2025初三升高一数学暑假衔接讲义25讲含答案（必修一内容）5.1 任意角和弧度制

2025初三升高一数学暑假衔接讲义25讲含答案（必修一内容）5.1任意角和弧度制任意角和弧度制1任意角①角的定义与分类(1)角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如下图，一条射线的端点是O，从起始位置OA按逆时针旋转到终止位置OB，形成角α，射线OA,OB分别是角α的始边和终边.(2)逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角.如下图②终边相等的角与角α终边相同的角的集合为βPS表达式中的k∈Z不能漏！③象限角的概念角α的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角.PSα终边落在坐标轴上，不能称α为象限角.2弧度制①弧度的定义弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad.即:半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为αrad|α|=②角度与弧度的转化180③特殊角的角度与弧度对应表角度030456090120135150180270360弧度0ππππ2π3π5ππ3π2π④弧长与扇形面积计算公式弧长l=|α|∙R；扇形面积S=12lR=注α为弧度制.【题型一】角的集合表示及象限角的判定【典题1】已知集合M={锐角}，N={小于90∘的角}，P={第一象限的角}①P⊆N，②N∩P=M，③M⊆P，④(M∪N)⊆P.其中正确的是．【典题2】写出如图所示阴影部分的角α的范围．【典题3】若α是第三象限的角，则α3可能是第象限角【题型二】扇形的弧长及面积公式【典题1】−3弧度的角终边在第象限.【典题2】已知2rad的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长．【典题3】已知一扇形的中心角是α(α>0)，所在圆的半径是R．(1)若α=60∘，(2)若扇形的周长是一定值c(c>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？巩固练习1(★)下列说法正确的是()A．终边相同的角相等 B．相等的角终边相同 C．小于90°的角是锐角 D．第一象限的角是正角2(★)－870°的终边在第几象限()A．一 B．二C．三 D．四3(★)2100°化成弧度是()A．353π B．10π C．284(★★)已知α是第二象限角，则α2A．锐角 B．第一象限角 C．第一、三象限角 D．第二、四象限角5(★★)已知圆O与直线l相切于点A，点P,Q同时从A点出发，P沿着直线l向右、Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停止运动，连接OQ,OP(如图)，则阴影部分面积S1A．S1=S2 B．S16(★★)与－2014°终边相同的最小正角是．7(★★)中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画．如图，是书画家唐寅(1470－1523)的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为cm8(★★)已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm，圆心角为2π3的扇形，则此圆锥的高为cm挑战学霸河南大学自招真题我们知道当12点时，闹钟的3个指针完全重合，请说出除了12点外，是否还有其他时间，3针完全重合.如有请举出；若无，给出理由.任意角和弧度制1任意角①角的定义与分类(1)角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如下图，一条射线的端点是O，从起始位置OA按逆时针旋转到终止位置OB，形成角α，射线OA,OB分别是角α的始边和终边.(2)逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角.如下图②终边相等的角与角α终边相同的角的集合为βPS表达式中的k∈Z不能漏！③象限角的概念角α的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角.PSα终边落在坐标轴上，不能称α为象限角.2弧度制①弧度的定义弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad.即:半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为αrad|α|=②角度与弧度的转化180③特殊角的角度与弧度对应表角度030456090120135150180270360弧度0ππππ2π3π5ππ3π2π④弧长与扇形面积计算公式弧长l=|α|∙R；扇形面积S=12lR=注α为弧度制.【题型一】角的集合表示及象限角的判定【典题1】已知集合M={锐角}，N={小于90∘的角}，P={第一象限的角}①P⊆N，②N∩P=M，③M⊆P，④(M∪N)⊆P.其中正确的是．【解析】锐角的范围为0°<θ<90∘，小于90∘第一象限角为k∙360∴P与N之间没有包含的关系，故①错；−300∘∈N∩P，但M∪N=N，不一定包含于P，故④错；③M⊆P对.∴其中正确的是：③【典题2】写出如图所示阴影部分的角α的范围．【解析】(1)因为与45∘角终边相同的角可写成45∘+k∙−180∘+30∘所以图(1)阴影部分的角α的范围可表示为{α|−150(2)因为与45∘角终边相同的角可写成45360∘−60∘=300所以图(2)中角α的范围为{α|45∘+k∙【点拨】表示与角α终边相同的角的集合时不要把k∈Z漏了.【典题3】若α是第三象限的角，则α3可能是第象限角【解析】方法1不等式法∵α是第三象限角，即2kπ+π<α<2kπ+32kπ3+π3≤α3当k=3n,n∈Z时，α3∈当k=3n+1,n∈Z时，α3∈当k=3n+2,n∈Z时，α3∈所以α3可能是第一、三、四象限角.方法2八卦图法先把直角坐标系每个象限平均分成3份，从x轴正半轴上方各区域标上1、2、3、4，找到标有α所在象限数字“3”所在的区域，该区域在哪个象限，则α3故α3可能是第一、三、四象限角【点拨】①方法1中令k=3n、3n+1、3n+2,n∈Z，是从3的余数“0、1、2”角度思考，故也可令k=0、1、2.②方法2中的解题套路判断αn①每个象限平分n份；②从x轴上方逆时针开始标数；③找到α所在象限数字.例：判断α3的象限(α是第二①每个象限平分3份；②从x轴上方逆时针开始标数；③找到α所在象限数字“2”.【题型二】扇形的弧长及面积公式【典题1】−3弧度的角终边在第象限.【解析】因为−π＜−3＜−π【点拨】1=180π°【典题2】已知2rad的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长．【解析】如图，∠AOB=2，过O点作OC⊥AB于C，并延长OC交于∠AOD=∠BOD=1，且AC=AB=在Rt△AOC中，AO=ACsin∠AOC=1【典题3】已知一扇形的中心角是α(α>0)，所在圆的半径是R．(1)若α=60∘，(2)若扇形的周长是一定值c(c>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？【解析】(1)设弧长为l，弓形面积为S弓∵α=60∘=∴S(2)法一∵扇形周长c=2R+l=2R+αR，∴R=c∴S(利用基本不等式)∴当且仅当α=4α，即α=2时，扇形面积有最大值法二：由已知2R+l=c，∴R=c−l∴S=1∴当l=c2时，Smax∴当扇形圆心角为2弧度时，扇形面积有最大值c2【点拨】①弧长l=|α|∙R，扇形面积S=12lR=②求函数fx=ax巩固练习1(★)下列说法正确的是()A．终边相同的角相等 B．相等的角终边相同 C．小于90°的角是锐角 D．第一象限的角是正角【答案】B【解析】终边相同的角相差周角的整数倍，A不正确；相等的角终边一定相同；所以B正确；小于90°的角是锐角可以是负角；第一象限的角是正角，也可以是负角．故选：B．2(★)－870°的终边在第几象限()A．一 B．二C．三 D．四【答案】C【解析】选C因－870°=－2×360°－150°.－150°是第三象限角．3(★)2100°化成弧度是()A．353π B．10π C．28【答案】A【解析】2100°=2100×π1804(★★)已知α是第二象限角，则α2A．锐角 B．第一象限角 C．第一、三象限角 D．第二、四象限角【答案】C【解析】∵α是第二象限角，所以π2+2k∴π4+k∴α故选：C．5(★★)已知圆O与直线l相切于点A，点P,Q同时从A点出发，P沿着直线l向右、Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停止运动，连接OQ,OP(如图)，则阴影部分面积S1A．S1=S2 B．S1【答案】A【解析】如图所示，∵直线l与圆O相切，∴OA∴S扇形AOQ=∵AQ∴S扇形AOQ=∴S故选：A．6(★★)与－2014°终边相同的最小正角是．【答案】146°【解析】∵∴146°与－2014°终边相同，又终边相同的两个角相差360°∴在[0°，360°)上，只有146°与－2014°终边相同，∴与－2014°终边相同的最小正角是146°，故答案为：146°．7(★★)中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画．如图，是书画家唐寅(1470－1523)的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为cm【答案】704【解析】如图，设∠AOB=θ，由题意可得：24=rθ64=(r+16)θ，解得：r=所以S扇面故答案为：704．8(★★)已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm，圆心角为2π3为cm．【答案】423【解析】设此圆的底面半径为r，高为ℎ，母线为l，∵圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm，圆心角为2π3∴l=2，得2πr=因此，此圆锥的高ℎ=l故答案为：423挑战学霸河南大学自招真题我们知道当12点时，闹钟的3个指针完全重合，请说出除了12点外，是否还有其他时间，3针完全重合.如有请举出；若无，给出理由.【解析】每小时时针、分针旋转一次，速度为时针0.5°/min,分针6故在n时00分至(n+1)时00分之