝∠BAQ＋∠DCQ∠BAP∠DCP（∠BAP＋∠DCP）＝30°，∵∠AQH是△AQK的外角，QA＝QK，∴∠K∠AQH，∵QM是∠CQH的平分线，∴∠MQH∠CQH，∵∠MQH是△MQK的外角，∴∠M＝∠MQH﹣∠K∠CQH∠AQH（∠CQH﹣∠AQH）∠AQC30°＝15°，即∠QMK的大小不变，是定值15°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质、三角形外角性质以及角平分线的定义的综合运用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．解决问题的关键是过拐点作平行线．类型六、8字模型【结论】∠A+∠B=∠D+∠E.例．如图1，线段相交于点，连接，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、．试解答下列问题：(1)在图1中，证明：；(2)仔细观察，在图2中“8字形”的个数：_____个；(3)图2中，当度，度时，求的度数．(4)图2中和为任意角时，其他条件不变，试问与、之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．【答案】(1)见解析(2)6(3)(4)【分析】（1）利用三角形的内角和定理与对顶角相等可得结论；（2）由交点有点，再分类确定即可得到答案；（3）由（1）可得，，再两式相加，结合角平分线的定义可得，再把，代入计算即可得到答案；（4）由（1）可得，，再两式相加，结合角平分线的定义可得．【详解】（1）证明：∵，又∵，∴；（2）交点有点，以为交点的8字形有1个，为与，以为交点的8字形有4个，为与，与，与，与，以为交点的8字形有1个，为与，所以，“8字形”图形共有6个．故答案为：6；（3）由（1）可得，①，②，∵和的平分线和相交于点，∴，，由①+②，得，即，又∵，，∴，∴；（4）关系：．理由：由（1）得①，②，∵和的平分线和相交于点，∴，，由①＋②，得，∴．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理的应用、角平分线的定义等知识，掌握利用三角形的内角和定理解决“8字形”中的角度问题是解题的关键．【变式训练1】．（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：．（2）如图②，分别平分，若，求的度数．（3）如图③，直线平分的外角平分的外角，若，则________用的代数式表示）【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．【分析】（1）根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得证；（2）设∠BAP=∠PAD=x，∠BCP=∠PCD=y，利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题；（3）表示出∠PAD和∠PCD，再根据（1）的结论列出等式并整理即可得解．【详解】解：（1）∵∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180゜，∴∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD．∵∠AOB=∠COD，∴∠A+∠B=∠C+∠D；（2）∵分别平分，设∠BAP=∠PAD=x，∠BCP=∠PCD=y，则有，∴∠ABC-∠P=∠P-∠ADC，∴；（3）如图，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠PAD=180°-∠2=180°-∠1，∠PCD=180°-∠3，∵∠P+（180°-∠1）=∠ADC+（180°-∠3），∠P+∠1=∠ABC+∠4，∴2∠P=∠ABC+∠ADC，∵，∴．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图并运用好“8字形”的结论，然后列出两个等式是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观．【变式训练2】．平面内，四条线段AB，BC，CD，DA首尾顺次连接，∠ABC=24°，∠ADC=42°．（1）∠BAD和∠BCD的角平分线交于点M（如图1），求∠AMC的大小．（2）点E在BA的延长线上，∠DAE的平分线和∠BCD平分线交于点N（如图2），求∠ANC．【答案】（1）33°；（2）123°【分析】（1）AM与BC交于E，AD与MC交于F，利用角平分线性质和三角形外角性质可得，是和的外角，是和的外角，列出关于的方程组，计算得出的度数．（2）AN与BC交于点G，AD与BC交于点F，根据角平分线性质和三角形外角性质可得，是和的外角，是和的外角，列出关于的方程组，计算得出的度数．【详解】解：（1）AM与BC相交于E，AD与MC相较于F，如图：∵MA和MC是∠BAD和∠BCD的角平分线，∴设∠BAM=∠MAD=a，∠BCM=∠MCD=b，∵∠BEM是△ABE和△MCE的外角，∴∠M+∠BCM=∠B+∠BAM，即：∠M+b=24°+a①，又∵∠MFD是△MAF和△CDF的外角，可得∠M+a=42°+b②，①式＋②式得2∠M=24°+42°，解得：∠M=33°，∴．（2）AN与BC相交于G，AD与BC相较于F，如图:∵NA和NC是∠EAD和∠BCD的角平分线，∴设∠EAN=∠NAD=m，∠BCN=∠NCD=n，∵∠BFD是△ABF和△FCD的外角，∴∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，即：24°+(180°-2m）=42°+2n，可得m+n=81°①，又∵∠AGC是△NGC和△ABG的外角，可得∠N+n=24°+(180°-m），得∠N=204°-（m+n）②，①式代入②式，得∠N=204°-81°=123°，∴．【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形外角性质，用设未知数列方程组的方法计算角度是解题关键．【变式训练3】．【问题背景】（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D；【简单应用】（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD．∠BCD，若∠ABC=46°，∠ADC=26°，求∠P的度数；【问题探究】（3）如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，请猜想∠P的度数，并说明理由．【拓展延伸】（4）①在图4中，若设∠C=α，∠B=β，∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为：（用α、β表示∠P）；②在图5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论．

【答案】（1）见解析；（2）36°；（3）26°，理由见解析；（4）①∠P=②∠P=【分析】（1）根据三角形内角和定理即可证明；（2）直接利用（1）中的结论两次，两式相加，然后根据角平分线的性质求解即可；（3）由AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，推出∠1=∠2，∠3=∠4，推出∠PAD=180°﹣∠2，∠PCD=180°﹣∠3，由∠P+（180°﹣∠1）=∠D+（180°﹣∠3），∠P+∠1=∠B+∠4，推出2∠P=∠B+∠D，即可解决问题．（4）①同法利用（1）种的结论列出方程即可解决问题．②同法利用（1）种的结论列出方程即可解决问题．【详解】（1）在△AEB中，∠A+∠B+∠AEB=180°．在△CED中，∠C+∠D+∠CED=180°．∵∠AEB=∠CED，∴∠A+∠B=∠C+∠D；（2）由（1）得：∠1+∠B=∠3+∠P，∠4+∠D=∠2+∠P，∴∠1+∠B+∠4+∠D=∠3+∠P+∠2+∠P．∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴2∠P=∠B+∠D=46°+26°=72°，∴∠P=36°．（3）∠P=26°，理由是：如图3：∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠PAD=180°﹣∠2，∠PCD=180°﹣∠3．∵∠PAB=∠1，∠P+∠PAB=∠B+∠4，∴∠P+∠1=∠B+∠4．∵∠P+（180°﹣∠2）=∠D+（180°﹣∠3），∴2∠P=∠B+∠D，∴∠P=（∠B+∠D）=×（36°+16°）=26°．（4）①设∠CAP=m，∠CDP=n，则∠CAB=3m，，∠CDB=3n，∴∠PAB=2m，∠PDB=2n．∵∠C+∠CAP=∠P+∠PDC，∠P+∠PAB=∠B+∠PDB，∵∠C=α，∠B=β，∴α+m=∠P+n，∠P+2m=β+2n，∴α－∠P=n－m，∠P－β=2n－2m=2（n－m），∴2α+β=3∠P∴∠P=．故答案为：∠P=．②设∠BAP=x，∠PCE=y，则∠PAO=x，∠PCB=y．∵∠PAO+∠P=∠PCD+∠D，∠B+∠BAO=∠OCD+∠D，∴x+∠P=180°－y+∠D，∠B+2x=180°－2y+∠D，∴∠P=．故答案为：∠P=．【点睛】本题考查了三角形内角和，三角形的外角的性质、多边形的内角和等知识，解题的关键是学会用方程的思想思考几何问题，属于中考常考题型．类型七、燕尾模型【结论】∠BPC=∠A+∠B+∠C.例．如图，在中，D是上一点，E是上一点，、相交于点F，，，．求的度数．【答案】【分析】先由三角形外角的性质求得，再由三角形内角和定理求解即可．【详解】解：∵，，∴在中，∵，∴．【点睛】本题考查了三角形外角的性质和内角和定理，正确识图是解题的关键．【变式训练1】．如图，中，(1)若、的三等分线交于点、，请用表示、；(2)若、的等分线交于点、（、依次从下到上），请用表示，．【答案】(1)，，(2)，【分析】（1）根据三角形的内角和定理可得，再由、的三等分线交于点、，可得再根据三角形的内角和定理，即可求解；（2）根据三角形的内角和定理可得，再由、的等分线交于点、，可得再根据三角形的内角和定理，即可求解．【详解】（1）解：∵，∴，∵、的三等分线交于点、，∴∴，；（2）解：∵，∴，∵、的等分线交于点、，∴∴，．【点睛】本题主要考查了有关角平分线三角形的内角和问题，熟练掌握三角形的内角和定理，并利用类比思想解答是解题的关键．【变式训练2】．如图所示，已知四边形，求证．【答案】见解析【分析】方法1连接BC，根据三角形内角和定理可得结果；方法2作射线，根据三角形的外角性质得到，，两式相加即可得到结论；方法3延长BD，交AC于点E，两次运用三角形外角的性质即可得出结论．【详解】方法1如图所示，连接BC.在中，，即.在中，，；方法2如图所示，连接AD并延长.是的外角，.同理，..即.方法3如图所示，延长BD，交AC于点E.是的外角，.是的外角，..【点睛】本题考查了三角形的外角性质：解题的关键是知道三角形的任一外角等于与之不相邻的两内角的和．也考查了三角形内角和定理．【变式训练3】．如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题：(1)观察“规形图”，试探究与之间的关系，并说明理由；(2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B、C，若，直接写出的结果；②如图3，平分，平分，若，求的度数；③如图4，的10等分线相交于点，若，求的度数．【答案】(1)，见解析(2)①；②；③【分析】（1）首先连接并延长，然后根据外角的性质，即可判断出；（2）①由（1）可得，然后根据，，即可求出的值；②由（1）可得，再根据，求出的值；然后根据，即可求出的度数；③设，，结合已知可得，，再根据（1）可得，，即可判断出的度数．【详解】（1）解：，理由如下：如图，连接并延长．根据外角的性质，可得，，又∵，，∴，故答案为：；（2）①由（1）可得，∵，，∴；②由（1）可得，∴，∴，∴；③设，，则，，则，，解得，所以，即的度数为．【点睛】此题还考查了三角形的外角的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和．类型八、折角模型例．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为（）A．90° B．100° C．110° D．120°【答案】D【分析】连接A'A，先求出∠BAC，再证明∠1+∠2=2∠BAC即可解决问题．【详解】解：如图，连接AA'，∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∴∠A'BC=∠ABC，∠A'CB=∠ACB，∵∠BA'C=120°，∴∠A'BC+∠A'CB=180°-120°=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∴∠BAC=180°-120°=60°，∵沿DE折叠，∴∠DAA'=∠DA'A，∠EAA'=∠EA'A，∵∠1=∠DAA'+∠DA'A=2∠DAA'，∠2=∠EAA'+∠EA'A=2∠EAA'，∴∠1+∠2=2∠DAA'+2∠EAA'=2∠BAC=2×60°=120°，故选：D．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角的性质、折叠变换等知识，解题的关键是正确添加辅助线，灵活应用所学知识，属于中考常考题型．【变式训练1】．如图，在中，，将沿直线折叠，点C落在点D的位置，则的度数是（

）．A． B． C． D．无法确定【答案】B【分析】由折叠的性质得到，再利用外角性质即可求出所求角的度数．【详解】解：由折叠的性质得：，根据外角性质得：，，则，则．故选：B．【点睛】此题考查了翻折变换（折叠问题）以及三角形外角性质，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．【变式训练2】．如图,将△ABC沿着DE翻折,使B点与B'点重合,若∠1+∠2=80°,则∠B的度数为（

）A．20° B．30° C．40° D．50°【答案】C【分析】由折叠的性质可知,再利用平角的定义可求出的度数，进而利用三角形内角和可求∠B的度数.【详解】由折叠的性质可知∵∴∴故选C【点睛】本题主要考查折叠的性质及三角形内角和定理，掌握折叠的性质及三角形内角和定理是解题的关键.【变式训练3】．如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若∠A＝55°，∠1＝95°，则∠2的度数为（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根据三角形内角和定理和平角定义证得∠FEB＋∠EFC＝360°－125°＝235°，再根据折叠性质得出∠B′EF＋∠EFC′＝∠FEB＋∠EFC＝235°，进而求得∠1＋∠2=110°即可求解．【详解】解：∵∠A＝55°，∴∠AEF＋∠AFE＝180°－55°＝125°，∴∠FEB＋∠EFC＝360°－125°＝235°，由折叠可得：∠B′EF＋∠EFC′＝∠FEB＋∠EFC＝235°，∴∠1＋∠2＝235°－125°＝110°，∵∠1＝95°，∴∠2＝110°－95°＝15°，故选：B．【点睛】本题考查折叠性质、三角形的内角和定理、平角定义，熟练掌握折叠性质是解答的关键．类型九、“高分”模型（角平分线和高相结合模型）【条件】：AE⊥BC,AD平分∠BAC,【结论】例．如图所示，为的高，，为的角平分线，若，．(1)求的度数；(2)若点为线段上任意一点，当为直角三角形时，直接写出的度数．【答案】(1)(2)或【分析】本题主要考查了角平分线的定义、三角形外角的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握三角形内角和等于以及分类讨论思想成为解答本题的关键．（1）根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可；（2）分和两种情况解答即可．【详解】（1）解：∵为的角平分线．∴，，∵为的高，∴，∴，在中，，∵为的角平分线，∴∴；（2）解：∵，，∴，①当时，∵，∴，∵∴；②当时，∵，∴，综上，的度数为或．【变式训练1】．（1）如图①，在中，，分别是的高和角平分线，若，．求的度数；（2）如图②，已知平分，交边于点，延长至点，过点作于点．若，①__________（含的代数式表示）；②求的度数．【答案】（1）；（2）①；②【分析】本题考查三角形内角和定理与三角形外角的性质，三角形内角和等于，三角形的一个外角度数等于不相邻的两个内角度数之和，也考查了直角三角形两锐角互余．（1）要求的度数，可以先求得和的度数再将它们相减；（2）①根据三角形的内角和，x表示，根据角平分线的定义，用x表示和，利用三角形外角的相关结论，可以得到的度数；②根据，利用对顶角和直角三角形两锐角的关系可以得到的度数．【详解】（1）∵，，∴在中，．∵是的角平分线，∴．∵是的高，∴，∴；（2）①，∴在中，．∵平分，∴．故答案为：．②∵平分，∴．∵是的一个外角，∴，∴．∵，∴在中，．【变式训练2】．在中，，，是的角平分线．

（1）如图1，若是的高，则的度数为．（2）如图2，若是的角平分线，G是延长线上一点，过点G作于点H，则的度数为．【答案】/10度30°/30度【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理和外角的性质，角平分线的定义，高线的定义，求出是解本题的关键．（1）首先根据三角形内角和定理得到，然后由角平分线概念得到，然后由三角形外角的性质得到，进而求解即可；（2）首先由角平分线的概念得到，然后由三角形外角的性质得到，然后利用三角形内角和定理求解即可．【详解】解：∵在中，，，∴，∵是的角平分线，∴，∴，∵是的高，∴∴；（2）∵是的角平分线∴∴∴∵∴∴．故答案为：；．【变式训练3】．如图，在中，是的平分线，是边上的高．(1)若，求的度数．(2)求证．【答案】(1)(2)详见解析【分析】本题考查了三角形的角平分线和高，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，垂线等知识，注意综合运用三角形的有关概念是解题关键．（1）结合角平分线的定义，根据三角形的内角和为，求出的度数，从而求出的度数，度数，再由角平分线定义求出度数，然后由求解即可；（2）先求得，再由，代入即可得出结论．【详解】（1）解：是边上的高，．，，．是的平分线，．（2）证明：是的平分线，，，．1．如图，在中，，三角形两外角的角平分线交于点E，则．【答案】61°【分析】先根据三角形的内角和定理和平角定义求得∠DAC+∠ACF的度数，再根据角平分线的定义求得∠EAC+∠ECA的度数，即可解答．【详解】解：∵∠B+∠BAC+∠BCA=180°，∠B=58°，∴∠BAC+∠BCA=180°﹣∠B=180°﹣58°=122°，∵∠BAC+∠DAC=180°，∠BCA+∠ACF=180°，∴∠DAC+∠ACF=360°﹣（∠BAC+∠BCA）=360°﹣122°=238°，∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF，∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF，∴∠EAC+∠ECA=（∠DAC+∠ACF）=119°，∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，∴∠AEC=180°﹣（∠EAC+∠ECA）=180°﹣119°=61°，故答案为：61°．【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、平角定义，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解答的关键．2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝．【答案】900°【分析】根据多边形的内角和，可得答案．【详解】解：连EF，GI，如图，∵6边形ABCDEFK的内角和＝（6－2）×180°＝720°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝720°－（∠1＋∠2），即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋（∠1＋∠2）＝720°，∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F∠H＋（∠3＋∠4）＝900°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝720°＋180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＝900°，故答案为：900°．【点睛】本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和为（n－2）×180°（n≥3的整数）．3．如图，若，则．【答案】230°【分析】根据三角形外角的性质，得到∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，即可得到结论．【详解】解：如图∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∴∠E+∠D+∠C=115°，∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，∴∠A+∠B+∠F=115°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°，故答案为：230°．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，解决本题的关键是要熟练掌握三角形外角性质．4．如图，在中，已知，、的平分线、相交于点O，则的度数为．

【答案】【分析】根据三角形的内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解.【详解】在中,，∵与的角平分线相交于点，∴，在中,，故答案为:.【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的