河南省许平汝名校2025届高三模拟测试 数学试题（含解析）

2025届河南省许平汝名校高三模拟测试数学试题一、单选题1．已知集合，则是的（

）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．既不充分又不必要条件D．充要条件2．若，，则（

）A．3 B．4 C．5 D．63．抛物线上不同三点的纵坐标的平方成等差数列，则这三点（

）A．到原点的距离成等差数列 B．到x轴的距离成等差数列C．到y轴的距离成等差数列 D．到焦点的距离的平方成等差数列4．如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的形态．图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图做出以下判断，不正确的是（

）

A．图（1）的平均数=中位数=众数 B．图（2）的众数<中位数<平均数C．图（2）的平均数<众数<中位数 D．图（3）的平均数<中位数<众数5．已知，且，则（）A． B． C． D．6．已知实数满足，则函数的零点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．37．如图，过原点的直线交椭圆于两点，过点分别作轴、的垂线，且分别交椭圆于点，，连接交于点，若，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．8．已知函数，若对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知，c为实数，则下列不等式正确的是（

）A． B． C． D．10．如图，某电子实验猫线路图上有，两个即时红绿指示灯，当遇到红灯时，实验猫停止前行，恢复绿灯后，继续前行，，两个指示灯工作相互独立，且出现红灯的概率分别为，.同学甲从第一次实验到第五次实验中，实验猫在处遇到红灯的次数为，在，两处遇到红灯的次数之和为，则（

）A．B．C．一次实验中，，两处至少遇到一次红灯的概率为D．当时，11．如图，圆锥的底面直径和母线长均为，其轴截面为，为底面半圆弧上一点，且，，，则（

）

A．存在，使得B．当时，存在，使得平面C．当，时，四面体的体积为D．当时，三、填空题12．已知，则的值为．13．折扇，古称聚头扇、撒扇等，以其收拢时能够二头合并归一而得名.某折扇的扇面是一个圆台的侧面展开图，如图所示.设，，则扇面（图中扇环）部分的面积是，.14．已知函数，其中e为自然对数的底数，当时，恒成立，则实数a的取值范围为．四、解答题15．的内角的对边分别为，已知，且．(1)若，求；(2)若为锐角三角形，求的取值范围．16．如图，四棱柱的底面ABCD是边长为2的正方形，，侧面平面，E是棱BC上一点，平面．(1)求证：E是BC的中点；(2)若（ⅰ）求二面角的余弦值；（ⅱ）设直线与平面的交点为P，求的值．17．已知函数.(1)证明曲线是轴对称图形；(2)设函数，解不等式（是自然对数的底数）.18．已知过点的双曲线的渐近线方程为.如图所示，过双曲线的右焦点作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点.(1)求双曲线的标准方程；(2)已知点，求证：；(3)若以为直径的圆被直线截得的劣弧为，则所对圆心角的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.19．在前n项和为的等比数列中，，，．(1)求数列的通项公式；(2)设，，…，是，，…，的任意排列，表示其中同时满足条件①和②（）的排列的个数，为数列的前n项和．（ⅰ）证明：；（ⅱ）证明：能被2整除．

参考答案1．【答案】A【分析】若求出的取值，当时判断是否正确，判断时，是否可能为.【详解】若，则且，所以或，故当时有，而时，不一定是，故是的充分而不必要条件.故选：A.2．【答案】C【分析】根据共轭复数的定义及复数相等列方程求复数，进而求模长.【详解】设，，则，∵，∴，∴，解得，∴，∴.故选：C3．【答案】C【分析】先设三点的坐标，根据纵坐标的平方成等差数列可得到其横坐标也成等差数列，即可得到答案．【详解】设这三点为，，，，因为纵坐标的平方成等差数列，即，，成等差数列，三点纵坐标分别代入抛物线方程得，得，因为三点到y轴的距离为，所以三点到y轴的距离成等差数列.故选：C【点睛】本题主要考查抛物线的基本性质和等差中项的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4．【答案】C【分析】根据平均数、中位数、众数的概念，结合图形分析即可求解.【详解】图（1）的分布直方图是对称的，所以平均数=中位数=众数，故A正确；图（2）中众数最小，右拖尾平均数大于中位数，故B正确，C错误；图（3）左拖尾众数最大，平均数小于中位数，故D正确.故选C.5．【答案】B【分析】根据同角三角函数的平方式，求得已知角的正弦值和余弦值，结合余弦的差角公式，可得答案.【详解】由，，可得，则，，则或，由于，所以，，，故选：B6．【答案】D【分析】利用导数研究函数的单调性且，再利用指数函数、一次函数的性质确定参数的范围，结合零点存在性定理判断零点个数.【详解】由题设，则或时，时，，所以在上递增，在上递减，且，由，即，而在R上递增，在R上递减，显然，故，所以，又趋向时趋向趋向时趋向，综上，共有3个零点．故选：D7．【答案】D【分析】设，则，由，共线，点在椭圆上，得坐标关系，联立求解即可.【详解】设，则，由，则，即，①由三点共线，则，即，②又因为，即，③将①②代入③得，则.故选：D.8．【答案】B【分析】将问题转化为对任意的，当时时，恒成立，不妨设，将问题转化为在单调递减，再结合利用正弦函数的性质求出的取值范围．【详解】，所以得.进而，故，由于对任意的，当时，恒成立，，不妨设，则问题转化成在单调递减，所以其中，解得.故选：B9．【答案】AC【分析】由题意可得，利用不等式的性质及函数的单调性对选项逐一判断即可.【详解】由题意可得，A项:由单调递增，知，故选项A正确；B项:时选项B不正确；C项:由，则，当且仅当时等号成立，∵，∴等号不成立，故选项C正确；D项:构造函数，，∴单调递增，又，得，故选项D不正确．故选:AC．10．【答案】ACD【分析】根据题意知道，再根据二项分布得概率公式，方差公式，期望公式逐个计算判定即可.【详解】由题意可知，所以，，故A正确，B错误；一次实验中，，两处至少遇到一次红灯的概率为，故C正确；当时，一次实验中没有遇到红灯的概率为，遇到一次红灯的概率为，遇到两次红灯的概率为，故一次实验中遇到红灯次数的数学期望为，所以，故D正确.故选：ACD.11．【答案】BCD【分析】对于A，用反证法判定.对于B，运用面面平行得到线面平行.对于C,通过条件，分析出体积之间的关系，运用等体积发计算即可.对于D，运用向量法，结合垂直的数量积为0计算即可.【详解】对于A，，则与不可能垂直，若，则面，则，则面矛盾，A错．对于B，取中点，则，过作交于点，此时为中点，则面平面，∴平面，对．对于D，如图建系，，，，

，，，，∴，∴，D对．

对于C,时，，时，到平面的距离是到平面距离的.，其中表示到平面的距离，是到平面距离，，C对，故选：BCD．12．【答案】255【分析】通过赋值，可得，再由求出项的系数即可.【详解】由，令，可得，又，上式二项展开的通项为：．令，可得．∴．故答案为:255.13．【答案】【分析】根据扇形面积公式，即可求解扇面的面积；根据向量数量积公式求模.【详解】由条可知，，，所以扇形的面积，扇形的面积,所以扇面的面积是；.故答案为：；14．【答案】【分析】根据给定条件，将不等式等价变形为，构造函数利用导数求出最小值即可.【详解】当时，，令函数，依题意，当时，恒成立，求导得，令，求导得，函数在单调递增，，，存在，使得，当或时，，当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，而，因此，则，所以实数a的取值范围为.故答案为：15．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理可得，结合已知可得，进而利用余弦定理可求得；（2）结合（1）可得，根据为锐角三角形，可得，求解即可.【详解】（1）由，得．因为，所以，即．所以．（2）由，得，因为为锐角三角形，所以，则，解得，即的取值范围为．16．【答案】(1)证明见解析(2)（ⅰ）；（ⅱ）．【分析】（1）连接交于O，连接OE，利用线面平行的性质定理可得，然后利用三角形中位线性质进行证明.（2）（ⅰ）连结，利用面面垂直的性质定理、线面垂直的判定及性质定理可得平面，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用向量法求解二面角的余弦值.（ⅱ）设，则，由平面，得，利用数量积的坐标运算求解即可.【详解】（1）连接交于O，连接OE，∵平面，平面，平面平面，∴，又∵四边形是平行四边形，∴O是的中点，∴E是BC的中点．（2）（ⅰ）连结，∵底面ABCD是正方形，∴，又∵侧面平面，且侧面平面，平面，∴平面，又平面，∴，，在中，∵，，∴，在中，∵，，∴，又，平面，∴平面，又，∴如图建立空间直角坐标系，其中，，，，且，，易知为平面的一个法向量，设为平面的一个法向量，则，即．不妨设，则，，可得，∴，∵二面角的平面角是钝角，设为θ，故，∴二面角的余弦值为．（ⅱ）设，又，，则，∴，∴，∵平面，∴，∴，解得，∴．17．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）求出的定义域，分别求出和即可证明；（2）写出函数并求导，令，，利用导数分别判断和的单调性，进而得到的单调性，再结合即可求解.【详解】（1）由得或，所以函数的定义域为，因为，，所以，所以关于对称，即曲线是轴对称图形；（2）因为，则，令，则，令，则，所以在单调递增，所以，即，所以在单调递增，所以，即，所以在单调递增，又，则，即，所以，所以不等式的解集为.18．【答案】(1)；(2)证明见详解；(3)是，定值为.【详解】（1）因为双曲线的渐近线方程为，所以设双曲线方程为，又双曲线过点，则，所以双曲线的方程为，即.（2）证明：由(1)可知，的斜率存在且不为0，所以设的方程为，联立，消去得，设，由题意得，所以，且，所以，所以，即得证.（3）由(2)可知恒成立，，所以圆心到的距离，半径，设所对圆心角为，则，因为为劣弧，所以，所以，所以，即所对圆心角的大小为定值.19．【答案】(1)(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析【分析】（1）根据等比数列基本量运算求得或，然后结合，求得，，即可求得通项公式.（2）（ⅰ）分，和，，两种情况讨论，得到递推关系，然后利用累加法即可证明.（ⅱ）根据余数规律猜测猜测余数列以7为周期，再证明该猜想即可，结合，即可证明.【详解】（1）设数列的公比为q，由，得，∴，解得或，若，则由，得，∴，与矛盾，∴，若，则由，得，∴，，符合，∴，，∴．故数列的通项公式为：．（2）（ⅰ）∵，∴或．当，则，，…，各项分别除以2后，恰是，，…，满足条件①②的排列，其个数为；当，，则，此时，，…，各项分别除以8后，恰是，，…，满足条件①②的排列，其个数为；当，，设是该排列中第一个出现的2的偶数次