广东省阳江市阳西县2025届高三模拟预测 数学试题（含解析）

2025届广东省阳江市阳西县高三模拟预测数学试题一、单选题1．若集合，则（

）A． B． C． D．2．已知向量，，若，则实数（

）A．1 B．2 C． D．43．在中，点D为边BC上一点，且，设，，试用，表示（

）．A． B．C． D．4．小明同学在如下图所示的“汉诺塔”游戏中发现了数列递推的奥妙：有A、B、C三个木桩，A木桩上套有编号分别为1、2、3、4、5、6的六个圆环，规定每次只能将一个圆环从一个木桩移动到另一个木桩，且任意一个木桩上不能出现“编号较大的圆环在编号较小的圆环之上”的情况，现要将这六个圆环全部套到B木桩上，则所需的最少的次数为（

）A．31 B．63 C．127 D．1285．已知锐角，满足，则的最小值为（

）A．2 B． C． D．6．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，则的原图形的面积为（

）

A．5 B．10 C． D．7．投篮测试中，每人投2次，至少投中1次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（

）A．0.24 B．0.48 C．0.84 D．0.948．已知函数在处取得极小值，则m的值为（

）A． B．1 C．或1 D．或2二、多选题9．已知函数（

）A．若在上单调递增，则实数的取值范围是B．若在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是C．当在区间上不单调，则实数的取值范围是D．若的单调递减区间为，则.10．在锐角中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且.则下列说法正确的是（

）A．B．角B的范围是C．若的平分线交BC于D，，，则D．的取值范围是11．已知球O是棱长为2的正方体的外接球，为球O的直径，点P为该正方体表面上的一动点，则下列说法中正确的是（

）A．当P为中点时，直线与所成角的余弦值为B．当三棱锥的体积为时，点P轨迹的长度为2C．的最小值为D．的最大值为三、填空题12．在中，，，分别是角，，的对边，已知，的面积，点是线段的中点，点在线段上，且，线段与线段交于点，若点是三角形的重心，则的最小值为.13．不等式的解集为．14．已知全集，实数满足，集合，，则.四、解答题15．在中，角，，，所对边分别为，，，已知，且(1)求(2)若为边的中点，且，，求的面积.16．如图1，已知椭圆Γ的方程为和椭圆其中A，B分别是椭圆τ的左右顶点．若A，B恰好为椭圆Γ的两个焦点，椭圆Γ和椭圆τ有相同的离心率．(1)求椭圆Γ的方程；(2)如图2，若P是椭圆τ上一点，射线AP，BP分别交椭圆于，N，连接AN，BM（P，M，N均在x轴上方）．求证：NB，MA斜率之积为定值，求出这个定值；(3)在（2）的条件下，若，且两条平行线的斜率为求正数k的值．17．如图，在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，，，是的中点，是上的一点.(1)证明：平面平面；(2)若异面直线和垂直，求二面角的正弦值.18．小张同学入读某大学金融专业，过完年刚好得到红包20000元，她计划以此作为启动资金进行理财投资，每月月底获得的投资收益是该月月初投入资金的，并从中拿出1000元作为自己的生活费，余款作为资金全部投入下个月，如此继续．设第个月月底的投资总资金为．(1)求数列的通项公式；(2)如果小张同学想在第二年过年的时候给爷爷买一台全身按摩椅（商场标价为41388元），将一年后投资总资金全部取出来是否足够？19．已知数列与都是等差数列，其前项和分别为与，且，，，.(1)求数列与的通项公式；(2)求数列的前项和.

参考答案1．【答案】D【分析】先根据分式不等式的解法求出集合，再根据交集和补集的定义即可得解【详解】由得，则，解得，所以，则，所以.故选：D2．【答案】C【详解】因为，所以，解得.故选C.3．【答案】D【分析】利用平面向量的线性运算即可求解．【详解】由题意，画出图象如下：可得．故选：D．4．【答案】B【分析】先找出时的情况，再推导时的递推公式，最后根据递推公式求出.【详解】当时，即只有个圆环，从一个木桩移动到另一个木桩，只需移动次，所以.当时，要把个圆环从木桩移动到木桩，我们可以先把上面个圆环从木桩借助木桩移动到木桩，这需要次；然后把最大的第个圆环从木桩移动到木桩，这需要次；最后再把木桩上的个圆环借助木桩移动到木桩，这又需要次.所以可得递推公式.由，变形可得.那么数列是以为首项，为公比的等比数列.根据等比数列通项公式可得，所以.当时，将其代入，可得.故选：B.5．【答案】C【分析】由条件可得，然后结合基本不等式代入计算，即可得到结果.【详解】由，可得，即，所以，则，当且仅当时，即，即时，也就是时，等号成立.故选：C6．【答案】B【分析】法一：先将直观图还原为原图，再求面积；法二：根据原图的面积等于直观图面积的倍直接求解.【详解】法一：如图所示，根据斜二测画法可知，轴，且，

原图形为，其中，且，则的面积为．法二：直观图面积为，原图形的面积等于直观图面积的倍，所以原图形的面积为．故选：B7．【答案】C【分析】根据给定条件，利用对立事件及相互独立事件的概率公式计算即得.【详解】依题意，该同学两次投篮都不中的概率为，所以该同学通过测试的概率为.故选：C8．【答案】A【详解】求导得，则，解得：或，当时，，由于，，，，所以函数在时有极小值，当时，，由于，，，，所以函数在时有极大值，故舍去，故选A.9．【答案】AD【分析】对于选项A，由在上单调递增，可得在上恒成立，分离出参数，根据二次函数的单调性可求出实数的范围；对于选项B：因为由在上存在单调递减区间，可得在上有解，分离出参数，根据二次函数的单调性可求出实数的范围；对于选项C，当时，得出，根据在区间上不单调，列出关于的不等式组，求出实数的范围；对于选项D，由的单调递减区间为，可知是的一个根，即可求出.【详解】由函数可知：函数的定义域为，导数.对于选项A：因为在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，分离出参数，可得在上恒成立.又因为二次函数在上单调递增，所以在上，所以，故选项A正确.对于选项B：因为在上存在单调递减区间，所以在上有解，即在上有解，分离出参数，可得在上有解.又因为二次函数在上单调递增，所以在上，所以，故选项B错误.对于选项C：当时，.令，解得.因为在区间上不单调，所以导数在区间上有极值点，则，解得：，故选项C错误.对于选项D：因为的单调递减区间为，所以是的一个根，即，解得：，故选项D正确.故选：AD.10．【答案】ACD【详解】由正弦边角关系有，所以，又且，所以，A对；由上，可得，B错；对于C，如下图示，设，则，，由，则，且，则，所以，而，且，则，所以，C对；由，而，且在上单调递增，则值域为，D对.故选ACD11．【答案】ACD【分析】A取线段的中点，在中利用余弦定理求即可；B先利用体积得出三棱锥的高，再证明平面，再结合点到平面的距离均为，即可找出点P轨迹；C利用向量的加法运算以及数量积的运算律得出，再求的最小值即可；D利用数量积的定义即可.【详解】取线段的中点，连接，因为线段中点，结合正方体的性质可知，，且，则四边形为平行四边形，则，则直线与所成角的为或其补角，容易得，则在中利用余弦定理可得，，则直线与所成角的余弦值为，故A正确；连接，设点到平面的距离为，容易得的面积为，由题意可得，得，由正方体的性质可知，平面，又平面，则，又，，平面，则平面，因，则点到平面的距离均为，因，平面，平面，则平面，同理可得平面，因点P为该正方体表面上的一动点，则点的轨迹为线段，轨迹长度为，故B错误；依题意可知即为正方体的中心，如下图所示：，又因为为球的直径，所以，即可得，又易知当点为正方体侧面的中心时，最小，最小值为，则的最小值为，故C正确；因，则当时，取最大值，最大值为，故D正确.故选：ACD12．【答案】/【分析】根据正弦定理进行边角互化，结合余弦定理可得，再根据三角形面积公式可得，【详解】因为，所以由正弦定理可得，整理得，故，因为，所以，又，所以，如图，由题意可得，，因为，，三点共线，故可设，，又因，，三点共线，故，即，所以，因为，所以，于是，即两边平方得：，当且仅当时等号成立，故，即，所以的最小值为，故答案为：.13．【答案】，或【分析】先移项、通分，再转化为整式不等式求解即可.【详解】由得，，通分得，此不等式等价于，解得或，故不等式的解集为，或故答案为：，或14．【答案】【分析】先求出或，由a＞b＞0，，再根据交集定义即可求出结果．【详解】因为，则或，又a＞b＞0，，,所以，故答案为：.15．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理，将边转换成正弦，再利用倍角公式和辅助角公式，求出，的关系.（2）把余弦定理方程和中线的向量性质得到的方程，联立，求出，再利用面积公式即可求出面积.【详解】（1）因为，由正弦定理得：，则，所以，则所以，，或，，则，或，又因为，所以，所以，故.（2）在中由余弦定理得：，所以①，因为D为AB边的中点，所以，所以，所以②，②-①得：，所以.16．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）结合离心率相等列关于的关系式，即可求得；（2）设点坐标，表示结合椭圆方程即可求得；（3）设，联立方程组，根据韦达定理和第二问的结论即可求得结果.【详解】（1）由椭圆的方程可知，椭圆的离心率为，，设椭圆的半焦距为，由已知，，所以，，所以椭圆的方程为.（2）设，则，的斜率即的斜率，的斜率即的斜率，因为，，，所以，所以，斜率之积为定值，且定值为.（3）设，由于，所以，设直线方程为，直线方程为，联立得：，联立，，因为且，所以是方程的两个实数根，恒成立，则，，整理得，，解得，又，所以.17．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用线面垂直的性质定理得到线线垂直，结合等腰三角形三线合一，得到线面垂直，再利用面面垂直的判定定理即可得证；（2）根据题目建立空间直角坐标系，设出点坐标，根据和垂直以及在上，即可得到点坐标，然后利用向量法求解面面角的余弦值，即可根据平方关系求得结果.【详解】（1）由题知，，因为平面，平面，所以，因为平面，所以平面，又平面，所以，又是中点，所以，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）由题知，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系如图所示，过作，因为，所以，则，设，则，即，又，即，所以，所以，即，则，设平面的一个法向量，平面的一个法向量，则，可得，取，可得，又，可得，取，可得，令平面与平面的夹角为，则，所以，即二面角的正弦值为.18．【答案】(1)(2)不够.【分析】（1）根据题意求得，变形后可得数列是首项为11000，公比为1.1的等比数列，从而可求出数列的通项公式；（2）求出与41388比较大小即可【详解】（1）依题意，第1个月底的投资总金额为，可化为可化为又，所以数列是